Calcul différentiel 201-103 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : les fonctions trigonométriques et leurs dérivées (201-103)

Le chapitre de trigonométrie du calcul différentiel des sciences humaines n'est pas un chapitre de triangles. Le sinus y sert d'unique modèle de tout ce qui revient : les ventes au détail sur douze mois, l'affluence d'une urgence sur sept jours, la température moyenne, les migrations saisonnières. Toutes ces séries s'écrivent $f(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+k$ , et la dérivée y répond à une question que la colonne des données ne montre jamais, à quel moment la quantité augmente-t-elle le plus vite.

L'obstacle réel est là, et il se corrige en une phrase : le pic est l'instant où $f'=0$ , donc l'instant où la montée est FINIE. La croissance maximale tombe un quart de période plus tôt, à l'endroit où la courbe croise sa moyenne et où $f''$ s'annule. Le reste de la fiche traite des fautes mécaniques qui coûtent le plus cher, le mode degré de la calculatrice et le facteur $\omega$ laissé par la règle de chaîne.

Le fil du chapitre

Ici le sinus n'est pas un outil de triangle, c'est le modèle de ce qui revient : le pic est le moment où $f'=0$ , la croissance maximale arrive un quart de période plus tôt, et rien de tout cela n'est vrai si l'angle n'est pas mesuré en radians.

Ce chapitre fait partie de Calcul différentiel 201-103 en sciences humaines : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

La dérivée et les règles de dérivation Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Calculs algébriquesSecondaire 5 SN5
2Les fonctions définies par partiesSecondaire 5 SN5
3La fonction rationnelle, dite homographiqueSecondaire 5 SN5
4Les opérations sur les fonctionsSecondaire 5 SN5
5Les fonctions et leur domaine
6Les limites et la continuité
7La dérivée et les règles de dérivation

Notions couvertes

Radian
Cercle trigonométrique
Identité de Pythagore
Limite fondamentale du sinus
Dérivées des fonctions trigonométriques
Règle de chaîne
Modèle sinusoïdal
Amplitude et axe d'oscillation
Période et pulsation
Déphasage
Point d'inflexion
Identité d'addition

L'essentiel

Le cercle et le radian, et ce que l'identité de Pythagore ne dit pas

• $180^{\circ}=\pi$ rad. On convertit un degré en radian en multipliant par $\dfrac{\pi}{180}$ , jamais par $\dfrac{180}{\pi}$ .
• Un radian est un rapport de deux longueurs, donc un nombre sans unité : c'est ce qui autorise à écrire $\sin t$ où $t$ compte des mois.
• Identité de Pythagore : $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ . Elle donne le CARRÉ, donc $\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^{2}x}$ , et c'est le quadrant qui choisit le signe.
• Angle de référence : on ne mémorise que le premier quadrant, puis on pose le signe. Ainsi $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-0{,}5$ .
• Angles associés : $\sin(\pi-x)=\sin x$ , $\cos(\pi+x)=-\cos x$ , $\sin(-x)=-\sin x$ et $\cos(-x)=\cos x$ .

Les deux points ont le MÊME sinus,

0{,}866

, et des cosinus opposés : l'identité de Pythagore ne pouvait pas les séparer, seul le quadrant le fait.

Écrire le signe du quadrant AVANT de toucher la calculatrice rapporte le demi-point de rigueur et supprime la moitié des erreurs de cette page.

Le modèle périodique : quatre lettres, quatre questions de gestion

• $f(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+k$ : $k$ est le niveau moyen, $A$ l'amplitude, $\omega$ la pulsation et $\varphi$ le déphasage.
• $k=\dfrac{\max+\min}{2}$ et $A=\dfrac{\max-\min}{2}$ : la moyenne des deux extremums, puis leur DEMI-différence.
• $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ , donc $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ . Sur douze mois, $\omega=\dfrac{\pi}{6}\approx 0{,}5236$ radian par mois.
• Le maximum vaut $k+A$ et le minimum $k-A$ : l'amplitude se mesure depuis l'AXE d'oscillation, pas depuis zéro.
• L'écart entre le meilleur et le pire moment vaut $2A$ , et c'est ce nombre qu'un rapport cite.

