Exercice 1 : Poids positionnels : lire un nombre dans sa base

Dans une base $b$ , le chiffre de rang $k$ (compté à partir de la droite, en commençant à 0) pèse $b^{k}$ . Convertir vers le décimal, c'est peser : on multiplie chaque chiffre par le poids de son rang et on additionne. La grille ci-dessous rappelle les huit poids d'un octet.

a) Convertissez $10110110_2$ en décimal.
b) Convertissez $357_8$ en décimal.
c) Convertissez $2\text{F}5_{16}$ en décimal.
d) Convertissez $1101{,}101_2$ en décimal.
e) Quel est le plus grand entier non signé représentable sur $n$ bits ? Sur 8 bits ? Sur 16 bits ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/12

a)

10110110_2

en décimal

Le bit de poids faible vaut 0, donc le nombre est

b)

357_8

en décimal

Le chiffre 7 est licite en base 8 parce que les chiffres y vont de

c)

Valeur du chiffre

\text{F}

2\text{F}5_{16}

en décimal

d)

Valeur de la partie entière

Valeur de la partie fractionnaire

1101{,}101_2

en décimal

e)

Sur

n

bits, le plus grand entier non signé est

Sur 8 bits

Sur 16 bits

Voir la correction

Réponses

a) $182$
b) $239$
c) $757$
d) $13{,}625$
e) $2^{n}-1$ , soit $255$ sur 8 bits et $65\,535$ sur 16 bits

a)

On écrit les poids au-dessus des bits : $128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1$ . Les bits à 1 sont ceux de poids $128$ , $32$ , $16$ , $4$ et $2$ . Somme : $128+32+16+4+2 = 182$ . Contrôle rapide : le bit de poids fort vaut 1, donc le nombre est au moins 128 ; le bit de poids faible vaut 0, donc le nombre est pair. 182 satisfait les deux.

b)

En base 8, les poids sont $64, 8, 1$ . Donc $357_8 = 3(64) + 5(8) + 7(1) = 192 + 40 + 7 = 239$ . Contrôle : le chiffre le plus grand utilisé est 7, ce qui est licite en base 8 ; un 8 ou un 9 dans une écriture octale serait une faute d'énoncé.

c)

En base 16, les poids sont $256, 16, 1$ , et $\text{F}$ vaut 15. Donc $2\text{F}5_{16} = 2(256) + 15(16) + 5(1) = 512 + 240 + 5 = 757$ . Les lettres $\text{A}$ à $\text{F}$ valent 10 à 15 : c'est la seule chose à mémoriser en hexadécimal.

d)

La partie entière $1101_2$ vaut $8+4+1 = 13$ . Après la virgule, les poids deviennent des puissances négatives : $2^{-1} = 0{,}5$ , puis $2^{-2} = 0{,}25$ , puis $2^{-3} = 0{,}125$ . Les bits sont $1, 0, 1$ , donc la partie fractionnaire vaut $0{,}5 + 0{,}125 = 0{,}625$ . Total : $13{,}625$ . La règle est la même de part et d'autre de la virgule, seul l'exposant change de signe.

e)

Sur $n$ bits il y a $2^{n}$ combinaisons, numérotées de 0 à $2^{n}-1$ : le plus grand entier non signé est donc $2^{n}-1$ . Sur 8 bits, $255$ ; sur 16 bits, $65\,535$ . Piège classique : répondre $2^{n}$ en oubliant que le zéro consomme une combinaison.

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Exercice 2 : Du décimal vers les autres bases : divisions successives

Pour convertir un entier décimal vers la base $b$ , on divise à répétition par $b$ et on lit les restes DE BAS EN HAUT. Pour une partie fractionnaire, on multiplie à répétition par $b$ et on lit les parties entières DE HAUT EN BAS. Les deux algorithmes se ressemblent, mais le sens de lecture est inversé : c'est là que se perdent la moitié des points.

a) Convertissez 156 en binaire par divisions successives et vérifiez par les poids.
b) Convertissez 156 en octal, puis en hexadécimal.
c) Convertissez $0{,}6875$ en binaire.
d) Essayez de convertir $0{,}1$ en binaire. Que se passe-t-il ?
e) Convertissez 1000 en hexadécimal.
f) Quelle conséquence la question d) a-t-elle sur un programme qui teste $0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3$ ?

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a)

156 en binaire

Contrôle par les poids

b)

156 en octal

156 en hexadécimal

Le passage du binaire à l'hexadécimal se fait en paquets de

c)

Les chiffres après la virgule

Contrôle en décimal

d)

Le développement binaire de

0{,}1

Longueur de la période, en bits

La raison est que le dénominateur 10 contient

e)

1000 en hexadécimal

Valeur du chiffre

\text{E}

f)

Comparer deux flottants par une égalité stricte

Pour de l'argent, on travaille

Voir la correction

Réponses

a) $156 = 10011100_2$
b) $156 = 234_8 = 9\text{C}_{16}$
c) $0{,}6875 = 0{,}1011_2$
d) Développement périodique : $0{,}1 = 0{,}0\overline{0011}_2$ , jamais fini
e) $1000 = 3\text{E}8_{16}$
f) On ne compare jamais deux flottants par une égalité stricte : on teste $|x-y| < \varepsilon$ , et l'argent se compte en cents, avec des entiers

a)

$156 = 2(78) + 0$ ; $78 = 2(39)+0$ ; $39 = 2(19)+1$ ; $19 = 2(9)+1$ ; $9 = 2(4)+1$ ; $4 = 2(2)+0$ ; $2 = 2(1)+0$ ; $1 = 2(0)+1$ . Les restes lus de bas en haut donnent $10011100_2$ . Vérification par les poids : $128 + 16 + 8 + 4 = 156$ . Le contrôle par les poids est obligatoire, parce qu'il attrape l'erreur de sens de lecture, qui donnerait $00111001$ .

b)

Par divisions par 8 : $156 = 8(19)+4$ ; $19 = 8(2)+3$ ; $2 = 8(0)+2$ , d'où $234_8$ . Vérification : $2(64)+3(8)+4 = 128+24+4 = 156$ . Par divisions par 16 : $156 = 16(9)+12$ ; $9 = 16(0)+9$ , et $12 = \text{C}$ , d'où $9\text{C}_{16}$ . Vérification : $9(16)+12 = 156$ . Raccourci : $10011100_2$ se découpe en $1001\ 1100 = 9\text{C}$ , en paquets de 4 bits à partir de la droite.

c)

$0{,}6875 \times 2 = 1{,}375$ , on garde 1 ; $0{,}375 \times 2 = 0{,}75$ , on garde 0 ; $0{,}75 \times 2 = 1{,}5$ , on garde 1 ; $0{,}5 \times 2 = 1{,}0$ , on garde 1, et il ne reste rien. Lecture de haut en bas : $0{,}1011_2$ . Vérification : $0{,}5 + 0{,}125 + 0{,}0625 = 0{,}6875$ . La conversion s'arrête ici parce que $0{,}6875 = \dfrac{11}{16}$ a un dénominateur qui est une puissance de 2.

d)

$0{,}1 \times 2 = 0{,}2$ ; $0{,}2 \times 2 = 0{,}4$ ; $0{,}4 \times 2 = 0{,}8$ ; $0{,}8 \times 2 = 1{,}6$ ; $0{,}6 \times 2 = 1{,}2$ ; $0{,}2 \times 2 = 0{,}4$ et l'on retombe sur un état déjà vu. Le développement est périodique : $0{,}1 = 0{,}0\overline{0011}_2$ , sans fin. La raison est arithmétique : $0{,}1 = \dfrac{1}{10}$ et 10 contient le facteur 5, qui n'est pas une puissance de 2. Un nombre décimal fini n'a d'écriture binaire finie que si son dénominateur réduit est une puissance de 2.

e)

$1000 = 16(62)+8$ ; $62 = 16(3)+14$ , et $14 = \text{E}$ ; $3 = 16(0)+3$ . D'où $3\text{E}8_{16}$ . Vérification : $3(256) + 14(16) + 8 = 768 + 224 + 8 = 1000$ .

f)

L'ordinateur ne stocke pas $0{,}1$ mais l'arrondi de son développement binaire infini sur le nombre de bits disponibles. Trois arrondis distincts se produisent, pour $0{,}1$ , pour $0{,}2$ et pour $0{,}3$ , et rien ne garantit que la somme des deux premiers tombe exactement sur le troisième : en pratique elle ne tombe pas. La conclusion tient en une règle : on ne compare jamais deux nombres à virgule flottante avec une égalité stricte, on teste $|x-y| < \varepsilon$ . Pour de l'argent, on travaille en cents avec des entiers.

Exercice 3 : Arithmétique binaire : additionner, soustraire, multiplier

Les quatre opérations se posent en binaire exactement comme en décimal, avec une table d'addition minuscule : $0+0=0$ , $0+1=1$ , $1+1=10$ , $1+1+1=11$ . La retenue se propage de la même manière. Chaque résultat doit être vérifié en décimal, sans exception.

a) Posez et calculez $10110_2 + 1101_2$ .
b) Posez et calculez $110101_2 - 10110_2$ .
c) Posez et calculez $1011_2 \times 101_2$ .
d) Effectuez la division $1101_2 \div 10_2$ et donnez le quotient et le reste.
e) Que devient un nombre binaire quand on lui ajoute un 0 à droite ? Trois zéros ?

