Épreuve bilan de mathématique, secondaire 3 : examen blanc corrigé

a) Rationnels : $\sqrt{81}=9$, $\dfrac{5}{7}$, $0{,}\overline{6}=\dfrac{2}{3}$. Irrationnels : $\sqrt{45}$ ($45$ n'est pas un carré parfait, $6^{2}=36$ et $7^{2}=49$) et $\sqrt[3]{20}$ ($20$ n'est pas un cube parfait). Le piège de l'item est $\sqrt{81}$, qu'on calcule avant de classer.

b) $3^{-2}\times 3^{5}=3^{-2+5}=3^{3}=27$. La base ne change pas, les exposants s'additionnent, et $-2+5=3$.

c) Mantisses : $4{,}5\times 2=9$. Puissances : $10^{6}\times 10^{-3}=10^{3}$. Résultat : $9\times 10^{3}$, déjà en notation scientifique puisque $1\le 9<10$.

d) $\sqrt[3]{-125}=-5$, car $(-5)^{3}=-125$ ; la racine cubique d'un négatif existe et est négative. $7^{2}=49<60<64=8^{2}$, donc $7<\sqrt{60}<8$.

e) « Au moins $-2$ » : $x\ge-2$ ; « moins de $7$ » : $x<7$. Intervalle : $[-2\,;7[$. Complément : $]-\infty\,;-2[\;\cup\;[7\,;+\infty[$, les crochets se retournent : $-2$ était inclus, il est exclu ; $7$ était exclu, il est inclus.

a) Termes semblables : $4x^{2}y-x^{2}y=3x^{2}y$ ; $-3xy+5xy=2xy$ ; $7-9=-2$. Résultat : $3x^{2}y+2xy-2$. Les termes $x^{2}y$ et $xy$ ne se combinent pas : exposants différents.

b) $(x-4)(2x+1)=2x^{2}+x-8x-4=2x^{2}-7x-4$. Vérification avec $x=1$ : $(-3)(3)=-9$ et $2-7-4=-9$.

c) Division terme par terme : $\dfrac{12a^{3}b}{6a^{2}b}=2a$ et $\dfrac{-18a^{2}b^{2}}{6a^{2}b}=-3b$, donc $2a-3b$. Mise en évidence : PGCD $6$, $a^{2}$ et $b$ au plus petit exposant, $12a^{3}b-18a^{2}b^{2}=6a^{2}b(2a-3b)$ ; la parenthèse est le quotient qu'on vient de calculer.

d) $5x-10=3x+8$, donc $2x=18$ et $x=9$. Vérification : $5\times 7=35$ et $27+8=35$.

e) $-2x\ge 8$, on divise par $-2$ en RENVERSANT : $x\le-4$. Intervalle : $]-\infty\,;-4]$. Test : $x=-5$ donne $13\ge 11$, vrai ; $x=0$ donne $3\ge 11$, faux, donc $0$ n'est pas solution, cohérent.

a) $9^{2}+12^{2}=81+144=225$, hypoténuse $15$ cm : le triplet $3$-$4$-$5$ multiplié par $3$.

b) $V=\pi r^{2}h=\pi\times 9\times 7=63\pi$ cm$^{3}$. $A_{lat}=2\pi rh=2\pi\times 3\times 7=42\pi$ cm$^{2}$. On garde $\pi$, l'énoncé demande des valeurs exactes.

c) $k^{2}=\dfrac{45}{20}=\dfrac{9}{4}$, donc $k=\dfrac{3}{2}=1{,}5$. Racine carrée du rapport des aires, solution positive.

d) Rangées : $9$, $9$, $12$, $14$, $17$, $22$, $30$ ; sept valeurs, la médiane est la $4$e : $14$. Étendue : $30-9=21$.

e) $0{,}35\times 360=126^{\circ}$, ou $35\times 3{,}6=126$.

a) A : $C=6h+15$, variation PARTIELLE, taux $6$ dollars par heure et ordonnée à l'origine $15$, le dépôt. B : $C=9h$, variation DIRECTE, proportionnelle, la droite passe par l'origine. Même chapitre que la fonction de degré 1 : le dépôt est ce qui distingue les deux types.

b) $6h+15=9h$, donc $15=3h$ et $h=5$. Puis $C=9\times 5=45$. Solution $(5\,;45)$ : pour une location de $5$ heures, les deux kiosques demandent le même prix, $45$ dollars. Vérification chez A : $6\times 5+15=45$.

c) La droite de A part de $(0\,;15)$ et monte de $6$ par heure ; celle de B part de l'origine et monte de $9$ par heure. Elles se croisent en $(5\,;45)$, marqué sur la figure du corrigé. À DROITE du croisement, pour $h>5$, la droite de A est en dessous : A est moins cher pour plus de $5$ heures. À gauche, B gagne : sans dépôt, il est imbattable sur une courte sortie. Le taux le plus faible l'emporte à long terme, le dépôt le plus faible au départ.

