Examen blanc corrigé : calcul différentiel (201-103)

a) La forme est indéterminée, $\dfrac{0}{0}$. On factorise : $2x^{2}-18=2\left(x^{2}-9\right)=2\left(x-3\right)\left(x+3\right)$, donc pour $x\neq 3$ l'expression vaut $2\left(x+3\right)$. La limite vaut $2\times 6=12$.

b) Forme $\dfrac{0}{0}$ encore. On multiplie par le conjugué : $\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\times \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{x-4}{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$. La limite vaut $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}$.

c) Pour la première, les degrés du numérateur et du dénominateur sont égaux : la limite est le rapport des coefficients dominants, $\dfrac{3}{2}$. Pour la seconde, le degré du dénominateur est plus grand : la limite vaut 0. La règle générale se retient en trois cas : degré du haut plus grand, la limite est infinie; degrés égaux, rapport des coefficients dominants; degré du bas plus grand, limite nulle.

d) Il faut $k=\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=12$. La fonction prolongée par $f(3)=12$ est alors continue, et la discontinuité est dite RÉPARABLE : elle ne tenait qu'à un trou ponctuel dans le graphe.

e) Trois conditions : $f(a)$ doit EXISTER; la limite en $a$ doit EXISTER; et les deux doivent être ÉGALES. Avec $k=10$, les deux premières sont satisfaites, $f(3)=10$ et la limite vaut 12, mais la troisième échoue : $f(3)\neq \lim_{x\to 3}f(x)$. Le graphe présente donc un point isolé à 10 alors que la courbe passe par 12.

a) Règle du produit : $f'(x)=6x\left(x-4\right)+\left(3x^{2}+1\right)\left(1\right)=6x^{2}-24x+3x^{2}+1=9x^{2}-24x+1$. Vérification : en développant, $f(x)=3x^{3}-12x^{2}+x-4$, donc $f'(x)=9x^{2}-24x+1$. Les deux méthodes concordent.

b) Règle du quotient : $g'(x)=\dfrac{2\left(x^{2}+1\right)-\left(2x+5\right)\left(2x\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\dfrac{2x^{2}+2-4x^{2}-10x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\dfrac{-2x^{2}-10x+2}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$. On peut mettre $-2$ en facteur : $g'(x)=\dfrac{-2\left(x^{2}+5x-1\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$.

c) Règle de dérivation en chaîne : $h'(x)=5\left(x^{2}-3x\right)^{4}\left(2x-3\right)$. L'erreur classique consiste à oublier le facteur $2x-3$, c'est-à-dire la dérivée de l'intérieur.

d) $f'(2)=9\times 4-48+1=36-48+1=-11$. Et $f(2)=\left(12+1\right)\left(-2\right)=-26$. Tangente : $y=-26-11\left(x-2\right)=-11x-4$.

e) $f$ décroît là où $f'(x)<0$, c'est-à-dire $9x^{2}-24x+1<0$. Racines : $x=\dfrac{24\pm \sqrt{576-36}}{18}=\dfrac{24\pm \sqrt{540}}{18}$, avec $\sqrt{540}\approx 23{,}238$, donc $x_{1}\approx 0{,}0423$ et $x_{2}\approx 2{,}624$. La parabole $9x^{2}-24x+1$ est tournée vers le haut, donc négative ENTRE ses racines : $f$ décroît sur l'intervalle $\left]0{,}042\ ;\ 2{,}624\right[$ et croît ailleurs.

a) $P'(t)=500\times 0{,}04\,e^{0{,}04t}=20\,e^{0{,}04t}$. En $t=10$ : $P'(10)=20\,e^{0{,}4}\approx 20\times 1{,}49182\approx 29{,}84$ habitants par an. La population croît donc d'environ 30 personnes par an à ce moment-là, contre 20 par an au départ : la croissance elle-même s'accélère.

b) Le taux relatif est $\dfrac{P'(t)}{P(t)}=\dfrac{20\,e^{0{,}04t}}{500\,e^{0{,}04t}}=\dfrac{20}{500}=0{,}04$, soit 4 % par an, indépendamment de $t$. C'est la propriété qui définit la croissance exponentielle : la variation ABSOLUE augmente, la variation RELATIVE reste constante.