Voir la correction

Réponses

a) $100011_2 = 35$
b) $11111_2 = 31$
c) $110111_2 = 55$
d) Quotient $110_2 = 6$ , reste $1$
e) Un zéro multiplie par 2, trois zéros par $2^{3}=8$

a)

On aligne à droite : $10110$ vaut 22 et $1101$ vaut 13. Colonne par colonne depuis la droite : $0+1 = 1$ ; $1+0 = 1$ ; $1+1 = 10$ , on pose 0 et on retient 1 ; $0+1+1 = 10$ , on pose 0 et on retient 1 ; $1+0+1 = 10$ , on pose 0 et on retient 1 ; il reste la retenue, on pose 1. Résultat : $100011_2$ . Vérification : $32+2+1 = 35$ et $22+13 = 35$ .

b)

$110101$ vaut 53 et $10110$ vaut 22. On emprunte comme en décimal, un emprunt valant 2 dans la colonne qui le reçoit. Depuis la droite : $1-0 = 1$ ; $0-1$ impose un emprunt, $10-1 = 1$ ; puis $1-1$ moins l'emprunt impose un nouvel emprunt, $11-1-1 = 1$ ; puis $0-0$ moins l'emprunt emprunte encore, $10-0-1 = 1$ ; puis de nouveau $11-1-1 = 1$ ; enfin $1-0-1 = 0$ . Résultat : $11111_2$ . Vérification : $16+8+4+2+1 = 31$ et $53-22 = 31$ . Un résultat en $11111$ n'est pas suspect : c'est $2^{5}-1$ .

c)

$1011$ vaut 11 et $101$ vaut 5. La multiplication binaire ne demande aucune table : chaque bit du multiplicateur donne soit une copie décalée du multiplicande, soit une ligne de zéros. Ici : $1011$ (bit de poids 1), $000000$ (bit de poids 2, nul), $101100$ (bit de poids 4, donc décalé de deux rangs). Somme : $1011 + 101100 = 110111_2$ . Vérification : $32+16+4+2+1 = 55$ et $11 \times 5 = 55$ .

d)

$1101$ vaut 13 et $10$ vaut 2. Diviser par $10_2$ , c'est décaler d'un rang vers la droite : le quotient est $110_2 = 6$ et le bit expulsé, ici 1, est le reste. Vérification : $2(6)+1 = 13$ . Diviser par une puissance de 2 est un décalage, ce qui explique pourquoi les compilateurs remplacent $n/2$ par un décalage quand $n$ est un entier non signé.

e)

Ajouter un 0 à droite décale tous les bits d'un rang vers la gauche : chaque bit voit son poids doubler, donc le nombre est multiplié par 2, et non par 10. Trois zéros multiplient par $2^{3} = 8$ . C'est le même mécanisme qu'en décimal, où ajouter un zéro multiplie par 10, c'est-à-dire par la base. Retenir : le facteur est toujours la base, jamais dix.

Exercice 4 : Le complément à deux : représenter les nombres négatifs

Sur $n$ bits, le complément à deux représente les négatifs sans signe séparé : $-x$ s'écrit comme le motif de $2^{n}-x$ . Le bit de poids fort joue alors le rôle d'indicateur de signe, et l'addition ordinaire continue de fonctionner sans aucune modification du circuit. La roue ci-dessous montre les 16 motifs de 4 bits : avancer d'un cran ajoute 1, et l'on repasse par le haut sans discontinuité.

a) Écrivez $-37$ en complément à deux sur 8 bits, en détaillant les deux étapes.
b) Le motif $10110100$ est lu comme un entier signé sur 8 bits. Quelle est sa valeur ?
c) Quelle est la plage des entiers signés sur 8 bits ? Pourquoi n'est-elle pas symétrique ?
d) Calculez $45 - 37$ en n'utilisant qu'une addition sur 8 bits.
e) Sur 4 bits, quel est l'opposé de $-8$ ? Que révèle ce cas ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/13

a)

37 sur 8 bits

Motif de

-37

Sa lecture non signée

Le motif en hexadécimal

b)

Lecture non signée du motif

Valeur signée

c)

Borne inférieure

Borne supérieure

L'asymétrie vient de ce que

d)

Résultat obtenu

La retenue sortante du rang 8

e)

Opposé obtenu

Le cas révèle que la négation en complément à deux

Voir la correction

Réponses

a) $-37 = 11011011_2 = \text{DB}_{16}$ , dont la lecture non signée vaut $219 = 256-37$
b) $-76$
c) De $-128$ à $+127$ : le zéro occupe un motif du côté positif
d) $45 + 11011011_2 = 8$ , la retenue sortante étant jetée
e) L'opposé de $-8$ est $-8$ : la négation n'est pas totale

a)

Étape 1 : écrire $37$ sur 8 bits. $37 = 32+4+1$ , donc $00100101$ . Étape 2 : inverser tous les bits, ce qui donne $11011010$ , puis ajouter 1 : $11011011$ . Contrôle numérique : $11011011$ vaut $128+64+16+8+2+1 = 219$ , et $219 = 256 - 37$ , ce qui est exactement la définition. En hexadécimal, $\text{DB}$ .

b)

Le bit de poids fort vaut 1, donc le nombre est négatif. Deux méthodes. Méthode directe : lire le motif comme non signé, $10110100 = 128+32+16+4 = 180$ , puis retrancher $256$ : $180 - 256 = -76$ . Méthode par complément : inverser, $01001011$ , ajouter 1, $01001100 = 64+8+4 = 76$ , donc le motif valait $-76$ . Les deux donnent le même résultat, et c'est le contrôle à faire.

c)

De $-128$ à $+127$ . Il y a $256$ motifs ; la moitié, ceux dont le bit de poids fort vaut 0, code $0$ à $127$ ; l'autre moitié code $-128$ à $-1$ . L'asymétrie vient de ce que le zéro occupe une place du côté positif : il reste $127$ motifs pour les positifs et $128$ pour les négatifs. C'est précisément l'avantage du complément à deux sur les représentations avec bit de signe séparé, qui ont deux zéros et perdent un motif.

d)

$45 = 00101101$ . On lui ajoute la représentation de $-37$ , soit $11011011$ . L'addition binaire donne $1\,00001000$ sur neuf colonnes : la retenue sortante du rang 8 est simplement jetée, et il reste $00001000 = 8$ . Vérification : $45-37 = 8$ . C'est tout l'intérêt du complément à deux : le circuit d'addition sert aussi de circuit de soustraction, à un inverseur près.

e)

Sur 4 bits, la plage est $-8$ à $+7$ . L'opposé de $-8$ devrait être $+8$ , qui n'existe pas dans la plage. En appliquant la recette : $-8$ s'écrit $1000$ ; on inverse, $0111$ ; on ajoute 1, $1000$ : on retombe sur $-8$ . Le cas révèle que la négation en complément à deux n'est pas totale, et c'est un vrai piège de programmation, où $\lvert x \rvert$ peut renvoyer un nombre négatif pour la borne inférieure de la plage.

Exercice 5 : Laboratoire en base 8 : de la notation développée à la multiplication posée

L'octal n'a que huit chiffres, de 0 à 7, et chaque position pèse une puissance de 8. Tout ce que vous savez faire en base 10 se refait en base 8 avec un seul changement : on retient dès que l'on atteint 8, on emprunte 8 et non 10. Cet exercice reprend, en octal, le parcours complet du laboratoire de calcul binaire : écrire un nombre en notation développée, le convertir dans les deux sens, l'additionner, le soustraire, le multiplier, puis boucler par un aller-retour contrôlé en décimal. Chaque résultat se vérifie en repassant par le décimal, et c'est ce contrôle qui fait la différence entre un calcul juste et un calcul qui a l'air juste.

Tables à connaître ou à reconstruire au brouillon : $8^{1} = 8$ , $8^{2} = 64$ , $8^{3} = 512$ , $8^{4} = 4096$ , et les inverses $8^{-1} = 0{,}125$ , $8^{-2} = 0{,}015625$ .

a) Écrivez $2471{,}35_8$ en notation développée, comme une somme de produits de ses chiffres par des puissances décroissantes de 8, puis donnez sa valeur décimale.
b) Convertissez en décimal : $735_8$ , $1204_8$ , $61{,}4_8$ et $0{,}52_8$ .
c) Convertissez en octal : $200$ , $1000$ , $93{,}75$ et $0{,}1$ . Que se passe-t-il pour le dernier ?
d) Posez et calculez les additions octales $357_8 + 246_8$ , $1745_8 + 633_8 + 27_8$ et $12{,}56_8 + 7{,}37_8$ .
e) On travaille sur 4 chiffres octaux. Définissez le complément à 7 et le complément à 8 d'un nombre, calculez le complément à 8 de $0325_8$ , puis utilisez-le pour effectuer $2461_8 - 0325_8$ par une addition. Quelle est la plage des entiers signés sur 4 chiffres octaux, et à quoi reconnaît-on un nombre négatif ?
f) Posez et calculez les soustractions octales $7042_8 - 3567_8$ et $10{,}2_8 - 3{,}75_8$ , en détaillant les emprunts.
g) Posez et calculez les multiplications octales $53_8 \times 7_8$ , $124_8 \times 35_8$ et $6{,}4_8 \times 2{,}2_8$ .
h) Convertissez les deux nombres en octal, effectuez l'opération en octal, puis revenez en décimal pour contrôler : $345 + 219$ et $6{,}5 \times 3{,}25$ .
i) Sous Linux, la commande chmod 755 fixe les droits d'un fichier. Écrivez $755_8$ en binaire et expliquez ce que chaque chiffre octal représente. Pourquoi l'octal est-il la base naturelle de ce codage ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/32

a)

Poids du chiffre 2 de tête

2471{,}35_8

en décimal

b)

735_8

1204_8

61{,}4_8

0{,}52_8

c)

200 en octal

1000 en octal

93{,}75

en octal

Pour

0{,}1

, le développement octal

d)

357_8 + 246_8

1745_8 + 633_8 + 27_8

12{,}56_8 + 7{,}37_8

On pose le reste et on retient 1 dès qu'une colonne atteint

e)

Complément à 7 de

0325_8

Complément à 8

2461_8 - 0325_8

Borne inférieure de la plage signée

Un nombre est négatif quand son chiffre de tête vaut

f)

7042_8 - 3567_8

10{,}2_8 - 3{,}75_8

Un emprunt vaut

g)

53_8 \times 7_8

124_8 \times 35_8

6{,}4_8 \times 2{,}2_8

h)

345 en octal

219 en octal

La somme, en octal

6{,}5 \times 3{,}25

, en octal

i)

