Exercices corrigés : résolution de problème et exploitation de documents

Le trajet est toujours le même : de la quantité de matière on passe à la masse par la masse molaire, puis de la masse au volume par la masse volumique. Masse : $m=n\times M=2{,}00\times 46{,}0=92{,}0$ g. Volume : $V=\frac{m}{\rho}=\frac{92{,}0}{0{,}789}\approx 116{,}6$ mL. Avec trois chiffres significatifs, imposés par les données : $V\approx 117$ mL. Le contrôle des unités confirme le sens de chaque opération : $\mathrm{mol}\times\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ donne des grammes, puis $\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{g\cdot mL^{-1}}}$ donne des millilitres.

Trois lignes sur quatre n'ont servi à rien, celles du méthanol, du propan-1-ol et de l'eau, ainsi que la colonne entière des températures d'ébullition. Sur les douze valeurs numériques du tableau, DEUX ont été utilisées. Ce n'est pas un défaut de l'énoncé mais son intention : un document d'examen simule un tableau de données réel, et savoir ignorer dix informations sur douze fait partie de l'exercice. L'erreur symétrique existe aussi et coûte plus cher, celle de l'élève qui, voyant une température d'ébullition, se croit obligé de l'utiliser.

On parcourt le même chemin en sens inverse, avec la ligne du méthanol cette fois. Masse contenue dans ce volume : $m=\rho\times V=0{,}792\times 116{,}6\approx 92{,}4$ g. Quantité de matière : $n=\frac{m}{M}=\frac{92{,}4}{32{,}0}\approx 2{,}89$ mol. On conserve le volume non arrondi de a), soit $116{,}6$ mL et non $117$ mL, conformément à la règle qui interdit d'arrondir un résultat intermédiaire.

Parce que les deux liquides ont presque la même masse volumique, $0{,}792$ contre $0{,}789$, donc un même volume pèse pratiquement autant dans les deux cas, environ $92$ g. Mais la molécule de méthanol est BEAUCOUP plus légère, $32{,}0$ contre $46{,}0$ g/mol : la même masse contient donc davantage de molécules.

Non, $P$ en fonction de $V$ n'est pas une droite : quand $V$ double, $P$ est divisée par deux au lieu de diminuer d'une constante. C'est une hyperbole, caractéristique d'une proportionnalité INVERSE. Pour obtenir une droite, il faut tracer $P$ en fonction de $\frac{1}{V}$. C'est ce qu'on appelle une LINÉARISATION, et l'idée générale est de choisir comme abscisse la quantité qui rend la relation affine. La loi des gaz parfaits s'écrit $PV=nRT$, donc $P=nRT\times\frac{1}{V}$ : à température constante, $P$ est bien proportionnelle à $\frac{1}{V}$.

Les inverses valent $\frac{1}{0{,}50}=2{,}00$ ; $\frac{1}{1{,}00}=1{,}00$ ; $\frac{1}{2{,}00}=0{,}50$ ; $\frac{1}{4{,}00}=0{,}25$, en $\mathrm{L^{-1}}$. En regard des pressions $2{,}00$ ; $1{,}00$ ; $0{,}50$ ; $0{,}25$ bar, on constate que chaque pression est égale à l'inverse du volume, à l'unité près. Les quatre points sont donc parfaitement alignés sur une droite passant par l'ORIGINE, ce qui est la signature d'une proportionnalité et non d'une simple relation affine.

Le coefficient directeur se calcule avec deux points bien choisis, de préférence éloignés pour limiter l'erreur de lecture : entre $\left(0{,}25\ ;0{,}25\right)$ et $\left(2{,}00\ ;2{,}00\right)$, la pente vaut $\frac{2{,}00-0{,}25}{2{,}00-0{,}25}=1{,}00$. Comme la droite passe par l'origine, on peut aussi la lire directement sur n'importe quel point : $\frac{1{,}00}{1{,}00}=1{,}00$. L'unité s'obtient en divisant celle de l'ordonnée par celle de l'abscisse : des bars divisés par des $\mathrm{L^{-1}}$, soit des $\mathrm{L\cdot bar}$. Le coefficient directeur vaut donc $1{,}00\ \mathrm{L\cdot bar}$.

