Exercices corrigés d'enseignement scientifique : la Terre, un astre singulier

a) Elle prouve immédiatement que la Terre n'est PAS plate. Si elle l'était et que les rayons du Soleil arrivaient parallèles, deux bâtons verticaux en deux lieux différents porteraient exactement la même ombre au même instant : soit aucune, soit la même longueur. Une ombre nulle à un endroit et non nulle à un autre, au même moment, impose que les deux verticales ne soient pas parallèles, donc que la surface soit courbe. C'est une déduction, pas une hypothèse.

b) Les rayons du Soleil arrivant parallèles, la direction du rayon à Syène et celle du rayon à Alexandrie sont parallèles. La verticale d'Alexandrie coupe ces deux parallèles : l'angle qu'elle fait avec le rayon local, c'est-à-dire l'angle de l'ombre, est un angle ALTERNE-INTERNE de l'angle qu'elle fait avec la direction Syène-centre, qui est précisément l'angle α au centre. Les deux angles sont donc égaux. L'hypothèse nécessaire est que le Soleil est assez loin pour que ses rayons soient parallèles à l'échelle de la Terre : Ératosthène ne pouvait pas la vérifier, il l'a admise, et elle est excellente puisque le Soleil est à environ vingt-trois mille cinq cents rayons terrestres.

c) L'arc entre les deux villes correspond à un angle au centre de $7{,}2°$, alors que la circonférence entière correspond à $360°$. La proportionnalité donne : circonférence $= 5\ 000 \times 360 / 7{,}2 = 5\ 000 \times 50 = 250\ 000$ stades. Le rapport $360 / 7{,}2 = 50$ est exact, ce qui laisse penser que la valeur de l'angle avait été choisie comme un cinquantième de tour.

d) $250\ 000 \times 157{,}5 = 39\ 375\ 000$ m, soit $39\ 375$ km. Comparé à $40\ 008$ km, l'écart vaut $40\ 008 - 39\ 375 = 633$ km, soit un écart relatif de $633 / 40\ 008 \approx 0{,}0158$, c'est-à-dire environ $1{,}6$ pour cent. Pour une mesure faite avec un bâton, un puits et des arpenteurs, deux siècles avant notre ère, c'est remarquable.

e) Trois sources d'erreur. La DISTANCE entre les deux villes, estimée d'après le temps de marche des caravanes, donc connue à quelques pour cent près. La POSITION des villes, qui ne sont pas exactement sur le même méridien, Alexandrie étant décalée d'environ trois degrés en longitude. Et l'HYPOTHÈSE que Syène est exactement sur le tropique, alors qu'elle en est distante d'une soixantaine de kilomètres. On peut ajouter l'incertitude sur la valeur du stade, qui a varié selon les époques et les régions. C'est la distance entre les villes qui explique le mieux l'écart : une erreur de $1{,}6$ pour cent sur $5\ 000$ stades, soit 80 stades, est parfaitement plausible pour une estimation par temps de parcours.

a) Le mètre fut défini comme la dix-millionième partie du QUART du méridien terrestre, mesuré du pôle Nord à l'équateur en passant par Paris. Le quart de méridien vaut donc par construction $10^{7}$ m, soit $10\ 000$ km, et le méridien entier $4 \times 10\ 000 = 40\ 000$ km. Ce chiffre rond n'est pas une coïncidence : c'est la définition qui l'a produit.

b) Un degré de méridien vaut $40\ 000 / 360 \approx 111{,}11$ km. Une minute d'angle en vaut le soixantième, soit $111{,}11 / 60 \approx 1{,}852$ km. Cette longueur porte un nom en navigation : c'est le MILLE MARIN, dont la valeur a d'ailleurs été fixée à exactement $1\ 852$ m précisément pour cette raison. Un noeud, unité de vitesse des marins, est un mille marin par heure.

c) Parce que mesurer le méridien entier est impossible : il traverse des océans, des déserts et l'hémisphère sud. La méthode consiste à mesurer avec une très grande précision un ARC accessible, puis à extrapoler par proportionnalité, l'angle correspondant à cet arc étant déterminé par des observations astronomiques aux deux extrémités. C'est exactement la démarche d'Ératosthène, avec deux différences : un arc bien plus long, donc un angle mesurable avec une meilleure précision relative, et une mesure de distance par triangulation géodésique au lieu d'une estimation par temps de marche.

d) Non, le mètre actuel n'est pas faux : c'est la mesure du méridien de 1799 qui était légèrement inexacte, d'environ deux dix-millièmes. Comme la longueur du mètre étalon avait été matérialisée par une barre, on a conservé la barre plutôt que de changer l'unité, ce qui aurait fait varier toutes les mesures antérieures. Depuis, la définition a changé deux fois : le mètre a été rattaché à une longueur d'onde lumineuse en 1960, puis, depuis 1983, il est défini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en $1/299\ 792\ 458$ de seconde. La Terre a donc disparu de la définition, remplacée par une constante universelle : c'est une progression, l'étalon n'étant plus un objet susceptible de se déformer ni une planète susceptible d'être mieux mesurée.

e) Un degré de latitude vaut environ $111{,}11$ km, soit $11\ 111\ 000$ cm. À l'échelle $1 : 250\ 000$, la hauteur sur la carte vaut $11\ 111\ 000 / 250\ 000 \approx 44{,}4$ cm. C'est bien l'ordre de grandeur d'une feuille de carte topographique dépliée.

