Baccalauréat blanc de spécialité mathématiques (sujet corrigé)

1) Réponse B. On est en présence d'une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$, qu'on lève en factorisant par le TERME DOMINANT, ici $x^{2}$ au numérateur comme au dénominateur : $\frac{x^{2}\left(3-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{2}{x}\right)}=\frac{3-\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{2}{x}}$, qui tend vers $\frac{3}{1}=3$. Les degrés étant égaux, la limite est le rapport des coefficients dominants, ce qui permet de répondre de tête.

2) Réponse C. C'est un produit, et il faut dériver les deux facteurs sans oublier le facteur intérieur de l'exponentielle : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{2x}+x\times 2\mathrm{e}^{2x}=(1+2x)\mathrm{e}^{2x}$. La réponse D correspondrait à un oubli du facteur $2$, la réponse B à un oubli du premier terme du produit : les deux distracteurs correspondent aux deux erreurs classiques.

3) Réponse B. C'est une suite géométrique de raison $q=0{,}7$, et comme $-1<0{,}7<1$, elle converge vers $0$. Elle est de plus strictement DÉCROISSANTE, puisque chaque terme vaut $70\ \%$ du précédent, ce qui élimine la réponse D. La réponse C confond la raison avec la limite.

4) Réponse A. Pour une loi binomiale, $E(X)=np=20\times 0{,}3=6$. La valeur $4{,}2$ proposée en B est la VARIANCE $np(1-p)=20\times 0{,}3\times 0{,}7$, et c'est le piège de la question : les deux formules se ressemblent et se confondent facilement. Un contrôle de bon sens tranche : sur vingt tirages à $30\ \%$, on en attend six et non quatre.

5) Réponse A. Les coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans une équation cartésienne donnent DIRECTEMENT les coordonnées d'un vecteur normal, sans aucun calcul. La réponse B change le signe du deuxième coefficient et la réponse C en permute l'ordre : ces deux erreurs viennent d'une lecture trop rapide.

Le QCM du bac se joue en vingt-cinq minutes maximum et vaut un quart de la note : c'est de loin la partie la plus rentable, et il faut la traiter en premier. Trois principes s'appliquent. D'abord aucune justification n'est demandée, il ne faut donc rien rédiger. Ensuite une réponse fausse n'enlève aucun point, il faut donc TOUT cocher, même au jugé. Enfin les distracteurs ne sont jamais choisis au hasard : chacun correspond à une erreur identifiable, et savoir laquelle permet souvent d'éliminer deux réponses sans calculer.

1) On applique la relation pas à pas : $u_{1}=0{,}5\times 2+3=1+3=4$ et $u_{2}=0{,}5\times 4+3=2+3=5$. Les termes montent, et l'écart au terme suivant se réduit de moitié à chaque fois, ce qui oriente déjà vers les questions suivantes.

2) INITIALISATION : $u_{0}=2<6$ ✓, la propriété est vraie au rang $0$. HÉRÉDITÉ : supposons $u_{n}<6$ pour un entier $n$ fixé. En multipliant par $0{,}5>0$, ce qui conserve le sens : $0{,}5\,u_{n}<3$. En ajoutant $3$ : $0{,}5\,u_{n}+3<6$, c'est-à-dire $u_{n+1}<6$ ✓. CONCLUSION : par récurrence, $u_{n}<6$ pour tout entier naturel $n$. Les trois étapes doivent apparaître, c'est ce que le barème vérifie en premier.

3) On étudie la différence de deux termes consécutifs : $u_{n+1}-u_{n}=0{,}5\,u_{n}+3-u_{n}=3-0{,}5\,u_{n}=0{,}5\left(6-u_{n}\right)$. La factorisation par $0{,}5$ fait apparaître le majorant $6$, et c'est elle qui rend la conclusion immédiate : d'après la question 2, $u_{n}<6$, donc $6-u_{n}>0$ et la différence est strictement positive. La suite est strictement CROISSANTE.

4) La suite est croissante et majorée par $6$ : d'après le théorème de convergence monotone, elle CONVERGE vers une limite $\ell$. Cette limite vérifie l'équation de point fixe $\ell=0{,}5\ell+3$, soit $0{,}5\ell=3$ et $\ell=6$. L'ordre est essentiel : on ne peut écrire l'équation de point fixe qu'APRÈS avoir établi la convergence, faute de quoi le raisonnement serait circulaire.