Par identification avec $P=\left(nRT\right)\times\frac{1}{V}$, le coefficient directeur EST le produit $nRT$. On isole : $n=\frac{\text{pente}}{RT}=\frac{1{,}00}{8{,}314\times 10^{-2}\times 293}$. Le dénominateur vaut $8{,}314\times 10^{-2}\times 293\approx 24{,}36$, donc $n\approx 0{,}0410$ mol, soit environ $41$ mmol. Contrôle d'homogénéité, indispensable ici : $\frac{\mathrm{L\cdot bar}}{\mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\times\mathrm{K}}=\mathrm{mol}$ ✓. Contrôle de plausibilité : à la pression atmosphérique, une mole de gaz occupe environ $24$ L à cette température, donc $0{,}041$ mol occupe environ $1$ L, ce qui correspond bien au deuxième point du tableau ✓.

La quantité de matière vient de d) : $n\approx 0{,}0410$ mol. La masse molaire du gaz vaut $M=\dfrac{m}{n}=\dfrac{1{,}31}{0{,}0410}\approx 31{,}9$ g/mol.

C'est la valeur du dioxygène, $32{,}0$ g/mol, à $0{,}3\ \%$ près ; pour la même quantité de matière, le diazote pèserait $1{,}15$ g et le dioxyde de carbone $1{,}81$ g.

Le gaz est donc du dioxygène. Ce croisement entre la pente d'un graphique et une donnée extérieure est typique d'un exercice de documents : aucune des deux ne suffit seule.

Piège : diviser $n$ par $m$. Une masse molaire est en grammes PAR mole : $M=\dfrac{m}{n}$.

Pour $V=0{,}80$ L, l'abscisse vaut $\dfrac{1}{V}=\dfrac{1}{0{,}80}=1{,}25$ L$^{-1}$, dans le domaine des mesures, entre $1{,}00$ et $2{,}00$ L$^{-1}$.

La droite de c) donne $P=1{,}00\times 1{,}25=1{,}25$ bar : c'est une INTERPOLATION, donc une prévision fiable.

Contrôle par la loi : $PV=1{,}25\times 0{,}80=1{,}00$ L·bar, le même produit que pour tous les points du tableau ✓.

Piège : interpoler sur la courbe $P(V)$ entre $0{,}50$ et $1{,}00$ L comme si elle était droite. On trouverait $1{,}00+\dfrac{0{,}20}{0{,}50}\times 1{,}00=1{,}40$ bar, faux de $12\ \%$ : la linéarisation sert justement à interpoler juste.

À volume et quantité de matière fixés, $P=\dfrac{nR}{V}\,T$ : la pression est proportionnelle à la température ABSOLUE.

$T_{1}=293$ K et $T_{2}=80+273=353$ K, donc $P_{2}=P_{1}\times\dfrac{T_{2}}{T_{1}}=1{,}00\times\dfrac{353}{293}\approx 1{,}20$ bar.

Contrôle par la loi complète : $P_{2}=\dfrac{nRT_{2}}{V}=\dfrac{0{,}0410\times 8{,}314\times 10^{-2}\times 353}{1{,}00}\approx 1{,}20$ bar ✓.

Piège : faire le rapport des températures en degrés Celsius, $\dfrac{80}{20}=4$, et annoncer $4{,}00$ bar. La loi des gaz parfaits ne s'écrit qu'en kelvins.

Le modèle du gaz parfait suppose des molécules assez éloignées pour que leurs interactions et leur volume propre soient négligeables : il vaut aux pressions modérées, loin de la liquéfaction.

Ici la pression reste entre $0{,}25$ et $2{,}00$ bar, à température ambiante : le modèle est adapté, et l'alignement parfait de b) le confirme.

Il cesserait de l'être à forte pression, par exemple dans une bouteille de plongée à $200$ bar, ou près de la liquéfaction du gaz.

Le graphique le révélerait : les points s'écarteraient de la droite $P$ en fonction de $\dfrac{1}{V}$, le produit $PV$ cessant d'être constant. Le graphique linéarisé est donc aussi un TEST du modèle.