a) La différence vaut $6\ 378{,}1 - 6\ 356{,}8 = 21{,}3$ km. L'aplatissement vaut $f = 21{,}3 / 6\ 378{,}1 \approx 3{,}34 \times 10^{-3}$. Sous forme de fraction : $1 / f \approx 299{,}4$, donc $f \approx 1/299$. La valeur officielle vaut $1/298{,}257$. L'écart entre les deux rayons ne représente donc qu'un tiers de pour cent : à l'oeil, la Terre est une sphère très correcte, et un globe de 30 cm de diamètre devrait être aplati d'un millimètre seulement.

b) Un point de la surface décrit un cercle autour de l'axe des pôles. Pour qu'il reste sur ce cercle, il faut une force centripète, fournie par la pesanteur ; la partie de la pesanteur consacrée à cela n'est plus disponible pour plaquer la matière vers le centre, si bien que le poids apparent diminue. Cet effet est MAXIMAL à l'équateur, où le rayon du cercle est le plus grand, et NUL aux pôles, où le point ne décrit aucun cercle. La matière, qui se comporte comme un fluide sur des durées géologiques, se redistribue donc jusqu'à l'équilibre : elle s'accumule à l'équateur et s'abaisse aux pôles. Une planète tournant deux fois plus vite verrait l'effet centrifuge quadruplé, puisqu'il varie comme le carré de la vitesse angulaire, et serait donc bien plus aplatie : c'est le cas de Saturne, dont l'aplatissement est voisin d'un dixième.

c) On cherchait à comparer la longueur d'un degré de méridien à HAUTE latitude, en Laponie, et à basse latitude, au Pérou. Le raisonnement : si la Terre est aplatie aux pôles, sa courbure y est plus FAIBLE, donc il faut parcourir une plus grande distance pour que la verticale tourne d'un degré ; le degré doit donc être plus long près du pôle. C'est exactement ce qu'on a trouvé : environ $111{,}7$ km près du pôle contre $110{,}6$ km à l'équateur. Newton avait raison contre les cartographes français, qui avaient cru mesurer l'inverse à partir de données insuffisamment précises.

d) L'ELLIPSOÏDE est une surface mathématique lisse, définie par deux nombres, le rayon équatorial et l'aplatissement : c'est un modèle commode, sur lequel se font tous les calculs de coordonnées. Le GÉOÏDE est la surface d'équilibre du champ de pesanteur qui coïncide avec le niveau moyen des mers : il n'a pas d'équation simple, il monte au-dessus des excès de masse et descend au-dessus des déficits, et il s'écarte de l'ellipsoïde de $-105$ à $+85$ mètres selon les régions. C'est le GÉOÏDE qui sert de référence aux altitudes de carte, puisque c'est lui qui définit ce qu'est un niveau, donc dans quel sens l'eau coule.

e) Parce qu'un récepteur satellitaire calcule naturellement une hauteur au-dessus de l'ELLIPSOÏDE, alors que la carte donne une altitude au-dessus du GÉOÏDE. Au bord de la mer, l'altitude vraie est nulle par définition, mais la hauteur ellipsoïdale peut valoir plusieurs dizaines de mètres, positive ou négative selon le lieu : le récepteur affiche alors une valeur qui semble aberrante sans qu'aucune erreur de mesure soit en cause. La correction se fait en soustrayant l'ondulation du géoïde, c'est-à-dire l'écart entre les deux surfaces au point considéré, que le récepteur lit dans un modèle global stocké dans sa mémoire. Un récepteur bon marché utilise un modèle grossier, d'où des écarts résiduels de quelques mètres.

a) Les quatre estimations : Ussher en 1650, environ $6 \times 10^{3}$ ans ; Buffon en 1779, environ $7{,}5 \times 10^{4}$ ans ; Kelvin en 1897, environ $10^{8}$ ans ; la mesure actuelle, $4{,}54 \times 10^{9}$ ans. Rapport avec Ussher : $4{,}54 \times 10^{9} / 6 \times 10^{3} \approx 7{,}6 \times 10^{5}$, soit plus de sept cent mille fois. Rapport avec Kelvin : $4{,}54 \times 10^{9} / 10^{8} \approx 45$, soit quarante-cinq fois.

b) Buffon suppose sans le dire que la Terre n'a AUCUNE source de chaleur interne : il la traite comme une boule chaude qui se refroidit et rien d'autre. Son résultat est très petit d'abord à cause de cette hypothèse, ensuite parce que ses boules d'expérience étaient minuscules et que l'extrapolation à un objet cent millions de fois plus grand en rayon amplifie toute erreur de loi, et enfin parce qu'il n'avait aucune théorie de la conduction : il extrapolait une durée mesurée, sans savoir comment elle dépendait du rayon.

c) Il manquait au modèle de Kelvin une SOURCE INTERNE de chaleur. Son calcul est mathématiquement irréprochable : il résout correctement l'équation de la chaleur pour une sphère initialement chaude qui se refroidit par conduction. Mais il suppose qu'aucune énergie n'est produite à l'intérieur, hypothèse alors parfaitement raisonnable puisque aucune source connue ne pouvait durer. La désintégration des éléments radioactifs présents dans le manteau fournit précisément cette source, et elle change le résultat d'un ordre de grandeur. L'erreur de Kelvin n'est pas de calcul, elle est d'HYPOTHÈSE, et son hypothèse n'était pas testable en 1897.

