Calcul intégral MTH0103 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : les équations différentielles à variables séparables (MTH0103)

Q: Comment reconnaître une équation différentielle à variables séparables ?

On isole la dérivée et on regarde le membre de droite. Si c'est un produit ou un quotient d'une fonction de la variable par une fonction de l'inconnue, l'équation se sépare. Une somme ne se sépare pas, sauf si elle se factorise, ce qui est le cas le plus fréquent en examen et celui que les copies déclarent à tort insoluble.

Q: Pourquoi la constante d'intégration devient-elle un facteur ?

Parce qu'elle s'ajoute au logarithme, donc avant l'exponentiation. L'exponentielle d'une somme est le produit des exponentielles, et l'exponentielle de la constante devient un nombre qui multiplie le reste. Écrire la constante après l'exponentielle donne une famille de fonctions qui ne vérifie plus l'équation.

Q: Quelles solutions la séparation fait-elle perdre ?

Celles qui annulent le diviseur. Séparer, c'est diviser par une expression contenant l'inconnue, et cette division suppose que l'expression n'est pas nulle. Les valeurs qui l'annulent donnent des solutions constantes, qu'il faut mentionner à part. Certaines se retrouvent dans la famille générale, d'autres non.

Q: Quel est le signe de la constante dans la loi de Newton ?

Elle est toujours négative, parce que l'écart avec le milieu diminue au fil du temps. Ce qui décide du sens de l'évolution, réchauffement ou refroidissement, est le signe de l'écart initial entre la température de l'objet et celle du milieu. Une constante positive donnerait une température qui s'éloigne indéfiniment.

Q: Pourquoi faut-il l'aire de la surface libre dans la loi de Torricelli ?

Parce que la loi donne un débit, c'est-à-dire un volume par unité de temps, alors que la question porte presque toujours sur la hauteur du liquide. Le facteur qui relie la variation de volume à celle de la hauteur est l'aire de la surface libre. Elle n'est constante que dans un cylindre, et dépend de la hauteur dans un cône.

Q: Combien de conditions initiales faut-il pour une équation du second ordre ?

Deux, parce que chaque intégration apporte sa propre constante. On donne en général la valeur de la fonction et celle de sa dérivée en un même point. Avec une seule condition, la solution reste une famille à un paramètre, et la réponse est incomplète quelle que soit la qualité du calcul.

Le chapitre est court et il tombe presque en entier à l'examen final : une équation à séparer, un modèle à poser à partir d'un énoncé physique, et deux mesures qui fixent les constantes. Les calculs sont simples, et pourtant les copies perdent des points aux mêmes trois endroits.

Cette fiche prend ces trois endroits, la constante d'intégration mal placée, les solutions constantes perdues par la division et la confusion entre la variation d'un volume et celle d'une hauteur, puis donne la rédaction complète d'un problème de Newton à deux mesures.

Le fil du chapitre

Séparer, c'est diviser, et diviser suppose que le diviseur ne s'annule pas : les solutions constantes que cette division fait disparaître sont exactement celles que le barème cherche.

Ce chapitre fait partie de Calcul intégral MTH0103, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et épreuves blanches

Notions couvertes

Équation différentielle
Ordre d'une équation
Variables séparables
Solution générale
Solution particulière
Condition initiale
Solution constante
Croissance exponentielle
Loi de refroidissement de Newton
Loi de Torricelli

L'essentiel

Vocabulaire et méthode

• Une équation différentielle relie une fonction $y$ , sa variable et ses dérivées. Son ORDRE est celui de la dérivée la plus haute qui y figure.
• Une solution est une fonction qui la vérifie : on le montre en REMPLAÇANT, jamais en invoquant la forme.
• Solution GÉNÉRALE : la famille avec ses constantes, une par intégration. Solution PARTICULIÈRE : celle que fixent les conditions initiales.
• Variables séparables : $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{P(x)}{Q(y)}$ s'écrit $Q(y)\,dy=P(x)\,dx$ , puis $\int Q(y)\,dy=\int P(x)\,dx+C$ .
• On isole $y$ quand c'est possible, ce qui donne la forme explicite. Sinon la solution reste implicite, et c'est une réponse complète.