On compte les liaisons dans les RÉACTIFS, en tenant compte des coefficients stœchiométriques. Une molécule de méthane $\mathrm{CH_{4}}$ contient $4$ liaisons $\mathrm{C-H}$, et il y en a une seule : cela fait $4$ liaisons $\mathrm{C-H}$. Le dioxygène $\mathrm{O_{2}}$ contient une double liaison $\mathrm{O=O}$, et le coefficient est $2$ : cela fait $2$ liaisons $\mathrm{O=O}$. Énergie à fournir : $4\times 413+2\times 498=1652+996=2648$ kJ/mol. Rompre une liaison COÛTE toujours de l'énergie, donc ce terme est positif.

On compte de même dans les PRODUITS. Le dioxyde de carbone $\mathrm{O=C=O}$ contient $2$ liaisons $\mathrm{C=O}$, et il y en a une molécule : $2$ liaisons. Chaque molécule d'eau $\mathrm{H-O-H}$ contient $2$ liaisons $\mathrm{O-H}$, et le coefficient est $2$ : cela fait $4$ liaisons $\mathrm{O-H}$. Énergie libérée : $2\times 804+4\times 463=1608+1852=3460$ kJ/mol. Former une liaison LIBÈRE de l'énergie. L'erreur la plus fréquente est ici d'oublier que $\mathrm{CO_{2}}$ compte deux doubles liaisons et non une.

L'énergie de réaction est la différence entre ce qu'on fournit et ce qu'on récupère : $\Delta_{r}E=2648-3460=-812$ kJ/mol. Le résultat est NÉGATIF, donc le système cède de l'énergie au milieu extérieur : la combustion est EXOTHERMIQUE. C'est évidemment cohérent avec l'usage du méthane comme combustible de chauffage, et ce contrôle qualitatif doit précéder toute vérification numérique. Retenez le sens de la soustraction : liaisons rompues moins liaisons formées, dans cet ordre. Le diagramme du corrigé empile les deux termes : la descente vers les produits est plus longue que la montée vers les atomes séparés, et c'est exactement ce que veut dire exothermique.

Écart relatif : $\frac{|-812-(-802)|}{802}=\frac{10}{802}\approx 0{,}012$, soit environ $1{,}2$ pour cent. C'est un très bon accord pour cette méthode. L'écart n'est pas dû à une erreur de calcul mais à la méthode elle-même : les énergies de liaison tabulées sont des valeurs MOYENNES, établies sur de nombreuses molécules différentes, alors que l'énergie réelle d'une liaison $\mathrm{C-H}$ dépend un peu de son environnement dans la molécule.

$M(\mathrm{CH_{4}})=12{,}0+4\times 1{,}0=16{,}0$ g/mol, donc un kilogramme contient $n=\dfrac{1\,000}{16{,}0}=62{,}5$ mol.

Énergie libérée : $62{,}5\times 802\approx 5{,}01\times 10^{4}$ kJ, soit environ $50{,}1$ MJ par kilogramme.

C'est l'ordre de grandeur du pouvoir calorifique du gaz naturel, environ $50$ MJ/kg, plus que l'essence ou le bois ✓.

Piège : multiplier $802$ kJ/mol par la masse en grammes. L'énergie de réaction est PAR MOLE : on passe d'abord par la quantité de matière.

Énergie annuelle : $12\,000\times 3{,}6\times 10^{6}=4{,}32\times 10^{10}$ J, soit $4{,}32\times 10^{7}$ kJ.

Quantité de méthane : $n=\dfrac{4{,}32\times 10^{7}}{802}\approx 5{,}39\times 10^{4}$ mol.

Masse : $m=n\,M=5{,}39\times 10^{4}\times 16{,}0\approx 8{,}62\times 10^{5}$ g, soit environ $862$ kg par an.

Contrôle par e) : $\dfrac{4{,}32\times 10^{4}\ \mathrm{MJ}}{50{,}1\ \mathrm{MJ/kg}}\approx 862$ kg ✓.

Piège : oublier de convertir les kilowattheures. $\dfrac{12\,000}{802}$ n'a aucun sens : les deux énergies doivent être dans la même unité.

