Examen blanc de synthèse : statistiques 201-337

a) La somme vaut 356, donc $\overline{x}=\frac{356}{12}\approx 29{,}667$ minutes. La somme des carrés des écarts vaut environ $564{,}667$, et en divisant par $n-1=11$ on obtient une variance d'environ $51{,}333$, donc $s\approx 7{,}165$ minute.

b) On calcule la cote z du seuil : $z=\frac{40-29{,}667}{7{,}165}\approx 1{,}44$. Donc $P(X>40)=P(Z>1{,}44)\approx 0{,}0749$, soit environ 7,5 %.

c) Un seul trajet sur douze dépasse 40 minutes, soit $\frac{1}{12}\approx 0{,}0833$, environ 8,3 %. Les deux valeurs sont proches, ce qui est plutôt rassurant pour le modèle. Mais la conclusion doit rester prudente : avec douze observations, une seule valeur de plus ou de moins ferait passer la proportion empirique de 0 à 16,7 %. Un échantillon de cette taille ne permet ni de confirmer ni d'infirmer sérieusement une hypothèse de normalité.

d) $z=\frac{44-29{,}667}{7{,}165}\approx 2{,}00$. Le critère usuel place la frontière à $|z|>2$, parfois à $|z|>3$ : la valeur est donc tout juste à la limite, et certainement pas au-delà de tout soupçon. Elle ne doit pas être écartée. Une valeur n'est pas aberrante parce qu'elle est grande, mais parce qu'on a une raison de croire qu'elle provient d'une erreur de mesure ou d'une autre population. Ici, 44 minutes est une durée de trajet parfaitement plausible.

a) L'inégalité de Tchebychev affirme que pour toute distribution, quelle que soit sa forme, et pour tout $k>1$, la proportion de données situées à moins de $k$ écarts-types de la moyenne est au moins $1-\frac{1}{k^{2}}$. Avec $k=2$ : l'intervalle est $500\pm 2\times 80$, soit $[340\ ;\ 660]$ grammes, et il contient au moins $1-\frac{1}{4}=0{,}75$, donc au moins 75 % des sacs.

b) Avec $k=3$ : l'intervalle est $500\pm 240$, soit $[260\ ;\ 740]$ grammes, et il contient au moins $1-\frac{1}{9}\approx 0{,}8889$, donc au moins 88,9 % des sacs.

c) Pour $k=2$, Tchebychev garantit 75 % alors que la loi normale donnerait 95,45 %. Pour $k=3$, Tchebychev garantit 88,9 % contre 99,73 %. L'écart est considérable, surtout dans les queues : hors de trois écarts-types, la normale laisse 0,27 % des données, Tchebychev en autorise jusqu'à 11,1 %, soit quarante fois plus. Renoncer à la normalité coûte donc très cher en précision. En contrepartie, la borne de Tchebychev est vraie sans aucune condition, et c'est là tout son intérêt : elle ne peut jamais être prise en défaut.

d) 740 grammes correspond exactement à $z=\frac{740-500}{80}=3$. Sans hypothèse sur la forme de la distribution, on ne peut affirmer qu'une chose : au plus 11,1 % des sacs s'écartent de plus de trois écarts-types, dans un sens ou dans l'autre, donc au plus 11,1 % dépassent 740 grammes ou descendent sous 260. Si la distribution était normale, ces deux queues ensemble ne pèseraient que 0,27 %, et un sac de 740 grammes serait un événement remarquable. Ici il ne l'est pas nécessairement.

e) Deux erreurs. D'abord, l'inégalité de Tchebychev ne donne pas 95 % mais au moins 75 % : le contrôleur a appliqué la règle empirique, qui suppose la normalité, alors que l'énoncé l'exclut. Ensuite, et c'est plus grave, la conformité n'a rien à voir avec ce calcul : elle se juge par rapport à des tolérances fixées à l'avance, pas par rapport à la dispersion observée. Une production très irrégulière vérifie toujours Tchebychev, cela ne la rend pas conforme.