5) $v_{n+1}=u_{n+1}-6=0{,}5\,u_{n}+3-6=0{,}5\,u_{n}-3=0{,}5\left(u_{n}-6\right)=0{,}5\,v_{n}$. La suite $(v_{n})$ est donc GÉOMÉTRIQUE de raison $0{,}5$, de premier terme $v_{0}=2-6=-4$. On en déduit $v_{n}=-4\times 0{,}5^{n}$, puis $u_{n}=v_{n}+6=6-4\times 0{,}5^{n}$. Vérification : $u_{1}=6-2=4$ ✓ et $u_{2}=6-1=5$ ✓.

6) $u_{n}>5{,}99$ équivaut à $6-4\times 0{,}5^{n}>5{,}99$, soit $4\times 0{,}5^{n}<0{,}01$ et $0{,}5^{n}<0{,}0025$. En passant au logarithme et en divisant par $\ln(0{,}5)$, qui est NÉGATIF, l'inégalité s'inverse : $n>\frac{\ln(0{,}0025)}{\ln(0{,}5)}\approx 8{,}64$. Le plus petit entier est donc $n=9$. Double vérification : $4\times 0{,}5^{8}=0{,}015625$, encore supérieur à $0{,}01$, tandis que $4\times 0{,}5^{9}=0{,}0078125$ ✓.

Cet exercice suit le PLAN IMPOSÉ des suites au baccalauréat, et le reconnaître dès la lecture fait gagner un temps considérable. On établit d'abord un encadrement par récurrence, puis la monotonie, ce qui donne la convergence par le théorème de la limite monotone ; ensuite on identifie la limite par le point fixe ; enfin on rend la suite explicite par une suite auxiliaire géométrique, ce qui permet de traiter les questions de seuil. Chaque question s'appuie sur la précédente, si bien qu'une question ratée ne bloque pas la suivante à condition d'ADMETTRE le résultat manquant, ce que les consignes autorisent presque toujours.

1) En $-\infty$ : le facteur $x-2$ tend vers $-\infty$ et $\mathrm{e}^{-x}$ tend vers $+\infty$, donc le produit tend vers $-\infty$, sans indétermination. En $+\infty$ : on a une forme indéterminée du type $\infty\times 0$, qu'on lève en développant, $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}-2\mathrm{e}^{-x}$, puis en invoquant les CROISSANCES COMPARÉES : chacun des deux termes tend vers $0$. Donc $f(x)$ tend vers $0$, et la droite d'équation $y=0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses, est ASYMPTOTE HORIZONTALE à $C$ en $+\infty$.

2) On dérive le produit sans oublier que $\left(\mathrm{e}^{-x}\right)'=-\mathrm{e}^{-x}$ : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{-x}+(x-2)\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=\mathrm{e}^{-x}\left(1-(x-2)\right)=\mathrm{e}^{-x}(3-x)$. La factorisation par l'exponentielle est l'étape attendue : comme $\mathrm{e}^{-x}>0$ pour tout réel, le signe de $f'$ est bien celui de $3-x$ ✓.

3) La dérivée est donc positive sur $]-\infty;3[$ et négative sur $]3;+\infty[$ : la fonction CROÎT puis DÉCROÎT. Elle admet un maximum en $x=3$, valant $f(3)=(3-2)\mathrm{e}^{-3}=\mathrm{e}^{-3}\approx 0{,}0498$. Le tableau doit porter les limites trouvées en 1) à ses deux extrémités, $-\infty$ à gauche et $0$ à droite.

4) On dérive à nouveau, en repartant de la forme factorisée : $f''(x)=-\mathrm{e}^{-x}+(3-x)\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=-\mathrm{e}^{-x}\left(1+3-x\right)=\mathrm{e}^{-x}(x-4)$. Cette expression CHANGE DE SIGNE en $x=4$, négative avant et positive après, ce qui caractérise un point d'inflexion, l'annulation seule ne suffisant pas. Ses coordonnées sont $\left(4\,;\,2\mathrm{e}^{-4}\right)$, soit environ $(4\,;\,0{,}0366)$.

5) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. Or $\mathrm{e}^{-x}$ ne s'annule JAMAIS, donc $f(x)=0$ équivaut à $x-2=0$, c'est-à-dire $x=2$. C'est l'unique solution, et l'argument de la non-annulation de l'exponentielle est précisément ce qui justifie l'unicité.

