Examen blanc corrigé : calcul différentiel (201-103)

La forme est indéterminée, $\dfrac{0}{0}$. On factorise : $2x^{2}-18=2\left(x^{2}-9\right)=2\left(x-3\right)\left(x+3\right)$, donc pour $x\neq 3$ l'expression vaut $2\left(x+3\right)$. La limite vaut $2\times 6=12$.

Forme $\dfrac{0}{0}$ encore. On multiplie par le conjugué : $\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\times \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{x-4}{\left(x-4\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$. La limite vaut $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}$.

Pour la première, les degrés du numérateur et du dénominateur sont égaux : la limite est le rapport des coefficients dominants, $\dfrac{3}{2}$. Pour la seconde, le degré du dénominateur est plus grand : la limite vaut 0. La règle générale se retient en trois cas : degré du haut plus grand, la limite est infinie; degrés égaux, rapport des coefficients dominants; degré du bas plus grand, limite nulle.

Il faut $k=\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=12$. La fonction prolongée par $f(3)=12$ est alors continue, et la discontinuité est dite RÉPARABLE : elle ne tenait qu'à un trou ponctuel dans le graphe.

Trois conditions : $f(a)$ doit EXISTER; la limite en $a$ doit EXISTER; et les deux doivent être ÉGALES. Avec $k=10$, les deux premières sont satisfaites, $f(3)=10$ et la limite vaut 12, mais la troisième échoue : $f(3)\neq \lim_{x\to 3}f(x)$. Le graphe présente donc un point isolé à 10 alors que la courbe passe par 12.

Règle du produit : $f'(x)=6x\left(x-4\right)+\left(3x^{2}+1\right)\left(1\right)=6x^{2}-24x+3x^{2}+1=9x^{2}-24x+1$. Vérification : en développant, $f(x)=3x^{3}-12x^{2}+x-4$, donc $f'(x)=9x^{2}-24x+1$. Les deux méthodes concordent.

Règle du quotient : $g'(x)=\dfrac{2\left(x^{2}+1\right)-\left(2x+5\right)\left(2x\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\dfrac{2x^{2}+2-4x^{2}-10x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\dfrac{-2x^{2}-10x+2}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$. On peut mettre $-2$ en facteur : $g'(x)=\dfrac{-2\left(x^{2}+5x-1\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$.

Règle de dérivation en chaîne : $h'(x)=5\left(x^{2}-3x\right)^{4}\left(2x-3\right)$. L'erreur classique consiste à oublier le facteur $2x-3$, c'est-à-dire la dérivée de l'intérieur.

$f'(2)=9\times 4-48+1=36-48+1=-11$. Et $f(2)=\left(12+1\right)\left(-2\right)=-26$. Tangente : $y=-26-11\left(x-2\right)=-11x-4$.

$f$ décroît là où $f'(x)<0$, c'est-à-dire $9x^{2}-24x+1<0$. Racines : $x=\dfrac{24\pm \sqrt{576-36}}{18}=\dfrac{24\pm \sqrt{540}}{18}$, avec $\sqrt{540}\approx 23{,}238$, donc $x_{1}\approx 0{,}0423$ et $x_{2}\approx 2{,}624$. La parabole $9x^{2}-24x+1$ est tournée vers le haut, donc négative ENTRE ses racines : $f$ décroît sur l'intervalle $\left]0{,}042\ ;\ 2{,}624\right[$ et croît ailleurs.

$P'(t)=500\times 0{,}04\,e^{0{,}04t}=20\,e^{0{,}04t}$. En $t=10$ : $P'(10)=20\,e^{0{,}4}\approx 20\times 1{,}49182\approx 29{,}84$ habitants par an. La population croît donc d'environ 30 personnes par an à ce moment-là, contre 20 par an au départ : la croissance elle-même s'accélère.