a) On isole $n$ dans $E=\frac{z\sigma}{\sqrt{n}}$, ce qui donne $n=\left(\frac{z\sigma}{E}\right)^{2}=\left(\frac{1{,}96\times 15}{2}\right)^{2}=\left(14{,}7\right)^{2}=216{,}09$. Une taille d'échantillon s'arrondit toujours vers le HAUT, sans quoi la marge visée n'est pas atteinte : il faut 217 personnes.

b) Ici $n=\left(\frac{z}{E}\right)^{2}p(1-p)$, et sans information sur $p$ on retient la valeur qui maximise $p(1-p)$, c'est-à-dire $p=0{,}5$, qui donne $p(1-p)=0{,}25$. Alors $n=\left(\frac{1{,}96}{0{,}03}\right)^{2}\times 0{,}25\approx 4268{,}44\times 0{,}25\approx 1067{,}11$, donc 1068 personnes. On reconnaît le fameux « plus ou moins 3 % » des sondages, qui correspond à un millier de répondants.

c) Avec $p=0{,}2$, on a $p(1-p)=0{,}16$ et $n\approx 4268{,}44\times 0{,}16\approx 682{,}95$, donc 683 personnes. C'est 36 % de moins qu'au b) pour la même précision. Une information préalable, même approximative, fait économiser un tiers du coût de l'enquête, parce que la variance d'une proportion s'effondre dès qu'on s'éloigne de 0,5.

d) Non, l'institut a tort. Les formules ci-dessus ne contiennent nulle part la taille $N$ de la population : la précision dépend du nombre de personnes interrogées, pas de la proportion qu'elles représentent. Tant que l'échantillon fait moins de 5 % de la population, ce qui est le cas dans les deux provinces, 1068 répondants donnent exactement la même marge d'erreur. C'est l'un des résultats les plus contre-intuitifs du cours, et c'est la raison pour laquelle un sondage national et un sondage municipal interrogent le même nombre de personnes.

a) Notons $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ». L'énoncé donne $P(M)=0{,}008$, la sensibilité $P_{M}(T)=0{,}95$, et le taux de faux positifs $P_{\overline{M}}(T)=0{,}04$, ce qui équivaut à une spécificité $P_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}96$.

b) Par la formule des probabilités totales : $P(T)=0{,}008\times 0{,}95+0{,}992\times 0{,}04=0{,}0076+0{,}03968=0{,}04728$, soit environ 4,73 %.

c) $P_{T}(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{0{,}0076}{0{,}04728}\approx 0{,}1607$. Une personne déclarée positive n'a donc qu'environ 16 % de chances d'être malade : plus de quatre positifs sur cinq sont des fausses alertes. La raison est arithmétique et non médicale : les personnes saines sont si nombreuses que leurs 4 % de faux positifs, soit environ 39,7 personnes sur mille, écrasent les 7,6 vrais positifs sur mille.

d) $P(\overline{T})=0{,}008\times 0{,}05+0{,}992\times 0{,}96=0{,}0004+0{,}95232=0{,}95272$, donc $P_{\overline{T}}(\overline{M})=\frac{0{,}95232}{0{,}95272}\approx 0{,}9996$. Un résultat négatif, lui, est presque certain. Le test est excellent pour rassurer et médiocre pour alarmer.

e) « Fiable à 95 % » désigne la sensibilité, c'est-à-dire une probabilité conditionnelle SACHANT que la personne est malade. Or le patient qui reçoit son résultat se pose la question inverse : quelle est la probabilité d'être malade sachant que le test est positif ? Les deux nombres, 95 % et 16 %, sont tous deux exacts et ne parlent pas de la même chose ; les confondre est l'erreur d'inversion des conditionnelles. Dans une population à risque où $P(M)=0{,}3$, on aurait $P(T)=0{,}3\times 0{,}95+0{,}7\times 0{,}04=0{,}285+0{,}028=0{,}313$ et $P_{T}(M)=\frac{0{,}285}{0{,}313}\approx 0{,}9105$. Le même test, sans qu'aucune de ses caractéristiques ne change, devient alors très concluant. C'est pourquoi on ne dépiste pas une maladie rare dans la population générale : la valeur d'un test dépend autant de qui on teste que du test lui-même.