Le trait horizontal donne

k=110

, le trait vertical donne

A=30

depuis cet axe et non depuis zéro, le cycle complet donne

T=12

mois, et le maximum vaut bien

k+A=140

Les quatre paramètres se lisent dans un ordre imposé, $k$ , puis $A$ , puis $\omega$ , puis $\varphi$ : chacun a besoin des précédents, jamais l'inverse.

La table des dérivées, et le facteur qui la suit partout

• $(\sin x)'=\cos x$ , $(\cos x)'=-\sin x$ , $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x$ .
• $\dfrac{1}{\cos^{2}x}\ge 1$ partout, donc la tangente n'a AUCUNE tangente horizontale et ne sert jamais de modèle cyclique.
• Sur un modèle, la règle de chaîne donne $f'(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi)$ : l'amplitude du rythme vaut $A\omega$ , en unité de $f$ par unité de temps.
• $f''(t)=-\omega^{2}\big(f(t)-k\big)$ : l'accélération est proportionnelle à l'écart à la moyenne et de signe contraire.
• Toute la table repose sur $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ , qui n'est vraie qu'en radians et seulement en ZÉRO.

L'unité est le contrôle le plus rapide de la page : si $f$ est en milliers de dollars et $t$ en mois, $f'$ se lit en milliers de dollars par mois, jamais en milliers de dollars.

Le pic et la croissance maximale, séparés d'un quart de période

• Le pic est l'instant où $f'=0$ , donc l'instant où la montée est FINIE ; $f$ y vaut $k+A$ .
• La croissance maximale est l'instant où $f''=0$ : $f$ y vaut exactement $k$ et $f'$ y vaut $+A\omega$ .
• Les deux sont séparés de $\dfrac{T}{4}$ , et la croissance maximale vient AVANT le pic.
• Sur une période, $f''$ s'annule deux fois : la date où $f'>0$ est la montée la plus rapide, celle où $f'<0$ est la chute la plus rapide.
• Un tableau de bord qui ne lit que le niveau ne voit rien passer le jour de la croissance maximale, puisque $f$ y vaut sa moyenne annuelle.

C'est la seule chose que la dérivée apporte et qu'aucune lecture de la colonne des données ne donne : une date où le niveau est ordinaire et le rythme extrême.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Les dérivées du chapitre, avec leur contrôle chiffré

Les quatre premières lignes se recopient. Les trois dernières sont des écritures qu'on lit sur des copies : une case rouge n'est jamais une réponse, c'est l'ordre de réécrire.

Ce qu'on dérive	Dérivée	Contrôle chiffré
$\sin x$	$\cos x$	$f'(0)=1$
Exemple : $f'(0)=\cos 0=1$ : en zéro le sinus monte à la pente 1, ce que confirme $\sin(0{,}05)=0{,}049979$ .
$\cos x$	$-\sin x$	$f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-0{,}5$
Exemple : $-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5$ : en $\dfrac{\pi}{6}$ le cosinus descend déjà.
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^{2}x}$	$f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2$
Exemple : $\dfrac{1}{(\sqrt{2}/2)^{2}}=\dfrac{1}{0{,}5}=2$ , et cette dérivée vaut au moins 1 partout.
$A\sin(\omega t+\varphi)+k$	$A\omega\cos(\omega t+\varphi)$	amplitude $A\omega$
Exemple : $A=30$ et $\omega=\dfrac{\pi}{6}$ donnent $A\omega=5\pi\approx 15{,}71$ milliers de dollars par mois.
$\sin x$	$-\cos x$	faux règle inexistante
Exemple : En $x=0$ le sinus MONTE, donc $f'(0)>0$ : $-\cos 0=-1$ est absurde, $\cos 0=1$ est juste. Ce qu'il faut faire : Le signe moins appartient à l'autre ligne, $(\cos x)'=-\sin x$ . On vérifie le signe sur un tracé, pas de mémoire.
$\sin(\omega t)$	$\cos(\omega t)$	faux facteur oublié
Exemple : $\left(\sin\dfrac{\pi t}{6}\right)'=\dfrac{\pi}{6}\cos\dfrac{\pi t}{6}$ , dont la valeur en $t=0$ vaut $0{,}5236$ et non 1. Ce qu'il faut faire : La couche intérieure laisse son coefficient $\omega$ EN FACTEUR devant le cosinus.
$\sin x$ , en degrés	$\cos x$	faux règle inexistante
Exemple : En degrés $\dfrac{\sin(0{,}1^{\circ})}{0{,}1}=0{,}01745$ et non 1, donc la dérivée vaut $\dfrac{\pi}{180}\cos x\approx 0{,}01745\cos x$ . Ce qu'il faut faire : Régler la calculatrice en radians avant le premier calcul, et convertir tout angle donné en degrés.