6) $f(2)=0$ et $f'(2)=\mathrm{e}^{-2}(3-2)=\mathrm{e}^{-2}$. L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ étant $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, on obtient $y=\mathrm{e}^{-2}(x-2)+0=\mathrm{e}^{-2}(x-2)$. Contrôle : en $x=2$ la droite passe bien par $(2\,;\,0)$ ✓.

L'ordre des questions reproduit le plan classique d'une étude de fonction au bac, et il est toujours le même : limites, dérivée, signe, tableau de variation, puis dérivée seconde et convexité, enfin zéros et tangentes. Deux points valent d'être soulignés. Le premier est que la courbe passe par $(2\,;\,0)$, culmine faiblement à $\mathrm{e}^{-3}\approx 0{,}05$ en $x=3$, s'infléchit en $x=4$ puis redescend vers $0$ : le maximum est donc minuscule et le dessin très écrasé, ce qui surprend si l'on ne calcule pas les valeurs. Le second est que le point d'inflexion se situe APRÈS le maximum, ce qui est cohérent, la courbe devant cesser de se creuser avant de s'aplatir vers son asymptote.

1) L'arbre comporte deux niveaux. Au premier, la branche $A$ porte $0{,}6$ et la branche $B$ porte $0{,}4$, et leur somme vaut $1$ ✓. Depuis $A$, la branche $D$ porte $0{,}03$ et $\overline{D}$ porte $0{,}97$ ; depuis $B$, la branche $D$ porte $0{,}05$ et $\overline{D}$ porte $0{,}95$. Les probabilités du second niveau sont CONDITIONNELLES, et la somme des branches issues d'un même nœud vaut toujours $1$.

2) On multiplie le long de chaque chemin, puis on additionne les chemins menant à $D$, ce qui est la formule des probabilités totales : $P(D)=P(A)\times P_{A}(D)+P(B)\times P_{B}(D)=0{,}6\times 0{,}03+0{,}4\times 0{,}05=0{,}018+0{,}02=0{,}038$. Un peu moins de quatre pour cent de la production est donc défectueuse.

3) La question RETOURNE le conditionnement : $P_{D}(A)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}=\frac{0{,}018}{0{,}038}\approx 0{,}4737$. Le résultat mérite un commentaire, et le barème l'attend : bien que la chaîne $A$ produise la MAJORITÉ des pièces, elle est responsable de moins de la moitié des défauts, parce que son taux de défaut est plus faible. Volume et taux tirent ici en sens contraire.

4) Le lot étant TRÈS IMPORTANT, le prélèvement de dix pièces s'assimile à dix tirages avec remise : les épreuves sont identiques, indépendantes, et chacune donne une pièce défectueuse avec la probabilité constante $0{,}038$. Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}038)$. La mention du lot très important n'est pas décorative, c'est elle qui autorise l'hypothèse d'indépendance.

5) $P(X=0)=\binom{10}{0}\times 0{,}038^{0}\times 0{,}962^{10}=0{,}962^{10}\approx 0{,}6788$. On passe ensuite par l'événement CONTRAIRE, réflexe systématique devant un au moins : $P(X\geq 1)=1-P(X=0)\approx 1-0{,}6788=0{,}3212$. Il y a donc près d'une chance sur trois de trouver au moins une pièce défectueuse sur dix.

6) On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1-0{,}962^{n}\geq 0{,}95$, c'est-à-dire $0{,}962^{n}\leq 0{,}05$. En passant au logarithme et en divisant par $\ln(0{,}962)$, qui est NÉGATIF, l'inégalité s'inverse : $n\geq\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}962)}\approx 77{,}33$. Le nombre minimal est donc $n=78$. Double vérification : $0{,}962^{77}\approx 0{,}0506$, encore supérieur à $0{,}05$, tandis que $0{,}962^{78}\approx 0{,}0487$ ✓.

Cet exercice enchaîne les trois grands outils probabilistes du programme, et c'est le format habituel du quatrième exercice du bac. L'arbre et les probabilités totales pour la structure, le retournement du conditionnement pour l'interprétation, la loi binomiale pour la répétition. La question 6 ajoute une recherche de SEUIL, identique dans sa technique à celle de l'exercice 2 : mise en inéquation, passage au logarithme, inversion du sens à cause du logarithme négatif, et double vérification autour de l'entier trouvé. Le résultat lui-même est instructif pour un industriel : il faut contrôler soixante-dix-huit pièces pour être quasi certain de détecter un défaut dont le taux n'est que de trois virgule huit pour cent.