Enseignement scientifique, Première • Programme français, lycées de Montréal

Fiche de révision : la Terre, un astre singulier

Le thème de la Terre est celui où l'on mesure une planète avec un bâton et une règle de trois. Tout y repose sur une hypothèse, celle des rayons parallèles, et sur des angles vus du centre de la Terre. Confondre ces angles, inverser une tangente ou soustraire deux latitudes qu'il fallait ajouter suffit à faire manquer toute la question.

Cette fiche suit le programme d'enseignement scientifique révisé en 2023, qui assimile la Terre à une sphère parfaite et ajoute le repérage sur la sphère, les phases de la Lune et l'eau liquide ; la triangulation de Delambre et Méchain et la datation de la Terre par la radioactivité y ont aussi leur bloc. Elle liste les erreurs qui reviennent, avec la phrase exacte à écrire à la place et ce que chacune coûte.

Mis à jour le 18 octobre 2026

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Le fil du chapitre

On ne mesure jamais la Terre directement : on mesure un ANGLE vu du centre, et la proportionnalité fait le reste. Écart de latitude, arc de grand cercle, phase de la Lune : toutes les fautes du thème viennent d'un angle mal identifié.

Ce chapitre fait partie de Enseignement scientifique en Première

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 18 exercices

Notions couvertes

Mesure d'Ératosthène
Méridien terrestre
Mille marin
Latitude et longitude
Grand cercle
Hauteur du Soleil
Déclinaison solaire
Obliquité de l'axe
Phases de la Lune
Zone d'habitabilité
Répartition de l'eau douce
Datation des météorites

L'essentiel

La mesure d'Ératosthène, en trois lignes

• Hypothèse indispensable : les rayons du Soleil arrivent PARALLÈLES, parce que le Soleil est très loin.
• L'angle de l'ombre à Alexandrie est alors ÉGAL à l'angle au centre entre les deux villes, comme angles alternes-internes.
• Proportionnalité : l'angle au centre est à $360°$ ce que l'arc est à la circonférence.
• Application : $7{,}2°$ pour 800 km donne $800 \times 360/7{,}2 = 40\,000$ km.

Les deux petits arcs marquent le même angle : celui du gnomon d'Alexandrie avec le rayon qui l'éclaire, et celui du centre de la Terre entre les deux villes. C'est cette égalité qui rend la mesure possible.

Le point de raisonnement est l'égalité des deux angles. Une copie qui applique la proportionnalité sans la justifier perd la moitié des points.

Du méridien au mètre

• Le mètre de 1791 a été défini comme le dix-millionième du quart du méridien : le méridien complet mesure donc $40\,000$ km par construction.
• Un degré de méridien vaut $40\,000/360 = 111{,}1$ km.
• Une MINUTE d'arc de méridien vaut $111{,}1/60 = 1{,}852$ km : c'est le mille marin.
• Un noeud est un mille marin par heure, soit $1{,}852$ km/h.

Le quart de méridien, du pôle Nord à l'équateur, vaut

10\,000

km par définition du mètre : le tour fait

40\,000

km, un degré

111{,}1

km et une minute

1{,}852

km.

La triangulation de Delambre et Méchain

• De 1792 à 1799, pour mesurer l'arc de méridien de Dunkerque à Barcelone, on ne mesure au sol qu'UNE longueur, la base, sur un terrain plat.
• Tout le reste s'obtient en visant des ANGLES depuis des clochers et des sommets : une chaîne de triangles, où chaque côté calculé sert de départ au triangle suivant.
• La différence de latitude des deux extrémités se mesure aux étoiles : $1\,075{,}2$ km pour $9{,}674°$ donnent $111{,}14$ km par degré, et $10\,003$ km pour le quart de méridien.

Une seule longueur mesurée au sol, la base (orange) ; chaque triangle se résout par ses angles visés et donne le côté du suivant, jusqu'à Barcelone.

Le programme demande d'expliquer la méthode, pas de résoudre les triangles : la loi des sinus n'est pas au programme d'enseignement scientifique.

