Mon espace Me contacter

Enseignement scientifique, Première • Programme français, lycées de Montréal

Fiche de révision : la Terre, un astre singulier

Le thème de la Terre est celui où l'on mesure une planète avec un bâton et une règle de trois. Tout y repose sur une hypothèse, celle des rayons parallèles, et sur un seul angle, celui qu'on retrouve à trois endroits différents du schéma. Confondre ces angles, ou inverser une tangente, suffit à faire manquer toute la question.

Cette fiche liste les neuf erreurs qui reviennent dans les copies, avec la phrase exacte à écrire à la place et ce que chacune coûte au barème.

Le fil du chapitre

On ne mesure jamais la Terre directement : on mesure un ANGLE et une distance, et la proportionnalité fait le reste. Toutes les fautes du thème viennent d'un angle mal identifié.

Ce chapitre fait partie de Enseignement scientifique en Première

L'essentiel

La mesure d'Ératosthène, en trois lignes

  • • Hypothèse indispensable : les rayons du Soleil arrivent PARALLÈLES, parce que le Soleil est très loin.
  • • L'angle de l'ombre à Alexandrie est alors ÉGAL à l'angle au centre entre les deux villes, comme angles alternes-internes.
  • • Proportionnalité : l'angle au centre est à 360°360° ce que l'arc est à la circonférence.
  • • Application : 7,2°7{,}2° pour 800 km donne 800×360/7,2=40 000800 \times 360/7{,}2 = 40\,000 km.
rayons parallèlesSyèneAlexandrie
Les deux petits arcs marquent le même angle : celui du gnomon d'Alexandrie avec le rayon qui l'éclaire, et celui du centre de la Terre entre les deux villes. C'est cette égalité qui rend la mesure possible.

Le point de raisonnement est l'égalité des deux angles. Une copie qui applique la proportionnalité sans la justifier perd la moitié des points.

Du méridien au mètre

  • • Le mètre de 1791 a été défini comme le dix-millionième du quart du méridien : le méridien complet mesure donc 40 00040\,000 km par construction.
  • • Un degré de méridien vaut 40 000/360=111,140\,000/360 = 111{,}1 km.
  • • Une MINUTE d'arc de méridien vaut 111,1/60=1,852111{,}1/60 = 1{,}852 km : c'est le mille marin.
  • • Un noeud est un mille marin par heure, soit 1,8521{,}852 km/h.

La Terre n'est pas une sphère

  • • Rayon équatorial a=6 378a = 6\,378 km, rayon polaire b=6 357b = 6\,357 km : l'aplatissement f=(a−b)/af = (a-b)/a vaut environ 1/2981/298.
  • • La cause est l'effet centrifuge de la rotation, maximal à l'équateur et nul aux pôles.
  • • ELLIPSOÏDE : surface mathématique de référence, celle des coordonnées GPS.
  • • GÉOÏDE : surface d'équilibre du champ de pesanteur, celle des ALTITUDES. Elle s'écarte de l'ellipsoïde de quelques dizaines de mètres.

Hauteur du Soleil et longueur de l'ombre

  • • Hauteur du Soleil à midi : h=90°−φ+δh = 90° - \varphi + \delta, où φ\varphi est la latitude et δ\delta la déclinaison.
  • • δ=+23,4°\delta = +23{,}4° au solstice d'été, −23,4°-23{,}4° au solstice d'hiver, 00 aux équinoxes.
  • • Longueur de l'ombre d'un gnomon de hauteur HH : L=H/tan⁡hL = H/\tan h. Soleil haut, ombre courte.
  • • À Montréal, latitude 45,5°45{,}5°, la hauteur du Soleil à midi passe de 21,1°21{,}1° en décembre à 67,9°67{,}9° en juin.

Aux équinoxes, δ=0\delta = 0 et la relation se réduit à h=90°−φh = 90° - \varphi : c'est le jour où la mesure d'Ératosthène est la plus simple à refaire.

