Baccalauréat blanc de spécialité mathématiques (sujet corrigé)

1) Réponse B. On factorise par $x^{2}$ : $\frac{3-\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{2}{x}}$, qui tend vers $\frac{3}{1}=3$.

2) Réponse C. C'est un produit : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{2x}+x\times 2\mathrm{e}^{2x}=(1+2x)\mathrm{e}^{2x}$.

3) Réponse B. C'est une suite géométrique de raison $0{,}7$, avec $-1<0{,}7<1$, donc elle converge vers 0. Elle est de plus décroissante.

4) Réponse A. $E(X)=np=20\times 0{,}3=6$. La valeur $4{,}2$ est la variance $np(1-p)$, c'est le piège de la question.

5) Réponse A. Les coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans l'équation cartésienne donnent directement les coordonnées d'un vecteur normal.

1) $u_{1}=0{,}5\times 2+3=4$ et $u_{2}=0{,}5\times 4+3=5$.

2) Initialisation : $u_{0}=2<6$, la propriété est vraie au rang 0. Hérédité : supposons $u_{n}<6$ pour un entier $n$ fixé. Alors $0{,}5\,u_{n}<3$, donc $0{,}5\,u_{n}+3<6$, c'est-à-dire $u_{n+1}<6$. Conclusion : par récurrence, $u_{n}<6$ pour tout entier naturel $n$.

3) $u_{n+1}-u_{n}=0{,}5\,u_{n}+3-u_{n}=3-0{,}5\,u_{n}=0{,}5(6-u_{n})$. D'après la question 2, $u_{n}<6$, donc $6-u_{n}>0$ et la différence est strictement positive. La suite est strictement croissante.

4) La suite est croissante et majorée par 6 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite $\ell$. Cette limite vérifie $\ell=0{,}5\ell+3$, soit $0{,}5\ell=3$, donc $\ell=6$.

5) $v_{n+1}=u_{n+1}-6=0{,}5\,u_{n}+3-6=0{,}5\,u_{n}-3=0{,}5(u_{n}-6)=0{,}5\,v_{n}$. La suite $(v_{n})$ est donc géométrique de raison $0{,}5$, de premier terme $v_{0}=2-6=-4$. On en déduit $v_{n}=-4\times 0{,}5^{n}$, puis $u_{n}=6-4\times 0{,}5^{n}$. Vérification : $u_{1}=6-2=4$ et $u_{2}=6-1=5$.

6) $u_{n}>5{,}99$ équivaut à $4\times 0{,}5^{n}<0{,}01$, soit $0{,}5^{n}<0{,}0025$. En passant au logarithme : $n\ln(0{,}5)<\ln(0{,}0025)$, et comme $\ln(0{,}5)<0$ l'inégalité s'inverse : $n>\frac{\ln(0{,}0025)}{\ln(0{,}5)}\approx 8{,}64$. Le plus petit entier est donc $n=9$. Vérification : $4\times 0{,}5^{8}=0{,}015625$, encore supérieur à $0{,}01$, tandis que $4\times 0{,}5^{9}=0{,}0078125$.

1) En $-\infty$ : $x-2$ tend vers $-\infty$ et $\mathrm{e}^{-x}$ tend vers $+\infty$, donc le produit tend vers $-\infty$. En $+\infty$ : on écrit $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}-2\mathrm{e}^{-x}$, et par croissances comparées chacun des deux termes tend vers 0. Donc $f(x)$ tend vers 0, et la droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à $C$ en $+\infty$.

2) $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{-x}+(x-2)\times(-\mathrm{e}^{-x})=\mathrm{e}^{-x}\left(1-(x-2)\right)=\mathrm{e}^{-x}(3-x)$. Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$ pour tout réel, le signe de $f'$ est bien celui de $3-x$.

3) $f'$ est positive sur $]-\infty;3[$ et négative sur $]3;+\infty[$ : la fonction croît puis décroît. Elle admet un maximum en $x=3$, valant $f(3)=1\times\mathrm{e}^{-3}=\mathrm{e}^{-3}\approx 0{,}0498$.

4) $f'(x)=(3-x)\mathrm{e}^{-x}$, donc $f''(x)=-\mathrm{e}^{-x}+(3-x)(-\mathrm{e}^{-x})=-\mathrm{e}^{-x}(1+3-x)=\mathrm{e}^{-x}(x-4)$. Cette expression change de signe en $x=4$, négative avant et positive après. Le point d'inflexion a donc pour coordonnées $\left(4\ ;\ 2\mathrm{e}^{-4}\right)$, soit environ $(4\ ;\ 0{,}0366)$.

5) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. Or $\mathrm{e}^{-x}$ ne s'annule jamais, donc $f(x)=0$ équivaut à $x-2=0$, c'est-à-dire $x=2$. C'est l'unique solution.

6) $f(2)=0$ et $f'(2)=\mathrm{e}^{-2}(3-2)=\mathrm{e}^{-2}$. La tangente a donc pour équation $y=\mathrm{e}^{-2}(x-2)$.

1) Au premier niveau, la branche $A$ porte $0{,}6$ et la branche $B$ porte $0{,}4$. Depuis $A$, la branche $D$ porte $0{,}03$ et $\overline{D}$ porte $0{,}97$. Depuis $B$, la branche $D$ porte $0{,}05$ et $\overline{D}$ porte $0{,}95$.

2) Par la formule des probabilités totales : $P(D)=0{,}6\times 0{,}03+0{,}4\times 0{,}05=0{,}018+0{,}02=0{,}038$.

3) $P_{D}(A)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}=\frac{0{,}018}{0{,}038}\approx 0{,}4737$. Bien que la chaîne $A$ produise la majorité des pièces, elle est responsable de moins de la moitié des défauts, car son taux de défaut est plus faible.

4) Le lot étant très important, le prélèvement de 10 pièces s'assimile à 10 tirages avec remise : les épreuves sont identiques et indépendantes, chacune donnant une pièce défectueuse avec la probabilité $0{,}038$. Donc $X$ suit la loi $\mathcal{B}(10\ ;\ 0{,}038)$.

5) $P(X=0)=0{,}962^{10}\approx 0{,}6788$, donc $P(X\geq 1)=1-0{,}6788\approx 0{,}3212$.

6) On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1-0{,}962^{n}\geq 0{,}95$, c'est-à-dire $0{,}962^{n}\leq 0{,}05$. En passant au logarithme : $n\ln(0{,}962)\leq\ln(0{,}05)$, et comme $\ln(0{,}962)<0$ l'inégalité s'inverse : $n\geq\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}962)}\approx 77{,}33$. Le nombre minimal est donc $n=78$. Vérification : $0{,}962^{77}\approx 0{,}0506$, encore supérieur à $0{,}05$, tandis que $0{,}962^{78}\approx 0{,}0487$.