D'après l'équation, une mole de méthane brûlée donne une mole de $\mathrm{CO_{2}}$ : $n(\mathrm{CO_{2}})=n(\mathrm{CH_{4}})\approx 5{,}39\times 10^{4}$ mol.

$M(\mathrm{CO_{2}})=12{,}0+2\times 16{,}0=44{,}0$ g/mol, donc $m(\mathrm{CO_{2}})=5{,}39\times 10^{4}\times 44{,}0\approx 2{,}37\times 10^{6}$ g, soit $2{,}37$ tonnes par an.

Par kilowattheure : $\dfrac{2{,}37\times 10^{6}}{12\,000}\approx 198$ g de $\mathrm{CO_{2}}$.

En masse, on rejette $\dfrac{44{,}0}{16{,}0}=2{,}75$ fois plus de $\mathrm{CO_{2}}$ qu'on ne brûle de méthane : chaque atome de carbone emporte deux atomes d'oxygène pris à l'air.

Piège : penser que la masse de $\mathrm{CO_{2}}$ ne peut pas dépasser celle du combustible. Le dioxygène consommé compte aussi dans le bilan de masse.

Pour $1$ kWh, soit $3\,600$ kJ : $n(\mathrm{C_{3}H_{8}})=\dfrac{3\,600}{2\,043}\approx 1{,}76$ mol, qui donnent $3\times 1{,}76\approx 5{,}29$ mol de $\mathrm{CO_{2}}$.

Masse : $5{,}29\times 44{,}0\approx 233$ g de $\mathrm{CO_{2}}$ par kilowattheure.

Pour le méthane, le même calcul donne $\dfrac{3\,600}{802}\times 44{,}0\approx 198$ g : le méthane rejette environ $15\ \%$ de $\mathrm{CO_{2}}$ de moins par kilowattheure.

Explication : par mole de $\mathrm{CO_{2}}$ formée, le méthane libère $802$ kJ et le propane $\dfrac{2\,043}{3}=681$ kJ. Avec quatre hydrogènes pour un seul carbone, le méthane tire une plus grande part de son énergie de la formation de l'eau, qui ne rejette pas de $\mathrm{CO_{2}}$.

Piège : comparer les énergies de réaction molaires, $802$ contre $2\,043$ kJ/mol, et conclure que le propane est « meilleur ». Il faut ramener les rejets à la même énergie utile.

Nécessaires : le volume d'eau $1{,}5$ L, dont on tirera la masse, la température initiale $20$ °C, la puissance $2{,}0$ kW, le rendement $80$ pour cent, et la capacité thermique $4{,}18\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$. Non nécessaires : la masse de la casserole, $800$ g, et le fait qu'elle soit en inox. Ces deux informations ne peuvent servir qu'à condition de connaître la capacité thermique de l'inox, qui n'est pas fournie, et l'énoncé ne demande d'ailleurs de chauffer que l'EAU.

Il manque la MASSE VOLUMIQUE DE L'EAU, sans laquelle on ne peut pas convertir le volume en masse. Elle ne figure pas dans l'énoncé parce qu'elle fait partie des valeurs qu'un candidat doit connaître : $\rho=1{,}0\ \mathrm{kg\cdot L^{-1}}$, soit $1000\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$. On en déduit $m=1{,}5$ kg. Il manque aussi, plus discrètement, la température d'ébullition de l'eau sous pression atmosphérique, $100$ °C, qui relève du même savoir implicite. Un document d'examen ne redonne jamais ces valeurs-là, et la liste en est courte : masse volumique de l'eau, température de fusion et d'ébullition de l'eau, valeur de $g$, composition de l'air.

Énergie à fournir à l'eau : $Q=m\,c\,\Delta\theta=1{,}5\times 4{,}18\times(100-20)=1{,}5\times 4{,}18\times 80=501{,}6$ kJ. C'est l'énergie UTILE. Comme le rendement est de $80$ pour cent, l'énergie que la plaque doit consommer est plus grande : $E=\frac{Q}{0{,}80}=\frac{501{,}6}{0{,}80}=627$ kJ. Durée : $t=\frac{E}{P}=\frac{627\times 10^{3}}{2{,}0\times 10^{3}}\approx 313$ s, soit environ $5$ minutes et $13$ secondes. Attention au sens du rendement : on DIVISE par $0{,}80$, ce qui augmente l'énergie nécessaire. Multiplier donnerait $401$ kJ et une durée trop courte, et le contrôle de bon sens est qu'une plaque imparfaite met plus de temps, jamais moins.