a) On répète 200 fois la même épreuve à deux issues, défectueuse ou non, avec une probabilité constante et des tirages indépendants : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0{,}02$. Son espérance vaut $np=4$ pièces et son écart-type $\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{3{,}92}\approx 1{,}9799$.

b) $P(X=3)=\binom{200}{3}(0{,}02)^{3}(0{,}98)^{197}$. Avec $\binom{200}{3}=1\,313\,400$, on obtient $P(X=3)\approx 0{,}1963$.

c) L'approximation de Poisson utilise $\lambda=np=4$ : $P(X=3)\approx\frac{\mathrm{e}^{-4}\times 4^{3}}{3!}=\frac{64\,\mathrm{e}^{-4}}{6}\approx 0{,}1954$. L'écart avec la valeur exacte est inférieur à un millième, soit une erreur relative d'environ 0,5 %. Les conditions sont bien remplies puisque $n=200\geq 50$ et $p=0{,}02\leq 0{,}1$.

d) Non. La condition $np\geq 5$ n'est pas vérifiée : $np=4$. C'est cohérent avec l'allure de la loi, qui est ici très asymétrique puisqu'elle s'arrête à zéro d'un côté et s'étale de l'autre, alors que la loi normale est symétrique. Approcher une telle loi par une normale donnerait même des probabilités non nulles pour des valeurs négatives de $X$, ce qui n'a aucun sens pour un comptage.

e) Avec $p=0{,}4$ : $np=80$ et $n(1-p)=120$, tous deux très supérieurs à 5, donc l'approximation normale devient parfaitement légitime. En revanche la condition $p\leq 0{,}1$ n'est plus vérifiée, et l'approximation de Poisson cesse de valoir. Les deux approximations sont donc complémentaires plutôt que concurrentes : Poisson sert aux événements rares dans un grand nombre d'épreuves, la normale aux situations où l'espérance et son complément sont tous deux confortables. Entre les deux, la binomiale exacte reste toujours disponible.

a) Le joueur mise 2 unités dans tous les cas. Il gagne donc $3-2=1$ avec probabilité 0,3 ; $12-2=10$ avec probabilité 0,1 ; et $0-2=-2$ avec la probabilité restante $1-0{,}3-0{,}1=0{,}6$. La loi de $X$ prend donc les valeurs $-2$, $1$ et $10$ avec les probabilités respectives $0{,}6$, $0{,}3$ et $0{,}1$.

b) $E(X)=-2\times 0{,}6+1\times 0{,}3+10\times 0{,}1=-1{,}2+0{,}3+1=0{,}1$ unité. Puis $E(X^{2})=4\times 0{,}6+1\times 0{,}3+100\times 0{,}1=2{,}4+0{,}3+10=12{,}7$, donc $V(X)=12{,}7-0{,}1^{2}=12{,}69$ et $\sigma\approx 3{,}5623$. L'espérance étant strictement positive, le jeu est même légèrement favorable au joueur, ce qui est inhabituel. Mais l'écart-type est trente-cinq fois plus grand que l'espérance : l'avantage est noyé dans le hasard.

c) Par le théorème central limite, la moyenne de 100 variables indépendantes et de même loi est approximativement normale, quelle que soit la loi de départ, ici clairement non normale puisqu'elle ne prend que trois valeurs. Cette moyenne a pour espérance $0{,}1$ et pour erreur type $\frac{3{,}5623}{\sqrt{100}}\approx 0{,}3562$.

d) Être perdant sur l'ensemble signifie que le gain moyen est négatif. On calcule $z=\frac{0-0{,}1}{0{,}3562}\approx -0{,}28$, donc la probabilité vaut environ $0{,}3897$. Autrement dit, malgré un jeu favorable, le joueur a près de 39 % de chances de repartir perdant après cent parties.

e) L'espérance par partie est bien la même, mais elle est de signe opposé pour le forain, qui gagne en moyenne 0,1 unité par partie jouée contre lui. Surtout, l'erreur type décroît en $\frac{1}{\sqrt{n}}$ : pour le joueur et ses 100 parties elle vaut 0,356, soit trois fois et demie l'espérance, alors que pour le forain et ses 100 000 parties elle vaut $\frac{3{,}5623}{\sqrt{100\,000}}\approx 0{,}0113$, soit un neuvième de l'espérance. Le hasard domine chez l'un et disparaît chez l'autre. C'est exactement le mécanisme sur lequel reposent les casinos et les compagnies d'assurance : la même espérance devient une quasi-certitude dès qu'on répète assez.