d) Deux effets, tous deux décisifs. Premier effet : la radioactivité fournit la source de chaleur interne qui manquait, ce qui INVALIDE le calcul de Kelvin et lève la contrainte qu'il imposait aux géologues. Second effet : la décroissance radioactive fournit un CHRONOMÈTRE, régulier, insensible à la température et à la pression, qui permet enfin de dater directement les roches au lieu de raisonner sur des vitesses supposées constantes. Le même phénomène détruit l'ancienne réponse et donne la nouvelle, ce qui est assez rare dans l'histoire des sciences pour être souligné.

e) On retient qu'un calcul juste peut donner un résultat faux si l'une de ses hypothèses est fausse, et que l'hypothèse fautive est souvent celle que personne ne songe à formuler, faute de savoir qu'elle en est une. Kelvin n'a pas mal raisonné : il a raisonné avec la physique de son temps, et c'est un phénomène inconnu de tous, découvert un an avant son calcul, qui l'a mis en défaut ; l'attitude critiquable n'est pas son résultat mais son assurance à imposer une conclusion physique à des disciplines dont les indices convergeaient déjà vers des durées bien plus longues.

a) Parce que la surface de la Terre est constamment RENOUVELÉE : les plaques plongent dans le manteau aux zones de subduction, l'érosion démantèle les reliefs, et le métamorphisme réinitialise les chronomètres en rouvrant les systèmes minéraux. Aucune roche n'a donc traversé les premières centaines de millions d'années. Une roche datée de $4{,}03$ milliards d'années donne exactement une chose : un MINORANT de l'âge de la Terre, qui est nécessairement plus vieille que la plus vieille de ses roches. C'est déjà une information forte, mais ce n'est pas l'âge cherché.

b) On le mesure sur les MÉTÉORITES, en particulier les chondrites, qui sont des fragments non différenciés du disque primitif. Ce choix se justifie parce que ces corps sont trop petits pour avoir connu une activité interne durable : ils n'ont ni tectonique, ni volcanisme, ni érosion, donc leurs chronomètres se sont fermés à la formation du système solaire et n'ont jamais été rouverts. Ils datent donc l'ACCRÉTION du disque, c'est-à-dire le moment où la Terre s'est formée elle aussi, à quelques dizaines de millions d'années près.

c) La fraction restante vaut $f = 0{,}5^{t/T}$ avec $t = 4{,}54$ et $T = 4{,}47$ milliards d'années. L'exposant vaut $4{,}54 / 4{,}47 \approx 1{,}0157$, donc $f = 0{,}5^{1{,}0157} \approx 0{,}4946$. Il reste donc environ $49{,}5$ pour cent de l'uranium 238 initial : la Terre a très légèrement dépassé une demi-vie de ce noyau, ce qui explique que ce couple soit exactement le bon chronomètre pour cette question.

d) On cherche le nombre $n$ de demi-vies tel que $0{,}5^{n} = 0{,}72$. À la calculatrice, $0{,}5^{0{,}5} \approx 0{,}707$ et $0{,}5^{0{,}45} \approx 0{,}732$ : $n$ est compris entre $0{,}45$ et $0{,}5$, et en resserrant $n \approx 0{,}4739$. Donc $t = 0{,}4739 \times 4{,}47 \times 10^{9} \approx 2{,}12 \times 10^{9}$ ans, soit environ $2{,}12$ milliards d'années. Cette valeur, bien inférieure à l'âge du système solaire, correspondrait à une roche lunaire remaniée, par exemple recristallisée lors d'un impact majeur : elle date l'événement qui a refermé le système, non la formation de la Lune.

e) Parce que ces trois approches sont INDÉPENDANTES : elles ne partagent ni les échantillons, ni les instruments, ni les hypothèses. Les météorites reposent sur la décroissance radioactive de couples variés ; les roches lunaires sur les mêmes lois mais des échantillons d'une autre origine ; les modèles d'évolution stellaire sur la physique nucléaire et le transfert de rayonnement, sans aucune radiochronologie. Une mesure unique, si précise soit-elle, reste vulnérable à une erreur SYSTÉMATIQUE, c'est-à-dire à un biais qui affecterait toutes les répétitions de la même façon, exactement comme le calcul de Kelvin. Trois méthodes qui ne se ressemblent pas et qui convergent ne peuvent être toutes fausses que par une coïncidence extraordinaire : c'est ce raisonnement, et non la précision affichée, qui fonde la confiance.

a) Au solstice de juin, l'hémisphère nord est incliné VERS le Soleil : le pôle Nord est éclairé en permanence, les jours y sont les plus longs et le Soleil monte le plus haut. Au solstice de décembre, c'est l'inverse, l'hémisphère nord étant incliné à l'opposé du Soleil. Aux deux ÉQUINOXES, l'axe est perpendiculaire à la direction du Soleil : les deux hémisphères sont éclairés de la même façon, le terminateur passe par les deux pôles, et le jour dure douze heures partout sur Terre. L'axe n'a pas bougé entre les quatre positions : seule la position de la Terre par rapport au Soleil a changé.