Parce que les documents d'examen imitent des situations réelles, où l'information n'arrive jamais triée. Trois raisons se combinent. La première est de tester le tri : reconnaître qu'une donnée est inutile est une compétence évaluée au même titre que le calcul. La deuxième est que la donnée POURRAIT servir dans une variante de la question, par exemple si l'on demandait l'énergie totale en tenant compte du chauffage de la casserole, ce qui exigerait la capacité thermique de l'inox. La troisième est qu'un candidat qui utilise à tout prix chaque nombre fourni produit un calcul faux, et c'est précisément le réflexe que l'exercice cherche à casser.

La longueur est écrite avec SIX chiffres significatifs, $0{,}847\,362$ m, ce qui annonce une mesure au MICROMÈTRE près. Aucun instrument de travaux pratiques ne permet cela : un mètre ruban donne le millimètre, soit $0{,}847$ m avec trois chiffres significatifs. L'élève a manifestement recopié l'affichage d'une calculatrice après une conversion, ou inventé des chiffres. C'est une faute de fond et non de présentation : elle revendique une précision que le matériel ne possède pas.

Le calcul lui-même est juste : $\frac{4\pi^{2}\times 0{,}847}{1{,}84^{2}}=\frac{33{,}44}{3{,}386}\approx 9{,}88$ m/s$^{2}$. Le problème est le nombre de chiffres du résultat. La donnée la moins précise, la période, en compte trois, donc le résultat en compte trois au maximum, ce qui est ici respecté. En revanche il aurait fallu écrire $T=\frac{36{,}8}{20}=1{,}84$ s en conservant les trois chiffres de la mesure, ce que l'élève a fait correctement. La véritable faute est ailleurs : le résultat est annoncé SANS INCERTITUDE et sans comparaison à la valeur de référence $9{,}81$ m/s$^{2}$. Un compte rendu qui donne un $g$ mesuré doit conclure sur la compatibilité, sans quoi la mesure ne prouve rien.

Une vitesse de $15$ m/s vaut bien $54$ km/h, la conversion est exacte. Mais c'est ABSURDE pour un chariot de laboratoire lancé sur une table de deux mètres : à cette vitesse il la traverserait en $0{,}13$ s. Une valeur plausible serait de l'ordre de quelques dizaines de centimètres par seconde. L'erreur est donc un défaut de VRAISEMBLANCE, probablement une confusion d'unité en amont, peut-être $15$ cm/s lus comme $15$ m/s. C'est le type d'erreur que le calcul ne détecte jamais, puisque l'arithmétique est correcte de bout en bout.

La démarche tient en trois questions, toutes posables en dix secondes et sans calculatrice. Première question : la PRÉCISION affichée est-elle compatible avec l'instrument ? Six chiffres pour une longueur mesurée à la règle, non. Deuxième question : le résultat est-il accompagné de son incertitude et comparé à une référence quand elle existe ? Non. Troisième question : l'ORDRE DE GRANDEUR est-il vraisemblable dans le contexte concret ? Un chariot à $54$ km/h sur une paillasse, non.

Un panneau intercepte l'ensoleillement sur sa surface, puis n'en convertit qu'une fraction. Énergie interceptée : $1{,}7\times 1300=2210$ kWh par an. Énergie électrique produite : $2210\times 0{,}20=442$ kWh par an. Le rendement s'applique en MULTIPLIANT, puisqu'il ne récupère qu'une partie de ce qui arrive ; c'est l'inverse de l'exercice 4, où le rendement d'un appareil consommateur imposait de diviser. Le contrôle est toujours le même : le résultat va-t-il dans le sens du bon sens, ici moins d'énergie produite que reçue ✓.