c) On résout $500\,e^{0{,}04t}=1\,000$, donc $e^{0{,}04t}=2$ et $0{,}04t=\ln 2$, d'où $t=\dfrac{\ln 2}{0{,}04}=\dfrac{0{,}693147}{0{,}04}\approx 17{,}33$ ans. On retrouve la règle de 70 : $\dfrac{70}{4}=17{,}5$ ans, l'écart venant de l'arrondi de $69{,}3$ à 70.

d) $R'(x)=\dfrac{200}{x+1}$. En $x=9$ : $R'(9)=\dfrac{200}{10}=20$. Le millier de dollars suivant rapporterait donc environ 20 milliers de dollars de revenu supplémentaire, contre 200 pour le tout premier millier : le rendement de la dépense s'effondre à mesure qu'on dépense.

e) $R''(x)=-\dfrac{200}{\left(x+1\right)^{2}}<0$ pour tout $x>-1$ : la fonction est CONCAVE partout, ce qui est la traduction mathématique du rendement décroissant. Chaque dollar supplémentaire rapporte moins que le précédent, sans jamais rapporter négativement, puisque $R'>0$. La campagne vaut donc toujours la peine d'être poursuivie du point de vue du revenu brut, mais il faut comparer $R'(x)$ au coût du millier suivant, soit 1, pour savoir jusqu'où aller : ici $\dfrac{200}{x+1}=1$ donne $x=199$ milliers de dollars.

a) $f'(x)=3x^{2}-12x+9=3\left(x^{2}-4x+3\right)=3\left(x-1\right)\left(x-3\right)$. Les points critiques sont donc $x=1$ et $x=3$.

b) $f'$ est une parabole tournée vers le haut, donc positive avant 1, négative entre 1 et 3, positive après 3. La fonction CROÎT sur $\left]-\infty\ ;\ 1\right]$, DÉCROÎT sur $\left[1\ ;\ 3\right]$ et croît sur $\left[3\ ;\ +\infty\right[$. En $x=1$, $f$ passe de croissante à décroissante : MAXIMUM local, avec $f(1)=1-6+9+2=6$. En $x=3$, l'inverse : MINIMUM local, avec $f(3)=27-54+27+2=2$.

c) $f''(x)=6x-12$, qui s'annule en $x=2$ et change de signe : c'est un point d'inflexion, de valeur $f(2)=8-24+18+2=4$. On remarque qu'il se situe exactement à mi-chemin des deux extremums, propriété générale des cubiques.

d) $f''(x)<0$ pour $x<2$ : la fonction est CONCAVE vers le bas sur $\left]-\infty\ ;\ 2\right[$. $f''(x)>0$ pour $x>2$ : elle est CONCAVE vers le haut sur $\left]2\ ;\ +\infty\right[$. Le changement de concavité est visible sur le graphique au voisinage de $x=2$.

e) Sur un intervalle fermé, il faut comparer les valeurs aux points critiques ET aux bornes. $f(0)=2$, $f(1)=6$, $f(3)=2$, $f(4)=64-96+36+2=6$. Le MAXIMUM absolu vaut 6, atteint en $x=1$ ET en $x=4$; le MINIMUM absolu vaut 2, atteint en $x=0$ ET en $x=3$. Oublier les bornes est l'erreur la plus fréquente de ce type de question, et elle aurait ici fait manquer la moitié des réponses.

a) Contrainte de volume : $x^{2}h=48$. Coût : la base mesure $x^{2}$ mètres carrés à 6 dollars, et les quatre parois mesurent chacune $xh$ mètres carrés à 4 dollars, donc $C=6x^{2}+16xh$.

b) De la contrainte, $h=\dfrac{48}{x^{2}}$, donc $C(x)=6x^{2}+16x\times \dfrac{48}{x^{2}}=6x^{2}+\dfrac{768}{x}$, pour $x>0$.