Saisons, cycles longs et âge de la Terre

  • • Les saisons viennent de l'INCLINAISON de l'axe, 23,4°23{,}4°. L'effet de distance ne vaut que 7 pour cent, et joue en sens contraire dans l'hémisphère nord.
  • • Paramètres de Milankovitch : excentricité 100 ka, obliquité 41 ka, précession 23 ka.
  • • Ils modulent la RÉPARTITION de l'ensoleillement dans l'année et selon la latitude, pas le total reçu par la planète.
  • • L'âge de la Terre, 4,544{,}54 milliards d'années, se mesure sur les MÉTÉORITES : les roches terrestres ont toutes été recyclées.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier l'hypothèse des rayons parallèles

2 points, et c'est exactement le point de raisonnement de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'angle de l'ombre vaut l'angle au centre, c'est une propriété de la géométrie. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux angles sont égaux PARCE QUE les rayons solaires arrivent parallèles, le Soleil étant très éloigné : ce sont alors des angles alternes-internes. »

Pourquoi : Sans cette hypothèse, l'expérience mesurerait la distance du Soleil et non le rayon de la Terre. C'est ce que le sujet veut faire dire, plus que le calcul lui-même.

2. Prendre un degré de méridien pour 100 km

1 point, et un rayon terrestre faux de 10 pour cent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un degré fait à peu près 100 km, donc 7,2°7{,}2° font 720 km. »

Ce qu'il faut écrire

« Le méridien mesure 40 00040\,000 km, donc un degré vaut 40 000/360=111,140\,000/360 = 111{,}1 km, et 7,2°7{,}2° valent 800 km. »

Pourquoi : Le nombre 111,1111{,}1 n'est pas une constante à apprendre mais une conséquence de la définition du mètre. Le retrouver par une division prend cinq secondes et supprime l'erreur.

3. Confondre le mille marin et le kilomètre

1 point, et une erreur de 85 pour cent sur la distance

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le navire file 20 noeuds, donc il parcourt 20 km en une heure. »

Ce qu'il faut écrire

« Un noeud vaut un MILLE MARIN par heure, soit 1,8521{,}852 km/h : 20 noeuds font 3737 km/h. »

Pourquoi : Le mille marin est défini comme une minute d'arc de méridien, ce qui en fait l'unité naturelle de la navigation : un degré de latitude vaut exactement 60 milles.

4. Multiplier par la tangente au lieu de diviser

2 points, et le résultat contredit l'expérience quotidienne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le gnomon fait 2 m et le Soleil est à 30°30°, donc l'ombre mesure 2×tan⁡30°=1,152 \times \tan 30° = 1{,}15 m. »

Ce qu'il faut écrire

« tan⁡h=H/L\tan h = H/L, donc L=H/tan⁡h=2/tan⁡30°=3,46L = H/\tan h = 2/\tan 30° = 3{,}46 m. Soleil bas, ombre LONGUE. »

h = 60 degrésSoleil hauth = 30 degrésSoleil basombre courteombre longue
Le même gnomon, deux hauteurs de Soleil : l'ombre est trois fois plus longue quand le Soleil descend de 60 à 30 degrés, parce qu'on divise par la tangente.

Pourquoi : Dans le triangle rectangle, la hauteur du gnomon est le côté OPPOSÉ à l'angle hh et l'ombre le côté adjacent. Le contrôle est immédiat : plus le Soleil est bas, plus l'ombre s'allonge.

5. Oublier la déclinaison dans la hauteur du Soleil

2 points, et toute la question sur les saisons devient sans objet

Ce qu'il ne faut pas écrire

« À Montréal, latitude 45,5°45{,}5°, le Soleil culmine à 90−45,5=44,5°90 - 45{,}5 = 44{,}5° toute l'année. »

Ce qu'il faut écrire

« h=90°−φ+δh = 90° - \varphi + \delta : 44,5°44{,}5° seulement aux équinoxes, 67,9°67{,}9° au solstice d'été et 21,1°21{,}1° au solstice d'hiver. »

Pourquoi : C'est la variation de δ\delta au fil de l'année qui fait les saisons. Une hauteur constante décrirait une planète sans axe incliné, donc sans saisons.