755_8

en binaire

Chaque chiffre octal code

Les trois bits d'un chiffre sont, dans l'ordre

Voir la correction

Réponses

a) $2\cdot 8^{3}+4\cdot 8^{2}+7\cdot 8+1+3\cdot 8^{-1}+5\cdot 8^{-2} = 1337{,}453125$
b) $477$ , $644$ , $49{,}5$ et $0{,}65625$
c) $310_8$ , $1750_8$ , $135{,}6_8$ ; $0{,}1 = 0{,}0\overline{6314}_8$ , périodique
d) $625_8$ , $2627_8$ et $22{,}15_8$
e) Complément à 8 de $0325_8$ : $7453_8$ ; $2461_8-0325_8 = 2134_8$ ; plage $-2048$ à $2047$ , négatif dès que le chiffre de tête atteint 4
f) $3253_8$ et $4{,}23_8$
g) $455_8$ , $4604_8$ et $16{,}5_8$
h) $531_8+333_8 = 1064_8 = 564$ ; $6{,}4_8 \times 3{,}2_8 = 25{,}1_8 = 21{,}125$
i) $755_8 = 111\ 101\ 101_2$ : trois acteurs, trois bits chacun, lecture, écriture, exécution

a)

La virgule sépare les rangs positifs des rangs négatifs. À gauche, en partant de la virgule vers la gauche, les poids sont $8^{0}, 8^{1}, 8^{2}, 8^{3}$ ; à droite, $8^{-1}$ puis $8^{-2}$ . D'où $2471{,}35_8 = 2 \cdot 8^{3} + 4 \cdot 8^{2} + 7 \cdot 8^{1} + 1 \cdot 8^{0} + 3 \cdot 8^{-1} + 5 \cdot 8^{-2}$ . Valeur : $2(512) + 4(64) + 7(8) + 1 + \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{64} = 1024 + 256 + 56 + 1 + 0{,}375 + 0{,}078125 = 1337{,}453125$ . La notation développée n'est pas un exercice de style : c'est la définition même de la base, et toute conversion vers le décimal n'est que ce calcul écrit plus vite.

b)

$735_8 = 7(64) + 3(8) + 5 = 448 + 24 + 5 = 477$ . $1204_8 = 1(512) + 2(64) + 0(8) + 4 = 512 + 128 + 4 = 644$ : le zéro se pèse aussi, il tient une position même s'il n'apporte rien. $61{,}4_8 = 6(8) + 1 + \dfrac{4}{8} = 49{,}5$ . $0{,}52_8 = \dfrac{5}{8} + \dfrac{2}{64} = 0{,}625 + 0{,}03125 = 0{,}65625$ . Piège classique : lire $0{,}52_8$ comme « cinquante-deux centièmes ». En base 8, le deuxième chiffre après la virgule pèse un soixante-quatrième, pas un centième.

c)

Partie entière par divisions successives par 8, restes lus de bas en haut. $200 = 8(25) + 0$ ; $25 = 8(3) + 1$ ; $3 = 8(0) + 3$ , d'où $200 = 310_8$ ; contrôle $3(64) + 1(8) = 200$ . $1000 = 8(125) + 0$ ; $125 = 8(15) + 5$ ; $15 = 8(1) + 7$ ; $1 = 8(0) + 1$ , d'où $1000 = 1750_8$ ; contrôle $512 + 7(64) + 5(8) = 512 + 448 + 40 = 1000$ . Pour $93{,}75$ , on sépare : $93 = 8(11) + 5$ ; $11 = 8(1) + 3$ ; $1 = 8(0) + 1$ , donc $93 = 135_8$ ; puis $0{,}75 \times 8 = 6{,}0$ , on garde 6 et il ne reste rien, donc $93{,}75 = 135{,}6_8$ . Contrôle : $64 + 24 + 5 + 0{,}75 = 93{,}75$ . Pour $0{,}1$ : $0{,}1 \times 8 = 0{,}8$ , chiffre 0 ; $0{,}8 \times 8 = 6{,}4$ , chiffre 6 ; $0{,}4 \times 8 = 3{,}2$ , chiffre 3 ; $0{,}2 \times 8 = 1{,}6$ , chiffre 1 ; $0{,}6 \times 8 = 4{,}8$ , chiffre 4 ; $0{,}8 \times 8 = 6{,}4$ et l'on retombe sur un état déjà vu. Le développement est périodique : $0{,}1 = 0{,}0\overline{6314}_8$ . Rien d'étonnant : $0{,}1 = \dfrac{1}{10}$ et 10 contient le facteur 5, qui ne divise aucune puissance de 8. Un décimal fini a une écriture finie en base 8 exactement quand son dénominateur réduit est une puissance de 2, la même condition qu'en binaire, parce que $8 = 2^{3}$ .

d)

On additionne colonne par colonne, et dès qu'une colonne atteint 8 on écrit le reste et on retient 1. Première addition : unités $7 + 6 = 13 = 8 + 5$ , on pose 5 et on retient 1 ; huitaines $5 + 4 + 1 = 10 = 8 + 2$ , on pose 2 et on retient 1 ; $3 + 2 + 1 = 6$ . Résultat $625_8$ . Contrôle décimal : $357_8 = 239$ , $246_8 = 166$ , somme 405, et $625_8 = 6(64) + 2(8) + 5 = 405$ . Deuxième addition, à trois termes, alignés à droite : unités $5 + 3 + 7 = 15 = 8 + 7$ , on pose 7 et on retient 1 ; $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ , on pose 2, retenue 1 ; $7 + 6 + 0 + 1 = 14$ , on pose 6, retenue 1 ; $1 + 0 + 0 + 1 = 2$ . Résultat $2627_8$ . Contrôle : $997 + 411 + 23 = 1431$ et $2627_8 = 2(512) + 6(64) + 2(8) + 7 = 1431$ . Troisième addition, à virgule, en alignant les virgules : $6 + 7 = 13$ , on pose 5, retenue 1 ; $5 + 3 + 1 = 9$ , on pose 1, retenue 1 ; $2 + 7 + 1 = 10$ , on pose 2, retenue 1 ; $1 + 0 + 1 = 2$ . Résultat $22{,}15_8$ . Contrôle : $10{,}71875 + 7{,}484375 = 18{,}203125$ et $22{,}15_8 = 18 + \dfrac{1}{8} + \dfrac{5}{64} = 18{,}203125$ . L'erreur la plus fréquente est de retenir à 10 par réflexe : $7 + 6$ donne alors « 13 » posé tel quel, et le résultat est faux de 8 sur cette colonne.

e)

Le complément à 7 d'un nombre à 4 chiffres octaux s'obtient en remplaçant chaque chiffre $d$ par $7 - d$ , sans aucune retenue ; c'est l'analogue de l'inversion des bits. Le complément à 8 est le complément à 7 plus 1, et il vaut $8^{4} - x = 4096 - x$ : c'est l'analogue du complément à deux. Pour $0325_8$ : complément à 7, chiffre par chiffre, $7-0, 7-3, 7-2, 7-5$ , soit $7452_8$ ; plus 1, $7453_8$ . Contrôle : $0325_8 = 3(64) + 2(8) + 5 = 213$ , $4096 - 213 = 3883$ , et $7453_8 = 7(512) + 4(64) + 5(8) + 3 = 3584 + 256 + 40 + 3 = 3883$ . Soustraction par addition : $2461_8 + 7453_8$ . Unités $1 + 3 = 4$ ; $6 + 5 = 11 = 8 + 3$ , on pose 3, retenue 1 ; $4 + 4 + 1 = 9$ , on pose 1, retenue 1 ; $2 + 7 + 1 = 10$ , on pose 2, retenue 1. On obtient $12134_8$ sur cinq chiffres ; la retenue qui sort à gauche est jetée, puisque l'on travaille sur 4 chiffres, et il reste $2134_8$ . Contrôle : $2461_8 = 1329$ , $1329 - 213 = 1116$ , et $2134_8 = 1024 + 64 + 24 + 4 = 1116$ . Pourquoi ça marche : ajouter $4096 - x$ puis jeter $4096$ revient exactement à retrancher $x$ . Plage signée sur 4 chiffres octaux, c'est-à-dire 12 bits : de $-2^{11} = -2048$ à $2^{11} - 1 = 2047$ , soit de $4000_8$ (lu $-2048$ ) à $3777_8$ . Un nombre est négatif quand son chiffre de tête vaut 4 ou plus : la moitié haute des motifs représente les négatifs, exactement comme le bit de poids fort en binaire, puisque le premier chiffre octal contient ce bit. Ainsi $7453_8$ , lu comme un entier signé, vaut $3883 - 4096 = -213$ .

f)

Première soustraction, $7042_8 - 3567_8$ . Unités : $2 < 7$ , on emprunte une huitaine, $2 + 8 - 7 = 3$ , et le chiffre des huitaines passe de 4 à 3. Huitaines : $3 < 6$ , on emprunte, $3 + 8 - 6 = 5$ , et le chiffre des 64 doit baisser de 1 ; il vaut 0, donc on emprunte d'abord aux 512, qui passent de 7 à 6, et les 64 valent $8 - 1 = 7$ . Colonne des 64 : $7 - 5 = 2$ . Colonne des 512 : $6 - 3 = 3$ . Résultat $3253_8$ . Contrôle : $7042_8 = 3618$ , $3567_8 = 1911$ , différence 1707, et $3253_8 = 3(512) + 2(64) + 5(8) + 3 = 1707$ . Deuxième soustraction, $10{,}20_8 - 3{,}75_8$ , en complétant $10{,}2$ par un zéro pour aligner : soixante-quatrièmes $0 < 5$ , on emprunte, $0 + 8 - 5 = 3$ , et les huitièmes passent de 2 à 1 ; huitièmes $1 < 7$ , on emprunte, $1 + 8 - 7 = 2$ , et les unités, qui valent 0, empruntent aux huitaines, $1 \to 0$ , pour valoir $8 - 1 = 7$ ; unités $7 - 3 = 4$ ; huitaines $0 - 0 = 0$ . Résultat $4{,}23_8$ . Contrôle : $8{,}25 - 3{,}953125 = 4{,}296875$ et $4{,}23_8 = 4 + \dfrac{2}{8} + \dfrac{3}{64} = 4{,}296875$ . Le piège de l'emprunt en cascade, à travers un zéro, est le même qu'en décimal ; la seule nouveauté est qu'un emprunt vaut 8.

g)