b) La hauteur du Soleil à midi vaut $h = 90° - \varphi + \delta$, où $\varphi$ est la latitude et $\delta$ la déclinaison du Soleil, qui vaut $+23{,}4°$ au solstice de juin et $-23{,}4°$ à celui de décembre. En juin : $h = 90 - 45{,}5 + 23{,}4 = 67{,}9°$. En décembre : $h = 90 - 45{,}5 - 23{,}4 = 21{,}1°$. L'écart, de près de 47 degrés, correspond exactement au double de l'inclinaison de l'axe.

c) L'angle d'incidence depuis la verticale vaut $90° - h$. En juin, $\cos(90 - 67{,}9) = \cos(22{,}1°) \approx 0{,}9265$ ; en décembre, $\cos(90 - 21{,}1) = \cos(68{,}9°) \approx 0{,}3600$. Le rapport vaut $0{,}9265 / 0{,}3600 \approx 2{,}57$ : à midi, un mètre carré horizontal reçoit environ deux fois et demie plus de puissance en juin qu'en décembre, uniquement à cause de l'angle. On peut aussi remarquer que $\cos(90° - h) = \sin h$, ce qui simplifie le calcul.

d) La puissance reçue varie comme l'inverse du carré de la distance. Le rapport janvier sur juillet vaut $(152{,}1 / 147{,}1)^{2} = (1{,}03399)^{2} \approx 1{,}0691$, soit environ $6{,}9$ pour cent d'écart. Comparé au facteur $2{,}57$ de la question c, cet effet est presque dix fois plus faible. Conclusion : la variation de distance existe et se mesure, mais elle est très largement dominée par l'effet d'inclinaison, et elle joue d'ailleurs dans le SENS CONTRAIRE de l'hiver boréal, puisque la Terre est au plus près du Soleil début janvier. Cela suffit à écarter définitivement l'explication des saisons par la distance.

e) On combine les deux facteurs. Le rapport des durées vaut $15{,}67 / 8{,}75 \approx 1{,}79$. En prenant la hauteur de midi comme représentative de la journée, le rapport des énergies vaut approximativement $2{,}57 \times 1{,}79 \approx 4{,}61$. Une journée de juin apporte donc environ quatre fois et demie plus d'énergie qu'une journée de décembre à cette latitude. Cette estimation est grossière, car le Soleil n'est pas à sa hauteur de midi toute la journée ; un calcul intégré donne un rapport un peu plus faible, de l'ordre de 3,5. L'ordre de grandeur, lui, est le bon, et il explique sans autre ingrédient l'écart de température entre les deux saisons.

a) L'EXCENTRICITÉ mesure l'allongement de l'orbite : elle varie d'une valeur presque nulle, orbite quasi circulaire, à environ $0{,}06$, ce qui modifie l'écart entre le point le plus proche et le point le plus éloigné du Soleil. L'OBLIQUITÉ est l'inclinaison de l'axe de rotation sur le plan de l'orbite : elle oscille entre environ $22{,}1°$ et $24{,}5°$, ce qui renforce ou atténue le contraste entre les saisons. La PRÉCESSION est la lente rotation de la direction de l'axe, qui décrit un cône : elle change la SAISON à laquelle la Terre passe au plus près du Soleil, sans changer ni la forme de l'orbite ni l'inclinaison.

b) Les trois périodes sont environ $100\ 000$ ans pour l'excentricité, $41\ 000$ ans pour l'obliquité et $23\ 000$ ans pour la précession. Nombre de cycles de précession dans un cycle d'excentricité : $100 / 23 \approx 4{,}35$. Nombre de cycles d'obliquité : $100 / 41 \approx 2{,}44$. Ces rapports ne sont pas entiers, ce qui est important : les trois cycles ne se remettent jamais en phase de façon régulière, et le signal résultant n'est donc jamais périodique au sens strict.

c) Parce que ce n'est pas l'énergie TOTALE qui décide, c'est sa RÉPARTITION dans l'année et en latitude. Une glaciation ne commence pas parce qu'il fait plus froid en moyenne, mais parce que la neige tombée en hiver aux hautes latitudes de l'hémisphère nord ne fond pas entièrement pendant l'été. Ce qui compte est donc l'ensoleillement d'ÉTÉ vers 65 degrés nord, que les trois paramètres modulent fortement même quand la moyenne annuelle globale ne bouge presque pas. Une fois la neige conservée, l'albédo augmente, ce qui refroidit davantage : la rétroaction fait le reste, et c'est elle qui amplifie une cause astronomique modeste en un changement climatique majeur.

d) La théorie prédit un forçage dominé par l'obliquité et la précession, l'excentricité étant de très loin le plus faible des trois en amplitude d'ensoleillement. Or c'est précisément la période de $100\ 000$ ans qui domine les enregistrements depuis un million d'années, alors qu'elle correspond au forçage le plus faible : c'est ce qu'on appelle le problème des 100 000 ans. Il faut en conclure que les paramètres orbitaux ne suffisent pas à eux seuls : ils donnent le RYTHME, mais l'amplitude et la période dominante viennent de la réponse interne du système climatique, calottes de glace, cycle du carbone et rétroactions, qui n'est pas proportionnelle au forçage. Une théorie peut donner le bon rythme sans donner la bonne amplitude, et le dire est plus honnête que de forcer l'accord.

e) Trois indicateurs. Les CAROTTES DE GLACE : on y mesure le rapport des isotopes de l'oxygène dans la glace, qui dépend de la température au moment de la chute de neige, et on analyse directement l'air des bulles emprisonnées, qui donne la composition de l'atmosphère du passé ; la portée atteint 800 000 ans en Antarctique. Les FORAMINIFÈRES des sédiments marins : on mesure le rapport isotopique de l'oxygène dans leur coquille calcaire, qui dépend du volume des glaces continentales ; la portée dépasse plusieurs dizaines de millions d'années. Les CERNES d'arbres : on mesure leur épaisseur, qui dépend des conditions de croissance de l'année, avec une résolution annuelle mais une portée limitée à quelques milliers d'années. On peut y ajouter les POLLENS des tourbières, qui renseignent sur la végétation donc sur le climat régional.

