SNT Seconde • Programme français, lycées de Montréal

Fiche de révision : les réseaux sociaux en SNT

Q: Comment calculer le nombre d'arêtes d'un graphe en SNT ?

On relève le degré de chaque sommet, c'est-à-dire le nombre de traits qui y aboutissent, puis on additionne tous les degrés et on divise par deux. La division par deux est indispensable, car chaque arête est comptée une fois à chacune de ses deux extrémités. La somme des degrés est donc toujours paire, ce qui donne une vérification gratuite.

Q: Quelle différence entre le degré et la centralité d'un compte ?

Le degré compte les amis directs et ne dit rien du reste du réseau. La centralité dépend de la position : un compte est central si sa disparition allongerait les distances entre les autres. Un compte peu suivi mais placé entre deux groupes séparés est bien plus central qu'un compte très suivi enfermé dans un seul groupe.

Q: Comment trouver la distance entre deux comptes sur un graphe ?

On part du premier compte et on marque ses voisins avec la distance 1, puis les voisins non encore marqués de ceux-là avec la distance 2, et ainsi de suite. La valeur inscrite au moment où l'on atteint le second compte est la distance cherchée. Un chemin trouvé à l'oeil donne seulement un majorant, pas la distance.

Q: Qu'est-ce que l'effet petit monde ?

C'est la combinaison de deux propriétés : un coefficient de regroupement élevé, vos amis étant amis entre eux, et un diamètre très faible, deux personnes quelconques étant reliées en peu d'étapes. Elle vient de la présence de quelques liens longs, qui relient des groupes autrement éloignés et raccourcissent tout le réseau.

Q: Un compte privé empêche-t-il la plateforme de collecter mes données ?

Non. Le réglage privé limite ce que les autres membres peuvent voir de votre profil. La plateforme, elle, continue d'enregistrer vos connexions, votre position, le temps passé sur chaque publication et vos interactions. Ces données sont exactement celles qui ont le plus de valeur pour la publicité ciblée.

Le thème des réseaux sociaux est celui où l'on perd le plus de points en SNT, non par ignorance mais par lecture rapide : les questions demandent de compter, et l'on répond de mémoire. Cette fiche liste les huit erreurs qui reviennent dans les copies et le geste qui les évite.

Le fil du chapitre

Un réseau social est un GRAPHE : tant qu'on n'a pas dessiné les sommets et compté les arêtes, on n'a pas commencé la question.

Ce chapitre fait partie de SNT en Seconde

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Internet et le Web : protocoles, adressage, HTML et HTTP Fiche

L'essentiel

Ce qu'un graphe dit, et ce qu'il ne dit pas

• Un graphe non orienté est fait de SOMMETS, les comptes, et d'ARÊTES, les liens réciproques. Une amitié est une arête, un abonnement est une flèche.
• Le DEGRÉ d'un sommet est le nombre d'arêtes qui y aboutissent. Il ne décrit que le voisinage immédiat.
• Somme des degrés $= 2 \times$ nombre d'arêtes. Elle est donc toujours paire.
• La DISTANCE entre deux sommets est le nombre minimal d'arêtes d'un chemin. Le DIAMÈTRE est la plus grande de toutes les distances.

À gauche, le sommet e a le degré le plus élevé et pourtant sa disparition ne coupe rien. À droite, r n'a que le degré 3 mais il est le seul passage entre les deux groupes.

Le degré et la distance ne mesurent pas la même chose : le premier est local, le second est global. Presque toutes les erreurs du chapitre viennent de les confondre.

Ce que les quatre grandeurs servent à prédire

• Le COEFFICIENT DE REGROUPEMENT d'un sommet est la proportion de ses paires de voisins qui sont elles-mêmes reliées. Élevé, il signale une communauté.
• L'EFFET PETIT MONDE est la conjonction d'un regroupement élevé et d'un diamètre faible, obtenue grâce à quelques liens longs.
• Le nombre d'AMIS COMMUNS entre deux comptes non reliés est ce qui déclenche une suggestion : c'est le meilleur prédicteur simple d'une amitié réelle.
• Une propagation se compte en VAGUES, donc en puissances : à chaque vague le nombre touché est multiplié, jamais additionné.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. On demande le nombre d'arêtes d'un graphe dessiné.