6. Confondre l'ellipsoïde et le géoïde

1 point, sur une question de vocabulaire toujours posée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le géoïde est la forme mathématique qui sert de référence aux coordonnées. »

Ce qu'il faut écrire

« L'ELLIPSOÏDE est la surface mathématique de référence, celle des coordonnées GPS. Le GÉOÏDE est la surface d'équilibre du champ de pesanteur, celle des altitudes. »

a, rayon équatorialb, rayon polairesphèreellipsoïdeaplatissement exagéré
Aplatissement volontairement exagéré : le rayon polaire est plus court que le rayon équatorial, et la sphère en pointillé montre l'écart, en réalité de un pour trois cents.

Pourquoi : Les deux surfaces s'écartent de quelques dizaines de mètres : c'est pourquoi une altitude GPS brute diffère de l'altitude portée sur une carte, et le thème demande de savoir l'expliquer.

7. Expliquer les saisons par la distance au Soleil

2 points, et c'est le contresens que le sujet cherche

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'été, la Terre est plus près du Soleil, donc il fait plus chaud. »

Ce qu'il faut écrire

« Les saisons viennent de l'inclinaison de l'axe : la hauteur du Soleil à midi change, donc l'éclairement en Ecos⁡θE\cos\theta change. La Terre est d'ailleurs au plus près du Soleil en janvier. »

Pourquoi : Si la distance commandait, les deux hémisphères auraient leurs saisons en même temps. Elles sont opposées, ce qui exclut définitivement l'explication par la distance.

8. Croire que les cycles de Milankovitch changent le total reçu

2 points sur la question d'interprétation, la plus difficile du thème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La Terre reçoit plus d'énergie quand l'excentricité augmente, d'où les périodes chaudes. »

Ce qu'il faut écrire

« Ces cycles modulent la RÉPARTITION de l'ensoleillement selon la saison et la latitude, pas le total planétaire. C'est l'ensoleillement d'été aux hautes latitudes nord qui commande la fonte des glaces. »

Pourquoi : Une variation d'excentricité change le total de moins d'un pour cent, ce qui est trop faible pour expliquer une glaciation. C'est le seuil de fonte estivale, très sensible à la répartition, qui fait basculer le climat.

9. Dater la Terre sur des roches terrestres

2 points, et c'est la question de méthode du thème

Ce qu'il ne faut pas écrire

« On date la roche la plus ancienne trouvée sur Terre, 4,034{,}03 milliards d'années, et c'est l'âge de la Terre. »

Ce qu'il faut écrire

« Toutes les roches terrestres ont été recyclées par la tectonique : elles donnent un âge MINIMAL. L'âge de 4,544{,}54 milliards d'années se mesure sur les météorites, restées inchangées depuis la formation du système solaire. »

Pourquoi : Dater une roche, c'est dater sa dernière cristallisation, pas la formation de la planète. Les météorites sont les seuls échantillons qui n'ont subi aucun remaniement.

Quelle méthode choisir

Quel angle la question demande-t-elle

Repérer où l'angle est mesuré : sur l'ombre, au centre de la Terre, ou entre le Soleil et l'horizon.

  • Si l'angle est celui du sommet du gnomon et de son ombre → c'est l'angle ZÉNITHAL, égal à l'angle au centre

    Exemple : 7,2°7{,}2° chez Ératosthène

    il vaut 90°90° moins la hauteur du Soleil

  • Si l'angle est celui du Soleil au-dessus de l'horizon → c'est la HAUTEUR hh, avec tan⁡h=H/L\tan h = H/L

    Exemple : h=30°h = 30° donne une ombre de 1,73 H1{,}73\,H

  • Si l'angle sépare deux villes vues du centre → c'est l'angle au centre, proportionnel à l'arc

    Exemple : 1°1° pour 111,1111{,}1 km

  • Si l'angle est la latitude → h=90°−φ+δh = 90° - \varphi + \delta à midi

    Exemple : 45,5°45{,}5° à Montréal

Les trois se ramènent souvent au même nombre, mais seulement si l'on a justifié les rayons parallèles. Sans cette phrase, l'égalité n'a rien d'évident.

Quelle conversion pour quelle distance

L'unité de départ et l'unité demandée.