c) $C'(x)=12x-\dfrac{768}{x^{2}}$. On annule : $12x=\dfrac{768}{x^{2}}$, donc $12x^{3}=768$ et $x^{3}=64$, d'où $x=4$ mètres. Vérification : $C''(x)=12+\dfrac{1\,536}{x^{3}}>0$ pour tout $x>0$, la fonction est convexe et le point critique est bien un MINIMUM. Hauteur : $h=\dfrac{48}{16}=3$ mètres.

d) $C(4)=6\times 16+\dfrac{768}{4}=96+192=288$ dollars. La base coûte 96 dollars et les parois 192 dollars, soit exactement le DOUBLE. Ce rapport n'est pas fortuit : à l'optimum d'un coût de la forme $ax^{2}+\dfrac{b}{x}$, le terme en $\dfrac{1}{x}$ vaut toujours deux fois le terme en $x^{2}$, ce que l'on vérifie en annulant la dérivée.

e) Le coût devient $C=6x^{2}+24xh=6x^{2}+\dfrac{1\,152}{x}$, donc $C'(x)=12x-\dfrac{1\,152}{x^{2}}$, nul quand $x^{3}=96$, soit $x=\sqrt[3]{96}\approx 4{,}579$ mètres et $h=\dfrac{48}{20{,}96}\approx 2{,}29$ mètres. Le conteneur devient plus LARGE et plus BAS : quand les parois coûtent plus cher, l'optimum réduit leur surface en aplatissant le conteneur. Le coût minimal passe à environ $6\times 20{,}96+\dfrac{1\,152}{4{,}579}\approx 125{,}8+251{,}6=377{,}4$ dollars.

a) Revenu : $R(q)=\left(90-0{,}25q\right)q=90q-0{,}25q^{2}$. Profit : $P(q)=90q-0{,}25q^{2}-0{,}25q^{2}-18q-1\,250=72q-0{,}5q^{2}-1\,250$. Coût marginal : $C'(q)=0{,}5q+18$. Revenu marginal : $R'(q)=90-0{,}5q$.

b) $P'(q)=72-q$, nul en $q=72$, avec $P''=-1<0$ : maximum. Vérification marginale : $R'(72)=90-36=54$ et $C'(72)=36+18=54$. Les deux coïncident.

c) Prix : $p=90-0{,}25\times 72=90-18=72$ dollars. Profit : $P(72)=72\times 72-0{,}5\times 5\,184-1\,250=5\,184-2\,592-1\,250=1\,342$ dollars. Coût total : $C(72)=0{,}25\times 5\,184+1\,296+1\,250=1\,296+1\,296+1\,250=3\,842$, donc coût moyen $\dfrac{3\,842}{72}\approx 53{,}36$ dollars. Marge unitaire : $72-53{,}36=18{,}64$ dollars, ce qui redonne bien $18{,}64\times 72\approx 1\,342$ dollars.

d) $\overline{C}(q)=0{,}25q+18+\dfrac{1\,250}{q}$, de dérivée $0{,}25-\dfrac{1\,250}{q^{2}}$, nulle quand $q^{2}=5\,000$, soit $q\approx 70{,}71$ unités. Le coût moyen y vaut $0{,}25\times 70{,}71+18+\dfrac{1\,250}{70{,}71}\approx 17{,}68+18+17{,}68=53{,}36$ dollars. La quantité de coût moyen minimal, 70,7, est très proche de celle du profit maximal, 72, mais elle en diffère : les deux optimums ne coïncident pas en général.

e) $C(73)=0{,}25\times 5\,329+18\times 73+1\,250=1\,332{,}25+1\,314+1\,250=3\,896{,}25$. $C(72)=3\,842$. Coût exact de la 73e unité : $3\,896{,}25-3\,842=54{,}25$ dollars, contre 54 dollars annoncés par le coût marginal. L'écart, 25 cents, vaut exactement le coefficient du terme quadratique du coût, 0,25, comme dans tout modèle de coût quadratique.

a) $\dfrac{dq}{dp}=-4$ et, en $p=72$, $q=360-288=72$. Donc $E=-4\times \dfrac{72}{72}=-4$.

b) La valeur absolue vaut 4, très supérieure à 1 : la demande est ÉLASTIQUE au prix optimal, conformément au résultat général selon lequel une entreprise qui maximise son profit se situe toujours en zone élastique. On peut le vérifier par la formule $R'(q)=p\left(1+\dfrac{1}{E}\right)=72\left(1-0{,}25\right)=54$, ce qui redonne bien le revenu marginal calculé plus tôt.