Se repérer et mesurer sur la sphère

• Latitude : angle vu du centre depuis le plan de l'équateur, de $0°$ à $90°$ N ou S. Longitude : angle depuis le méridien de Greenwich, de $0°$ à $180°$ E ou O. Altitude : hauteur au-dessus du niveau moyen de la mer.
• Distance le long d'un grand cercle : $\frac{\text{angle au centre}}{360°}\times 40\ 030$ km, pour $R=6\ 371$ km.
• Deux villes de part et d'autre de l'équateur : l'angle au centre est la SOMME des latitudes.
• Le plus court chemin suit l'arc du GRAND CERCLE, dont le centre est celui de la Terre. Un parallèle de latitude $\varphi$ a pour rayon $R\cos\varphi$ : seul l'équateur est un grand cercle.

La latitude

\varphi

est l'angle vu du centre O depuis l'équateur. Le parallèle de M (orange) a pour rayon

R\cos\varphi

, plus petit que

R

: seul l'équateur (bleu) est un grand cercle.

Un planisphère étire les hautes latitudes : une droite sur la carte n'est pas un plus court chemin, et les routes aériennes y paraissent courbes.

Hauteur du Soleil et longueur de l'ombre

• Hauteur du Soleil à midi : $h = 90° - \varphi + \delta$ , où $\varphi$ est la latitude et $\delta$ la déclinaison.
• $\delta = +23{,}4°$ au solstice d'été, $-23{,}4°$ au solstice d'hiver, $0$ aux équinoxes.
• Longueur de l'ombre d'un gnomon de hauteur $H$ : $L = H/\tan h$ . Soleil haut, ombre courte.
• À la latitude $45{,}5°$ N, la hauteur du Soleil à midi passe de $21{,}1°$ en décembre à $67{,}9°$ en juin.

Au centre, la latitude

\varphi

et la déclinaison

\delta

; en M, la hauteur

h

entre l'horizon et le Soleil. La verticale fait

\varphi-\delta

avec le rayon, d'où

h=90°-\varphi+\delta

Aux équinoxes, $\delta = 0$ et la relation se réduit à $h = 90° - \varphi$ : c'est le jour où la mesure d'Ératosthène est la plus simple à refaire.

Saisons, Lune, eau liquide et âge de la Terre

• Les saisons viennent de l'INCLINAISON de l'axe, $23{,}4°$ . L'effet de distance ne vaut que 7 pour cent, et joue en sens contraire dans l'hémisphère nord.
• La Lune est toujours éclairée à moitié ; la PHASE dépend de l'angle Soleil, Terre, Lune : $0°$ nouvelle lune, $90°$ quartier, $180°$ pleine lune. Lunaison : $29{,}5$ jours.
• La Lune fait un tour sur elle-même par tour autour de la Terre : elle montre toujours la même face.
• Eau liquide : puissance reçue de l'étoile, $\frac{L}{d^{2}}$ fois celle de la Terre, ni trop forte ni trop faible, ET gravité suffisante pour retenir une atmosphère. Eau douce : $2{,}5$ % de l'eau, surtout gelée ou souterraine.
• L'âge de la Terre, $4{,}54$ milliards d'années, se mesure sur les MÉTÉORITES : les roches terrestres ont toutes été recyclées.

Le même faisceau couvre une surface

1/\sin h

fois plus grande : à Montréal,

2{,}6

fois plus en décembre qu'en juin. L'inclinaison de l'axe, pas la distance, fait les saisons.

Dater par la radioactivité

• Un noyau radioactif se désintègre au hasard, mais une population de noyaux décroît régulièrement : après chaque demi-vie $T$ , il en reste la MOITIÉ.
• Fraction restante après une durée $t$ : $\frac{N}{N_{0}} = 0{,}5^{t/T}$ . Pour l'uranium 238, $T = 4{,}47$ milliards d'années.
• Après $4{,}54$ milliards d'années, il reste $0{,}5^{4{,}54/4{,}47} \approx 49{,}5$ % de l'uranium 238 initial : la Terre a un peu plus d'une demi-vie de cet uranium.
• La mesure date la FERMETURE de l'échantillon, sa dernière cristallisation : c'est pourquoi on date les météorites, jamais remaniées depuis la formation du système solaire.