1) FAUX. L'observation de deux ombres différentes au même instant, sous des rayons parallèles, IMPOSE que les deux verticales ne soient pas parallèles, donc que la surface soit courbe : c'est une déduction, pas une hypothèse. Énoncé correct : Ératosthène a supposé les rayons du Soleil parallèles et la Terre sphérique plutôt que simplement courbe ; la courbure, elle, découle de l'observation.

2) FAUX. La longueur du mètre a été fixée par un étalon matériel, et c'est la MESURE du méridien de 1799 qui était inexacte de deux dix-millièmes. Depuis 1983, le mètre est d'ailleurs défini par la vitesse de la lumière et ne dépend plus de la Terre. Énoncé correct : le mètre est exact par définition ; c'est la coïncidence entre le méridien et 40 000 km qui n'est qu'approximative.

3) FAUX dans les termes. L'effet centrifuge est NUL aux pôles, où un point ne décrit aucun cercle, et MAXIMAL à l'équateur, où le rayon du cercle décrit est le plus grand. Énoncé correct : la Terre est renflée à l'équateur parce que l'effet centrifuge y est maximal, ce qui revient au même aplatissement observé mais désigne correctement la cause.

4) FAUX. Son calcul de conduction thermique est mathématiquement correct. Ce qui manquait était une HYPOTHÈSE : il supposait la Terre sans source de chaleur interne, la radioactivité venant à peine d'être découverte. Énoncé correct : Kelvin s'est trompé sur une hypothèse physique, non sur ses calculs, et c'est un phénomène alors inconnu qui l'a mis en défaut.

5) FAUX. La tectonique et l'érosion recyclent en permanence la surface terrestre : aucune roche n'a traversé les premières centaines de millions d'années. Une roche de $4{,}03$ milliards d'années ne donne qu'un MINORANT. Énoncé correct : l'âge de la Terre, $4{,}54$ milliards d'années, est établi sur les météorites, restées inertes depuis la formation du système solaire.

a) Parce que les molécules d'eau contenant l'isotope 18 de l'oxygène sont plus LOURDES que celles contenant l'isotope 16 : elles s'évaporent un peu moins facilement et se condensent un peu plus facilement. Sur le trajet qui mène de l'océan tropical au pôle, la vapeur s'appauvrit donc progressivement en isotope lourd, et d'autant plus que le refroidissement est important. La glace polaire est ainsi d'autant plus appauvrie en oxygène 18 que la température était basse au moment de la chute de neige. Le rapport isotopique n'est donc pas un thermomètre direct : c'est un indicateur, calibré sur les observations actuelles puis extrapolé, ce qui est exactement ce qu'il faut dire dans une copie.

b) La résolution moyenne vaut $800\ 000 / 3\ 270 \approx 245$ ans par mètre. Elle est bien meilleure en haut parce que la glace se COMPRIME sous son propre poids : une année de neige représente plusieurs dizaines de centimètres en surface et quelques millimètres au fond. Un mètre de carotte profonde couvre donc bien plus de temps qu'un mètre de carotte superficielle, et la résolution se dégrade continûment avec la profondeur, jusqu'à ne plus permettre de distinguer les saisons ni même les siècles.

c) Elle est plus DIRECTE parce qu'on mesure l'air lui-même : la bulle contient un échantillon de l'atmosphère du passé, et l'on dose son dioxyde de carbone comme on doserait celui d'aujourd'hui. Aucun modèle de calibration n'est nécessaire, contrairement au rapport isotopique. La difficulté propre porte sur la DATATION : l'air n'est emprisonné qu'à une soixantaine de mètres de profondeur, lorsque la neige devient assez dense pour se fermer, si bien que l'air est systématiquement plus JEUNE que la glace qui l'entoure, de quelques centaines à quelques milliers d'années selon le site. Comparer une température lue dans la glace à une teneur lue dans la bulle voisine exige donc de corriger ce décalage, faute de quoi on se tromperait sur l'ordre des événements.

d) Par rapport au maximum de la période, 300 ppm : $(420 - 300) / 300 = 0{,}40$, soit 40 pour cent au-dessus. Par rapport au minimum, 180 ppm : $(420 - 180) / 180 \approx 1{,}333$, soit 133 pour cent au-dessus, c'est-à-dire plus du double. La valeur actuelle est donc HORS de l'intervalle parcouru pendant huit cent mille ans, et non près de sa borne haute.