d) B devient $C=9h+15$. Système : $6h+15=9h+15$, donc $6h=9h$, $h=0$ : la seule durée d'égalité est $0$ heure, où les deux kiosques demandent le dépôt seul. Pour toute durée positive, A est moins cher, puisque même dépôt et taux plus faible. Graphiquement, les deux droites partent du MÊME point $(0\,;15)$ et celle de B est plus raide : elles ne se recroisent jamais.

a) $H=-6j+150$. Le taux $-6$ est la perte quotidienne, en cm par jour, négatif parce que la hauteur diminue. L'ordonnée à l'origine, $150$, est la hauteur au jour $0$, avant que la fonte ne commence.

b) Zéro : $-6j+150=0$, $j=25$. Au bout de $25$ jours, le banc a complètement fondu. Domaine : $[0\,;25]$ jours, au-delà la formule donnerait une hauteur négative. Image : $[0\,;150]$ cm. Les deux se lisent sur les deux axes différents : jours à l'horizontale, centimètres à la verticale.

c) Signe : positive sur $[0\,;25[$, nulle en $25$, la neige a une hauteur positive jusqu'à disparaître. Variation : DÉCROISSANTE sur tout le domaine. Maximum : $150$ cm, atteint en $j=0$. Minimum : $0$ cm, atteint en $j=25$. Une fonction de degré 1 sur un intervalle fermé atteint ses extremums aux deux bouts.

d) On isole $j$ : $6j=150-H$, donc $j=\dfrac{150-H}{6}$. Pour $H=30$ : $j=\dfrac{120}{6}=20$ jours. La réciproque est une fonction : $H$ est strictement décroissante, donc chaque hauteur n'est atteinte qu'une fois, et à chaque hauteur correspond un seul jour. Vérification : $H(20)=-120+150=30$.

a) Volume $=$ débit $\times$ temps, donc $dt=90$ et $t=\dfrac{90}{d}$ : variation INVERSE, produit constant $90$. Pour $3$ L/min : $30$ min. Pour $5$ : $18$. Pour $9$ : $10$. Pour $15$ : $6$. Tripler le débit de $3$ à $9$ divise le temps par trois, de $30$ à $10$.

b) $\dfrac{90}{d}=4$, donc $d=22{,}5$ L/min. Doubler le débit divise le temps par deux : $45$ L/min donnent $2$ minutes. C'est la propriété centrale de la variation inverse, et elle ne dépend pas du point de départ.

c) Toutes les quatre. Zéro : aucun, $\dfrac{90}{d}$ n'est jamais nul, il faut toujours un temps positif. Ordonnée à l'origine : aucune, un débit nul ne remplit jamais, la fonction n'est pas définie en $d=0$. Maximum : aucun, un débit minuscule donne un temps aussi grand qu'on veut. Minimum : aucun, le temps s'approche de $0$ sans l'atteindre quand le débit grandit. La courbe ne touche aucun des deux axes.

d) Le petit bidon met $\dfrac{30}{2}=15$ minutes. On veut $\dfrac{90}{d}=15$, donc $d=6$ L/min. Interprétation : un bidon trois fois plus gros demande un débit trois fois plus grand pour se remplir en même temps ; le rapport des volumes se retrouve dans le rapport des débits, parce que le temps, lui, est fixé.

a) $V=\pi\times 3^{2}\times 15=135\pi\approx 424{,}1$ cm$^{3}$, soit environ $424$ mL. Étiquette : $A_{lat}=2\pi\times 3\times 15=90\pi\approx 282{,}7$ cm$^{2}$. On garde $\pi$ jusqu'au bout.

b) $k=\dfrac{4{,}5}{3}=1{,}5$. Toutes les longueurs suivent : hauteur $15\times 1{,}5=22{,}5$ cm. Un format « semblable » n'est pas seulement plus large, il est aussi plus haut dans la même proportion.

c) Volume : $k^{3}=3{,}375$, donc $135\pi\times 3{,}375=455{,}625\pi\approx 1431{,}4$ cm$^{3}$, environ $1{,}43$ L, plus de trois fois la bouteille ordinaire pour un rayon une fois et demie plus grand. Étiquette : $k^{2}=2{,}25$, donc $90\pi\times 2{,}25=202{,}5\pi\approx 636{,}2$ cm$^{2}$. Vérification par les formules : $\pi\times 4{,}5^{2}\times 22{,}5=455{,}625\pi$ et $2\pi\times 4{,}5\times 22{,}5=202{,}5\pi$. Tout concorde.

d) La paille en diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les cathètes sont la hauteur, $15$, et le DIAMÈTRE, $6$ (d'un côté à l'autre, pas le rayon). Longueur maximale : $\sqrt{15^{2}+6^{2}}=\sqrt{225+36}=\sqrt{261}\approx 16{,}16$ cm. La paille de $18$ cm dépasse donc d'environ $18-16{,}16=1{,}84$ cm, même placée en diagonale. Avec le rayon au lieu du diamètre, on trouverait $\sqrt{234}\approx 15{,}30$ et un dépassement de $2{,}7$ cm, faux.