Multiplication posée, avec la table de 8 en tête : chaque produit partiel se réduit modulo 8 et la retenue peut dépasser 1. $53_8 \times 7_8$ : $3 \times 7 = 21 = 2(8) + 5$ , on pose 5 et on retient 2 ; $5 \times 7 + 2 = 37 = 4(8) + 5$ , on pose 5 puis 4. Résultat $455_8$ ; contrôle $43 \times 7 = 301 = 4(64) + 5(8) + 5$ . $124_8 \times 35_8$ : par 5, $4 \times 5 = 20 = 2(8) + 4$ , on pose 4, retenue 2 ; $2 \times 5 + 2 = 12 = 8 + 4$ , on pose 4, retenue 1 ; $1 \times 5 + 1 = 6$ , ligne $644_8$ . Par 3, décalée d'un rang : $4 \times 3 = 12$ , on pose 4, retenue 1 ; $2 \times 3 + 1 = 7$ ; $1 \times 3 = 3$ , ligne $3740_8$ . Somme $644_8 + 3740_8$ : $4 + 0 = 4$ ; $4 + 4 = 8$ , on pose 0, retenue 1 ; $6 + 7 + 1 = 14$ , on pose 6, retenue 1 ; $3 + 1 = 4$ . Résultat $4604_8$ ; contrôle $84 \times 29 = 2436 = 4(512) + 6(64) + 4$ . $6{,}4_8 \times 2{,}2_8$ : on multiplie sans les virgules, $64_8 \times 22_8$ , et l'on replace ensuite autant de chiffres après la virgule qu'il y en avait au total dans les facteurs, ici $1 + 1 = 2$ . $64_8 \times 2 = 150_8$ (car $4 \times 2 = 8$ , on pose 0, retenue 1 ; $6 \times 2 + 1 = 13$ , on pose 5, retenue 1) ; la ligne par 2 décalée donne $1500_8$ ; somme $1650_8$ ; avec deux chiffres fractionnaires, $16{,}50_8 = 16{,}5_8$ . Contrôle : $6{,}5 \times 2{,}25 = 14{,}625$ et $16{,}5_8 = 14 + \dfrac{5}{8} = 14{,}625$ . La règle de placement de la virgule est la même qu'en décimal, parce qu'elle ne dépend que du nombre de rangs, pas de la base.

h)

$345 = 8(43) + 1$ , $43 = 8(5) + 3$ , $5 = 8(0) + 5$ , donc $345 = 531_8$ ; $219 = 8(27) + 3$ , $27 = 8(3) + 3$ , donc $219 = 333_8$ . Addition : $1 + 3 = 4$ ; $3 + 3 = 6$ ; $5 + 3 = 8$ , on pose 0, retenue 1, et l'on écrit 1 en tête. Résultat $1064_8$ , et retour : $512 + 6(8) + 4 = 564 = 345 + 219$ . Le contrôle ferme la boucle. Puis $6{,}5 = 6{,}4_8$ puisque $0{,}5 = \dfrac{4}{8}$ , et $3{,}25 = 3{,}2_8$ puisque $0{,}25 = \dfrac{2}{8}$ . On calcule $64_8 \times 32_8$ : par 2, $150_8$ ; par 3 décalée, $4 \times 3 = 12 = 8 + 4$ , on pose 4 et on retient 1 ; $6 \times 3 + 1 = 19 = 2(8) + 3$ , on pose 3 puis 2, ce qui donne $234_8$ puis $2340_8$ ; somme $150_8 + 2340_8 = 2510_8$ ; deux chiffres fractionnaires : $25{,}10_8 = 25{,}1_8$ . Retour : $2(8) + 5 + \dfrac{1}{8} = 21{,}125$ , et $6{,}5 \times 3{,}25 = 21{,}125$ . Les deux nombres ont des écritures octales finies parce que leurs parties fractionnaires, $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{4}$ , ont un dénominateur puissance de 2.

i)

Chaque chiffre octal vaut exactement 3 bits : $7 = 111_2$ , $5 = 101_2$ , donc $755_8 = 111\ 101\ 101_2$ . Les trois chiffres codent les droits de trois acteurs, le propriétaire, le groupe et les autres, et les trois bits de chaque chiffre sont, dans l'ordre, lecture, écriture, exécution. $7 = 111$ : le propriétaire peut tout ; $5 = 101$ : le groupe et les autres peuvent lire et exécuter, pas écrire. La base 8 est naturelle ici parce que les droits vont par paquets de 3 bits et qu'un chiffre octal est précisément un paquet de 3 bits : le découpage ne demande aucun calcul, il se lit. Un 644, pour comparaison, donne $110\ 100\ 100$ : le propriétaire lit et écrit, les autres lisent seulement. Voilà pourquoi la conversion binaire vers octal se fait en paquets de 3 et pourquoi l'octal survit là où l'on manipule des triplets de bits.

Exercice 6 : Laboratoire en base 16 : de la notation développée à la multiplication posée

L'hexadécimal a seize chiffres : de 0 à 9, puis A, B, C, D, E, F pour 10 à 15. Chaque position pèse une puissance de 16, on retient dès que l'on atteint 16, on emprunte 16. C'est la base de tout ce qui s'affiche en informatique, adresses mémoire, couleurs, octets d'un fichier, parce qu'un chiffre hexadécimal vaut exactement 4 bits et qu'un octet tient en deux chiffres. Cet exercice reprend en base 16 le parcours complet du laboratoire : notation développée, conversions dans les deux sens, addition, complément, soustraction, multiplication, aller-retour contrôlé.

Tables à avoir sous la main : $16^{2} = 256$ , $16^{3} = 4096$ , $16^{4} = 65536$ , $16^{-1} = 0{,}0625$ , $16^{-2} = 0{,}00390625$ , et la table des produits de deux chiffres hexadécimaux se reconstruit en décimal puis se réduit modulo 16.

a) Écrivez $3\text{AF}{,}\text{C}8_{16}$ en notation développée, puis donnez sa valeur décimale.
b) Convertissez en décimal : $2\text{B}_{16}$ , $7\text{D}0_{16}$ , $\text{FFFF}_{16}$ , $\text{A}{,}4_{16}$ et $0{,}18_{16}$ .
c) Convertissez en hexadécimal : $255$ , $4096$ , $3000$ , $0{,}8125$ et $0{,}1$ . Que remarquez-vous pour le dernier ?
d) Posez et calculez les additions hexadécimales $3\text{C}_{16} + 2\text{F}_{16}$ , $\text{A}9\text{F}_{16} + 7\text{E}5_{16}$ et $1\text{F}{,}8_{16} + \text{C}{,}\text{A}_{16}$ .
e) On travaille sur 4 chiffres hexadécimaux. Définissez le complément à 15 et le complément à 16, calculez le complément à 16 de $02\text{D}4_{16}$ , puis utilisez-le pour effectuer $1\text{A}7\text{B}_{16} - 02\text{D}4_{16}$ par une addition. Quel lien avec le complément à deux sur 16 bits, et à quoi reconnaît-on un nombre négatif ?
f) Posez et calculez les soustractions hexadécimales $\text{B}05_{16} - 4\text{C}9_{16}$ et $10{,}4_{16} - 7{,}\text{C}_{16}$ , en détaillant les emprunts.
g) Posez et calculez les multiplications hexadécimales $2\text{A}_{16} \times \text{B}_{16}$ , $1\text{F}_{16} \times 3\text{C}_{16}$ et $4{,}8_{16} \times 2{,}4_{16}$ .
h) Convertissez les deux nombres en hexadécimal, effectuez l'opération en hexadécimal, puis revenez en décimal pour contrôler : $1000 - 255$ et $12{,}75 \times 2{,}5$ .

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/33

a)

Valeur du chiffre

\text{A}

3\text{AF}{,}\text{C}8_{16}

en décimal

b)

2\text{B}_{16}

7\text{D}0_{16}

\text{FFFF}_{16}

\text{A}{,}4_{16}

0{,}18_{16}

c)

255 en hexadécimal

4096 en hexadécimal

3000 en hexadécimal

0{,}8125

en hexadécimal

Pour

0{,}1

, le développement hexadécimal

d)

3\text{C}_{16} + 2\text{F}_{16}

\text{A}9\text{F}_{16} + 7\text{E}5_{16}

Son contrôle en décimal

1\text{F}{,}8_{16} + \text{C}{,}\text{A}_{16}

e)

Complément à 15 de

02\text{D}4_{16}

Complément à 16

Son contrôle en décimal

1\text{A}7\text{B}_{16} - 02\text{D}4_{16}

, en décimal

Un nombre est négatif quand son chiffre de tête vaut

f)

\text{B}05_{16} - 4\text{C}9_{16}

Son contrôle en décimal

10{,}4_{16} - 7{,}\text{C}_{16}

L'emprunt en cascade à travers un zéro laisse derrière lui

g)

2\text{A}_{16} \times \text{B}_{16}

1\text{F}_{16} \times 3\text{C}_{16}

, en décimal

4{,}8_{16} \times 2{,}4_{16}

En base 16, une retenue de multiplication peut monter jusqu'à

h)

3\text{E}8_{16} - 0\text{FF}_{16}

Contrôle en décimal de la soustraction

12{,}75 \times 2{,}5

, en hexadécimal

Contrôle en décimal du produit

Voir la correction

Réponses

a) $3\cdot 16^{2}+10\cdot 16+15+12\cdot 16^{-1}+8\cdot 16^{-2} = 943{,}78125$
b) $43$ , $2000$ , $65\,535$ , $10{,}25$ et $0{,}09375$
c) $\text{FF}_{16}$ , $1000_{16}$ , $\text{BB}8_{16}$ , $0{,}\text{D}_{16}$ ; $0{,}1 = 0{,}1\overline{9}_{16}$ , périodique
d) $6\text{B}_{16}$ , $1284_{16}$ et $2\text{C}{,}2_{16}$
e) Complément à 16 de $02\text{D}4_{16}$ : $\text{FD}2\text{C}_{16}$ ; la différence vaut $17\text{A}7_{16} = 6055$ ; plage $-32\,768$ à $32\,767$ , négatif dès que le chiffre de tête atteint 8
f) $63\text{C}_{16}$ et $8{,}8_{16}$
g) $1\text{CE}_{16}$ , $744_{16}$ et $\text{A}{,}2_{16}$
h) $2\text{E}9_{16} = 745$ et $1\text{F}{,}\text{E}_{16} = 31{,}875$

a)