a) L'erreur type vaut $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{25}}=1{,}6$ gramme. La règle de décision rejette $H_{0}$ lorsque $\overline{x}<500-1{,}645\times 1{,}6=500-2{,}632=497{,}368$ grammes.

b) L'erreur de première espèce consiste à conclure que la machine sous-remplit alors qu'elle est en fait bien réglée à 500 grammes. Sa probabilité est $\alpha=0{,}05$ par construction : c'est l'inspecteur qui l'a choisie en fixant le seuil. Concrètement, une machine parfaitement conforme sera accusée à tort une fois sur vingt.

c) L'erreur de seconde espèce consiste à ne pas rejeter $H_{0}$, donc à laisser passer la machine, alors qu'elle sous-remplit réellement. Si la vraie moyenne est 496, on calcule $\beta=P\left(\overline{X}>497{,}368\ |\ \mu=496\right)=P\left(Z>\frac{497{,}368-496}{1{,}6}\right)=P(Z>0{,}855)\approx 0{,}1963$. La puissance vaut donc $1-\beta\approx 0{,}8037$ : le test détecte ce déréglage environ quatre fois sur cinq.

d) Avec $\mu=495$ : $z=\frac{497{,}368-495}{1{,}6}=1{,}48$, donc $\beta\approx 0{,}0694$ et la puissance atteint environ $0{,}9306$. La puissance augmente quand le déréglage s'aggrave, ce qui est rassurant et parfaitement logique : plus l'écart à détecter est grand, plus il est facile à détecter. Un test n'a donc jamais UNE puissance, il en a une par valeur de l'hypothèse alternative, et annoncer une puissance sans préciser contre quoi n'a aucun sens.

e) Trois options. Abaisser $\alpha$ réduit le premier risque mais déplace le seuil vers le bas, donc augmente $\beta$ : les deux risques varient en sens inverse à taille d'échantillon fixée, on ne fait que déplacer le curseur. Accepter un déréglage plus important comme seuil de détection réduit $\beta$ mais revient à renoncer à détecter les petits écarts. La seule option qui améliore réellement les deux à la fois est d'AUGMENTER $n$ : l'erreur type diminue en $\frac{1}{\sqrt{n}}$, les deux distributions se resserrent et se chevauchent moins, si bien que l'on peut garder $\alpha=0{,}05$ tout en abaissant $\beta$. C'est le seul levier gratuit en statistique, et il se paie en collecte de données.

a) L'écart-type de la population est inconnu et remplacé par celui de l'échantillon : la statistique suit alors une loi de Student à $n-1=15$ degrés de liberté, et non une loi normale. On calcule $t=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}=\frac{104{,}5-100}{8/4}=\frac{4{,}5}{2}=2{,}25$.

b) Au seuil de 5 %, $|t|=2{,}25>2{,}131$ : on rejette $H_{0}$, la durée de vie moyenne diffère significativement de 100 heures. Au seuil de 1 %, $|t|=2{,}25<2{,}947$ : on ne rejette pas $H_{0}$. La conclusion dépend donc du seuil, ce qui est normal et doit être annoncé, jamais dissimulé.

c) L'intervalle s'écrit $\overline{x}\pm t\times\frac{s}{\sqrt{n}}$, avec $\frac{s}{\sqrt{n}}=2$. À 95 % : $104{,}5\pm 2{,}131\times 2=104{,}5\pm 4{,}262$, soit $[100{,}238\ ;\ 108{,}762]$. À 99 % : $104{,}5\pm 2{,}947\times 2=104{,}5\pm 5{,}894$, soit $[98{,}606\ ;\ 110{,}394]$.