Le taux relatif est $\dfrac{P'(t)}{P(t)}=\dfrac{20\,e^{0{,}04t}}{500\,e^{0{,}04t}}=\dfrac{20}{500}=0{,}04$, soit 4 % par an, indépendamment de $t$. C'est la propriété qui définit la croissance exponentielle : la variation ABSOLUE augmente, la variation RELATIVE reste constante.

On résout $500\,e^{0{,}04t}=1\,000$, donc $e^{0{,}04t}=2$ et $0{,}04t=\ln 2$, d'où $t=\dfrac{\ln 2}{0{,}04}=\dfrac{0{,}693147}{0{,}04}\approx 17{,}33$ ans. On retrouve la règle de 70 : $\dfrac{70}{4}=17{,}5$ ans, l'écart venant de l'arrondi de $69{,}3$ à 70.

$R'(x)=\dfrac{200}{x+1}$. En $x=9$ : $R'(9)=\dfrac{200}{10}=20$. Le millier de dollars suivant rapporterait donc environ 20 milliers de dollars de revenu supplémentaire, contre 200 pour le tout premier millier : le rendement de la dépense s'effondre à mesure qu'on dépense.

$R''(x)=-\dfrac{200}{\left(x+1\right)^{2}}<0$ pour tout $x>-1$ : la fonction est CONCAVE partout, ce qui est la traduction mathématique du rendement décroissant. Chaque dollar supplémentaire rapporte moins que le précédent, sans jamais rapporter négativement, puisque $R'>0$. La campagne vaut donc toujours la peine d'être poursuivie du point de vue du revenu brut, mais il faut comparer $R'(x)$ au coût du millier suivant, soit 1, pour savoir jusqu'où aller : ici $\dfrac{200}{x+1}=1$ donne $x=199$ milliers de dollars.

$f'(x)=3x^{2}-12x+9=3\left(x^{2}-4x+3\right)=3\left(x-1\right)\left(x-3\right)$. Les points critiques sont donc $x=1$ et $x=3$.

$f'$ est une parabole tournée vers le haut, donc positive avant 1, négative entre 1 et 3, positive après 3. La fonction CROÎT sur $\left]-\infty\ ;\ 1\right]$, DÉCROÎT sur $\left[1\ ;\ 3\right]$ et croît sur $\left[3\ ;\ +\infty\right[$. En $x=1$, $f$ passe de croissante à décroissante : MAXIMUM local, avec $f(1)=1-6+9+2=6$. En $x=3$, l'inverse : MINIMUM local, avec $f(3)=27-54+27+2=2$.

$f''(x)=6x-12$, qui s'annule en $x=2$ et change de signe : c'est un point d'inflexion, de valeur $f(2)=8-24+18+2=4$. On remarque qu'il se situe exactement à mi-chemin des deux extremums, propriété générale des cubiques.

$f''(x)<0$ pour $x<2$ : la fonction est CONCAVE vers le bas sur $\left]-\infty\ ;\ 2\right[$. $f''(x)>0$ pour $x>2$ : elle est CONCAVE vers le haut sur $\left]2\ ;\ +\infty\right[$. Le changement de concavité est visible sur le graphique au voisinage de $x=2$.

Sur un intervalle fermé, il faut comparer les valeurs aux points critiques ET aux bornes. $f(0)=2$, $f(1)=6$, $f(3)=2$, $f(4)=64-96+36+2=6$. Le MAXIMUM absolu vaut 6, atteint en $x=1$ ET en $x=4$; le MINIMUM absolu vaut 2, atteint en $x=0$ ET en $x=3$. Oublier les bornes est l'erreur la plus fréquente de ce type de question, et elle aurait ici fait manquer la moitié des réponses.

Contrainte de volume : $x^{2}h=48$. Coût : la base mesure $x^{2}$ mètres carrés à 6 dollars, et les quatre parois mesurent chacune $xh$ mètres carrés à 4 dollars, donc $C=6x^{2}+16xh$.

De la contrainte, $h=\dfrac{48}{x^{2}}$, donc $C(x)=6x^{2}+16x\times \dfrac{48}{x^{2}}=6x^{2}+\dfrac{768}{x}$, pour $x>0$.