Les poids, de la virgule vers la gauche, sont $16^{0}, 16^{1}, 16^{2}$ ; vers la droite, $16^{-1}, 16^{-2}$ . D'où $3\text{AF}{,}\text{C}8_{16} = 3 \cdot 16^{2} + 10 \cdot 16^{1} + 15 \cdot 16^{0} + 12 \cdot 16^{-1} + 8 \cdot 16^{-2}$ , en remplaçant A, F et C par leurs valeurs 10, 15 et 12. Valeur : $3(256) + 10(16) + 15 + \dfrac{12}{16} + \dfrac{8}{256} = 768 + 160 + 15 + 0{,}75 + 0{,}03125 = 943{,}78125$ . La seule difficulté nouvelle par rapport à l'octal est de ne pas oublier que A vaut 10 et non 1, et que F vaut 15 et non 6.

b)

$2\text{B}_{16} = 2(16) + 11 = 43$ . $7\text{D}0_{16} = 7(256) + 13(16) + 0 = 1792 + 208 = 2000$ . $\text{FFFF}_{16} = 15(4096) + 15(256) + 15(16) + 15 = 61440 + 3840 + 240 + 15 = 65535$ , et plus vite : quatre chiffres tous au maximum valent $16^{4} - 1 = 65535$ , le plus grand entier sur 16 bits. $\text{A}{,}4_{16} = 10 + \dfrac{4}{16} = 10{,}25$ . $0{,}18_{16} = \dfrac{1}{16} + \dfrac{8}{256} = 0{,}0625 + 0{,}03125 = 0{,}09375$ . Même piège que pour l'octal : $0{,}18_{16}$ n'a rien de « dix-huit centièmes », le deuxième chiffre pèse un deux-cent-cinquante-sixième.

c)

$255 = 16(15) + 15$ , $15 = 16(0) + 15$ , deux restes 15, soit $\text{FF}_{16}$ ; contrôle $15(16) + 15 = 255$ , l'octet plein. $4096 = 16^{3}$ , donc $1000_{16}$ : un 1 suivi de trois zéros, comme $1000 = 10^{3}$ en décimal. $3000 = 16(187) + 8$ ; $187 = 16(11) + 11$ ; $11 = 16(0) + 11$ ; restes lus de bas en haut, $11, 11, 8$ , soit $\text{BB}8_{16}$ ; contrôle $11(256) + 11(16) + 8 = 2816 + 176 + 8 = 3000$ . $0{,}8125 \times 16 = 13{,}0$ , chiffre D, et il ne reste rien : $0{,}8125 = 0{,}\text{D}_{16}$ , ce qui est cohérent avec $0{,}8125 = \dfrac{13}{16}$ . Pour $0{,}1$ : $0{,}1 \times 16 = 1{,}6$ , chiffre 1 ; $0{,}6 \times 16 = 9{,}6$ , chiffre 9 ; $0{,}6 \times 16 = 9{,}6$ , chiffre 9, et ainsi de suite. Donc $0{,}1 = 0{,}1\overline{9}_{16}$ , périodique. C'est la même impossibilité qu'en binaire et en octal, et pour la même raison : $16 = 2^{4}$ , donc un décimal a une écriture finie en base 16 si et seulement si il en a une en base 2, c'est-à-dire si son dénominateur réduit est une puissance de 2. Le dixième, avec son facteur 5, n'en fera jamais partie. On lit d'ailleurs le binaire $0{,}0\overline{0011}_2$ à travers l'hexadécimal : $1 = 0001$ , $9 = 1001$ , et la concaténation $0001\ 1001\ 1001\dots$ redonne bien le motif $0011$ répété, décalé d'un rang.

d)

$3\text{C}_{16} + 2\text{F}_{16}$ : unités $\text{C} + \text{F} = 12 + 15 = 27 = 16 + 11$ , on pose B et on retient 1 ; $3 + 2 + 1 = 6$ . Résultat $6\text{B}_{16}$ ; contrôle $60 + 47 = 107 = 6(16) + 11$ . $\text{A}9\text{F}_{16} + 7\text{E}5_{16}$ : $\text{F} + 5 = 20 = 16 + 4$ , on pose 4, retenue 1 ; $9 + \text{E} + 1 = 9 + 14 + 1 = 24 = 16 + 8$ , on pose 8, retenue 1 ; $\text{A} + 7 + 1 = 18 = 16 + 2$ , on pose 2, retenue 1, écrite en tête. Résultat $1284_{16}$ ; contrôle $2719 + 2021 = 4740 = 4096 + 2(256) + 8(16) + 4$ . $1\text{F}{,}8_{16} + \text{C}{,}\text{A}_{16}$ , virgules alignées : $8 + \text{A} = 18 = 16 + 2$ , on pose 2, retenue 1 ; $\text{F} + \text{C} + 1 = 15 + 12 + 1 = 28 = 16 + 12$ , on pose C, retenue 1 ; $1 + 0 + 1 = 2$ . Résultat $2\text{C}{,}2_{16}$ ; contrôle $31{,}5 + 12{,}625 = 44{,}125 = 2(16) + 12 + \dfrac{2}{16}$ . La méthode sûre pour chaque colonne : additionner en décimal, retrancher 16 si l'on dépasse 15, puis traduire le reste en chiffre hexadécimal. Le piège est de poser « 27 » ou « 11 » au lieu de B.

e)

Le complément à 15 d'un nombre à 4 chiffres hexadécimaux remplace chaque chiffre $d$ par $15 - d$ : c'est l'inversion des bits, puisque $15 - d$ inverse les 4 bits de $d$ . Le complément à 16 ajoute 1 au résultat et vaut $16^{4} - x = 65536 - x$ . Pour $02\text{D}4_{16}$ : complément à 15, $\text{F}-0, \text{F}-2, \text{F}-\text{D}, \text{F}-4$ , soit $\text{FD}2\text{B}_{16}$ ; plus 1, $\text{FD}2\text{C}_{16}$ . Contrôle : $02\text{D}4_{16} = 2(256) + 13(16) + 4 = 724$ , $65536 - 724 = 64812$ , et $\text{FD}2\text{C}_{16} = 15(4096) + 13(256) + 2(16) + 12 = 61440 + 3328 + 32 + 12 = 64812$ . Soustraction par addition : $1\text{A}7\text{B}_{16} + \text{FD}2\text{C}_{16}$ . $\text{B} + \text{C} = 23 = 16 + 7$ , on pose 7, retenue 1 ; $7 + 2 + 1 = 10$ , on pose A ; $\text{A} + \text{D} = 23$ , on pose 7, retenue 1 ; $1 + \text{F} + 1 = 17 = 16 + 1$ , on pose 1, retenue 1. On obtient $117\text{A}7_{16}$ ; on jette la retenue sortante, il reste $17\text{A}7_{16}$ . Contrôle : $1\text{A}7\text{B}_{16} = 6779$ , $6779 - 724 = 6055$ , et $17\text{A}7_{16} = 4096 + 7(256) + 10(16) + 7 = 6055$ . Lien avec le complément à deux : 4 chiffres hexadécimaux, c'est 16 bits, et $\text{FD}2\text{C}_{16}$ est exactement le motif de $-724$ en complément à deux sur 16 bits ; le complément à 16 n'est pas une autre opération, c'est le complément à deux écrit en base 16, quatre bits à la fois. Plage signée : de $8000_{16} = -32768$ à $7\text{FFF}_{16} = 32767$ . Un nombre est négatif quand son chiffre de tête vaut 8 ou plus, parce que ce chiffre contient le bit de poids fort ; ainsi $\text{FD}2\text{C}_{16}$ lu signé vaut $64812 - 65536 = -724$ .

f)

$\text{B}05_{16} - 4\text{C}9_{16}$ . Unités : $5 < 9$ , on emprunte 16, $5 + 16 - 9 = 12$ , on pose C, et le chiffre des seizaines doit baisser de 1 ; il vaut 0, donc on emprunte aux 256, B devient A, et les seizaines valent $16 - 1 = 15 = \text{F}$ . Seizaines : $\text{F} - \text{C} = 15 - 12 = 3$ . Centaines de 256 : $\text{A} - 4 = 6$ . Résultat $63\text{C}_{16}$ . Contrôle : $\text{B}05_{16} = 2821$ , $4\text{C}9_{16} = 1225$ , différence 1596, et $63\text{C}_{16} = 6(256) + 3(16) + 12 = 1596$ . $10{,}4_{16} - 7{,}\text{C}_{16}$ : seizièmes $4 < \text{C}$ , on emprunte, $4 + 16 - 12 = 8$ , et les unités, qui valent 0, empruntent au 1 de gauche pour valoir F ; unités $\text{F} - 7 = 8$ ; le 1 de tête est devenu 0. Résultat $8{,}8_{16}$ . Contrôle : $16{,}25 - 7{,}75 = 8{,}5 = 8 + \dfrac{8}{16}$ . L'emprunt vaut 16, et l'emprunt en cascade à travers un zéro laisse un F derrière lui, comme il laisse un 9 en décimal et un 7 en octal.

g)

$2\text{A}_{16} \times \text{B}_{16}$ : $\text{A} \times \text{B} = 10 \times 11 = 110 = 6(16) + 14$ , on pose E et on retient 6 ; $2 \times \text{B} + 6 = 28 = 16 + 12$ , on pose C, retenue 1, écrite en tête. Résultat $1\text{CE}_{16}$ ; contrôle $42 \times 11 = 462 = 256 + 12(16) + 14$ . Notez la retenue de 6 : en base 16, une retenue de multiplication va jusqu'à 14, ce qui déroute quand on ne retient que des 1 par habitude. $1\text{F}_{16} \times 3\text{C}_{16}$ : par C, $\text{F} \times \text{C} = 180 = 11(16) + 4$ , on pose 4, retenue 11 ; $1 \times \text{C} + 11 = 23 = 16 + 7$ , on pose 7, retenue 1, ligne $174_{16}$ . Par 3, décalée : $\text{F} \times 3 = 45 = 2(16) + 13$ , on pose D, retenue 2 ; $1 \times 3 + 2 = 5$ , ligne $5\text{D}0_{16}$ . Somme $174_{16} + 5\text{D}0_{16}$ : $4 + 0 = 4$ ; $7 + \text{D} = 20 = 16 + 4$ , on pose 4, retenue 1 ; $1 + 5 + 1 = 7$ . Résultat $744_{16}$ ; contrôle $31 \times 60 = 1860 = 7(256) + 4(16) + 4$ . $4{,}8_{16} \times 2{,}4_{16}$ : on calcule $48_{16} \times 24_{16}$ puis on replace deux chiffres fractionnaires. Par 4 : $8 \times 4 = 32 = 2(16) + 0$ , on pose 0, retenue 2 ; $4 \times 4 + 2 = 18 = 16 + 2$ , on pose 2, retenue 1, ligne $120_{16}$ . Par 2 décalée : $8 \times 2 = 16$ , on pose 0, retenue 1 ; $4 \times 2 + 1 = 9$ , ligne $900_{16}$ . Somme $\text{A}20_{16}$ , donc $\text{A}{,}20_{16} = \text{A}{,}2_{16}$ . Contrôle : $4{,}5 \times 2{,}25 = 10{,}125 = 10 + \dfrac{2}{16}$ .