d) L'intervalle à 95 % ne contient PAS la valeur 100, et le test au seuil de 5 % rejette. L'intervalle à 99 % contient 100, et le test au seuil de 1 % ne rejette pas. Les deux approches concordent parfaitement, et ce n'est pas une coïncidence : un test bilatéral au seuil $\alpha$ rejette $H_{0}:\mu=\mu_{0}$ si et seulement si l'intervalle de confiance au niveau $1-\alpha$ ne contient pas $\mu_{0}$. Les deux calculs manipulent la même quantité, l'un en partant de $\mu_{0}$ pour aller vers les données, l'autre en partant des données pour délimiter les $\mu_{0}$ compatibles. L'intervalle est d'ailleurs plus informatif : il ne dit pas seulement que 100 est rejeté, il donne toutes les valeurs qui ne le seraient pas.

e) Avec $n=16$, il faut supposer que la durée de vie suit elle-même une loi approximativement normale dans la population : la loi de Student n'est exacte que sous cette condition, et le théorème central limite n'a pas eu le temps d'agir sur un si petit échantillon. Avec $n=200$, cette hypothèse deviendrait pratiquement superflue, car le théorème central limite rend la moyenne approximativement normale quelle que soit la loi de départ. C'est le vrai enjeu des petits échantillons : ce n'est pas seulement que les intervalles sont larges, c'est que leur validité même repose sur une hypothèse invérifiable avec si peu de données.

a) $H_{0}$ : le dé est équilibré, chaque face a la probabilité $\frac{1}{6}$. $H_{1}$ : au moins une face s'écarte de cette probabilité. Sous $H_{0}$, l'effectif attendu vaut $120\times\frac{1}{6}=20$ pour chacune des six faces. La condition de validité est respectée puisque tous les effectifs attendus dépassent 5.

b) Les écarts au carré valent $25$, $4$, $16$, $49$, $36$ et $4$, de somme 134. Donc $\chi^{2}=\frac{134}{20}=6{,}7$. Comme $6{,}7<11{,}070$, on ne rejette pas $H_{0}$ : rien ne permet d'affirmer que le dé est truqué. Attention à la formulation, on ne conclut pas que le dé est équilibré.

c) Les effectifs attendus deviennent $\frac{600}{6}=100$. Les écarts au carré valent $625$, $100$, $400$, $1225$, $900$ et $100$, de somme 3350, donc $\chi^{2}=\frac{3350}{100}=33{,}5$. Cette fois $33{,}5>11{,}070$ et l'on rejette $H_{0}$ très largement : le dé est truqué.

d) Parce que la statistique du khi-deux est proportionnelle à la taille de l'échantillon lorsque les proportions restent constantes. En multipliant les effectifs par 5, chaque écart $O-E$ est lui aussi multiplié par 5, son carré par 25, tandis que le dénominateur $E$ n'est multiplié que par 5 : le rapport est donc multiplié par 5, et l'on retrouve bien $5\times 6{,}7=33{,}5$. Le seuil critique, lui, ne dépend que du nombre de degrés de liberté et ne bouge pas. Autrement dit, le même déséquilibre relatif devient détectable dès qu'on l'observe assez longtemps : un test ne mesure pas l'ampleur d'un écart, il mesure notre capacité à exclure le hasard, et cette capacité grandit avec les données.

e) La différence tient au calcul des effectifs attendus et au nombre de degrés de liberté. Dans un test d'ajustement, la loi théorique est donnée à l'avance, ici l'équiprobabilité, et l'on compare $k$ catégories, d'où $k-1=5$ degrés de liberté. Dans un test d'indépendance, aucune loi n'est fournie : les effectifs attendus se construisent à partir des totaux marginaux du tableau lui-même, par $E=\frac{\text{total ligne}\times\text{total colonne}}{\text{total général}}$, et le nombre de degrés de liberté devient $(l-1)(c-1)$. La statistique se calcule ensuite de la même manière dans les deux cas.

a) Programme A : les hommes obtiennent $\frac{240}{400}=60{,}0\ \%$ et les femmes $\frac{65}{100}=65{,}0\ \%$. Programme B : les hommes obtiennent $\frac{20}{100}=20{,}0\ \%$ et les femmes $\frac{100}{400}=25{,}0\ \%$. Dans chacun des deux programmes, sans exception, les femmes sont admises plus souvent que les hommes.