$C'(x)=12x-\dfrac{768}{x^{2}}$. On annule : $12x=\dfrac{768}{x^{2}}$, donc $12x^{3}=768$ et $x^{3}=64$, d'où $x=4$ mètres. Vérification : $C''(x)=12+\dfrac{1\,536}{x^{3}}>0$ pour tout $x>0$, la fonction est convexe et le point critique est bien un MINIMUM. Hauteur : $h=\dfrac{48}{16}=3$ mètres.

$C(4)=6\times 16+\dfrac{768}{4}=96+192=288$ dollars. La base coûte 96 dollars et les parois 192 dollars, soit exactement le DOUBLE. Ce rapport n'est pas fortuit : à l'optimum d'un coût de la forme $ax^{2}+\dfrac{b}{x}$, le terme en $\dfrac{1}{x}$ vaut toujours deux fois le terme en $x^{2}$, ce que l'on vérifie en annulant la dérivée.

Le coût devient $C=6x^{2}+24xh=6x^{2}+\dfrac{1\,152}{x}$, donc $C'(x)=12x-\dfrac{1\,152}{x^{2}}$, nul quand $x^{3}=96$, soit $x=\sqrt[3]{96}\approx 4{,}579$ mètres et $h=\dfrac{48}{20{,}96}\approx 2{,}29$ mètres. Le conteneur devient plus LARGE et plus BAS : quand les parois coûtent plus cher, l'optimum réduit leur surface en aplatissant le conteneur. Le coût minimal passe à environ $6\times 20{,}96+\dfrac{1\,152}{4{,}579}\approx 125{,}8+251{,}6=377{,}4$ dollars.

Revenu : $R(q)=\left(90-0{,}25q\right)q=90q-0{,}25q^{2}$. Profit : $P(q)=90q-0{,}25q^{2}-0{,}25q^{2}-18q-1\,250=72q-0{,}5q^{2}-1\,250$. Coût marginal : $C'(q)=0{,}5q+18$. Revenu marginal : $R'(q)=90-0{,}5q$.

$P'(q)=72-q$, nul en $q=72$, avec $P''=-1<0$ : maximum. Vérification marginale : $R'(72)=90-36=54$ et $C'(72)=36+18=54$. Les deux coïncident.

Prix : $p=90-0{,}25\times 72=90-18=72$ dollars. Profit : $P(72)=72\times 72-0{,}5\times 5\,184-1\,250=5\,184-2\,592-1\,250=1\,342$ dollars. Coût total : $C(72)=0{,}25\times 5\,184+1\,296+1\,250=1\,296+1\,296+1\,250=3\,842$, donc coût moyen $\dfrac{3\,842}{72}\approx 53{,}36$ dollars. Marge unitaire : $72-53{,}36=18{,}64$ dollars, ce qui redonne bien $18{,}64\times 72\approx 1\,342$ dollars.

$\overline{C}(q)=0{,}25q+18+\dfrac{1\,250}{q}$, de dérivée $0{,}25-\dfrac{1\,250}{q^{2}}$, nulle quand $q^{2}=5\,000$, soit $q\approx 70{,}71$ unités. Le coût moyen y vaut $0{,}25\times 70{,}71+18+\dfrac{1\,250}{70{,}71}\approx 17{,}68+18+17{,}68=53{,}36$ dollars. La quantité de coût moyen minimal, 70,7, est très proche de celle du profit maximal, 72, mais elle en diffère : les deux optimums ne coïncident pas en général.

$C(73)=0{,}25\times 5\,329+18\times 73+1\,250=1\,332{,}25+1\,314+1\,250=3\,896{,}25$. $C(72)=3\,842$. Coût exact de la 73e unité : $3\,896{,}25-3\,842=54{,}25$ dollars, contre 54 dollars annoncés par le coût marginal. L'écart, 25 cents, vaut exactement le coefficient du terme quadratique du coût, 0,25, comme dans tout modèle de coût quadratique.