e) Trois arguments tirés de la carotte. Un, l'AMPLITUDE : la teneur actuelle de 420 ppm dépasse de 40 pour cent le maximum atteint en 800 000 ans, période qui couvre pourtant huit cycles glaciaires complets ; la variation actuelle n'est pas dans la gamme des variations passées, elle en sort. Deux, la VITESSE : les transitions naturelles enregistrées font passer la teneur de 180 à 280 ppm en cinq à dix mille ans, soit environ $0{,}02$ ppm par an, alors que la hausse actuelle dépasse 2 ppm par an, soit cent fois plus vite. Trois, la CAUSE : dans les cycles enregistrés, la teneur en dioxyde de carbone SUIT le réchauffement, dont elle amplifie l'effet ; aujourd'hui elle le PRÉCÈDE, et sa signature isotopique désigne un carbone fossile. L'argument « le climat a toujours varié » est donc exact et sans portée : c'est précisément parce qu'on connaît les variations passées, grâce à cette carotte, qu'on peut affirmer que celle-ci n'y ressemble pas.

a) À l'équinoxe, la déclinaison du Soleil est nulle, donc la hauteur à midi vaut $h = 90° - \varphi$. À Montréal : $h = 90 - 45{,}50 = 44{,}50°$. À Bogota : $h = 90 - 4{,}71 = 85{,}29°$. La longueur de l'ombre d'un bâton vertical de hauteur $H$ vaut $L = H / \tan h$. À Montréal : $L = 1{,}00 / \tan(44{,}50°) \approx 1{,}0176$ m. À Bogota : $L = 1{,}00 / \tan(85{,}29°) \approx 0{,}0824$ m, soit environ 8 cm.

b) L'angle de l'ombre par rapport à la verticale vaut $\theta = \arctan(L / H)$. À Montréal : $\theta = \arctan(1{,}0176) \approx 45{,}50°$. À Bogota : $\theta = \arctan(0{,}0824) \approx 4{,}71°$. On retrouve bien les latitudes, ce qui est normal un jour d'équinoxe. L'angle au centre entre les deux villes vaut la DIFFÉRENCE de ces deux angles, soit $45{,}50 - 4{,}71 = 40{,}79°$. On ne l'a pas obtenu en soustrayant les latitudes données mais en mesurant deux ombres, ce qui est bien la démarche d'Ératosthène : on n'a rien supposé de la position des villes.

c) La proportionnalité donne : circonférence $= 4\ 535 \times 360 / 40{,}79 \approx 40\ 025$ km. Le rayon vaut $R = C / (2\pi) = 40\ 025 / 6{,}2832 \approx 6\ 370$ km.

d) L'écart vaut $40\ 025 - 40\ 008 = 17$ km, soit $17 / 40\ 008 \approx 4{,}2 \times 10^{-4}$, c'est-à-dire environ $0{,}04$ pour cent. C'est parfaitement acceptable, et même remarquable : près de quarante fois mieux qu'Ératosthène, avec deux bâtons et une carte routière. L'écart résiduel vient surtout de ce que les deux villes ne sont pas exactement sur le même méridien et que la Terre n'est pas sphérique.

e) Une erreur de 2 mm sur une ombre de $1{,}02$ m fait varier l'angle : $\arctan(1{,}020) \approx 45{,}5675°$ et $\arctan(1{,}018) \approx 45{,}5107°$, soit un écart d'environ $0{,}056°$. Rapporté à un angle au centre de $40{,}79°$, cela fait une erreur relative de $0{,}056 / 40{,}79 \approx 1{,}4 \times 10^{-3}$, donc environ $0{,}14$ pour cent sur la circonférence, soit près de 55 km. Pour améliorer la mesure, il faut d'abord AUGMENTER l'angle au centre, c'est-à-dire choisir deux villes très éloignées en latitude : la même erreur absolue de $0{,}056°$ sur un angle de 80 degrés donnerait une erreur relative deux fois plus faible. Le choix des villes compte donc plus que la précision des règles parce que l'erreur relative est le rapport de l'erreur d'angle à l'angle mesuré : on gagne bien plus en agrandissant le dénominateur qu'en réduisant le numérateur. C'est un principe général de mesure, et il vaut aussi pour Delambre et Méchain, qui ont mesuré un arc de près de dix degrés, plus long que les $7{,}2$ degrés d'Ératosthène.

a) La somme des angles d'un triangle vaut $180°$, donc $\widehat{C} = 180 - 62{,}0 - 71{,}0 = 47{,}0°$. On le mesure quand même : si la somme des trois angles mesurés ne donne pas $180°$, à la précision près, une visée est fausse. C'est un contrôle gratuit, et les géodésiens le faisaient sur chaque triangle.

b) Loi des sinus : $AC = \frac{AB \times \sin B}{\sin C} = \frac{11{,}7 \times \sin 71{,}0°}{\sin 47{,}0°} \approx \frac{11{,}7 \times 0{,}9455}{0{,}7314} \approx 15{,}1$ km. $BC = \frac{AB \times \sin A}{\sin C} = \frac{11{,}7 \times 0{,}8829}{0{,}7314} \approx 14{,}1$ km. Contrôle : le plus grand côté, AC, est bien opposé au plus grand angle, $\widehat{B}$.

c) $\widehat{D} = 180 - 55{,}0 - 68{,}0 = 57{,}0°$. Dans le triangle ACD, AD est opposé à $\widehat{C}$ : $AD = \frac{AC \times \sin 68{,}0°}{\sin 57{,}0°} \approx \frac{15{,}13 \times 0{,}9272}{0{,}8387} \approx 16{,}7$ km. On a gardé AC avec deux décimales pour ne pas enchaîner les arrondis. D'un triangle à l'autre, la chaîne progresse sans qu'aucune nouvelle distance ne soit mesurée au sol.