Après une demi-vie il reste la moitié, après deux le quart, après trois le huitième (vert), jamais zéro. La droite rouge, qui viderait tout en

2T

, est le faux.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier l'hypothèse des rayons parallèles

2 points, et c'est exactement le point de raisonnement de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'angle de l'ombre vaut l'angle au centre, c'est une propriété de la géométrie. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux angles sont égaux PARCE QUE les rayons solaires arrivent parallèles, le Soleil étant très éloigné : ce sont alors des angles alternes-internes. »

Mêmes ombres (angle exagéré) sous une Terre ronde et un Soleil lointain (vert) ou une Terre plate et un Soleil proche (rouge) : sans rayons parallèles, on mesure la distance du Soleil.

Pourquoi : Sans cette hypothèse, l'expérience mesurerait la distance du Soleil et non le rayon de la Terre. C'est ce que le sujet veut faire dire, plus que le calcul lui-même.

2. Prendre un degré de méridien pour 100 km

1 point, et un rayon terrestre faux de 10 pour cent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un degré fait à peu près 100 km, donc $7{,}2°$ font 720 km. »

Ce qu'il faut écrire

« Le méridien mesure $40\,000$ km, donc un degré vaut $40\,000/360 = 111{,}1$ km, et $7{,}2°$ valent 800 km. »

Pourquoi : Le nombre $111{,}1$ n'est pas une constante à apprendre mais une conséquence de la définition du mètre. Le retrouver par une division prend cinq secondes et supprime l'erreur.

3. Confondre le mille marin et le kilomètre

1 point, et une erreur de 85 pour cent sur la distance

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le navire file 20 noeuds, donc il parcourt 20 km en une heure. »

Ce qu'il faut écrire

« Un noeud vaut un MILLE MARIN par heure, soit $1{,}852$ km/h : 20 noeuds font $37$ km/h. »

Pourquoi : Le mille marin est défini comme une minute d'arc de méridien, ce qui en fait l'unité naturelle de la navigation : un degré de latitude vaut exactement 60 milles.

4. Multiplier par la tangente au lieu de diviser

2 points, et le résultat contredit l'expérience quotidienne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le gnomon fait 2 m et le Soleil est à $30°$ , donc l'ombre mesure $2 \times \tan 30° = 1{,}15$ m. »

Ce qu'il faut écrire

« $\tan h = H/L$ , donc $L = H/\tan h = 2/\tan 30° = 3{,}46$ m. Soleil bas, ombre LONGUE. »

Le même gnomon, deux hauteurs de Soleil : l'ombre est trois fois plus longue quand le Soleil descend de 60 à 30 degrés, parce qu'on divise par la tangente.

Pourquoi : Dans le triangle rectangle, la hauteur du gnomon est le côté OPPOSÉ à l'angle $h$ et l'ombre le côté adjacent. Le contrôle est immédiat : plus le Soleil est bas, plus l'ombre s'allonge.

5. Oublier la déclinaison dans la hauteur du Soleil

2 points, et toute la question sur les saisons devient sans objet

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À Montréal, latitude $45{,}5°$ , le Soleil culmine à $90 - 45{,}5 = 44{,}5°$ toute l'année. »

Ce qu'il faut écrire

« $h = 90° - \varphi + \delta$ : $44{,}5°$ seulement aux équinoxes, $67{,}9°$ au solstice d'été et $21{,}1°$ au solstice d'hiver. »

À Montréal, le Soleil de midi monte à

67{,}9°

en juin et plafonne à

21{,}1°

en décembre. Les

44{,}5°

ne valent qu'aux équinoxes, quand

\delta = 0

Pourquoi : C'est la variation de $\delta$ au fil de l'année qui fait les saisons. Une hauteur constante décrirait une planète sans axe incliné, donc sans saisons.