h)

$1000 = 16(62) + 8$ , $62 = 16(3) + 14$ , $3 = 16(0) + 3$ , donc $1000 = 3\text{E}8_{16}$ ; et $255 = \text{FF}_{16}$ , que l'on écrit $0\text{FF}_{16}$ pour aligner. Soustraction $3\text{E}8_{16} - 0\text{FF}_{16}$ : unités $8 < \text{F}$ , on emprunte, $8 + 16 - 15 = 9$ , et E devient D ; seizaines $\text{D} < \text{F}$ , on emprunte, $13 + 16 - 15 = 14 = \text{E}$ , et 3 devient 2 ; $2 - 0 = 2$ . Résultat $2\text{E}9_{16}$ ; retour $2(256) + 14(16) + 9 = 512 + 224 + 9 = 745 = 1000 - 255$ . Puis $12{,}75 = \text{C}{,}\text{C}_{16}$ , puisque $12 = \text{C}$ et $0{,}75 = \dfrac{12}{16}$ , et $2{,}5 = 2{,}8_{16}$ puisque $0{,}5 = \dfrac{8}{16}$ . On calcule $\text{CC}_{16} \times 28_{16}$ . Par 8 : $\text{C} \times 8 = 96 = 6(16) + 0$ , on pose 0, retenue 6 ; $\text{C} \times 8 + 6 = 102 = 6(16) + 6$ , on pose 6, retenue 6, ligne $660_{16}$ . Par 2 décalée : $\text{C} \times 2 = 24 = 16 + 8$ , on pose 8, retenue 1 ; $\text{C} \times 2 + 1 = 25 = 16 + 9$ , on pose 9, retenue 1, ligne $1980_{16}$ . Somme $660_{16} + 1980_{16}$ : $0 + 0 = 0$ ; $6 + 8 = 14 = \text{E}$ ; $6 + 9 = 15 = \text{F}$ ; $0 + 1 = 1$ . Résultat $1\text{FE}0_{16}$ , et avec deux chiffres fractionnaires $1\text{F}{,}\text{E}0_{16} = 1\text{F}{,}\text{E}_{16}$ . Retour : $16 + 15 + \dfrac{14}{16} = 31{,}875$ , et $12{,}75 \times 2{,}5 = 31{,}875$ . La boucle est fermée : quand l'aller-retour tombe juste, la conversion et le calcul posé sont validés d'un coup, et quand il ne tombe pas juste, l'erreur est dans l'un des deux, ce qui se localise vite en revérifiant d'abord les deux conversions.

Exercice 7 : Débordement : quand le résultat ne tient plus

Un débordement se produit quand le résultat exact d'une opération sort de la plage représentable. La machine ne s'arrête pas : elle rend le motif tronqué, qui est faux. Il faut donc savoir DÉTECTER la situation, et ne pas confondre la retenue sortante, qui concerne l'arithmétique non signée, avec le débordement, qui concerne l'arithmétique signée.

a) Sur 8 bits signés, calculez $100 + 50$ . Que donne la machine ?
b) Énoncez la règle qui détecte un débordement signé à partir des signes des opérandes et du résultat.
c) Sur 8 bits non signés, calculez $200 + 100$ . Que donne la machine ?
d) $(-100) + (-50)$ sur 8 bits signés déborde-t-il ?
e) $100 + (-50)$ sur 8 bits signés peut-il déborder ? Justifiez sans calculer.

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/8

a)

Valeur rendue par la machine

Deux positifs donnent un négatif : il y a donc

b)

Il y a débordement signé exactement quand

c)

Valeur conservée

Ce qui se produit ici est

d)

Y a-t-il débordement ?

Valeur rendue

e)

Peut-il déborder ?

Voir la correction

Réponses

a) La machine rend $-106$ : débordement, car $150 > 127$
b) Débordement signé si et seulement si les deux opérandes ont le même signe et le résultat le signe opposé
c) La machine garde $44$ et lève la retenue sortante : retenue non signée, pas débordement signé
d) Oui : $-150 < -128$ , le motif obtenu vaut $106$
e) Non : signes contraires, la somme est comprise entre $-50$ et $100$

a)

$100 = 01100100$ et $50 = 00110010$ . L'addition donne $10010110$ . Le bit de poids fort vaut 1 : lu en signé, le résultat vaut $150 - 256 = -106$ . On additionne deux nombres positifs et on obtient un négatif : c'est un débordement. La valeur exacte, $150$ , dépasse le plafond $127$ , et la roue du complément à deux montre pourquoi : en avançant de 50 crans depuis 100, on franchit la frontière entre $127$ et $-128$ .

b)

Règle : il y a débordement signé exactement lorsque les deux opérandes ont le MÊME signe et que le résultat porte le signe opposé. Deux nombres de signes contraires ne peuvent jamais déborder, puisque leur somme est comprise entre les deux. Le processeur implante cette règle par un XOR entre la retenue entrante et la retenue sortante du bit de poids fort, ce qui donne le même verdict.

c)

$200 + 100 = 300$ , or le plafond non signé sur 8 bits est $255$ . La machine garde $300 - 256 = 44$ et lève la retenue sortante. Le motif conservé est $00101100$ . Ici il n'y a pas de débordement signé au sens de la règle b) : il y a une retenue non signée. Les deux indicateurs, la retenue et le débordement, sont calculés simultanément par le processeur, et c'est le programme qui choisit lequel regarder selon le type déclaré des variables.

d)

$-100$ et $-50$ ont le même signe, et leur somme exacte $-150$ est inférieure au plancher $-128$ : il y a débordement. Le motif obtenu correspond à $-150 + 256 = 106$ , un positif. On retrouve la règle : deux négatifs qui donnent un positif.

e)

Non. Les opérandes sont de signes contraires, donc leur somme est comprise entre $-50$ et $100$ , c'est-à-dire strictement à l'intérieur de la plage $[-128, 127]$ . C'est un raisonnement d'encadrement, pas un calcul : la somme d'un positif et d'un négatif est toujours située entre les deux, donc dans la plage dès que les deux opérandes y sont. Un débordement à l'addition signée est donc toujours détectable au seul examen des signes.

Exercice 8 : Hexadécimal, masques et opérations bit à bit

L'hexadécimal n'est pas une base de calcul : c'est une écriture compacte du binaire. Un chiffre hexadécimal vaut exactement 4 bits, un chiffre octal exactement 3 bits, ce qui rend les conversions immédiates par découpage en paquets, à partir de la DROITE. Les opérations bit à bit, elles, agissent sur chaque rang indépendamment, sans aucune retenue.

a) Convertissez $1011111011101111_2$ en hexadécimal, puis en octal.
b) On note $\text{ET}$ l'opération bit à bit. Que donne $\text{B6}_{16}$ ET $\text{0F}_{16}$ ? Et $\text{B6}_{16}$ ET $\text{F0}_{16}$ ?
c) Quelle opération force à 1 le bit de rang 2 sans toucher aux autres ? Quelle opération l'inverse ?
d) Que valent $1011_2$ décalé de 3 rangs à gauche, puis de 2 rangs à droite ?
e) Comment tester la parité d'un entier avec une seule opération bit à bit ?
f) Pourquoi la conversion binaire vers octal se fait-elle en paquets de 3 et non de 4 ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/16

a)

En hexadécimal

En octal

Valeur décimale

b)

\text{B6}_{16}

ET

0\text{F}_{16}

, en décimal

\text{B6}_{16}

ET

\text{F}0_{16}

, en décimal

Un ET sert toujours à

c)

Forcer un bit à 1 sans toucher aux autres demande

Inverser ce seul bit demande

Le masque, en décimal

d)

Après décalage de 3 rangs à gauche

Puis de 2 rangs à droite

Le décalage à droite est

e)

Le test de parité s'écrit

f)

Bits codés par un chiffre octal

Bits codés par un chiffre hexadécimal

Le découpage en paquets n'est valable que si

Voir la correction

Réponses

a) $\text{BEEF}_{16} = 137357_8 = 48\,879$
b) $6$ et $\text{B}0_{16} = 176$ , dont la somme redonne $182$
c) OU avec $00000100$ pour allumer, XOR avec le même masque pour basculer
d) $88$ puis $22$
e) $n$ ET $1$ vaut 0
f) Parce que $8 = 2^{3}$ : un chiffre octal vaut 3 bits, un chiffre hexadécimal 4

a)

Découpage en paquets de 4 depuis la droite : $1011\ 1110\ 1110\ 1111$ , soit $\text{B}, \text{E}, \text{E}, \text{F}$ : le nombre s'écrit $\text{BEEF}_{16}$ . Vérification par les poids : $11(4096) + 14(256) + 14(16) + 15 = 45056 + 3584 + 224 + 15 = 48\,879$ . Pour l'octal, on redécoupe le MÊME binaire en paquets de 3 depuis la droite, en complétant à gauche par un zéro : $1\ 011\ 111\ 011\ 101\ 111$ , soit $137357_8$ . Vérification : $1(32768)+3(4096)+7(512)+3(64)+5(8)+7 = 48\,879$ . Le découpage doit impérativement partir de la droite ; partir de la gauche est l'erreur la plus fréquente et elle décale tout.