c) L'élasticité vaut $-1$ quand $-4\dfrac{p}{360-4p}=-1$, donc $4p=360-4p$, soit $p=45$ dollars. La quantité vaut alors $360-180=180$ unités et le revenu $45\times 180=8\,100$ dollars, qui est bien le revenu maximal, comme le confirme $R'(q)=90-0{,}5q=0$ en $q=180$.

d) Le revenu est maximal à 45 dollars, le profit à 72 dollars : l'écart est de 27 dollars, soit 60 % de plus. Le prix de profit maximal est TOUJOURS supérieur à celui de revenu maximal dès que le coût marginal est positif, puisque la condition $R'=C'>0$ se réalise avant l'annulation de $R'$. Une entreprise qui vise le chiffre d'affaires vend donc trop, trop bas.

e) À 60 dollars : $q=360-240=120$ unités. Profit : $P(120)=72\times 120-0{,}5\times 14\,400-1\,250=8\,640-7\,200-1\,250=190$ dollars, contre 1 342 dollars à l'optimum. L'entreprise vend 48 unités de plus et perd 1 152 dollars de profit. Le revenu, lui, augmente, de $72\times 72=5\,184$ à $60\times 120=7\,200$ dollars : c'est exactement la situation d'un gestionnaire qui célèbre une hausse du chiffre d'affaires en ruinant sa rentabilité.

a) $\dfrac{dC}{dt}=C'(q)\dfrac{dq}{dt}=\left(0{,}5\times 60+18\right)\times 4=\left(30+18\right)\times 4=48\times 4=192$ dollars par mois.

b) $P'(q)=72-q$. En $q=60$ : $\dfrac{dP}{dt}=\left(72-60\right)\times 4=12\times 4=48$ dollars par mois, le profit croît. En $q=90$ : $\dfrac{dP}{dt}=\left(72-90\right)\times 4=-18\times 4=-72$ dollars par mois, le profit décroît. Le signe de la vitesse suit celui de $P'$, donc la position de $q$ par rapport à 72.

c) Le profit cesse d'augmenter quand $P'(q)=0$, soit $q=72$. Partant de $q=60$ et gagnant 4 unités par mois, il faut $\dfrac{72-60}{4}=3$ mois pour y arriver. Au-delà, chaque mois supplémentaire fait perdre de l'argent, et la bonne décision est de cesser d'augmenter la production.

d) $L=0{,}4P$, donc $\dfrac{dL}{dt}=0{,}4\dfrac{dP}{dt}=0{,}4\times 20\,e^{0{,}04t}$. En $t=10$ : $0{,}4\times 29{,}84\approx 11{,}93$ logements par an. Le facteur constant 0,4 se transporte simplement à la dérivée : c'est le cas le plus simple de dérivation en chaîne, celui d'une composition avec une fonction linéaire.

e) $\overline{C}(q)=0{,}25q+18+\dfrac{1\,250}{q}$, donc $\overline{C}'(q)=0{,}25-\dfrac{1\,250}{q^{2}}$. En $q=60$ : $0{,}25-\dfrac{1\,250}{3\,600}=0{,}25-0{,}347\overline{2}\approx -0{,}0972$. Alors $\dfrac{d\overline{C}}{dt}=-0{,}0972\times 4\approx -0{,}389$ dollar par mois : le coût moyen BAISSE encore, ce qui est cohérent puisque 60 est inférieur à la quantité de coût moyen minimal, 70,7. Il remontera au-delà.

1) FAUX. L'annulation de la dérivée est NÉCESSAIRE mais non suffisante : il faut que $f'$ CHANGE DE SIGNE. La fonction $f(x)=x^{3}$ a $f'(0)=0$ sans extremum, la dérivée restant positive de part et d'autre; le point est un plateau, ou point d'inflexion à tangente horizontale. Énoncé correct : $x=1$ est un point critique; il faut examiner le signe de $f'$ de part et d'autre, ou la dérivée seconde, pour conclure.