Les trois lignes rouges sont, dans l'ordre, la faute de mémoire, la faute de chaîne et la faute d'unité. Elles se repèrent toutes les trois par un contrôle numérique de cinq secondes.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Répondre le mois du pic quand on demande le mois où la croissance est la plus rapide

toute la question, 4 points sur 10

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les ventes montent le plus vite en décembre, puisque c'est le maximum de l'année. »

Ce qu'il faut écrire

« Le maximum est en décembre, mais $f'(12)=0$ : la montée y est terminée. La croissance est maximale en septembre, $t=9$ , où $f''(9)=0$ et $f'(9)=5\pi\approx 15{,}71$ milliers de dollars par mois. »

t=9

l'écart à la moyenne vaut zéro pendant que la dérivée est à son maximum ; en

t=12

c'est l'inverse. Le maximum de l'une tombe toujours sur le zéro de l'autre.

Pourquoi : C'est l'obstacle réel du chapitre et la seule question à laquelle la dérivée répond : au pic, le rythme est NUL, et le moment où le rythme est extrême est celui où le niveau est ordinaire.

2. Dériver avec une calculatrice restée en degrés

toute la table, donc tout le problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La calculatrice affiche des degrés, donc je dérive en degrés, ça ne change que l'affichage. »

Ce qu'il faut écrire

« Je passe en radians avant le premier calcul : la table $(\sin x)'=\cos x$ n'est vraie qu'en radians, car $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ n'est vraie qu'en radians. En degrés la dérivée serait $\dfrac{\pi}{180}\cos x$ . »

Pourquoi : Le facteur parasite $\dfrac{\pi}{180}\approx 0{,}01745$ contaminerait chaque règle de chaîne et chaque optimisation, et les deux réponses restent homogènes, donc l'unité ne rattrape rien.

3. Intervertir la dérivée du sinus et celle du cosinus

2 points, et la décision s'inverse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La dérivée du sinus est moins cosinus. »

Ce qu'il faut écrire

« $(\sin x)'=\cos x$ , sans aucun signe, et $(\cos x)'=-\sin x$ . En $x=0$ la courbe du sinus monte, donc sa dérivée y est positive, et $\cos 0=1$ convient. »

Pourquoi : L'erreur de mémoire est bénigne, son effet ne l'est pas : sur un modèle saisonnier elle échange le mois de croissance maximale et celui de chute maximale, donc elle inverse la recommandation de gestion.

4. Oublier le facteur laissé par la couche intérieure

3 points, et une erreur de 91 pour cent sur le rythme

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(t)=30\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)+110$ , donc $f'(t)=30\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La couche intérieure $u(t)=\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{2}$ a pour dérivée $\dfrac{\pi}{6}$ , donc $f'(t)=30\times\dfrac{\pi}{6}\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)=5\pi\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)$ . »

Pourquoi : Annoncer une amplitude de rythme de 30 au lieu de $5\pi\approx 15{,}708$ , c'est surestimer d'un facteur $\dfrac{6}{\pi}\approx 1{,}91$ : sur un plan de trésorerie, provisionner près du double du besoin réel.

5. Multiplier la période par le coefficient au lieu de diviser

2 points, et tout le calendrier du problème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La période de $\sin(3t)$ vaut $6\pi$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La période de $\sin(\omega t)$ vaut $\dfrac{2\pi}{\omega}$ , donc celle de $\sin(3t)$ vaut $\dfrac{2\pi}{3}\approx 2{,}094$ . Vérification : $\sin\left(3\left(t+\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=\sin(3t+2\pi)=\sin(3t)$ . »

Pourquoi : Multiplier l'argument par 3 fait tourner le phénomène trois fois plus VITE : le coefficient divise la période. La valeur $6\pi$ serait celle de $\sin\left(\dfrac{t}{3}\right)$ .