Les quatre courbes sont les solutions générales de la même équation ; le point marqué sur l'axe vertical n'en sélectionne qu'une seule, celle qui vaut

2

x=0

Une seule constante suffit : celle de gauche et celle de droite se regroupent. En écrire deux n'est pas faux, mais alourdit tout le reste du calcul.

Ce que la division fait perdre

• Diviser par une expression en $y$ suppose qu'elle ne s'annule pas.
• Les zéros du diviseur donnent des SOLUTIONS CONSTANTES, à examiner à part et à mentionner.
• Certaines se retrouvent dans la forme générale pour une valeur particulière de la constante ; d'autres non, et ce sont celles-là qui coûtent des points.
• Le réflexe : avant de diviser par $Q(y)$ , écrire « supposons $Q(y)\neq 0$ », puis traiter $Q(y)=0$ dans une ligne séparée.
• La valeur absolue de $\ln|y|$ se lève avec le signe de $y$ sur l'intervalle considéré, et la constante d'intégration absorbe ce signe.

Une copie qui écrit « supposons $y\neq 0$ » et revient ensuite sur ce cas obtient les points même quand le calcul principal a une coquille.

Les trois modèles du cours

• Croissance ou décroissance : $\dfrac{dy}{dt}=ky$ donne $y=y_{0}e^{kt}$ , et la demi-vie ou le temps de doublement vaut $\dfrac{\ln 2}{|k|}$ .
• Newton : $\dfrac{dT}{dt}=\kappa(T-M)$ donne $T=M+(T_{0}-M)e^{\kappa t}$ , avec $\kappa<0$ . La température tend vers $M$ sans jamais l'atteindre.
• Torricelli : $\dfrac{dV}{dt}=-k\sqrt{h}$ , et $\dfrac{dV}{dt}=A(h)\,\dfrac{dh}{dt}$ où $A(h)$ est l'aire de la SURFACE LIBRE.
• Dans Torricelli, c'est $A(h)$ qui change tout : un réservoir conique et un réservoir cylindrique ne se vident pas selon la même loi.
• Deux mesures suffisent à fixer les deux inconnues d'un modèle : la condition initiale donne l'une, la seconde mesure donne l'autre.

Poser le modèle avec les bonnes unités dès la première ligne évite la moitié des erreurs : des degrés par minute, des litres par seconde, des mètres par seconde.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Séparable ou non, et ce qu'on écrit

La deuxième colonne répond à la question de la séparabilité, la troisième donne la première ligne à écrire. La case rouge n'est pas un résultat : c'est un rappel de ce qu'on vient de perdre.

Équation	Séparable	Ce qu'on écrit
$\dfrac{dy}{dx}=xy$	oui, c'est un produit	$\dfrac{dy}{y}=x\,dx$
Exemple : $\ln\|y\|=\dfrac{x^{2}}{2}+C$ , donc $y=Ae^{x^{2}/2}$ . Avec $y(0)=3$ : $A=3$ et $y(2)\approx 22{,}17$ .
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}}{y}$	oui, c'est un quotient	$y\,dy=x^{2}\,dx$
Exemple : $\dfrac{y^{2}}{2}=\dfrac{x^{3}}{3}+C$ . Avec $y(0)=2$ : $C=2$ , et $y(3)=\sqrt{22}\approx 4{,}690$ .
$\dfrac{dy}{dx}=xy+x$	oui, après factorisation	$\dfrac{dy}{y+1}=x\,dx$
Exemple : Avec $y(0)=1$ : $y=2e^{x^{2}/2}-1$ , donc $y(1)\approx 2{,}297$ .
$\dfrac{dy}{dx}=y+x$	non	facteur intégrant, pas séparation
Exemple : En $x=2$ , $y=1$ , la pente vaut $3$ ; aucune écriture $Q(y)\,dy=P(x)\,dx$ ne reproduit cette somme.
$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x$	second ordre, deux intégrations	deux constantes
Exemple : $y=x^{3}+C_{1}x+C_{2}$ . Avec $y(0)=1$ et $y'(0)=2$ : $y=x^{3}+2x+1$ , donc $y(2)=13$ .
diviser par $y(1-y)$	la division	perd $y\equiv 0$ solution perdue
Exemple : $\dfrac{dy}{dx}=y(1-y)$ donne $y=\dfrac{1}{1+Ae^{-x}}$ , qui vaut $0{,}5$ en $x=0$ pour $A=1$ et ne vaut $0$ pour aucun $A$ fini. Ce qu'il faut faire : Écrire « supposons $y\neq 0$ et $y\neq 1$ », puis traiter les deux solutions constantes dans une ligne à part.