d) Un degré de méridien vaut $\frac{1\ 075{,}2}{9{,}674} \approx 111{,}14$ km. Le quart de méridien couvre $90°$ : $111{,}14 \times 90 \approx 10\ 003$ km. On retrouve les $10\ 000$ km de la définition du mètre, à trois dix-millièmes près.

e) Au XVIIIe siècle, mesurer une longue distance au sol, avec des règles posées bout à bout par-dessus les champs et les rivières, est lent et imprécis ; mesurer un angle avec un instrument de visée est rapide et très précis. Une erreur de 1 cm sur $11{,}7$ km vaut $\frac{0{,}01}{11\ 700} \approx 8{,}5 \times 10^{-7}$ en relatif. Toutes les longueurs de la chaîne étant proportionnelles à la base, cette erreur relative se retrouve TELLE QUELLE sur l'arc entier : elle ne grandit pas avec la distance, contrairement aux erreurs d'angle, qui s'accumulent d'un triangle à l'autre.

a) Terre : $\frac{360}{365{,}25} \approx 0{,}9856$ degré par jour. Mars : $\frac{360}{687} \approx 0{,}5240$ degré par jour. La Terre, plus proche du Soleil, tourne presque deux fois plus vite en angle.

b) La Terre gagne sur Mars $0{,}9856 - 0{,}5240 = 0{,}4616$ degré par jour. Les deux planètes se retrouvent alignées avec le Soleil quand la Terre a pris un tour complet d'avance, soit $360°$ : cela prend $\frac{360}{0{,}4616} \approx 780$ jours, soit environ $2{,}14$ ans. Le piège est de répondre 687 jours : pendant ce temps, la Terre a elle aussi avancé.

c) Mars paraît reculer quand la Terre la DÉPASSE, c'est-à-dire autour de l'opposition, lorsque les deux planètes sont du même côté du Soleil. C'est comme doubler un camion sur l'autoroute : au moment où l'on passe devant lui, il semble reculer par rapport aux arbres lointains, alors qu'il avance. Aucune planète ne recule réellement ; c'est la ligne de visée depuis la Terre, elle-même en mouvement, qui balaie le fond des étoiles à rebours.

d) Pour Mars, la suivante a lieu environ 780 jours plus tard. Pour Jupiter : $\frac{360}{11{,}86 \times 365{,}25} \approx 0{,}0831$ degré par jour, donc un gain de $0{,}9856 - 0{,}0831 = 0{,}9025$ degré par jour et une période synodique de $\frac{360}{0{,}9025} \approx 399$ jours. Jupiter, très lente, est rattrapée un peu plus d'un an après chaque opposition.

e) Ptolémée rendait compte du mouvement rétrograde, mais au prix d'un épicycle ajusté pour chaque planète, sans aucune raison qui relie la taille de la boucle à celle de l'orbite. Chez Copernic, le phénomène découle automatiquement du mouvement de la Terre : la boucle se produit toujours à l'opposition, et elle est d'autant plus petite que la planète est lointaine, deux faits que le modèle géocentrique devait supposer séparément. Deux modèles peuvent décrire les mêmes observations ; on retient celui qui les explique avec le moins d'hypothèses ajustées.

a) $0{,}1$ mm $= 10^{-4}$ m. Durée : $\frac{3\ 000}{10^{-4}} = 3 \times 10^{7}$ ans, soit 30 millions d'années. Le piège est la conversion : $0{,}1$ mm n'est pas $10^{-3}$ m.

b) Les 3 000 m de roche proviennent de 6 000 m de dépôt. La durée double : $\frac{6\ 000}{10^{-4}} = 6 \times 10^{7}$ ans, soit 60 millions d'années. Une seule correction physique fait varier le résultat d'un facteur 2, et d'autres hypothèses sont bien plus incertaines, à commencer par la vitesse de dépôt elle-même.

c) Âge des océans : $\frac{1{,}5 \times 10^{16}}{1{,}6 \times 10^{8}} \approx 9{,}4 \times 10^{7}$ ans, soit environ 94 millions d'années. Joly en tire un âge de l'ordre de 100 millions d'années, voisin de celui de Kelvin, ce qui semblait confirmer ce dernier.

d) Joly suppose que le sodium S'ACCUMULE sans jamais quitter l'océan. C'est faux : il en sort en permanence, piégé dans les sédiments, dans les dépôts de sel des lagunes qui s'assèchent et dans les roches du plancher océanique. Une partie du sel apporté a donc disparu, et en ne comptant que ce qui reste, Joly SOUS-ESTIME la durée écoulée.

e) $\frac{4{,}54 \times 10^{9}}{9{,}4 \times 10^{7}} \approx 48$ : l'âge de Joly est environ 48 fois trop petit. Son calcul ne mesure pas l'âge des océans mais le TEMPS DE RÉSIDENCE du sodium, c'est-à-dire la durée moyenne qu'un atome de sodium passe dans l'océan entre son arrivée et sa sortie, puisque les entrées et les sorties se compensent aujourd'hui. Le calcul était juste, l'hypothèse d'accumulation était fausse : c'est la même leçon que pour Kelvin.