6. Expliquer les saisons par la distance au Soleil

2 points, et c'est le contresens que le sujet cherche

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'été, la Terre est plus près du Soleil, donc il fait plus chaud. »

Ce qu'il faut écrire

« Les saisons viennent de l'inclinaison de l'axe : la hauteur du Soleil à midi change, donc l'éclairement en $E\cos\theta$ change. La Terre est d'ailleurs au plus près du Soleil en janvier. »

La Terre passe au plus près du Soleil en janvier, en plein hiver boréal, et au plus loin en juillet : c'est l'axe, penché toujours du même côté, qui fait l'été au nord en juillet.

Pourquoi : Si la distance commandait, les deux hémisphères auraient leurs saisons en même temps. Elles sont opposées, ce qui exclut définitivement l'explication par la distance.

7. Dater la Terre sur des roches terrestres

2 points, et c'est la question de méthode du thème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On date la roche la plus ancienne trouvée sur Terre, $4{,}03$ milliards d'années, et c'est l'âge de la Terre. »

Ce qu'il faut écrire

« Toutes les roches terrestres ont été recyclées par la tectonique : elles donnent un âge MINIMAL. L'âge de $4{,}54$ milliards d'années se mesure sur les météorites, restées inchangées depuis la formation du système solaire. »

La plus vieille roche terrestre,

4{,}03

milliards d'années (rouge), est plus jeune que la Terre : la tectonique a effacé plus de 500 millions d'années, que les météorites (vert) ont gardés.

Pourquoi : Dater une roche, c'est dater sa dernière cristallisation, pas la formation de la planète. Les météorites sont les seuls échantillons qui n'ont subi aucun remaniement.

8. Soustraire les latitudes de deux villes de part et d'autre de l'équateur

toute la question, avec une distance quatre fois trop petite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Stockholm à $59{,}33°$ N, Le Cap à $33{,}92°$ S : l'angle au centre vaut $59{,}33-33{,}92=25{,}41°$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'équateur est entre les deux villes : l'angle vaut $59{,}33+33{,}92=93{,}25°$ , soit $\frac{93{,}25}{360}\times 40\ 030\approx 10\ 369$ km. »

L'équateur passe ENTRE Stockholm et Le Cap : l'angle au centre est la somme des latitudes,

59{,}33+33{,}92=93{,}25°

(vert), pas leur différence.

Pourquoi : Les latitudes se comptent depuis l'équateur, dans deux sens. Écrites avec un signe, Nord positif, la différence fait le travail toute seule : $59{,}33-(-33{,}92)=93{,}25$ .

9. Prendre le parallèle pour le plus court chemin

2 points sur la question de comparaison de chemins

Ce qu'il ne faut pas écrire

« A et B sont tous deux à 60° N : le plus court est de suivre le parallèle, tout droit vers l'ouest. »

Ce qu'il faut écrire

« Le long du parallèle, on parcourt un demi-cercle de rayon $R\cos 60°$ , soit $10\ 008$ km. Par le pôle, sur un grand cercle, l'angle au centre n'est que $60°$ : $6\ 672$ km. »

Vu en coupe, le parallèle

60°

N est le segment AB ; l'arc qui passe par le pôle N ne couvre que

60°

vus du centre O, et c'est le plus court chemin.

Pourquoi : Le grand cercle est le cercle le plus grand qu'on puisse tracer sur la sphère, donc le moins courbé : entre deux points, son arc est le plus court. Un parallèle n'est un grand cercle qu'à l'équateur.

10. Expliquer les phases de la Lune par l'ombre de la Terre

2 points, et toute l'interprétation du schéma s'effondre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le croissant de Lune, c'est l'ombre de la Terre qui cache une partie de la Lune. »

Ce qu'il faut écrire

« La Lune est toujours éclairée à moitié par le Soleil. La phase dépend de la part de cette moitié tournée vers nous, donc de l'angle Soleil, Terre, Lune. L'ombre de la Terre ne tombe sur la Lune que lors d'une éclipse, à la pleine lune. »

La moitié droite de chaque Lune est éclairée. En 1 on n'en voit rien, en 3 la moitié, en 5 tout : la phase vient de l'angle, jamais de l'ombre de la Terre.