2) FAUX. Sur un intervalle FERMÉ, le maximum absolu peut se trouver à une BORNE, où la dérivée ne s'annule pas. Sur la cubique de l'exercice 4, $f(4)=6$ égale le maximum local $f(1)=6$, et $f(0)=2$ égale le minimum local $f(3)=2$ : oublier les bornes aurait fait manquer la moitié des réponses. Énoncé correct : il faut comparer les valeurs aux points critiques ET aux deux bornes.

3) FAUX, il manque la dérivée de l'intérieur. Par la règle de dérivation en chaîne, la dérivée vaut $5\left(x^{2}-3x\right)^{4}\left(2x-3\right)$. Énoncé correct : on dérive l'extérieur en gardant l'intérieur intact, puis on MULTIPLIE par la dérivée de l'intérieur.

4) FAUX. Le revenu est maximal quand $R'(q)=0$, le profit quand $R'(q)=C'(q)$. Comme le coût marginal est positif, la seconde condition se réalise AVANT la première : le prix de profit maximal est plus élevé et la quantité plus faible. Sur l'exemple du chapitre, 72 dollars contre 45 dollars. Énoncé correct : maximiser le revenu conduit toujours à vendre trop, à un prix trop bas, dès que produire coûte quelque chose.

5) FAUX. Par la dérivation en chaîne, $\dfrac{dP}{dt}=P'(q)\dfrac{dq}{dt}$, et $P'(q)=72-q$ change de signe en $q=72$. À $q=90$, la vitesse vaut $-72$ dollars par mois : le profit BAISSE alors que la production monte. Énoncé correct : le profit croît tant que la production reste sous la quantité optimale et décroît au-delà.

a) Le comité utilise le coût MOYEN là où il faut le coût MARGINAL. Le coût moyen de 53 dollars contient une part des 1 250 dollars de coût fixe, déjà payés; il ne dit rien de l'unité suivante. Le coût marginal vaut $C'(72)=54$ dollars et il CROÎT : à 120 unités, il atteint $0{,}5\times 120+18=78$ dollars, soit 45 % de plus.

b) Le comité suppose que les 120 unités se vendront 72 dollars. Or la demande est décroissante : pour écouler 120 unités, il faut ramener le prix à $90-0{,}25\times 120=90-30=60$ dollars, et cette baisse s'applique à TOUTES les unités. Le revenu unitaire chute donc de 12 dollars sur l'ensemble de la production.

c) Profit réel à 120 unités : $P(120)=72\times 120-0{,}5\times 14\,400-1\,250=8\,640-7\,200-1\,250=190$ dollars, contre 1 342 dollars à 72 unités. L'entreprise PERDRAIT donc 1 152 dollars, au lieu de gagner les 912 dollars annoncés : l'écart entre l'annonce et la réalité atteint 2 064 dollars. Le revenu, lui, augmente bien, de 5 184 à 7 200 dollars, ce qui explique l'illusion du comité.

d) En $q=72$, $p=72$ et $E=-4\times \dfrac{72}{72}=-4$. En $q=120$, $p=60$ et $E=-4\times \dfrac{60}{120}=-2$. Les deux sont élastiques, mais la valeur absolue DIMINUE quand le prix baisse : on se rapproche de la zone où le revenu cesse de croître, atteinte à $p=45$. Autrement dit, en baissant le prix, l'entreprise se déplace vers le maximum de revenu et s'éloigne du maximum de profit.

e) « À 72 unités, le revenu marginal et le coût marginal valent tous deux 54 dollars : la production est déjà optimale et le profit atteint 1 342 dollars. Passer à 120 unités exigerait de ramener le prix à 60 dollars, ce qui porterait le revenu à 7 200 dollars mais le coût à 7 010 dollars, pour un profit de 190 dollars seulement, soit 1 152 dollars de moins qu'aujourd'hui. Le raisonnement du comité confond coût moyen et coût marginal, et suppose un prix constant que la demande ne permet pas. Nous recommandons de maintenir la production à 72 unités. » Trois corrections : le marginal remplace le moyen, le prix suit la demande, et la recommandation s'appuie sur la règle $R'=C'$.