Nombre nécessaire : $\frac{4500}{442}\approx 10{,}2$. On ne pose pas un dixième de panneau, et arrondir à $10$ laisserait la consommation non couverte : il faut donc $11$ panneaux. Surface occupée : $11\times 1{,}7=18{,}7$ m$^{2}$. L'arrondi à l'ENTIER SUPÉRIEUR est imposé par le contexte et fait partie de la réponse ; c'est le même raisonnement que pour un nombre de tabourets ou de lancers.

Oui, c'est possible sur le papier : $18{,}7$ m$^{2}$ de panneaux tiennent sur les $25$ m$^{2}$ disponibles, avec une marge d'environ $6$ m$^{2}$, soit trois panneaux supplémentaires. La réponse à la question posée doit être formulée explicitement, en revenant à la question d'origine plutôt qu'en s'arrêtant au dernier nombre calculé. C'est un point de barème constant en résolution de problème : la conclusion doit être une PHRASE qui répond, pas un résultat souligné.

Deux limites suffisent, mais elles doivent être physiques et non vagues. La première est la SAISONNALITÉ : le bilan est annuel, or sous un climat continental l'ensoleillement de décembre est très inférieur à celui de juin, tandis que la consommation d'un foyer est plus forte en hiver. Couvrir la consommation sur l'année ne signifie donc pas la couvrir chaque mois, et il faudrait soit un raccordement au réseau, soit un stockage considérable.

En décembre, un panneau produit $1{,}7\times 40\times 0{,}20=13{,}6$ kWh, et les $11$ panneaux $11\times 13{,}6=149{,}6$ kWh.

Part couverte : $\dfrac{149{,}6}{520}\approx 0{,}29$, moins de $30\ \%$ de la consommation du mois.

En juin : $11\times 1{,}7\times 180\times 0{,}20=673{,}2$ kWh produits pour $290$ kWh consommés, un excédent d'environ $383$ kWh.

Le bilan annuel équilibré de c) cache donc un déficit d'hiver et un excédent d'été : c'est la saisonnalité de d), cette fois chiffrée.

Piège : diviser la production annuelle par douze, $\dfrac{11\times 442}{12}\approx 405$ kWh par mois. Cette moyenne masque un rapport de $4{,}5$ entre l'ensoleillement de juin et celui de décembre.

Nombre nécessaire : $\dfrac{520}{13{,}6}\approx 38{,}2$, donc $39$ panneaux, à l'entier supérieur comme en b).

Surface : $39\times 1{,}7=66{,}3$ m$^{2}$, bien plus que les $25$ m$^{2}$ du toit, qui accueillent au plus $\dfrac{25}{1{,}7}\approx 14{,}7$, soit $14$ panneaux.

Même avec $14$ panneaux, décembre ne serait couvert qu'à $\dfrac{14\times 13{,}6}{520}\approx 37\ \%$ : le toit ne peut pas couvrir l'hiver.

Conclusion : le foyer peut équilibrer son bilan ANNUEL, pas devenir autonome. Il lui faut le réseau, qui absorbe l'excédent d'été et fournit le déficit d'hiver, ou un stockage saisonnier hors de portée d'une maison.

Piège : relire la réponse de c) comme une promesse d'autonomie. La question portait sur la consommation annuelle, et c) reste juste ; c'est l'autonomie qui est impossible.

Incertitudes relatives : $\dfrac{u(G)}{G}=0{,}05$ et $\dfrac{u(\eta)}{\eta}=\dfrac{0{,}01}{0{,}20}=0{,}05$.

$\dfrac{u(E)}{E}=\sqrt{0{,}05^{2}+0{,}05^{2}}=0{,}05\sqrt{2}\approx 0{,}071$, soit $7{,}1\ \%$.

Pour $11$ panneaux : $E=11\times 442=4\,862$ kWh et $u(E)=0{,}0707\times 4\,862\approx 344$ kWh.

La marge sur la consommation vaut $4\,862-4\,500=362$ kWh, à peine $\dfrac{362}{344}\approx 1{,}05$ incertitude-type : une année un peu moins ensoleillée, ou des panneaux un peu moins bons, suffisent à ne plus couvrir la consommation.