b) Globalement, les hommes totalisent $240+20=260$ admissions pour $400+100=500$ candidatures, soit $52{,}0\ \%$. Les femmes totalisent $65+100=165$ admissions pour $100+400=500$ candidatures, soit $33{,}0\ \%$. Globalement, ce sont donc les hommes qui sont bien plus souvent admis, et l'écart est énorme.

c) Le programme A admet $\frac{305}{500}=61{,}0\ \%$ de ses candidats, le programme B seulement $\frac{120}{500}=24{,}0\ \%$ : A est peu sélectif, B l'est beaucoup. Or les hommes ont déposé 400 de leurs 500 candidatures en A, soit 80 %, tandis que les femmes en ont déposé 400 sur 500 en B, soit 80 % également mais dans le programme difficile.

d) Le taux global d'un groupe est une moyenne des taux par programme, pondérée par la répartition de ses candidatures. Les hommes ont massivement postulé là où l'on admet 61 % des candidats, les femmes là où l'on n'en admet que 24 %. Cette différence de pondération, considérable, l'emporte sur l'avantage de cinq points dont les femmes bénéficient dans chaque programme. C'est le paradoxe de Simpson : une association observée dans chaque sous-groupe peut s'inverser dans l'agrégat, dès qu'une troisième variable, ici le choix du programme, est liée à la fois au groupe et au résultat.

e) L'accusation, telle qu'elle est formulée, n'est pas fondée : à l'admission, c'est-à-dire une fois le programme choisi, les femmes sont favorisées partout. Ce que les données montrent, c'est un écart global de 19 points entièrement produit par la répartition des candidatures. Ce que les données ne permettent pas de dire, c'est POURQUOI cette répartition est ce qu'elle est, ni si un mécanisme en amont, orientation scolaire, information, stéréotypes, dirige les femmes vers le programme le plus sélectif. La question reste donc entière, mais elle se déplace de l'admission vers la candidature. La leçon de méthode est générale : ne jamais agréger des sous-groupes sans vérifier si l'appartenance au sous-groupe dépend elle-même de la variable étudiée.

a) On a $\overline{x}=\frac{36}{6}=6$ et $\overline{y}=\frac{398}{6}\approx 66{,}333$. Puis $S_{xx}=\sum(x-\overline{x})^{2}=16+4+1+1+4+16=42$, $S_{yy}\approx 573{,}333$ et $S_{xy}=155$. La pente vaut $b=\frac{155}{42}\approx 3{,}6905$ et l'ordonnée à l'origine $a=66{,}333-3{,}6905\times 6\approx 44{,}1905$. La droite est donc $\hat{y}\approx 3{,}6905x+44{,}1905$ : chaque heure de révision supplémentaire rapporte environ 3,7 points.

b) $r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}=\frac{155}{\sqrt{42\times 573{,}333}}\approx 0{,}99886$, donc $r^{2}\approx 0{,}9977$. Environ 99,8 % de la variation des notes est expliquée par la variation du nombre d'heures. C'est extraordinairement élevé pour des données humaines, et cela devrait éveiller la méfiance : sur six points seulement, un tel ajustement s'obtient facilement par hasard, et les données réelles d'un vrai groupe d'étudiants ne se comportent jamais aussi bien.

c) $S_{yy}-bS_{xy}=573{,}333-3{,}6905\times 155\approx 1{,}3095$, c'est la somme des carrés résiduelle. Donc $s_{e}=\sqrt{\frac{1{,}3095}{6-2}}=\sqrt{0{,}3274}\approx 0{,}5722$ point.