6. Confondre l'amplitude et la valeur maximale

2 points, et la dérivée suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'amplitude du modèle des ventes est de 140, puisque c'est le sommet de la courbe. »

Ce qu'il faut écrire

« L'amplitude vaut $A=\dfrac{\max-\min}{2}=\dfrac{140-80}{2}=30$ , mesurée depuis l'axe $y=k=110$ . La valeur maximale vaut $k+A=140$ . »

Pourquoi : L'erreur est double : prendre 140 pour $A$ multiplie par plus de quatre l'amplitude du rythme $A\omega$ , donc fausse aussi toute la partie dérivée du problème.

7. Déplacer la limite fondamentale de zéro vers l'infini

1,5 point, et la question de comportement asymptotique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{\sin x}{x}$ tend vers 1 quand $x$ tend vers l'infini. »

Ce qu'il faut écrire

« La limite 1 est celle en ZÉRO, et c'est une forme $\dfrac{0}{0}$ . À l'infini, $\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\le\dfrac{1}{x}\to 0$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$ . »

Pourquoi : Les deux situations n'ont aucun rapport : en zéro le numérateur et le dénominateur s'annulent ensemble, à l'infini le numérateur reste borné pendant que le dénominateur grandit. En $x=100$ le quotient vaut environ $-0{,}0051$ .

8. Répondre 1 à une limite de sinus dont les coefficients diffèrent

2 points, et le même réflexe se répète sur chaque limite de la page

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{3x}=1$ , c'est la limite fondamentale. »

Ce qu'il faut écrire

« On force le même argument en haut et en bas : $\dfrac{\sin 5x}{3x}=\dfrac{5}{3}\times\dfrac{\sin 5x}{5x}$ , et le second facteur tend vers 1, donc la limite vaut $\dfrac{5}{3}\approx 1{,}6667$ . »

Pourquoi : La limite de référence exige le MÊME argument au numérateur et au dénominateur. Quand ils diffèrent, la limite est le rapport des coefficients, jamais 1.

9. Additionner les amplitudes de deux cycles déphasés

3 points, et une saisonnalité surestimée de 31 pour cent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $E(t)=5\sin u+12\cos u$ , donc l'amplitude vaut $5+12=17$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Deux cycles de même période se somment en un seul : $E(t)=R\sin(u+\varphi)$ avec $R=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$ . L'amplitude vaut 13, et l'écart entre le meilleur et le pire mois vaut $2R=26$ . »

Pourquoi : Les deux effets sont déphasés d'un quart de tour, donc ils ne se renforcent jamais complètement : on additionne les CARRÉS des amplitudes, pas les amplitudes.

Quelle méthode choisir

Niveau ou rythme ? Le verbe de l'énoncé décide

On lit le verbe de la question avant de toucher au modèle. Trois familles seulement, et elles n'ouvrent pas la même ligne de calcul.

Si « combien vaudront », « quel mois est le plus chargé », « quel est le maximum » → on reste sur $f$ : évaluer $f(t)$ , ou résoudre $f'(t)=0$ puis étudier le SIGNE de $f'$

Exemple : $f'(t)=0$ en $t=0$ , 6 et 12 ; le signe donne un minimum en juin, $f(6)=80$

l'annulation seule ne conclut pas, c'est le changement de signe qui nomme le maximum
Si « le plus vite », « le plus rapidement », « l'accélération la plus forte » → on passe à $f'$ et on cherche SON maximum, donc on résout $f''(t)=0$

Exemple : $f''(t)=0$ en $t=3$ et $t=9$ ; comme $f'(9)>0$ , la montée la plus rapide est en septembre

des deux racines, celle où $f'>0$ est la montée, celle où $f'<0$ est la chute
Si « de combien par mois », « à quel rythme », « quelle variation mensuelle » → c'est $f'$ ÉVALUÉE en une date, donnée avec son unité complète

Exemple : $f'(3)=-5\pi\approx -15{,}71$ millier de dollars par mois, donc une baisse

une réponse sans unité ne vaut pas la moitié des points de la question
Si « combien de fois par an », « tous les combien », « quelle est la période » → $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ , et on vérifie que le résultat est cohérent avec le pas des données

Exemple : $\omega=\dfrac{\pi}{6}$ donne $T=12$ mois, ce qui est bien un cycle annuel

un $T$ qui n'est pas un multiple naturel du pas des données signale une erreur de lecture

Si aucune branche ne s'applique, c'est que la question porte sur le MODÈLE lui-même, donc sur la lecture des quatre paramètres : voir la rédaction type.