Pourquoi : Au premier quartier, la Terre n'est pas du tout entre le Soleil et la Lune : son ombre part dans l'autre direction. La preuve se lit sur le schéma des huit positions.

11. Croire qu'une planète dans la zone d'habitabilité a forcément de l'eau liquide

1 à 2 points sur l'exploitation d'un tableau d'exoplanètes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La Lune est à la même distance du Soleil que la Terre, elle devrait donc avoir des océans. »

Ce qu'il faut écrire

« La bonne distance ne suffit pas : il faut aussi une gravité qui retienne une atmosphère. La Lune, trop peu massive, n'en a pas, et l'eau ne peut pas y rester liquide. »

La Lune est à

1

UA comme la Terre, en pleine zone d'habitabilité, et sans eau liquide : trop peu massive, elle n'a pas d'atmosphère. La zone dit où l'eau est possible.

Pourquoi : La zone d'habitabilité dit seulement où l'eau liquide est POSSIBLE compte tenu de la puissance reçue. Elle ne dit rien de la masse de la planète, de son atmosphère, ni a fortiori de la vie.

Quelle méthode choisir

Quel angle la question demande-t-elle

Repérer où l'angle est mesuré : sur l'ombre, au centre de la Terre, ou entre le Soleil et l'horizon.

Au sommet du gnomon, l'angle ZÉNITHAL

z

(orange) ; au bout de l'ombre, la HAUTEUR

h

(bleu), avec

\tan h = H/L

. Les deux se complètent :

z = 90° - h

Si l'angle est celui du sommet du gnomon et de son ombre → c'est l'angle ZÉNITHAL, égal à l'angle au centre

Exemple : $7{,}2°$ chez Ératosthène

il vaut $90°$ moins la hauteur du Soleil
Si l'angle est celui du Soleil au-dessus de l'horizon → c'est la HAUTEUR $h$ , avec $\tan h = H/L$

Exemple : $h = 30°$ donne une ombre de $1{,}73\,H$
Si l'angle sépare deux villes vues du centre → c'est l'angle au centre, proportionnel à l'arc

Exemple : $1°$ pour $111{,}1$ km
Si l'angle est la latitude → $h = 90° - \varphi + \delta$ à midi

Exemple : $45{,}5°$ à Montréal

Les trois se ramènent souvent au même nombre, mais seulement si l'on a justifié les rayons parallèles. Sans cette phrase, l'égalité n'a rien d'évident.

Quelle conversion pour quelle distance

L'unité de départ et l'unité demandée.

Si des degrés de latitude vers des kilomètres → $\times 111{,}1$

Exemple : $5{,}55°$ donnent 617 km
Si des minutes d'arc vers des kilomètres → $\times 1{,}852$

Exemple : 30 minutes font 55,6 km
Si des milles marins vers des kilomètres → $\times 1{,}852$

Exemple : 100 milles font 185,2 km
Si des noeuds vers des kilomètres par heure → $\times 1{,}852$

Exemple : 20 noeuds font 37 km/h
Si un angle au centre vers la circonférence → arc $\times\ 360/\text{angle}$

Exemple : 800 km sous $7{,}2°$ donnent $40\,000$ km
Si deux latitudes de part et d'autre de l'équateur → ajouter les deux latitudes, puis règle de trois avec 360°

Exemple : $59{,}33+33{,}92=93{,}25°$ , soit $10\ 369$ km

Toutes ces valeurs découlent d'un seul nombre, les $40\,000$ km du méridien. En cas de doute, y revenir plutôt que de chercher dans sa mémoire.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Refaire la mesure d'Ératosthène

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux villes sur un même méridien, avec deux ombres ou deux hauteurs du Soleil.