Avec $12$ panneaux : $E=5\,304$ kWh, $u(E)\approx 375$ kWh, marge $804$ kWh, soit $\dfrac{804}{375}\approx 2{,}1$ incertitudes-types : le critère est atteint. Ils occupent $12\times 1{,}7=20{,}4$ m$^{2}$, qui tiennent sur les $25$ m$^{2}$.

Piège : croire qu'un rendement connu « à un point près » est une petite incertitude. Un point sur $20$, c'est $5\ \%$ en relatif, autant que l'ensoleillement.

$n=\frac{m}{M}=\frac{3{,}0}{55{,}8}\approx 0{,}0538$ mol, soit environ $54$ mmol. Deux chiffres significatifs sont imposés par la masse $3{,}0$ g, la moins précise des deux données. Contrôle de plausibilité immédiat : $3$ g est bien plus petit que les $55{,}8$ g d'une mole, donc la quantité doit être nettement inférieure à $1$ mol ✓.

$N=n\times N_{A}=0{,}0538\times 6{,}02\times 10^{23}\approx 3{,}2\times 10^{22}$ atomes. On conserve la valeur non arrondie de a) pour ce calcul, et l'on n'arrondit qu'ici, à deux chiffres significatifs. La notation scientifique n'est pas un choix de présentation mais une nécessité : écrire ce nombre en toutes lettres demanderait vingt-trois chiffres et serait illisible.

La mantisse $3{,}2$ est légèrement supérieure à $\sqrt{10}\approx 3{,}16$, donc l'ordre de grandeur est $10^{23}$ et non $10^{22}$. C'est un cas limite, tout près de la frontière, et il illustre bien pourquoi la règle de comparaison à $\sqrt{10}$ existe : à l'œil, on aurait spontanément répondu $10^{22}$.

À raison d'un atome par seconde, il faudrait $3{,}2\times 10^{22}$ secondes. Une année compte environ $3{,}15\times 10^{7}$ secondes, puisque $365\times 24\times 3600\approx 3{,}15\times 10^{7}$. La durée vaut donc $\frac{3{,}2\times 10^{22}}{3{,}15\times 10^{7}}\approx 1{,}0\times 10^{15}$ années, soit un million de milliards d'années.

L'erreur unique est une conversion d'unité oubliée : le temps a été introduit en MINUTES dans une formule qui exige des secondes. La relation $E=P\times t$ ne donne des joules que si la puissance est en watts et la durée en secondes. Le candidat a écrit $t=3$ au lieu de $t=180$ s. Tout le reste de la copie est exact : la formule $Q=mc\Delta\theta$ est la bonne, la masse de $1{,}0$ kg est correctement déduite du litre d'eau, l'écart de température $100-15=85$ K est juste, et le calcul de $355\,300$ J l'est également.

Énergie consommée : $E=P\times t=2000\times 180=360\,000$ J, soit $3{,}6\times 10^{5}$ J. Rendement : $\eta=\frac{Q}{E}=\frac{355\,300}{360\,000}\approx 0{,}987$, soit environ $99$ pour cent. C'est une valeur élevée mais parfaitement plausible pour une bouilloire, dont la résistance chauffe directement l'eau qui l'entoure : les pertes se limitent à la vapeur qui s'échappe et à la chaleur cédée au récipient.

Le contrôle décisif est celui du rendement lui-même. Un rendement est, par définition, un rapport entre l'énergie utile et l'énergie consommée, donc il ne peut JAMAIS dépasser $1$, c'est-à-dire $100$ pour cent. Trouver $5900$ pour cent revient à affirmer qu'on récupère cinquante-neuf fois l'énergie fournie, ce qui constituerait un mouvement perpétuel. Le candidat disposait donc d'un signal d'alarme absolu, indépendant de tout recalcul, et il ne l'a pas vu.

Non, certainement pas zéro. Dans le barème d'une résolution de problème, la DÉMARCHE est évaluée séparément du résultat final, et cette copie en contient une bonne part. Sont justes et rapportent des points : l'identification des deux énergies à comparer, le choix de la relation $Q=mc\Delta\theta$, la conversion du litre en kilogramme, le calcul correct de l'écart de température, le calcul numérique de $Q$, et la définition du rendement comme rapport de l'utile sur le consommé.