Quelle technique selon la forme de l'expression

On regarde la forme écrite, pas le thème du chapitre. Cinq formes couvrent toute la page.

Si $\dfrac{\sin(ax)}{bx}$ avec $x\to 0$ → forme $\dfrac{0}{0}$ : forcer le même argument, la limite vaut $\dfrac{a}{b}$

Exemple : $\dfrac{\sin 5x}{3x}=\dfrac{5}{3}\times\dfrac{\sin 5x}{5x}\to\dfrac{5}{3}$

même geste pour $\dfrac{\sin ax}{\sin bx}$ , en fabriquant deux quotients de référence
Si $\dfrac{1-\cos x}{x}$ avec $x\to 0$ → multiplier haut et bas par le conjugué $1+\cos x$ , puis utiliser Pythagore

Exemple : $\dfrac{\sin x}{x}\times\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\to 1\times 0=0$

c'est la technique du conjugué du chapitre des limites, seule l'identité change
Si $\dfrac{\sin x}{x}$ avec $x\to+\infty$ → ce n'est PAS une indétermination : encadrer par $\pm\dfrac{1}{x}$ , la limite vaut 0

Exemple : en $x=100$ , le quotient vaut $-0{,}0051$

le numérateur reste borné, le dénominateur grandit : le sandwich suffit
Si $a\sin u+b\cos u$ , même argument $u$ dans les deux termes → identifier $R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ et $\tan\varphi=\dfrac{b}{a}$ , puis travailler sur $R\sin(u+\varphi)$

Exemple : $5\sin u+12\cos u=13\sin(u+1{,}176)$

la forme compacte donne les extremums sans aucune étude de signe
Si $A\sin(\omega t+\varphi)+k$ à dériver → règle de chaîne : $A\omega\cos(\omega t+\varphi)$ , le $k$ disparaît

Exemple : $30\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)+110$ donne $5\pi\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)$

le niveau moyen n'a aucun effet sur le rythme, deux séries de niveaux très différents peuvent avoir la même dérivée

La règle de L'Hospital n'est pas au programme de ce cours à ce stade : une forme $\dfrac{0}{0}$ trigonométrique se traite par les deux limites de référence, jamais autrement.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Ajuster un modèle sinusoïdal sur des données

Quand l'utiliser : L'énoncé donne un tableau de valeurs, un graphique, ou simplement le maximum et le minimum d'un phénomène qui revient.

1 Relever le maximum et le minimum observés, avec le moment de chacun, et les écrire avec leur unité.
2 Calculer l'axe d'oscillation $k=\dfrac{\max+\min}{2}$ : il vient en premier parce qu'il ne dépend d'aucun autre paramètre.
3 Calculer l'amplitude $A=\dfrac{\max-\min}{2}$ , la DEMI-différence, et préciser qu'elle se mesure depuis l'axe.
4 Lire la durée d'un cycle complet sur les données, la nommer $T$ , puis poser $\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ en radians par unité de temps.
5 Écrire l'argument au moment du premier maximum et l'égaler à $\dfrac{\pi}{2}$ : cela donne $\varphi$ .
6 Vérifier le modèle sur un troisième point de données, autre que le maximum et le minimum.

Phrase de conclusion

« Sur $[0\,;12]$ , les ventes mensuelles se modélisent par $f(t)=30\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{2}\right)+110$ , en milliers de dollars, où $t$ est le numéro du mois. »

Le piège : Sauter l'étape 4 et écrire $\omega=T$ : la pulsation n'est pas la période, elle en est l'inverse à $2\pi$ près.

Barème : 1 point par paramètre, 1 point pour les unités, 1 point pour la vérification sur un troisième point

Répondre à « à quel moment la croissance est-elle la plus rapide ? »

Quand l'utiliser : L'énoncé emploie un comparatif de vitesse : le plus vite, le plus rapidement, la plus forte hausse, l'accélération maximale.