1 Poser l'hypothèse : les rayons solaires arrivent parallèles, le Soleil étant très éloigné.
2 Calculer la hauteur du Soleil dans chaque ville à partir du gnomon et de son ombre, par $\tan h = H/L$ .
3 Faire la DIFFÉRENCE des deux hauteurs : elle est égale à l'angle au centre, par les angles alternes-internes.
4 Appliquer la proportionnalité : la circonférence est à $360°$ ce que la distance est à cet angle.
5 Diviser par $2\pi$ pour obtenir le rayon, puis comparer à la valeur admise.

Phrase de conclusion

« Les rayons solaires étant parallèles, la différence des hauteurs du Soleil, $50{,}05° - 44{,}50° = 5{,}55°$ , est égale à l'angle au centre entre les deux villes. La circonférence vaut donc $616{,}6 \times 360/5{,}55 = 4{,}0 \times 10^{4}$ km, soit un rayon de $6{,}4 \times 10^{3}$ km. »

Le piège : Prendre la SOMME des deux hauteurs au lieu de leur différence : le rayon est divisé par $\frac{94{,}55}{5{,}55}\approx 17$ et tombe à 374 km, sans qu'aucune ligne du calcul paraisse fausse.

Barème : 1 point pour l'hypothèse, 1 point pour les hauteurs, 1 point pour l'angle au centre justifié, 1 point pour la proportionnalité.

Calculer la hauteur du Soleil et la longueur d'une ombre

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une latitude, une date et la hauteur d'un objet.

1 Lire la déclinaison correspondant à la date : $+23{,}4°$ au solstice d'été, $-23{,}4°$ en hiver, $0$ aux équinoxes.
2 Appliquer $h = 90° - \varphi + \delta$ , et vérifier que le résultat est compris entre $0$ et $90°$ .
3 Calculer l'ombre par $L = H/\tan h$ , en veillant à diviser.
4 Contrôler le sens : Soleil haut, ombre courte, et inversement.

Phrase de conclusion

« À Montréal, latitude $45{,}5°$ , la hauteur du Soleil à midi au solstice d'hiver vaut $90 - 45{,}5 - 23{,}4 = 21{,}1°$ . L'ombre d'un mât de 2 m mesure alors $2/\tan(21{,}1°) = 5{,}2$ m, contre $0{,}81$ m au solstice d'été. »

Le piège : Additionner la déclinaison en hiver au lieu de la retrancher : la hauteur trouvée dépasserait celle de l'été, ce qui est absurde à Montréal.

Barème : 1 point pour la déclinaison, 1 point pour la hauteur, 1 point pour l'ombre, 1 point pour le contrôle de cohérence.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Vérifier qu'une hauteur du Soleil est plausible

Une hauteur doit tomber entre $0$ et $90°$ , et à une latitude tempérée elle ne dépasse jamais $70°$ environ. Au-delà, la déclinaison a été ajoutée du mauvais côté.

$113°$ à Montréal est impossible : c'est le signe d'un $90 - \varphi$ devenu $90 + \varphi$ .
Contrôler le sens de la relation ombre-hauteur

Soleil haut, ombre courte. Si le calcul donne une ombre plus longue quand le Soleil monte, la tangente a été multipliée au lieu d'être divisée.

Une ombre de $1{,}15$ m à $30°$ et de $3{,}46$ m à $60°$ est exactement l'inverse de la réalité.
Revenir aux 40 000 kilomètres

Toutes les conversions du thème découlent du méridien. Recalculer $111{,}1$ ou $1{,}852$ par une division prend cinq secondes et évite d'utiliser un nombre mal mémorisé.

$40\,000/360 = 111{,}1$ km par degré, puis $/60$ donne $1{,}852$ km par minute.
Vérifier l'ordre de grandeur du rayon terrestre

Tout calcul d'Ératosthène doit aboutir entre $6\,000$ et $6\,700$ km. Un résultat de quelques centaines de kilomètres signale une somme d'angles au lieu d'une différence.