d) La prévision ponctuelle vaut $\hat{y}=3{,}6905\times 6+44{,}1905\approx 66{,}333$, et comme $x_{0}=\overline{x}$ le terme $(x_{0}-\overline{x})^{2}$ s'annule. L'intervalle de confiance de la moyenne est $\hat{y}\pm t\,s_{e}\sqrt{\frac{1}{n}}=66{,}333\pm 2{,}776\times 0{,}5722\times 0{,}4082\approx 66{,}333\pm 0{,}648$, soit $[65{,}685\ ;\ 66{,}982]$. L'intervalle de prédiction est $\hat{y}\pm t\,s_{e}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=66{,}333\pm 2{,}776\times 0{,}5722\times 1{,}0801\approx 66{,}333\pm 1{,}716$, soit $[64{,}618\ ;\ 68{,}049]$. Le second est presque trois fois plus large parce qu'il cumule deux incertitudes : celle qui porte sur la position de la droite, seule présente dans le premier, ET la dispersion individuelle des étudiants autour de cette droite, mesurée par $s_{e}$. C'est le terme 1 sous la racine. On peut connaître très précisément une moyenne et rester incapable de prévoir un individu.

e) Le modèle donne $\hat{y}=3{,}6905\times 20+44{,}1905\approx 118$, ce qui dépasse le maximum de 100 et n'a donc aucun sens. Deux fautes se cumulent. D'abord l'extrapolation : les données couvrent l'intervalle de 2 à 10 heures, et rien ne garantit que la relation reste linéaire au-delà, alors qu'on doublerait la plage observée. Ensuite le bon sens : une note est bornée, la relation doit donc s'infléchir puis plafonner, ce qu'une droite ne fera jamais. Un modèle de régression n'est valide que sur le domaine où il a été ajusté, et un coefficient de détermination de 99,8 % ne dit rigoureusement rien sur ce qui se passe en dehors.

a) Faux, c'est le coefficient de DÉTERMINATION qui s'interprète en pourcentage de variation expliquée, et il vaut $r^{2}=0{,}9^{2}=0{,}81$, soit 81 % et non 90 %. La confusion est d'autant plus tenace que les deux nombres sont proches quand $r$ est élevé, mais elle devient grossière ailleurs : pour $r=0{,}5$, on n'explique que 25 % de la variation, pas la moitié.

b) Faux tel qu'énoncé. Dans l'approche classique, la vraie moyenne est un nombre fixe et inconnu : elle est dans l'intervalle ou elle n'y est pas, il n'y a pas de probabilité à lui attribuer. Ce qui vaut 95 %, c'est la fiabilité de la PROCÉDURE : si l'on répétait l'échantillonnage un grand nombre de fois et que l'on construisait à chaque fois un tel intervalle, 95 % d'entre eux contiendraient la vraie moyenne. La formulation correcte porte sur la méthode, pas sur l'intervalle particulier que l'on a sous les yeux.

c) Faux, et c'est la même inversion des conditionnelles qu'à l'exercice 4. La valeur-p est la probabilité d'observer des données au moins aussi extrêmes que les nôtres SI $H_{0}$ était vraie, c'est-à-dire $P(\text{données}\ |\ H_{0})$. L'affirmation la lit comme $P(H_{0}\ |\ \text{données})$, qui est une tout autre quantité et qui, dans le cadre classique, n'a même pas de sens puisque $H_{0}$ n'est pas une variable aléatoire.

d) Faux. La marge d'erreur dépend de la taille de l'ÉCHANTILLON, pas de celle de la population, tant que l'échantillon représente moins de 5 % de cette dernière, ce qui est très largement le cas ici. Avec $n=1000$ dans les deux pays, la marge vaut environ $\frac{1{,}96\times 0{,}5}{\sqrt{1000}}\approx 0{,}031$, soit environ 3,1 points, identique de part et d'autre. C'est exactement le point établi à l'exercice 3.

e) Faux, et c'est l'erreur la plus lourde de conséquences de tout le cours. Ne pas rejeter $H_{0}$ signifie que les données n'apportent pas de preuve suffisante d'une différence, ce qui n'est pas une preuve d'absence de différence. Un test peut échouer à rejeter simplement parce qu'il manque de puissance : à l'exercice 7, un déréglage réel de 4 grammes passait inaperçu près de deux fois sur dix. Pour affirmer une équivalence, il faut soit un test d'équivalence spécifique, soit au minimum montrer que l'intervalle de confiance de la différence est entièrement contenu dans une zone jugée négligeable. La formulation correcte est toujours : « ces données ne permettent pas de conclure à une différence ».