Les quatre premières lignes se décident en regardant si le membre de droite est un produit ou un quotient d'une fonction de $x$ par une fonction de $y$ . Une SOMME ne se sépare jamais.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Placer la constante après l'exponentielle

3 points, et une fonction qui ne vérifie plus l'équation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln|y|=\dfrac{x^{2}}{2}$ , donc $y=e^{x^{2}/2}+C$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln|y|=\dfrac{x^{2}}{2}+C$ , donc $y=e^{C}e^{x^{2}/2}=Ae^{x^{2}/2}$ : la constante devient un FACTEUR, pas un terme. »

Pourquoi : La constante s'ajoute à l'intégrale, donc avant l'exponentiation. En la sortant après, on obtient une famille qui ne résout plus rien, ce que la vérification par substitution montre aussitôt.

2. Perdre les solutions constantes en divisant

2 points, systématiquement retirés en examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{dy}{dx}=y(1-y)$ , je divise et j'obtiens $y=\dfrac{1}{1+Ae^{-x}}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Supposons $y\neq 0$ et $y\neq 1$ . La séparation donne $y=\dfrac{1}{1+Ae^{-x}}$ . De plus $y\equiv 0$ et $y\equiv 1$ sont des solutions constantes, et $y\equiv 0$ n'appartient pas à la famille trouvée. »

Aucune des quatre courbes ne touche l'horizontale : la droite

y=0

est pourtant, elle aussi, une solution de l'équation, et la séparation ne la produit jamais.

Pourquoi : Diviser par $Q(y)$ suppose $Q(y)\neq 0$ . Les zéros du diviseur sont des solutions à part entière, et rien dans la famille générale ne les rattrape toujours.

3. Appliquer la condition initiale avant d'avoir isolé $y$

2 points, et une constante fausse d'un facteur logarithmique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln|y|=\dfrac{x^{2}}{2}+C$ et $y(0)=3$ , donc $C=3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln|3|=0+C$ donne $C=\ln 3\approx 1{,}0986$ , et donc $A=e^{C}=3$ . On peut aussi isoler d'abord, ce qui donne directement $A=3$ . »

Pourquoi : La condition initiale porte sur $y$ , pas sur $\ln|y|$ . L'appliquer à la forme logarithmique est correct mais demande de prendre le logarithme de la valeur, ce que la copie oublie.

4. Se tromper de signe sur la constante de Newton

2 points, et une température qui diverge au lieu de converger

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{dT}{dt}=\kappa(T-M)$ avec $\kappa>0$ , donc la bouteille se réchauffe. »

Ce qu'il faut écrire

« $\kappa<0$ toujours : l'écart $T-M$ décroît en valeur absolue. Une bouteille plus froide que la pièce se réchauffe parce que $T_{0}-M<0$ , pas parce que $\kappa$ serait positif. »

Les deux courbes s'approchent de la même horizontale, l'une par le haut et l'autre par le bas : c'est le signe de

T_{0}-M

qui les sépare, pas celui de

\kappa

Pourquoi : Le signe de $\kappa$ décide de la convergence, le signe de $T_{0}-M$ décide du sens. Confondre les deux donne un modèle où la bouteille s'éloigne indéfiniment de la température ambiante.