Avec les ombres de Montréal et de Philadelphie, la somme $94{,}55°$ donne un rayon de 374 km : l'angle au centre est environ dix-sept fois trop grand, le rayon dix-sept fois trop petit.
Vérifier qu'une datation porte sur le bon objet

Se demander ce que la mesure date exactement : la dernière cristallisation d'une roche, ou la formation du système solaire.

$4{,}03$ milliards d'années pour un gneiss canadien datent ce gneiss, pas la Terre.
Vérifier l'hémisphère avant de combiner deux latitudes

Lire la lettre N ou S de chaque latitude avant tout calcul. Deux lettres différentes : les latitudes s'ajoutent.

Une distance de $2\ 825$ km entre Stockholm et Le Cap signale une soustraction : la bonne valeur est $10\ 369$ km.

L'exercice type décortiqué

Mesurer le rayon de la Terre entre Montréal et Philadelphie

Le jour de l'équinoxe, deux gnomons verticaux de $1{,}00$ m sont observés à midi solaire. À Montréal, l'ombre mesure $1{,}018$ m ; à Philadelphie, $0{,}837$ m. Les deux villes sont sur le même méridien, séparées de $616{,}6$ km.

En déduire la circonférence puis le rayon de la Terre, et comparer à la valeur admise de $6\,371$ km.

À droite, les deux gnomons de

1{,}00

m et leurs ombres, à l'échelle ; à gauche, la coupe par le méridien, angle

\alpha

exagéré.

h_{1}

h_{2}

\alpha

se calculent.

Étape 1

Hypothèse : le Soleil est assez loin pour que ses rayons arrivent parallèles sur les deux villes.

Pourquoi

Sans cette phrase, l'égalité entre la différence des hauteurs et l'angle au centre n'est pas justifiée, et le calcul qui suit ne démontre rien. C'est le premier point du barème.

Étape 2

À Montréal : $\tan h_{1} = 1{,}00/1{,}018$ , donc $h_{1} = 44{,}50°$ .

Pourquoi

La hauteur se lit sur le triangle rectangle formé par le gnomon et son ombre : le gnomon est le côté opposé, l'ombre le côté adjacent. On divise la hauteur par l'ombre, jamais l'inverse.

Étape 3

À Philadelphie : $\tan h_{2} = 1{,}00/0{,}837$ , donc $h_{2} = 50{,}05°$ .

Pourquoi

L'ombre plus courte annonce déjà un Soleil plus haut, donc une ville plus au sud : ce contrôle qualitatif se fait avant même la calculatrice et évite toute inversion.

Étape 4

Angle au centre : $\alpha = h_{2} - h_{1} = 5{,}55°$ .

Pourquoi

C'est la DIFFÉRENCE, par les angles alternes-internes que forment les rayons parallèles avec les deux verticales locales. La somme n'aurait aucun sens géométrique.

Étape 5

Proportionnalité : $C = 616{,}6 \times 360/5{,}55 = 4{,}0 \times 10^{4}$ km.

Pourquoi

L'arc est à la circonférence ce que l'angle est à $360°$ : une seule règle de trois, écrite en une ligne, et sans aucune connaissance préalable sur la Terre.

Étape 6

Rayon : $R = C/(2\pi) = 6{,}4 \times 10^{3}$ km, à comparer aux $6\,371$ km admis, soit un écart inférieur à un pour cent.

Pourquoi

La comparaison finale valide toute la chaîne. Un écart de quelques pour cent est normal avec des ombres mesurées au centimètre ; un facteur 17, soit 374 km, signalerait une somme au lieu d'une différence.

Conclusion rédigée

« Les rayons solaires étant parallèles, la différence des hauteurs du Soleil, $5{,}55°$ , est l'angle au centre séparant les deux villes. La circonférence vaut $616{,}6 \times 360/5{,}55 \approx 4{,}0 \times 10^{4}$ km et le rayon $6{,}4 \times 10^{3}$ km, en accord à moins d'un pour cent avec la valeur admise. »

L'erreur classique sur cet exercice : Additionner les deux hauteurs : l'angle au centre annoncé vaudrait $94{,}55°$ , la circonférence tomberait à $2\,347$ km et le rayon à 374 km, valeur qu'un simple ordre de grandeur suffit à rejeter.