1 point, et toutes les questions suivantes qui s'appuient dessus

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La somme des degrés vaut 14, donc il y a 14 arêtes. »

Ce qu'il faut écrire

« La somme des degrés vaut 14, donc il y a $14 / 2 = 7$ arêtes, chaque arête étant comptée à ses deux extrémités. »

Pourquoi : Une arête a deux bouts. La somme des degrés est donc toujours le DOUBLE du nombre d'arêtes, et elle est toujours paire : si vous trouvez une somme impaire, vous avez mal lu le dessin.

2. On demande quel compte est le plus central du réseau.

2 points, et la question de propagation qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« C'est celui qui a le plus d'amis, donc le plus grand degré. »

Ce qu'il faut écrire

« Le degré ne mesure que le voisinage immédiat. Le compte central est celui dont la suppression allongerait les distances, c'est-à-dire celui qui relie des groupes séparés. »

Les deux anneaux ont le même nombre de sommets et le même degré partout. Deux arêtes de plus, à droite, font tomber le diamètre de 4 à 2.

Pourquoi : Un compte de degré 10 enfoui dans un seul groupe touche toujours le même monde. Un compte de degré 2 placé entre deux groupes est le seul passage de l'un à l'autre.

3. On demande la distance entre deux sommets d'un graphe dessiné.

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je vois un chemin en 4 arêtes, donc la distance vaut 4. »

Ce qu'il faut écrire

« Je marque les voisins à la distance 1, puis leurs voisins non marqués à la distance 2, et ainsi de suite : le premier marquage de la cible donne la distance. »

Pourquoi : Un chemin trouvé à l'oeil donne un MAJORANT, jamais la distance. Seul le parcours en largeur, qui marque au fur et à mesure, garantit le minimum.

4. On demande le diamètre du graphe.

1 point sur 2, la moitié du raisonnement manquant

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'ai trouvé deux sommets à distance 3, donc le diamètre vaut 3. »

Ce qu'il faut écrire

« Le couple à distance 3 prouve que le diamètre vaut AU MOINS 3 ; il faut vérifier qu'aucun couple n'est plus loin pour conclure qu'il vaut exactement 3. »

Pourquoi : Un maximum se prouve en deux temps : il est atteint, et il n'est pas dépassé. Un seul exemple ne fait que la première moitié.

5. On calcule le revenu moyen par utilisateur sur plusieurs régions.

3 points, tout l'exercice de la partie B

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je fais la moyenne des revenus par région : $(58 + 19 + 6 + 4)/4 = 21{,}75$ dollars. »

Ce qu'il faut écrire

« Je somme les revenus, je somme les utilisateurs, et je divise une seule fois : $39\ 930 / 3\ 350 \approx 11{,}9$ dollars. »

Pourquoi : Une moyenne de moyennes donne le même poids à une région de 320 millions d'utilisateurs et à une de 1 400 millions. Le poids est toujours le DÉNOMINATEUR de la grandeur moyennée.

6. On demande ce que le réglage « compte privé » protège.

2 points, et souvent la question de conclusion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un compte privé ne transmet aucune donnée à la plateforme. »

Ce qu'il faut écrire

« Le réglage privé limite la visibilité par les AUTRES MEMBRES ; la plateforme, elle, continue de collecter connexions, position, temps passé et interactions. »

Pourquoi : Le réglage porte sur l'audience, pas sur l'éditeur du service. Confondre les deux revient à croire qu'un rideau protège du propriétaire de l'immeuble.

7. On demande combien de comptes une rumeur touche au bout de $n$ vagues.

3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Chaque vague ajoute 3 comptes, donc au bout de 5 vagues cela fait 15 comptes. »

Ce qu'il faut écrire

« Chaque compte touché en repartage à 3 : la vague $n$ touche $3^{n}$ comptes, et le cumul vaut $1 + 3 + 9 + \dots$ »

Le nombre de comptes touchés est multiplié par 3 à chaque vague, jamais augmenté de 3 : 1, puis 3, puis 9.