1 Dériver le modèle par la règle de chaîne, $f'(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi)$ , en gardant le facteur $\omega$ et en écrivant l'unité de $f'$ .
2 Annoncer explicitement que la question porte sur le maximum de $f'$ , donc sur l'annulation de $f''$ , et NON sur l'annulation de $f'$ .
3 Dériver une seconde fois et résoudre $f''(t)=0$ sur l'intervalle demandé, en écrivant la condition sous la forme argument $=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$ .
4 Choisir parmi les racines celle où $f'>0$ , puisque l'autre est le moment de chute la plus rapide, et justifier ce choix par le signe.
5 Évaluer $f'$ à cette date et donner le rythme avec son unité complète.
6 Contrôler par la règle du quart de période : la date trouvée tombe $\dfrac{T}{4}$ avant un pic.

Phrase de conclusion

« La croissance est maximale en $t=9$ , soit en septembre : $f''(9)=0$ et $f'(9)=5\pi\approx 15{,}71$ , donc les ventes augmentent alors de $15{,}71$ milliers de dollars par mois, le rythme le plus élevé de l'année. »

Le piège : Conclure à l'étape 3 sans choisir entre les deux racines : les deux annulent $f''$ , mais l'une est la chute la plus rapide.

Barème : 2 points pour la dérivée avec son facteur, 2 points pour $f''=0$ , 1 point pour le choix de la racine, 1 point pour l'unité

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le mode de la calculatrice, avant le premier calcul

Taper $\sin(1)$ et lire l'écran. En radians l'affichage donne $0{,}8415$ ; en degrés il donne $0{,}0175$ . Sur TI, le réglage est dans MODE, ligne RADIAN ; sur Casio, dans SET UP, ligne Angle.

Un écran qui affiche $0{,}0175$ dit que toutes les dérivées de la copie sont fausses d'un facteur $\dfrac{\pi}{180}$ , y compris celles déjà écrites.
L'unité de la dérivée

$f'$ se lit en unité de $f$ DIVISÉE par unité de $t$ . Si $f$ est en milliers de dollars et $t$ en mois, alors $A\omega$ est en milliers de dollars par mois. Une amplitude de rythme identique à celle du niveau signale un facteur $\omega$ oublié.

Lire $A\omega=30$ quand $A=30$ est impossible, sauf si $\omega=1$ : ici $\omega=\dfrac{\pi}{6}$ , donc $A\omega=5\pi\approx 15{,}71$ .
Le quart de période

Soustraire la date de croissance maximale de celle du pic suivant : l'écart doit valoir exactement $\dfrac{T}{4}$ . Le contrôle est indépendant de tout le calcul qui précède.

$12-9=3$ et $\dfrac{12}{4}=3$ : le contrôle passe. Un écart de 6 dirait qu'on a résolu $f'=0$ au lieu de $f''=0$ .
Le maximum vaut bien $k+A$

Réinjecter la date du pic dans le modèle écrit et comparer au maximum observé. Puis vérifier que la moyenne des deux extremums redonne $k$ et que leur demi-écart redonne $A$ .

$f(12)=140$ retrouve le maximum observé ; $\dfrac{140+80}{2}=110$ et $\dfrac{140-80}{2}=30$ ferment la boucle.
La table de valeurs contre les données

Entrer le modèle dans Y1, afficher la TABLE avec un pas de 1, et comparer trois lignes aux données de l'énoncé. Un écart de quelques pour cent est normal pour un lissage ; un écart qui reste du même signe sur tous les mois signale une tendance de fond non captée.

Le modèle prévoit 110 en septembre contre 112 observés, soit $1{,}8$ pour cent : acceptable. Trois écarts positifs de suite ne le seraient pas.

L'exercice type décortiqué

Température moyenne mensuelle : du nuage au mois qui se réchauffe le plus vite

Une ville relève ses températures moyennes mensuelles. Le mois le plus chaud est juillet, $t=7$ , avec $22{,}0$ degrés Celsius ; le mois le plus froid est janvier, $t=1$ , avec $-8{,}0$ degrés Celsius. On modélise par $\theta(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+k$ , où $t$ est le numéro du mois.

a) Donnez les quatre paramètres et écrivez $\theta(t)$ . b) Donnez $\theta'(t)$ avec son unité. c) Trouvez le mois où la température monte le plus vite et donnez ce rythme. d) Vérifiez par la règle du quart de période.