5. Confondre la variation du volume et celle de la hauteur

toute la question, et c'est le problème long de l'examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{dV}{dt}=-k\sqrt{h}$ , donc $\dfrac{dh}{dt}=-k\sqrt{h}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{dV}{dt}=A(h)\,\dfrac{dh}{dt}$ , donc $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{-k\sqrt{h}}{A(h)}$ . Dans un cône, $A(h)$ dépend de $h$ , et l'équation change complètement. »

Pourquoi : Le débit sortant est un volume par seconde ; la descente du niveau est une longueur par seconde. Le facteur qui relie les deux est l'aire de la surface libre, qui n'est constante que dans un cylindre.

6. Modéliser une fonte par le volume au lieu de la surface

3 points, et un modèle qui ne s'annule jamais au lieu de s'éteindre en temps fini

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La boule de neige fond, donc $\dfrac{dV}{dt}=-kV$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Elle fond PAR SA SURFACE, donc $\dfrac{dV}{dt}=-kS=-4k\pi r^{2}$ . Avec $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\,\dfrac{dr}{dt}$ , il vient $\dfrac{dr}{dt}=-k$ : le rayon décroît LINÉAIREMENT. »

Pourquoi : L'énoncé dit toujours par quoi le phénomène passe. Une fonte proportionnelle au volume donnerait une exponentielle qui ne disparaît jamais, ce qui contredit l'observation.

7. Oublier une constante au second ordre

2 points, et une famille de solutions incomplète

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x$ , donc $y=x^{3}+C$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Deux intégrations, donc DEUX constantes : $y'=3x^{2}+C_{1}$ puis $y=x^{3}+C_{1}x+C_{2}$ . »

Pourquoi : Chaque intégration apporte sa constante. À l'ordre $n$ , la solution générale en contient $n$ , et il faut $n$ conditions initiales pour les fixer.

8. Affirmer qu'une fonction est solution sans le vérifier

1 point, souvent demandé explicitement dans l'énoncé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $y=Ae^{x^{2}/2}$ a la bonne forme, donc c'est la solution. »

Ce qu'il faut écrire

« Vérification : $y'=Ax\,e^{x^{2}/2}=x\cdot Ae^{x^{2}/2}=xy$ . L'équation est bien satisfaite pour tout $A$ . »

Pourquoi : La question « montrer que $y$ est solution » ne se traite qu'en substituant. Invoquer la forme obtenue par séparation est un raisonnement circulaire.

Quelle méthode choisir

Cette équation se sépare-t-elle

On isole $\dfrac{dy}{dx}$ et on regarde le membre de droite. La question est de savoir s'il s'écrit comme une fonction de $x$ fois ou sur une fonction de $y$ .

Si le membre de droite est un PRODUIT $f(x)\,g(y)$ → séparable : $\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$

Exemple : $xy$ donne $\dfrac{dy}{y}=x\,dx$
Si c'est un QUOTIENT $\dfrac{f(x)}{g(y)}$ → séparable : $g(y)\,dy=f(x)\,dx$

Exemple : $\dfrac{x^{2}}{y}$ donne $y\,dy=x^{2}\,dx$
Si c'est une somme qui se FACTORISE → factoriser d'abord, puis séparer

Exemple : $xy+x=x(y+1)$

c'est le cas le plus fréquent en examen, et celui que la copie déclare non séparable
Si c'est une somme qui ne se factorise pas → non séparable : facteur intégrant, hors de cette méthode

Exemple : $y+x$
Si l'équation contient $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ et pas $y$ → intégrer deux fois, avec DEUX constantes

Exemple : $y''=6x$ donne $y=x^{3}+C_{1}x+C_{2}$
Si le membre de droite ne dépend que de $x$ → c'est une simple primitive, cas particulier de séparation

Exemple : $y'=\cos x$ donne $y=\sin x+C$

Avant de déclarer une équation non séparable, essayer la factorisation. C'est la vérification qui rapporte le plus souvent, parce que les énoncés la demandent presque toujours.