Pourquoi : Une propagation est MULTIPLICATIVE. Additionner au lieu de multiplier fait passer de 364 comptes à 16, soit une erreur d'un facteur vingt.

8. On demande si supprimer une publication la fait disparaître.

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Oui, une fois supprimée elle n'existe plus. »

Ce qu'il faut écrire

« La suppression retire la publication de l'affichage du service ; elle n'atteint ni les copies faites par des tiers, ni les captures, ni les caches des moteurs. »

Pourquoi : Le calcul de propagation le montre : au bout de trois vagues, le contenu existe déjà en quatorze copies chez des personnes sur lesquelles l'auteur n'a aucun pouvoir.

Quelle méthode choisir

Quelle grandeur la question demande-t-elle vraiment ?

Lire le verbe de la question avant de regarder le dessin.

Si La question dit « combien d'amis », « combien de liens directs » → c'est le DEGRÉ : compter les arêtes qui aboutissent au sommet

Exemple : Bella a 3 amis, donc son degré vaut 3.

Ne rien parcourir : la réponse est locale, elle se lit sur le sommet.
Si La question dit « en combien d'étapes », « à quelle distance » → c'est la DISTANCE : faire un parcours en largeur depuis le sommet de départ

Exemple : De Diego à Farah, on marque 1, puis 2, puis 3 : la distance vaut 3.

Marquer au fur et à mesure, sinon on compte deux fois un sommet déjà atteint.
Si La question dit « le plus éloigné », « au maximum », « diamètre » → c'est le DIAMÈTRE : parcourir tous les couples, pas seulement celui qu'on voit

Exemple : Le maximum vaut 3 et aucun couple ne dépasse 3 : le diamètre vaut 3.

Deux phrases obligatoires : il est atteint, il n'est pas dépassé.
Si La question dit « suggestion d'amis », « connaissance probable » → c'est le nombre d'AMIS COMMUNS : intersection des deux voisinages

Exemple : Bella et Farah ont Chloé en commun, donc 1 ami commun.

On ne regarde que les voisins directs des deux comptes, rien d'autre.

Quatre verbes, quatre grandeurs. Les identifier prend cinq secondes et évite les trois quarts des erreurs du chapitre.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un calcul de propagation

Quand l'utiliser : Dès qu'une question parle de vagues, de partages successifs ou de jours de diffusion.

1 Nommer la raison : « chaque compte touché repartage à 3 autres, donc la raison vaut 3 ».
2 Écrire la vague $n$ : « au jour $n$ , $3^{n}$ comptes sont touchés ».
3 Écrire le cumul et le calculer de DEUX façons, la somme terme à terme et la formule géométrique.
4 Conclure en revenant à la question posée, avec l'unité et le mot « comptes ».

Phrase de conclusion

« La progression est géométrique de raison 3 : au jour $n$ , $3^{n}$ comptes sont touchés, et le cumul du jour 0 au jour 5 vaut $1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364$ comptes, ce que confirme $(3^{6} - 1) / 2 = 364$ . »

Le piège : Écrire seulement le résultat. Le double calcul vaut souvent un point à lui seul, et il attrape les erreurs de puissance.

Barème : 1 point pour la raison, 1 pour la formule générale, 1 pour le cumul, 1 pour la vérification.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme des degrés est-elle paire ?

Additionner tous les degrés relevés. Si le total est impair, une arête a été mal lue.

$2+3+3+2+3+1 = 14$ , pair : le graphe a bien 7 arêtes.
Le nombre d'arêtes correspond-il au dessin ?

Barrer les arêtes une à une au crayon en les comptant, puis comparer à la moitié de la somme des degrés.

7 arêtes barrées, $14/2 = 7$ : les deux méthodes concordent.
La moyenne est-elle pondérée ?

Se demander si les groupes moyennés ont le même effectif. Sinon, refaire en somme sur somme.

$11{,}9$ dollars par utilisateur, et non $21{,}75$ : l'écart d'un facteur deux signale l'erreur.
L'ordre de grandeur de la propagation est-il plausible ?

Vérifier que le résultat croît vite : au bout de 13 vagues de raison 3, on doit dépasser le million.