b)

$\text{B6}_{16} = 10110110_2 = 182$ . Le masque $\text{0F} = 00001111$ garde les 4 bits de poids faible et annule les autres : le résultat est $00000110 = 6$ . Le masque $\text{F0} = 11110000$ garde les 4 bits de poids fort : le résultat est $10110000 = \text{B0}_{16} = 176$ . Contrôle : $176 + 6 = 182$ , les deux moitiés recomposent l'octet. Un ET sert toujours à ÉTEINDRE des bits.

c)

Pour forcer un bit à 1 sans toucher aux autres, on fait un OU avec un masque qui ne porte un 1 qu'à ce rang : ici $\text{OU}\ 00000100$ . Pour inverser ce seul bit, on fait un XOR avec le même masque, puisque $x \oplus 1 = \overline{x}$ et $x \oplus 0 = x$ . Trois rôles à retenir : ET pour éteindre, OU pour allumer, XOR pour basculer.

d)

$1011_2 = 11$ . Décalé de 3 rangs à gauche : $1011000_2 = 88$ , soit $11 \times 2^{3}$ . Ce résultat décalé de 2 rangs à droite donne $10110_2 = 22$ , soit $88 \div 4$ . Attention, le décalage à droite est une division ENTIÈRE : les bits expulsés sont perdus, et $11$ décalé à droite de 1 rang donne 5, pas $5{,}5$ .

e)

Un entier est pair si et seulement si son bit de rang 0 vaut 0, donc le test s'écrit : $n$ ET $1$ vaut 0. Une seule opération, contre une division et un reste pour le test $n \bmod 2 = 0$ . C'est l'optimisation classique, et elle reste correcte pour les entiers négatifs en complément à deux, puisque le bit de rang 0 y garde la même signification.

f)

Parce qu'un chiffre de base $b$ code exactement $\log_{2}b$ bits : $16 = 2^{4}$ donne 4 bits par chiffre hexadécimal, et $8 = 2^{3}$ donne 3 bits par chiffre octal. Le découpage n'est valable que parce que la base est une puissance de 2 ; il n'existe aucun découpage analogue vers la base 10, et c'est pour cela que la conversion binaire vers décimal exige des divisions ou des poids.

Exercice 9 : Codes informatiques : ASCII, BCD, Gray et parité

Un code n'est pas une base : c'est une convention qui associe un motif de bits à un symbole ou à un chiffre. Le même motif $01000001$ vaut 65, ou la lettre A, ou tout autre chose, selon le code appliqué. Un motif de bits ne porte jamais son interprétation avec lui.

a) La lettre A vaut 65 en ASCII. Écrivez son motif sur 8 bits. La lettre a vaut 97 : que vaut la différence, et où se voit-elle dans le motif ?
b) Écrivez 47 en BCD, puis en binaire pur. Comparez le nombre de bits utilisés.
c) Le code de Gray sur 3 bits est $000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100$ . Quelle propriété vérifie-t-il ? Donnez la règle de conversion depuis le binaire.
d) On protège le mot de 7 bits $1011011$ par un bit de parité paire. Quel bit ajoute-t-on ?
e) Ce code détecte-t-il deux erreurs simultanées ? Corrige-t-il une erreur ?

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a)

Différence entre a et A

Rang du bit qui change

Passer d'une majuscule à sa minuscule revient à

b)

47 en BCD, nombre de bits

47 en binaire pur

Nombre de bits en binaire pur

Le BCD n'utilise, par quartet, que

c)

Deux codes consécutifs de Gray diffèrent par

Le bit de rang

k

du code de Gray est

Code de Gray de 5, sur 3 bits

d)

Nombre de 1 dans le mot

Bit de parité ajouté

Nombre de 1 dans le mot transmis

e)

Deux erreurs simultanées

Ce code

Voir la correction

Réponses

a) A vaut $01000001$ , a vaut $01100001$ : seul le bit de rang 5 change, d'où l'écart de $32$
b) $0100\ 0111$ sur 8 bits en BCD, $101111_2$ sur 6 bits en binaire pur
c) Un seul bit change entre deux codes consécutifs ; le bit de Gray de rang $k$ est le XOR des bits binaires de rangs $k$ et $k+1$
d) Le bit de parité vaut 1, le mot transmis est $10110111$
e) Il détecte une erreur simple, pas deux erreurs, et ne corrige rien

a)

$65 = 64 + 1$ , donc A s'écrit $01000001$ . Et $97 = 64+32+1$ , donc a s'écrit $01100001$ . La différence vaut $32 = 2^{5}$ : le seul bit qui change est celui de rang 5. Passer d'une majuscule à sa minuscule revient donc à forcer ce bit à 1, et l'inverse à l'éteindre. C'est pourquoi une mise en minuscules se code historiquement par un simple OU avec $00100000$ , sans aucune table.

b)

En BCD, chaque chiffre décimal est codé séparément sur 4 bits : le 4 devient $0100$ , le 7 devient $0111$ , donc $47$ s'écrit $0100\ 0111$ , soit 8 bits. En binaire pur, $47 = 32+8+4+2+1 = 101111_2$ , soit 6 bits. Le BCD gaspille de la place, puisqu'il n'utilise que 10 des 16 motifs de chaque quartet, mais il rend l'affichage immédiat, chiffre par chiffre. On le trouve encore dans les afficheurs, les horloges et certains formats financiers, où la conversion exacte vers le décimal prime sur la compacité.

c)

Deux codes consécutifs ne diffèrent que par un seul bit, y compris entre le dernier et le premier. La règle de conversion : le bit de rang $k$ du code de Gray est le XOR du bit de rang $k$ et du bit de rang $k+1$ de l'écriture binaire. Par exemple $5 = 101_2$ donne un premier bit $1 \oplus 0 = 1$ , un deuxième $0 \oplus 1 = 1$ , un troisième $1 \oplus 0 = 1$ , soit $111$ , qui est bien le sixième mot de la liste. L'intérêt est physique : sur un capteur de position, si deux bits changeaient en même temps, un décalage de lecture entre eux produirait une valeur intermédiaire absurde. Avec Gray, il n'y a jamais qu'un bit en transition.

d)

Le mot $1011011$ contient cinq 1, un nombre impair. Pour que le total soit pair, le bit de parité vaut 1, et le mot transmis devient $10110111$ , qui contient six 1. Contrôle à la réception : on recompte les 1 ; s'ils sont en nombre impair, une erreur s'est produite.

e)

Il détecte toute erreur portant sur un nombre IMPAIR de bits, donc une erreur simple, mais pas deux erreurs simultanées : deux bits inversés laissent la parité inchangée et l'erreur passe inaperçue. Et il ne corrige rien, puisqu'il signale seulement qu'une erreur existe, sans dire où. Corriger demande davantage de redondance, par exemple un code de Hamming, qui ajoute plusieurs bits de contrôle placés de façon à désigner la position du bit fautif.

Exercice 10 : Cinq affirmations à corriger

Chacune des cinq affirmations suivantes est FAUSSE. Dites pourquoi et donnez l'énoncé correct.

1) « En binaire, ajouter un 0 à droite multiplie le nombre par 10. »
2) « Sur 8 bits, le complément à deux représente les entiers de $-127$ à $+127$ . »
3) « Le motif $11111111$ vaut $-1$ . »
4) « Un octet s'écrit avec quatre chiffres hexadécimaux. »
5) « Avec assez de bits, on finit par écrire $0{,}1$ exactement en binaire. »

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/11

1)

Ajouter un zéro à droite multiplie par

101_2 = 5

devient, en décimal

2)

Borne inférieure

Borne supérieure

3)

Lu comme non signé sur 8 bits

Lu comme signé sur 8 bits

La valeur d'un motif dépend

4)

Chiffres hexadécimaux d'un octet

Bits décrits par 4 chiffres hexadécimaux

5)

0{,}1

en binaire

Un nombre a une écriture binaire finie si

Voir la correction

Réponses

1) FAUX : la base vaut 2, donc le facteur est 2. $101_2 = 5$ devient $1010_2 = 10$
2) FAUX : la plage est $[-128\,;127]$ , soit $[-2^{n-1}\,;2^{n-1}-1]$
3) FAUX : $-1$ en signé, $255$ en non signé. Le type est fixé par le programme, pas par la mémoire
4) FAUX : un octet s'écrit avec DEUX chiffres hexadécimaux, de $00$ à $\text{FF}$
5) FAUX : $0{,}1$ n'a aucune écriture binaire finie, le facteur 5 du dénominateur l'interdit

1)

FAUX. Ajouter un zéro à droite multiplie par la BASE, et la base est 2. Contre-exemple : $101_2 = 5$ devient $1010_2 = 10$ , soit le double, pas dix fois plus. Énoncé correct : en base $b$ , ajouter un zéro à droite multiplie par $b$ ; en binaire, par 2, et $k$ zéros multiplient par $2^{k}$ .

2)

FAUX. La plage est $-128$ à $+127$ : elle est asymétrique, parce que le zéro consomme un motif du côté positif. Compter les motifs suffit à le voir : $128$ motifs pour les négatifs, $128$ pour le zéro et les positifs. Énoncé correct : sur $n$ bits, le complément à deux couvre $[-2^{n-1},\ 2^{n-1}-1]$ .

3)

FAUX. Le motif ne porte pas son interprétation : $11111111$ vaut $-1$ s'il est lu comme un entier signé sur 8 bits, mais $255$ s'il est lu comme un entier non signé. Il vaut encore autre chose s'il est lu comme un caractère ou comme une portion de nombre à virgule flottante. Énoncé correct : la valeur d'un motif dépend du type déclaré, et c'est le programme, pas la mémoire, qui fixe ce type.

4)

FAUX. Un chiffre hexadécimal vaut 4 bits, donc un octet de 8 bits s'écrit avec exactement DEUX chiffres hexadécimaux, de $00$ à $\text{FF}$ . Quatre chiffres hexadécimaux décrivent 16 bits, soit deux octets. Énoncé correct : $n$ bits demandent $n/4$ chiffres hexadécimaux, arrondis vers le haut.