Quel modèle poser, selon ce que dit l'énoncé

Le vocabulaire physique de l'énoncé nomme le modèle. Chaque formulation a sa loi et son piège d'unités.

Si « proportionnel à la quantité présente » → $\dfrac{dy}{dt}=ky$ , donc $y=y_{0}e^{kt}$

Exemple : demi-vie $\dfrac{\ln 2}{|k|}$
Si « proportionnel à l'écart avec le milieu », « refroidit », « se réchauffe » → Newton, $\dfrac{dT}{dt}=\kappa(T-M)$ avec $\kappa<0$

Exemple : $T=M+(T_{0}-M)e^{\kappa t}$
Si « s'écoule par un orifice », « se vide » → Torricelli, $\dfrac{dV}{dt}=-k\sqrt{h}$ , à convertir en $\dfrac{dh}{dt}$ par $A(h)$

Exemple : dans un cône, $A(h)=\pi\left(\dfrac{h}{3}\right)^{2}$
Si « fond par sa surface », « s'évapore », « se corrode » → $\dfrac{dV}{dt}=-kS$ , ce qui donne un RAYON linéaire en $t$

Exemple : $\dfrac{dr}{dt}=-k$
Si « naissances moins décès, plus migration » → somme algébrique des flux, qui peut donner un signe contraire à l'intuition

Exemple : une ville qui naît plus qu'elle ne meurt et se vide quand même
Si l'énoncé donne DEUX mesures → la première fixe la condition initiale, la seconde la constante du modèle

Exemple : $T(0)=4$ et $T(20)=10$ donnent $\kappa$

Poser les unités de chaque constante en même temps que le modèle : $\kappa$ est en inverse de minute, $k$ de Torricelli en volume par temps et par racine de longueur.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Résoudre une équation à variables séparables

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé donne une équation du premier ordre et demande la solution générale ou particulière.

1 Isoler $\dfrac{dy}{dx}$ et reconnaître la forme produit ou quotient, en factorisant si nécessaire.
2 Écrire « supposons $Q(y)\neq 0$ », puis séparer : $Q(y)\,dy=P(x)\,dx$ .
3 Intégrer les deux membres, avec UNE seule constante, à droite.
4 Isoler $y$ si possible, en faisant passer la constante dans le facteur au moment d'exponentier.
5 Traiter à part les zéros de $Q(y)$ , et dire s'ils appartiennent ou non à la famille trouvée.
6 Appliquer la condition initiale, puis VÉRIFIER par substitution.

Phrase de conclusion

« Supposons $y\neq 0$ . De $\dfrac{dy}{y}=x\,dx$ on tire $\ln|y|=\dfrac{x^{2}}{2}+C$ , donc $y=Ae^{x^{2}/2}$ avec $A=\pm e^{C}$ . La fonction $y\equiv 0$ est aussi solution, et elle correspond à $A=0$ . Avec $y(0)=3$ : $A=3$ , donc $y=3e^{x^{2}/2}$ . »

Le piège : Écrire la constante après l'exponentielle. Elle s'ajoute à l'intégrale, donc elle devient un FACTEUR une fois passée par l'exponentielle, jamais un terme.

Barème : 1 point pour la séparation, 2 pour l'intégration, 1 pour l'isolement correct de la constante, 1 pour les solutions constantes, 1 pour la condition initiale.

Rédiger un problème de Newton à deux mesures

Quand l'utiliser : Dès qu'un énoncé donne une température initiale, une température ambiante et une mesure intermédiaire.

1 Poser le modèle $\dfrac{dT}{dt}=\kappa(T-M)$ en nommant $M$ , $T_{0}$ et les unités de $\kappa$ .
2 Séparer et intégrer, ou citer directement la solution $T=M+(T_{0}-M)e^{\kappa t}$ si le cours l'autorise.
3 Utiliser la condition initiale pour écrire le coefficient $T_{0}-M$ , avec son SIGNE.
4 Utiliser la seconde mesure pour isoler $\kappa$ , en passant par le logarithme.
5 Répondre à la question posée, avec les unités, puis contrôler la limite quand $t$ tend vers l'infini.