$3^{13} = 1\ 594\ 323 > 10^{6}$ , alors que $3^{12} = 531\ 441 < 10^{6}$ .

L'exercice type décortiqué

Un graphe de six comptes, du degré au diamètre

Six comptes, Amir, Bella, Chloé, Diego, Elias et Farah. Les amitiés sont Amir-Bella, Bella-Chloé, Amir-Diego, Diego-Elias, Bella-Elias, Chloé-Elias, Chloé-Farah. Donner le nombre d'arêtes, le diamètre, et le nombre d'amis communs de Bella et Farah.

Étape 1

Degrés : Amir 2, Bella 3, Chloé 3, Diego 2, Elias 3, Farah 1. Somme $= 14$ .

Pourquoi

On relève les degrés AVANT de compter les arêtes : la somme fournit à la fois le résultat et sa vérification de parité.

Étape 2

Nombre d'arêtes $= 14 / 2 = 7$ .

Pourquoi

Chaque arête est comptée à ses deux extrémités. Diviser par deux est la seule opération à faire, et c'est celle qu'on oublie.

Étape 3

Distances depuis Diego : Amir 1, Elias 1, Bella 2, Chloé 2, Farah 3.

Pourquoi

Parcours en largeur : on marque d'abord tous les voisins, puis leurs voisins non marqués. Marquer évite de repasser deux fois sur un sommet.

Étape 4

Le maximum des distances vaut 3, atteint par Diego-Farah, et aucun des 15 couples ne dépasse 3 : le diamètre vaut 3.

Pourquoi

Les deux moitiés de la preuve d'un maximum. Sans la seconde phrase, la réponse ne vaut que la moitié des points.

Étape 5

Amis de Bella : Amir, Chloé, Elias. Amis de Farah : Chloé. Intersection : Chloé, soit 1 ami commun.

Pourquoi

On ne regarde que les voisins DIRECTS des deux comptes : c'est ce nombre, et lui seul, qui déclenche une suggestion d'amis.

Conclusion rédigée

Le graphe a 7 arêtes, un diamètre de 3, et Bella et Farah ont exactement 1 ami commun.

L'erreur classique sur cet exercice : Répondre 14 arêtes, en oubliant de diviser la somme des degrés par deux, puis enchaîner tout l'exercice sur ce nombre faux.

À savoir par cœur

• Somme des degrés $= 2 \times$ nombre d'arêtes, donc toujours paire.
• Degré : voisinage immédiat. Distance et diamètre : position dans tout le graphe.
• Un maximum se prouve en deux temps : atteint, et non dépassé.
• Moyenne sur plusieurs groupes : somme sur somme, jamais moyenne de moyennes.
• Propagation : on MULTIPLIE par la raison à chaque vague, on n'ajoute pas.
• Réglage privé : cache aux autres membres, jamais à la plateforme.
• Effet petit monde : regroupement élevé ET diamètre faible, grâce à quelques liens longs.
• Une donnée personnelle est identifiante par recoupement : l'adresse IP en est une.

Questions fréquentes

Comment calculer le nombre d'arêtes d'un graphe en SNT ?

On relève le degré de chaque sommet, c'est-à-dire le nombre de traits qui y aboutissent, puis on additionne tous les degrés et on divise par deux. La division par deux est indispensable, car chaque arête est comptée une fois à chacune de ses deux extrémités. La somme des degrés est donc toujours paire, ce qui donne une vérification gratuite.

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Exercices corrigés : Les réseaux sociaux : graphes, données et recommandation

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
120 minutes

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Ce qu'un graphe dit, et ce qu'il ne dit pas

Ce que les quatre grandeurs servent à prédire

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1. On demande le nombre d'arêtes d'un graphe dessiné.

2. On demande quel compte est le plus central du réseau.

3. On demande la distance entre deux sommets d'un graphe dessiné.

4. On demande le diamètre du graphe.

5. On calcule le revenu moyen par utilisateur sur plusieurs régions.

6. On demande ce que le réglage « compte privé » protège.

7. On demande combien de comptes une rumeur touche au bout de nnn vagues.

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