Étape 1

$k=\dfrac{22+(-8)}{2}=7$ degrés Celsius, et $A=\dfrac{22-(-8)}{2}=15$ degrés Celsius.

Pourquoi

L'axe d'oscillation s'écrit en premier parce qu'il ne dépend de rien d'autre. Écrire $A=22$ ici, c'est confondre l'amplitude avec le maximum, et l'erreur se propage jusqu'au rythme de la question c).

Étape 2

Le cycle est annuel, donc $T=12$ mois et $\omega=\dfrac{2\pi}{12}=\dfrac{\pi}{6}\approx 0{,}5236$ radian par mois.

Pourquoi

La pulsation n'est pas la période : elle est ce qu'on met DANS le sinus. Nommer son unité, radian par mois, est ce qui rendra l'unité de $\theta'$ évidente deux étapes plus loin.

Étape 3

Le maximum est atteint quand l'argument vaut $\dfrac{\pi}{2}$ : $\dfrac{7\pi}{6}+\varphi=\dfrac{\pi}{2}$ , donc $\varphi=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{2\pi}{3}$ . Ainsi $\theta(t)=15\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}-\dfrac{2\pi}{3}\right)+7$ .

Pourquoi

Le déphasage se lit sur la position du PREMIER maximum, jamais sur la première valeur du tableau. C'est le seul paramètre qui demande de résoudre une équation, et c'est pour cela qu'il vient en dernier.

Étape 4

Vérification du modèle en janvier : $\theta(1)=15\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{2\pi}{3}\right)+7=15\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+7=-15+7=-8$ .

Pourquoi

Un modèle se vérifie sur une donnée qui n'a pas servi à le construire, ou au minimum sur le second extremum. Cette ligne rapporte le point de vérification du barème et attrape une erreur de signe sur $\varphi$ .

Étape 5

Règle de chaîne : $\theta'(t)=15\times\dfrac{\pi}{6}\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}-\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{5\pi}{2}\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}-\dfrac{2\pi}{3}\right)$ , en degrés Celsius par mois, d'amplitude $\dfrac{5\pi}{2}\approx 7{,}854$ .

Pourquoi

Le facteur $\dfrac{\pi}{6}$ vient de la couche intérieure et c'est l'oubli numéro un du chapitre : sans lui, on annoncerait un rythme maximal de 15 degrés par mois au lieu de $7{,}85$ , soit près du double.

Étape 6

La question porte sur le maximum de $\theta'$ , donc sur $\theta''=0$ . Or $\theta''(t)=-\dfrac{5\pi^{2}}{12}\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}-\dfrac{2\pi}{3}\right)$ , qui s'annule quand $\dfrac{\pi t}{6}-\dfrac{2\pi}{3}=n\pi$ , soit $t=4+6n$ : sur une année, $t=4$ et $t=10$ .

Pourquoi

C'est l'étape que tout le monde saute : résoudre $\theta'=0$ donnerait juillet et janvier, c'est-à-dire les mois où la température a FINI de monter ou de descendre. L'annoncer à voix haute vaut un point de rigueur.

Étape 7

$\theta'(4)=\dfrac{5\pi}{2}\cos 0=+\dfrac{5\pi}{2}\approx +7{,}854$ et $\theta'(10)=\dfrac{5\pi}{2}\cos\pi\approx -7{,}854$ . On retient $t=4$ , avril, où la dérivée est positive. Au passage, $\theta(4)=7$ , la moyenne annuelle.

Pourquoi

Des deux racines, seule celle où $\theta'>0$ répond à la question posée : l'autre est le mois qui se refroidit le plus vite. Le fait que $\theta(4)$ vaille exactement $k$ n'est pas une coïncidence, c'est la signature du point d'inflexion.

Étape 8

Contrôle : le pic est en $t=7$ et $\dfrac{T}{4}=\dfrac{12}{4}=3$ , or $7-3=4$ . La date trouvée tombe bien un quart de période avant le pic.

Pourquoi

Ce contrôle est indépendant de tout ce qui précède : il attrape aussi bien une erreur sur $\varphi$ qu'une confusion entre $\theta'=0$ et $\theta''=0$ , en cinq secondes et sans refaire le problème.