Phrase de conclusion

« Le modèle donne $T(t)=22-18\,e^{\kappa t}$ . La mesure $T(20)=10$ impose $e^{20\kappa}=\dfrac{2}{3}$ , donc $\kappa=\dfrac{\ln(2/3)}{20}\approx -0{,}0203$ par minute. Alors $T(60)=22-18\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{50}{3}\approx 16{,}7$ degrés Celsius. »

Le piège : Prendre $T_{0}-M$ en valeur absolue. Le signe négatif est ce qui fait monter la température vers le milieu ; le supprimer fait descendre la bouteille vers $4$ degrés.

Barème : 1 point pour le modèle et ses unités, 1 point pour le coefficient signé, 2 points pour $\kappa$ , 1 point pour la réponse, 1 point pour le contrôle de la limite.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Substituer la solution dans l'équation

Dériver la fonction trouvée et remplacer dans l'équation de départ. Les deux membres doivent coïncider identiquement, pour toute valeur de la constante.

Pour $y=Ae^{x^{2}/2}$ : $y'=Ax\,e^{x^{2}/2}=xy$ . Si la vérification laisse un terme résiduel, la constante a été mal placée.
La condition initiale, réinjectée

Évaluer la solution particulière au point initial. On doit retrouver exactement la valeur donnée par l'énoncé.

$T(0)=22-18=4$ degrés : c'est bien la température de départ. Obtenir $40$ signalerait un signe inversé sur $T_{0}-M$ .
Le comportement à l'infini

Faire tendre $t$ vers l'infini et se demander si la limite a un sens physique. Une température qui diverge ou une population négative condamnent le modèle.

$T\to 22$ degrés : la bouteille atteint la température ambiante sans la dépasser. Une divergence signalerait $\kappa>0$ .
Les unités de chaque constante

Écrire l'unité de la constante à partir de l'équation elle-même, puis vérifier qu'elle est cohérente avec la valeur numérique trouvée.

Dans $\dfrac{dT}{dt}=\kappa(T-M)$ , des degrés par minute divisés par des degrés donnent des inverses de minute. $\kappa\approx -0{,}0203$ par minute est plausible.
Les solutions constantes, relues

Reprendre les zéros du diviseur et vérifier directement qu'ils satisfont l'équation, puis dire s'ils sont ou non dans la famille générale.

Pour $y'=y(1-y)$ , la fonction $y\equiv 1$ donne $y'=0$ et $y(1-y)=0$ : elle est bien solution, et on la retrouve pour $A=0$ .

L'exercice type décortiqué

Une bouteille qui se réchauffe : Newton avec deux mesures

Une bouteille sortie du réfrigérateur à $4$ degrés Celsius est posée dans une pièce maintenue à $22$ degrés Celsius.

Vingt minutes plus tard, sa température est de $10$ degrés Celsius.

Déterminer sa température après une heure, puis le temps qu'il lui faut pour atteindre $18$ degrés Celsius.

Étape 1

Modèle : $\dfrac{dT}{dt}=\kappa\,(T-M)$ avec $M=22$ degrés, $T_{0}=4$ degrés, $t$ en minutes et $\kappa$ en inverse de minute.

Pourquoi

Poser les unités de $\kappa$ dès la première ligne permet, à la fin, de juger si la valeur trouvée est plausible sans refaire le calcul.

Étape 2

Séparation : $\dfrac{dT}{T-22}=\kappa\,dt$ , en supposant $T\neq 22$ . La solution constante $T\equiv 22$ existe et correspond à une bouteille déjà à la température ambiante.

Pourquoi

La solution constante est ici physiquement parlante, et la mentionner coûte une ligne. C'est aussi la limite vers laquelle tout le reste tend.

Étape 3

Intégration : $\ln|T-22|=\kappa t+C$ . Comme $T<22$ sur tout l'intervalle, $|T-22|=22-T$ .