5)

FAUX. $0{,}1 = \dfrac{1}{10}$ et $10 = 2 \times 5$ contient le facteur 5. Un nombre n'a d'écriture binaire finie que si son dénominateur réduit est une puissance de 2 : le développement de $0{,}1$ est périodique et ajouter des bits ne fait que repousser l'arrondi. Énoncé correct : $0{,}1$ n'admet aucune écriture binaire finie, quel que soit le nombre de bits ; c'est la raison pour laquelle $0{,}1+0{,}2$ ne vaut pas exactement $0{,}3$ en machine.

Exercice 11 : Problème : couleurs, mémoire et taille d'une image

Une couleur d'écran s'écrit en hexadécimal sous la forme #RRVVBB : deux chiffres hexadécimaux par composante, rouge, vert et bleu, chaque composante tenant sur un octet. Une image matricielle stocke une telle couleur par pixel.

a) Décomposez la couleur $\#3\text{C}78\text{D}8$ en ses trois composantes décimales.
b) Combien de couleurs distinctes ce codage permet-il ?
c) Un bus d'adresses compte 16 fils. Combien d'octets peut-on adresser ?
d) Quelle place occupe une image de 800 pixels sur 600 en couleurs 24 bits, en octets puis en mébioctets ?
e) Le même bus de 16 fils suffit-il à adresser cette image ? Combien de fils faudrait-il ?
f) La couleur $\#\text{FFFFFF}$ est-elle le blanc ou le noir ? Et $\#000000$ ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/15

a)

Rouge

Vert

Bleu

b)

Nombre de couleurs

Le calcul le plus sûr consiste à

c)

Nombre d'adresses

En kibioctets

Chaque fil supplémentaire

d)

Nombre de pixels

Taille en octets

Taille en mébioctets

e)

Le bus de 16 fils

Nombre de fils nécessaires

f)

La couleur

\#\text{FFFFFF}

est

La synthèse d'un écran est

Voir la correction

Réponses

a) $(60\,;120\,;216)$
b) $256^{3} = 2^{24} = 16\,777\,216$ couleurs
c) $2^{16} = 65\,536$ octets, soit 64 Kio
d) $480\,000$ pixels, $1\,440\,000$ octets, environ $1{,}37$ Mio
e) Non : il faut 21 fils, puisque $2^{20} < 1\,440\,000 \le 2^{21}$
f) $\#\text{FFFFFF}$ est le blanc, $\#000000$ le noir : la synthèse d'un écran est additive

a)

On découpe en trois paires : $3\text{C}$ , $78$ , $\text{D}8$ . Rouge : $3(16)+12 = 60$ . Vert : $7(16)+8 = 120$ . Bleu : $13(16)+8 = 216$ . La couleur est donc $(60, 120, 216)$ , un bleu franc, ce que confirme la dominance de la composante bleue.

b)

Chaque composante prend $256$ valeurs, et les trois sont indépendantes : $256^{3} = 2^{24} = 16\,777\,216$ couleurs. C'est le fameux « 16 millions de couleurs », et le calcul se fait en additionnant les bits, $8+8+8 = 24$ , plutôt qu'en multipliant trois fois 256.

c)

Avec 16 fils d'adresse, on forme $2^{16} = 65\,536$ adresses distinctes, soit 64 kibioctets si chaque adresse désigne un octet. Chaque fil supplémentaire double la capacité adressable : c'est un doublement, pas une addition, et c'est pourquoi le passage de 32 à 64 bits d'adressage n'a pas doublé mais rendu inatteignable la limite.

d)

L'image compte $800 \times 600 = 480\,000$ pixels, à 3 octets chacun : $1\,440\,000$ octets. Un mébioctet valant $2^{20} = 1\,048\,576$ octets, cela fait $1\,440\,000 / 1\,048\,576 \approx 1{,}37$ Mio. Contrôle d'ordre de grandeur : un demi-million de pixels à 3 octets, c'est environ un million et demi d'octets, donc un peu plus d'un mébioctet.

e)

Non : $65\,536$ adresses ne suffisent pas pour $1\,440\,000$ octets. Il faut $n$ tel que $2^{n} \ge 1\,440\,000$ . Comme $2^{20} = 1\,048\,576$ est trop petit et $2^{21} = 2\,097\,152$ convient, il faut 21 fils d'adresse. On raisonne par encadrement entre deux puissances de 2, jamais par division.

f)

$\#\text{FFFFFF}$ met les trois composantes à leur maximum, $255$ : c'est le blanc, la somme des trois lumières. $\#000000$ les met à zéro : aucune lumière émise, c'est le noir. La synthèse est additive parce qu'un écran émet de la lumière ; sur du papier, l'encre absorbe et la logique s'inverse, ce qui explique que le blanc y soit l'absence d'encre.

Exercice 12 : Problème : la norme IEEE 754 en simple précision

Un nombre à virgule flottante en simple précision tient sur 32 bits : 1 bit de signe, 8 bits d'exposant biaisé de $127$ , et 23 bits de mantisse. Le nombre s'écrit $(-1)^{s} \times 1{,}m \times 2^{e-127}$ : le 1 de tête n'est pas stocké, puisqu'il est toujours là après normalisation.

a) Écrivez $6{,}25$ en binaire.
b) Normalisez cette écriture sous la forme $1{,}m \times 2^{k}$ .
c) Calculez l'exposant biaisé, puis donnez les 32 bits de $-6{,}25$ .
d) Écrivez ces 32 bits en hexadécimal.
e) Jusqu'à quel entier tous les entiers sont-ils représentés exactement en simple précision ?
f) Deux nombres flottants voisins sont-ils séparés par un écart constant ?

Tape tes réponses, la page te dit juste ou faux 0/14

a)

6{,}25

en binaire

Contrôle en décimal

b)

Exposant

k

La mantisse normalisée s'écrit

Valeur décimale de

1{,}1001_2

c)

Exposant stocké

Bit de signe

Motif lu comme entier non signé

d)

Les 32 bits en hexadécimal

Le regroupement par 4 bits est licite ici parce que

e)

Bits significatifs

Tous les entiers exacts jusqu'à

f)

L'écart entre deux flottants consécutifs

Additionner un petit nombre à un très grand

Voir la correction

Réponses

a) $6{,}25 = 110{,}01_2$
b) $1{,}1001_2 \times 2^{2}$
c) Exposant stocké $129$ , signe 1 : $1\ 10000001\ 10010000000000000000000$
d) $\text{C0C80000}_{16}$
e) $2^{24} = 16\,777\,216$
f) Non : l'écart vaut $2^{-23}\times 2^{k}$ , il croît avec l'ordre de grandeur

a)

Partie entière : $6 = 110_2$ . Partie fractionnaire : $0{,}25 = 2^{-2}$ , donc $01$ après la virgule. D'où $6{,}25 = 110{,}01_2$ . Vérification : $4 + 2 + 0{,}25 = 6{,}25$ .

b)

On décale la virgule de deux rangs vers la gauche, ce qui compense par un facteur $2^{2}$ : $110{,}01_2 = 1{,}1001_2 \times 2^{2}$ . Vérification : $1{,}1001_2 = 1 + 0{,}5 + 0{,}0625 = 1{,}5625$ , et $1{,}5625 \times 4 = 6{,}25$ . La normalisation impose exactement un 1 avant la virgule, ce qui rend l'écriture unique et permet de ne pas stocker ce 1.

c)

L'exposant réel vaut $2$ , donc l'exposant stocké vaut $2 + 127 = 129 = 10000001_2$ . Le signe est négatif, donc $s = 1$ . La mantisse est la partie qui suit la virgule, $1001$ , complétée par des zéros jusqu'à 23 bits. Les 32 bits sont : $1\ 10000001\ 10010000000000000000000$ . Contrôle numérique : lu comme un entier non signé, ce motif vaut $2^{31} + 129 \times 2^{23} + 2^{22} + 2^{19} = 3\,234\,332\,672$ .

d)

On regroupe les 32 bits en paquets de 4 depuis la gauche, ce qui est licite puisque 32 est un multiple de 4 : $1100\ 0000\ 1100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000$ , soit $\text{C0C80000}_{16}$ . Contrôle : $\text{C0C80000}$ vaut bien $3\,234\,332\,672$ , la même valeur qu'à la question précédente.

e)

La mantisse compte 23 bits stockés plus le 1 implicite, soit 24 bits significatifs. Tous les entiers jusqu'à $2^{24} = 16\,777\,216$ s'écrivent donc exactement. Au delà, un entier sur deux seulement est représentable, puis un sur quatre, et ainsi de suite. C'est pour cette raison qu'un compteur de secondes ou un identifiant stocké en simple précision devient faux à partir de 17 millions environ, sans le moindre message d'erreur.

f)

Non. L'écart entre deux flottants consécutifs vaut $2^{-23} \times 2^{k}$ : il dépend de l'exposant, donc de l'ordre de grandeur du nombre. Près de 1, l'écart vaut environ $10^{-7}$ ; près de $10^{6}$ , il vaut environ $0{,}06$ . Les flottants sont serrés près de zéro et de plus en plus espacés en s'en éloignant, exactement comme les graduations d'une échelle logarithmique. Conséquence pratique : additionner un petit nombre à un grand peut ne rien changer du tout, ce qui rend une somme dépendante de l'ordre des termes.

Exercices corrigés : systèmes de numération informatique (201-N11)

Rappel de cours

Partie A : les bases (/70)

Exercice 1 : Poids positionnels : lire un nombre dans sa base

Exercice 2 : Du décimal vers les autres bases : divisions successives

Exercice 3 : Arithmétique binaire : additionner, soustraire, multiplier

Exercice 4 : Le complément à deux : représenter les nombres négatifs

Exercice 5 : Laboratoire en base 8 : de la notation développée à la multiplication posée

Exercice 6 : Laboratoire en base 16 : de la notation développée à la multiplication posée

Exercice 7 : Débordement : quand le résultat ne tient plus

Partie B : problèmes et raisonnement (/50)

Exercice 8 : Hexadécimal, masques et opérations bit à bit

Exercice 9 : Codes informatiques : ASCII, BCD, Gray et parité

Exercice 10 : Cinq affirmations à corriger

Exercice 11 : Problème : couleurs, mémoire et taille d'une image

Exercice 12 : Problème : la norme IEEE 754 en simple précision

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