a) Vue de la Terre, la direction de Vénus s'écarte le plus de celle du Soleil quand la ligne de visée frôle l'orbite de Vénus : au-delà, elle ne la rencontrerait plus. En ce point, le rayon Soleil-Vénus est perpendiculaire à la ligne de visée, et le triangle Soleil, Vénus, Terre est rectangle en Vénus. Donc $\sin \varepsilon_{\max} = \frac{0{,}723}{1}$ et $\varepsilon_{\max} \approx 46{,}3°$. Vénus ne s'écarte jamais de plus de 46 degrés du Soleil : elle est visible le soir peu après le coucher du Soleil ou le matin peu avant son lever, jamais à minuit, où il faudrait une élongation de 180 degrés.

b) Entre la Terre et le Soleil : $1 - 0{,}723 = 0{,}277$ UA. De l'autre côté du Soleil : $1 + 0{,}723 = 1{,}723$ UA. La taille apparente est inversement proportionnelle à la distance, donc le rapport vaut $\frac{1{,}723}{0{,}277} \approx 6{,}2$ : Vénus paraît six fois plus grande au plus près qu'au plus loin, environ une minute d'arc contre dix secondes d'arc.

c) Vénus montre sa face éclairée entière quand elle est DERRIÈRE le Soleil, à $1{,}723$ UA : elle est alors pleine mais petite. Elle montre un fin croissant quand elle est presque entre la Terre et le Soleil, à peine plus loin que $0{,}277$ UA : elle tourne alors vers nous sa face nocturne, et paraît grande. C'est exactement l'association observée par Galilée : croissant et grand diamètre, disque plein et petit diamètre.

d) Si Vénus restait toujours entre la Terre et le Soleil, elle nous présenterait toujours principalement sa face nocturne : on ne verrait que des croissants, plus ou moins fins, et jamais une Vénus pleine ni même à moitié éclairée au-delà du quartier. L'observation d'une Vénus presque pleine prouve que Vénus passe DERRIÈRE le Soleil, donc qu'elle tourne autour du Soleil et non autour de la Terre : le modèle de Ptolémée est réfuté.

e) L'observation réfute le modèle de Ptolémée, mais ne départage pas Copernic et Tycho Brahe, puisque les deux font tourner Vénus autour du Soleil. Une observation peut éliminer un modèle sans en prouver un autre. Il faudra d'autres arguments, la simplicité puis les lois de Kepler et la gravitation de Newton, et bien plus tard la mesure de la parallaxe des étoiles en 1838, pour établir que c'est la Terre qui tourne autour du Soleil.

a) Le rayon $OH$ est perpendiculaire à la tangente $SH$ au point de contact : le triangle $OHS$ est rectangle en $H$. L'horizontale en $S$ est perpendiculaire à $OS$, et la visée $SH$ est perpendiculaire à $OH$ : l'angle entre l'horizontale et la visée est donc égal à l'angle entre $OS$ et $OH$, soit $\widehat{HOS} = \alpha$, deux angles à côtés perpendiculaires. Dans le triangle rectangle, $\cos \alpha = \frac{OH}{OS} = \frac{R}{R + h}$.

b) $\cos \alpha \times (R + h) = R$, donc $R - R\cos\alpha = h \cos\alpha$ et $R = \frac{h \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}$. Avec $\alpha = 0{,}70°$, $\cos\alpha \approx 0{,}9999254$ et $1 - \cos\alpha \approx 7{,}463 \times 10^{-5}$. Donc $R \approx \frac{480 \times 0{,}9999254}{7{,}463 \times 10^{-5}} \approx 6{,}43 \times 10^{6}$ m, soit environ 6 430 km, à 1 pour cent de la valeur moderne. Il faut garder au moins sept chiffres sur le cosinus : avec $\cos\alpha$ arrondi à $0{,}9999$, on trouverait $4\ 800$ km.

c) Avec $\alpha = 0{,}69°$ : $R \approx 6{,}62 \times 10^{6}$ m, soit environ 6 620 km. L'écart relatif vaut $\frac{6\ 620 - 6\ 430}{6\ 430} \approx 2{,}9$ pour cent pour une erreur d'un centième de degré, soit 36 secondes d'arc. Comme $1 - \cos\alpha$ varie à peu près comme $\alpha^{2}$, une erreur relative d'environ $1{,}4$ pour cent sur l'angle en donne une double sur le rayon. La méthode est ingénieuse mais très sensible : elle exige des mesures d'angle d'une finesse extrême.

d) $SH = \sqrt{(R + h)^{2} - R^{2}} = \sqrt{2Rh + h^{2}} \approx \sqrt{2Rh}$, car $h$ est très petit devant $R$. À 480 m : $\sqrt{2 \times 6\ 371 \times 0{,}480} \approx 78{,}2$ km. Depuis une tour de 324 m : $\sqrt{2 \times 6\ 371 \times 0{,}324} \approx 64{,}3$ km. Depuis un avion à 10 km : $\sqrt{(6\ 381)^{2} - (6\ 371)^{2}} \approx 357$ km. Le piège est de mélanger les unités : $R$ et $h$ doivent être tous deux en kilomètres, ou tous deux en mètres.

e) Si la réfraction diminue $\alpha$, alors $1 - \cos\alpha$ diminue et $R = \frac{h\cos\alpha}{1 - \cos\alpha}$ AUGMENTE : le rayon calculé est trop grand. C'est ce qu'on observe à la question c, où un angle plus petit donne un rayon plus grand. Une mesure ne vaut que si l'on sait dans quel sens ses erreurs systématiques la déplacent.