Pourquoi

Lever la valeur absolue en invoquant le contexte, et non par habitude, est ce qui évite un signe faux dans la suite.

Étape 4

Exponentiation : $T=22+A\,e^{\kappa t}$ , où la constante est devenue un FACTEUR. La condition $T(0)=4$ donne $A=4-22=-18$ .

Pourquoi

Le signe négatif de $A$ est ce qui fait monter la courbe vers $22$ . Le prendre en valeur absolue ferait descendre la bouteille, ce qui contredit l'énoncé.

Étape 5

Seconde mesure : $T(20)=10$ donne $22-18\,e^{20\kappa}=10$ , donc $e^{20\kappa}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$ et $\kappa=\dfrac{\ln(2/3)}{20}\approx -0{,}0203$ par minute.

Pourquoi

Deux inconnues, deux mesures. La première a fixé $A$ , la seconde fixe $\kappa$ : c'est la structure de tous les problèmes de ce type.

Étape 6

Après une heure, $t=60=3\times 20$ , donc $e^{60\kappa}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}=\dfrac{8}{27}$ et $T(60)=22-18\times\dfrac{8}{27}=22-\dfrac{16}{3}=\dfrac{50}{3}\approx 16{,}7$ degrés.

Pourquoi

Reconnaître que $60$ est trois fois $20$ évite tout calcul numérique intermédiaire et supprime l'erreur d'arrondi sur $\kappa$ .

Étape 7

Pour $18$ degrés : $22-18\,e^{\kappa t}=18$ donne $e^{\kappa t}=\dfrac{4}{18}=\dfrac{2}{9}$ , donc $t=\dfrac{\ln(2/9)}{\kappa}=20\,\dfrac{\ln(2/9)}{\ln(2/3)}\approx 74{,}2$ minutes.

Pourquoi

Garder la forme exacte jusqu'au bout donne un résultat insensible à l'arrondi de $\kappa$ , et le rapport de logarithmes se calcule d'un coup.

Étape 8

Contrôles : $T(0)=4$ , $T(20)=10$ , $T$ croissante, et $T\to 22$ sans jamais l'atteindre.

Pourquoi

Quatre contrôles en dix secondes, dont la limite, qui est la signature du modèle de Newton et la seule chose qu'un correcteur regarde toujours.

Conclusion rédigée

« Avec $\kappa=\dfrac{\ln(2/3)}{20}\approx -0{,}0203$ par minute, la bouteille est à $T(60)=\dfrac{50}{3}\approx 16{,}7$ degrés Celsius après une heure, et elle atteint $18$ degrés au bout de $20\,\dfrac{\ln(2/9)}{\ln(2/3)}\approx 74{,}2$ minutes. Sa température tend vers $22$ degrés sans jamais les atteindre. »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $A=|4-22|=18$ . La courbe part alors de $40$ degrés et redescend vers $22$ : le modèle décrit une bouteille chaude, exactement l'inverse de l'énoncé.

À savoir par cœur

• L'ORDRE d'une équation est celui de la dérivée la plus haute ; la solution générale contient autant de constantes.
• Séparable veut dire PRODUIT ou QUOTIENT d'une fonction de $x$ par une fonction de $y$ . Une somme ne se sépare pas, sauf si elle se factorise.
• Avant de diviser par $Q(y)$ : écrire $Q(y)\neq 0$ , puis traiter les zéros à part.
• La constante s'ajoute AVANT l'exponentielle et devient donc un FACTEUR après : $y=Ae^{\ldots}$ , jamais $e^{\ldots}+C$ .
• $\dfrac{dy}{dt}=ky$ donne $y=y_{0}e^{kt}$ , et le temps de doublement vaut $\dfrac{\ln 2}{|k|}$ .
• Newton : $T=M+(T_{0}-M)e^{\kappa t}$ avec $\kappa<0$ . Le SIGNE de $T_{0}-M$ dit le sens, celui de $\kappa$ la convergence.
• Torricelli : $\dfrac{dV}{dt}=A(h)\,\dfrac{dh}{dt}$ . Oublier $A(h)$ revient à traiter tout réservoir comme un cylindre.
• Une fonte par la SURFACE donne un rayon linéaire en $t$ , pas une exponentielle.