À savoir par cœur

• Hypothèse d'Ératosthène : rayons du Soleil PARALLÈLES. Sans elle, rien ne se démontre.
• Angle de l'ombre = angle au centre, par les angles alternes-internes.
• Méridien $40\,000$ km. Un degré : $111{,}1$ km. Une minute : $1{,}852$ km, le mille marin.
• Latitudes N et S : on les AJOUTE. Plus court chemin : le grand cercle, jamais le parallèle.
• $h = 90° - \varphi + \delta$ , avec $\delta = \pm 23{,}4°$ aux solstices et $0$ aux équinoxes.
• $L = H/\tan h$ : on DIVISE. Soleil haut, ombre courte.
• Les saisons viennent de l'INCLINAISON, jamais de la distance.
• Phase de la Lune : angle Soleil, Terre, Lune. Toujours la même face : un tour sur elle-même par révolution.
• L'âge de la Terre, $4{,}54$ Ga, se lit sur les MÉTÉORITES.
• Eau liquide : puissance reçue $\frac{L}{d^{2}}$ dans la zone ET gravité suffisante pour une atmosphère.

Questions fréquentes

Comment Ératosthène a-t-il mesuré la Terre ?

En comparant deux ombres le même jour à midi dans deux villes du même méridien. En supposant les rayons solaires parallèles, l'angle mesuré sur l'ombre est égal à l'angle au centre séparant les deux villes. La proportionnalité entre cet angle et l'arc donne la circonférence : sept virgule deux degrés pour huit cents kilomètres conduisent à quarante mille kilomètres.

Combien de kilomètres fait un degré de latitude ?

Environ 111,1 kilomètres, et ce nombre n'est pas à retenir : il se retrouve en divisant les quarante mille kilomètres du méridien par trois cent soixante. En divisant encore par soixante, on obtient 1,852 kilomètre pour une minute d'arc, ce qui est exactement la définition du mille marin.

Comment calculer la longueur de l'ombre d'un objet ?

On divise la hauteur de l'objet par la tangente de la hauteur du Soleil au-dessus de l'horizon. Un mât de deux mètres, éclairé par un Soleil à trente degrés, projette une ombre de 3,46 mètres. Le contrôle est immédiat : plus le Soleil est bas, plus l'ombre s'allonge, ce qui exclut de multiplier par la tangente.

Pourquoi date-t-on la Terre avec des météorites ?

Parce que toutes les roches terrestres ont été fondues, érodées ou recyclées par la tectonique : les dater revient à dater leur dernière cristallisation, pas la formation de la planète. La plus ancienne connue donne 4,03 milliards d'années, un âge minimal. Les météorites, elles, n'ont pas été remaniées depuis la formation du système solaire, il y a 4,54 milliards d'années.

Quel est le plus court chemin entre deux villes sur la Terre ?

C'est l'arc du grand cercle qui les relie, c'est-à-dire du cercle tracé sur la Terre dont le centre est celui de la Terre. Ce chemin paraît souvent courbé sur un planisphère, qui étire les hautes latitudes : un avion qui relie deux villes éloignées passe ainsi plus près du pôle que ne le laisse croire la carte. Un parallèle n'est un grand cercle qu'à l'équateur.

Pourquoi voit-on toujours la même face de la Lune ?

Parce que la Lune fait exactement un tour sur elle-même pendant qu'elle fait un tour autour de la Terre, en un peu plus de vingt-sept jours. Elle nous présente donc toujours le même côté. La face cachée n'est pas une face sombre : elle est éclairée par le Soleil à la nouvelle lune, quand la face visible est dans l'ombre.

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Exercices corrigés : La Terre, un astre singulier

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

18 exercices corrigés
180 points
270 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/1es-terre-astre. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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