Conclusion rédigée

« Le modèle s'écrit $\theta(t)=15\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}-\dfrac{2\pi}{3}\right)+7$ , en degrés Celsius. La température monte le plus vite en avril, $t=4$ : $\theta''(4)=0$ et $\theta'(4)=\dfrac{5\pi}{2}\approx 7{,}85$ degré Celsius par mois, soit le réchauffement mensuel le plus rapide de l'année, alors que la température y vaut exactement la moyenne annuelle de 7 degrés. »

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre juillet, parce que c'est le mois le plus chaud. En juillet $\theta'(7)=0$ : le réchauffement y est terminé. La question demandait le maximum de la DÉRIVÉE, pas celui de la fonction.

À savoir par cœur

• $180^{\circ}=\pi$ rad, et on dérive TOUJOURS en radians : en degrés, $(\sin x)'=\dfrac{\pi}{180}\cos x$ .
• $(\sin x)'=\cos x$ , $(\cos x)'=-\sin x$ , $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x\ge 1$ .
• $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ en ZÉRO, et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$ : les deux n'ont aucun rapport.
• Pour $f(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+k$ : $k=\dfrac{\max+\min}{2}$ , $A=\dfrac{\max-\min}{2}$ , $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ , et $\max=k+A$ .
• $f'(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi)$ : l'amplitude du RYTHME vaut $A\omega$ , en unité de $f$ par unité de temps.
• Le pic est là où $f'=0$ ; la croissance maximale est un QUART DE PÉRIODE plus tôt, là où $f''=0$ et où $f$ vaut $k$ .
• $a\sin u+b\cos u=R\sin(u+\varphi)$ avec $R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ : on additionne les CARRÉS, jamais les amplitudes.
• L'identité de Pythagore donne le carré, donc deux signes possibles : c'est le quadrant qui tranche, jamais la calculatrice.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il dériver en radians et jamais en degrés ?

Parce que la table des dérivées repose sur la limite de sinus de x divisé par x quand x tend vers zéro, qui vaut 1 en radians seulement. En degrés cette limite vaut pi sur 180, soit environ 0,01745, et la dérivée du sinus deviendrait 0,01745 fois le cosinus. Ce facteur parasite se propagerait dans chaque règle de chaîne. On règle donc la calculatrice en radians avant le premier calcul.

Comment trouver le mois où une quantité périodique augmente le plus vite ?

On ne cherche pas le maximum de la fonction mais celui de sa dérivée. On dérive une première fois pour obtenir le rythme, une seconde fois, puis on résout la dérivée seconde égale à zéro. Des deux dates trouvées sur une période, on garde celle où la dérivée première est positive : c'est la montée la plus rapide, l'autre est la chute la plus rapide.

Quelle est la différence entre l'amplitude et la valeur maximale d'un modèle sinusoïdal ?

L'amplitude est la demi-différence entre le maximum et le minimum, et elle se mesure depuis l'axe d'oscillation, pas depuis zéro. La valeur maximale vaut l'axe plus l'amplitude. Sur un modèle de ventes d'axe 110 et d'amplitude 30, le maximum vaut 140 milliers de dollars et non 30. Confondre les deux fausse aussi la dérivée, dont l'amplitude est l'amplitude fois la pulsation.

Comment lire les quatre paramètres d'une sinusoïde sur un graphique de données ?

Dans un ordre imposé. La moyenne du maximum et du minimum donne l'axe d'oscillation. Leur demi-différence donne l'amplitude. La durée d'un cycle complet donne la période, dont on tire la pulsation en divisant deux pi par cette durée. Enfin, la position du premier maximum donne le déphasage, en écrivant que l'argument y vaut pi sur deux.

À quoi sert la trigonométrie dans un programme de sciences humaines ?

À modéliser tout ce qui revient : les ventes au détail sur douze mois, l'affluence d'une urgence sur sept jours, la température moyenne, les migrations saisonnières, le rythme circadien. Le sinus n'y est pas un outil de triangle, c'est le seul modèle simple d'un phénomène cyclique, et sa dérivée dit à quel moment la quantité bouge le plus vite.

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Exercices corrigés : Les fonctions trigonométriques et leurs dérivées

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
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