$\dfrac{dq}{dp}=-4$ et, en $p=72$, $q=360-288=72$. Donc $E=-4\times \dfrac{72}{72}=-4$.

La valeur absolue vaut 4, très supérieure à 1 : la demande est ÉLASTIQUE au prix optimal, conformément au résultat général selon lequel une entreprise qui maximise son profit se situe toujours en zone élastique. On peut le vérifier par la formule $R'(q)=p\left(1+\dfrac{1}{E}\right)=72\left(1-0{,}25\right)=54$, ce qui redonne bien le revenu marginal calculé plus tôt.

L'élasticité vaut $-1$ quand $-4\dfrac{p}{360-4p}=-1$, donc $4p=360-4p$, soit $p=45$ dollars. La quantité vaut alors $360-180=180$ unités et le revenu $45\times 180=8\,100$ dollars, qui est bien le revenu maximal, comme le confirme $R'(q)=90-0{,}5q=0$ en $q=180$.

Le revenu est maximal à 45 dollars, le profit à 72 dollars : l'écart est de 27 dollars, soit 60 % de plus. Le prix de profit maximal est TOUJOURS supérieur à celui de revenu maximal dès que le coût marginal est positif, puisque la condition $R'=C'>0$ se réalise avant l'annulation de $R'$. Une entreprise qui vise le chiffre d'affaires vend donc trop, trop bas.

À 60 dollars : $q=360-240=120$ unités. Profit : $P(120)=72\times 120-0{,}5\times 14\,400-1\,250=8\,640-7\,200-1\,250=190$ dollars, contre 1 342 dollars à l'optimum. L'entreprise vend 48 unités de plus et perd 1 152 dollars de profit. Le revenu, lui, augmente, de $72\times 72=5\,184$ à $60\times 120=7\,200$ dollars : c'est exactement la situation d'un gestionnaire qui célèbre une hausse du chiffre d'affaires en ruinant sa rentabilité.

$\dfrac{dC}{dt}=C'(q)\dfrac{dq}{dt}=\left(0{,}5\times 60+18\right)\times 4=\left(30+18\right)\times 4=48\times 4=192$ dollars par mois.

$P'(q)=72-q$. En $q=60$ : $\dfrac{dP}{dt}=\left(72-60\right)\times 4=12\times 4=48$ dollars par mois, le profit croît. En $q=90$ : $\dfrac{dP}{dt}=\left(72-90\right)\times 4=-18\times 4=-72$ dollars par mois, le profit décroît. Le signe de la vitesse suit celui de $P'$, donc la position de $q$ par rapport à 72.

Le profit cesse d'augmenter quand $P'(q)=0$, soit $q=72$. Partant de $q=60$ et gagnant 4 unités par mois, il faut $\dfrac{72-60}{4}=3$ mois pour y arriver. Au-delà, chaque mois supplémentaire fait perdre de l'argent, et la bonne décision est de cesser d'augmenter la production.

$L=0{,}4P$, donc $\dfrac{dL}{dt}=0{,}4\dfrac{dP}{dt}=0{,}4\times 20\,e^{0{,}04t}$. En $t=10$ : $0{,}4\times 29{,}84\approx 11{,}93$ logements par an. Le facteur constant 0,4 se transporte simplement à la dérivée : c'est le cas le plus simple de dérivation en chaîne, celui d'une composition avec une fonction linéaire.

$\overline{C}(q)=0{,}25q+18+\dfrac{1\,250}{q}$, donc $\overline{C}'(q)=0{,}25-\dfrac{1\,250}{q^{2}}$. En $q=60$ : $0{,}25-\dfrac{1\,250}{3\,600}=0{,}25-0{,}347\overline{2}\approx -0{,}0972$. Alors $\dfrac{d\overline{C}}{dt}=-0{,}0972\times 4\approx -0{,}389$ dollar par mois : le coût moyen BAISSE encore, ce qui est cohérent puisque 60 est inférieur à la quantité de coût moyen minimal, 70,7. Il remontera au-delà.