Questions fréquentes

Comment reconnaître une équation différentielle à variables séparables ?

On isole la dérivée et on regarde le membre de droite. Si c'est un produit ou un quotient d'une fonction de la variable par une fonction de l'inconnue, l'équation se sépare. Une somme ne se sépare pas, sauf si elle se factorise, ce qui est le cas le plus fréquent en examen et celui que les copies déclarent à tort insoluble.

Pourquoi la constante d'intégration devient-elle un facteur ?

Parce qu'elle s'ajoute au logarithme, donc avant l'exponentiation. L'exponentielle d'une somme est le produit des exponentielles, et l'exponentielle de la constante devient un nombre qui multiplie le reste. Écrire la constante après l'exponentielle donne une famille de fonctions qui ne vérifie plus l'équation.

Quelles solutions la séparation fait-elle perdre ?

Celles qui annulent le diviseur. Séparer, c'est diviser par une expression contenant l'inconnue, et cette division suppose que l'expression n'est pas nulle. Les valeurs qui l'annulent donnent des solutions constantes, qu'il faut mentionner à part. Certaines se retrouvent dans la famille générale, d'autres non.

Quel est le signe de la constante dans la loi de Newton ?

Elle est toujours négative, parce que l'écart avec le milieu diminue au fil du temps. Ce qui décide du sens de l'évolution, réchauffement ou refroidissement, est le signe de l'écart initial entre la température de l'objet et celle du milieu. Une constante positive donnerait une température qui s'éloigne indéfiniment.

Pourquoi faut-il l'aire de la surface libre dans la loi de Torricelli ?

Parce que la loi donne un débit, c'est-à-dire un volume par unité de temps, alors que la question porte presque toujours sur la hauteur du liquide. Le facteur qui relie la variation de volume à celle de la hauteur est l'aire de la surface libre. Elle n'est constante que dans un cylindre, et dépend de la hauteur dans un cône.

Combien de conditions initiales faut-il pour une équation du second ordre ?

Deux, parce que chaque intégration apporte sa propre constante. On donne en général la valeur de la fonction et celle de sa dérivée en un même point. Avec une seule condition, la solution reste une famille à un paramètre, et la réponse est incomplète quelle que soit la qualité du calcul.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Équations différentielles à variables séparables

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

12 exercices corrigés
120 points
180 minutes

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Fiche de révision : les équations différentielles à variables séparables (MTH0103)

L'essentiel

Vocabulaire et méthode

Ce que la division fait perdre

Les trois modèles du cours

Les règles de calcul en tableau

Séparable ou non, et ce qu'on écrit

Les pièges qui coûtent des points

1. Placer la constante après l'exponentielle

2. Perdre les solutions constantes en divisant

3. Appliquer la condition initiale avant d'avoir isolé yyy

4. Se tromper de signe sur la constante de Newton

5. Confondre la variation du volume et celle de la hauteur

6. Modéliser une fonte par le volume au lieu de la surface

7. Oublier une constante au second ordre

8. Affirmer qu'une fonction est solution sans le vérifier

Quelle méthode choisir

Cette équation se sépare-t-elle

Quel modèle poser, selon ce que dit l'énoncé

La rédaction attendue

Résoudre une équation à variables séparables

Rédiger un problème de Newton à deux mesures

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une bouteille qui se réchauffe : Newton avec deux mesures

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment reconnaître une équation différentielle à variables séparables ?

Pourquoi la constante d'intégration devient-elle un facteur ?

Quelles solutions la séparation fait-elle perdre ?

Quel est le signe de la constante dans la loi de Newton ?

Pourquoi faut-il l'aire de la surface libre dans la loi de Torricelli ?

Combien de conditions initiales faut-il pour une équation du second ordre ?

Exercices corrigés : Équations différentielles à variables séparables

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3. Appliquer la condition initiale avant d'avoir isolé $y$