Il faut proposer des valeurs et les JUSTIFIER, car c'est cela qui est noté, non leur exactitude. Volume d'une inspiration au repos : de l'ordre d'un demi-litre, ce qu'on peut étayer en songeant qu'une inspiration forcée remplit environ trois litres et qu'une respiration calme en mobilise une petite fraction. Fréquence respiratoire : environ $15$ respirations par minute, valeur qu'on peut vérifier en se chronométrant. Toute estimation voisine, entre $0{,}4$ et $0{,}6$ L et entre $12$ et $20$ par minute, conduira au même ordre de grandeur, et c'est bien ce qui est demandé.

On enchaîne les conversions de durée. Par minute : $0{,}5\times 15=7{,}5$ L. Par heure : $7{,}5\times 60=450$ L. Par jour : $450\times 24=10\,800$ L, soit environ $1\times 10^{4}$ L, c'est-à-dire une dizaine de mètres cubes. Cet ordre de grandeur mérite d'être retenu : le volume d'air traversant les poumons en une journée est comparable au volume d'une petite pièce.

$m=\rho\times V=1{,}2\times 10\,800=12\,960$ g, soit environ $13$ kg. Compte tenu du caractère estimatif des données, on annonce ce résultat avec un seul chiffre significatif : de l'ordre de $10$ kg par jour. Prétendre à $12{,}96$ kg serait absurde, puisque les valeurs de départ étaient elles-mêmes approchées à quelques dizaines de pour cent près.

Une personne consomme environ $1{,}5$ à $2$ kg de boisson et de l'ordre de $1$ kg d'aliments par jour, soit environ $3$ kg au total. La masse d'air respirée, environ $13$ kg, est donc quatre à cinq fois plus grande.

Première étape, COMPRENDRE : reformuler la question en une phrase et identifier précisément la grandeur cherchée avec son unité. Deuxième étape, MODÉLISER : écrire les relations physiques pertinentes, avant même de regarder les données, et lister les hypothèses simplificatrices que l'on adopte. Troisième étape, TRIER : prélever dans les documents les seules grandeurs qui figurent dans ces relations, et repérer celles qui manquent. Quatrième étape, CALCULER : mener le calcul littéral aussi loin que possible, puis l'application numérique avec les unités et le bon nombre de chiffres significatifs. Cinquième étape, CONCLURE ET CRITIQUER : répondre par une phrase à la question posée, vérifier l'ordre de grandeur, et signaler les limites du modèle.

On écrit quand même tout ce qu'on sait, car chaque étape est notée séparément. Concrètement, on pose la grandeur cherchée et son unité, on écrit les relations qu'on pense utiles même sans savoir les enchaîner, on effectue les calculs partiels qu'on sait faire, et l'on indique en une phrase ce qui bloque, par exemple qu'il manquerait la capacité thermique du matériau. Une copie qui expose une démarche cohérente sans aboutir obtient une part substantielle des points, alors qu'une copie vide n'en obtient aucun. C'est la différence la plus rentable à connaître sur ce type d'exercice.

Trois possibilités, à examiner dans cet ordre. La donnée fait peut-être partie du savoir EXIGIBLE, comme la masse volumique de l'eau, la température d'ébullition ou la valeur de $g$, et il faut alors la fournir soi-même, comme à l'exercice 4. Elle se DÉDUIT peut-être d'une autre donnée, un volume et une masse volumique donnant une masse. Ou bien elle doit être ESTIMÉE, comme à l'exercice 9, et il faut alors annoncer explicitement la valeur choisie et la justifier. Dans tous les cas, on écrit ce que l'on suppose : une hypothèse énoncée est acceptée, une hypothèse tacite est comptée comme une erreur.

Compréhension : la question est de savoir si $25$ m$^{2}$ de toit suffisent, la grandeur cherchée étant une surface en mètres carrés, à comparer à $25$. Modélisation : l'énergie produite par un panneau vaut sa surface multipliée par l'ensoleillement puis par le rendement, et le nombre de panneaux est le quotient de la consommation par cette production, arrondi à l'entier supérieur ; l'hypothèse implicite est que l'ensoleillement fourni correspond à l'orientation réelle du toit.