  • Si des degrés de latitude vers des kilomètres → ×111,1\times 111{,}1

    Exemple : 5,55°5{,}55° donnent 617 km

  • Si des minutes d'arc vers des kilomètres → ×1,852\times 1{,}852

    Exemple : 30 minutes font 55,6 km

  • Si des milles marins vers des kilomètres → ×1,852\times 1{,}852

    Exemple : 100 milles font 185,2 km

  • Si des noeuds vers des kilomètres par heure → ×1,852\times 1{,}852

    Exemple : 20 noeuds font 37 km/h

  • Si un angle au centre vers la circonférence → arc × 360/angle\times\ 360/\text{angle}

    Exemple : 800 km sous 7,2°7{,}2° donnent 40 00040\,000 km

Toutes ces valeurs découlent d'un seul nombre, les 40 00040\,000 km du méridien. En cas de doute, y revenir plutôt que de chercher dans sa mémoire.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Refaire la mesure d'Ératosthène

Quand l'utiliser : L'énoncé donne deux villes sur un même méridien, avec deux ombres ou deux hauteurs du Soleil.

  1. 1 Poser l'hypothèse : les rayons solaires arrivent parallèles, le Soleil étant très éloigné.
  2. 2 Calculer la hauteur du Soleil dans chaque ville à partir du gnomon et de son ombre, par tan⁡h=H/L\tan h = H/L.
  3. 3 Faire la DIFFÉRENCE des deux hauteurs : elle est égale à l'angle au centre, par les angles alternes-internes.
  4. 4 Appliquer la proportionnalité : la circonférence est à 360°360° ce que la distance est à cet angle.
  5. 5 Diviser par 2π2\pi pour obtenir le rayon, puis comparer à la valeur admise.

Phrase de conclusion

« Les rayons solaires étant parallèles, la différence des hauteurs du Soleil, 50,05°−44,50°=5,55°50{,}05° - 44{,}50° = 5{,}55°, est égale à l'angle au centre entre les deux villes. La circonférence vaut donc 616,6×360/5,55=4,0×104616{,}6 \times 360/5{,}55 = 4{,}0 \times 10^{4} km, soit un rayon de 6,4×1036{,}4 \times 10^{3} km. »

Le piège : Prendre la SOMME des deux hauteurs au lieu de leur différence : le résultat est un rayon quatre fois trop petit, sans qu'aucune ligne du calcul paraisse fausse.

Barème : 1 point pour l'hypothèse, 1 point pour les hauteurs, 1 point pour l'angle au centre justifié, 1 point pour la proportionnalité.

Calculer la hauteur du Soleil et la longueur d'une ombre

Quand l'utiliser : L'énoncé donne une latitude, une date et la hauteur d'un objet.

  1. 1 Lire la déclinaison correspondant à la date : +23,4°+23{,}4° au solstice d'été, −23,4°-23{,}4° en hiver, 00 aux équinoxes.
  2. 2 Appliquer h=90°−φ+δh = 90° - \varphi + \delta, et vérifier que le résultat est compris entre 00 et 90°90°.
  3. 3 Calculer l'ombre par L=H/tan⁡hL = H/\tan h, en veillant à diviser.
  4. 4 Contrôler le sens : Soleil haut, ombre courte, et inversement.

Phrase de conclusion

« À Montréal, latitude 45,5°45{,}5°, la hauteur du Soleil à midi au solstice d'hiver vaut 90−45,5−23,4=21,1°90 - 45{,}5 - 23{,}4 = 21{,}1°. L'ombre d'un mât de 2 m mesure alors 2/tan⁡(21,1°)=5,22/\tan(21{,}1°) = 5{,}2 m, contre 0,810{,}81 m au solstice d'été. »

Le piège : Additionner la déclinaison en hiver au lieu de la retrancher : la hauteur trouvée dépasserait celle de l'été, ce qui est absurde à Montréal.

Barème : 1 point pour la déclinaison, 1 point pour la hauteur, 1 point pour l'ombre, 1 point pour le contrôle de cohérence.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

L'exercice type décortiqué

Mesurer le rayon de la Terre entre Montréal et Philadelphie

Le jour de l'équinoxe, deux gnomons verticaux de 1,001{,}00 m sont observés à midi solaire. À Montréal, l'ombre mesure 1,0181{,}018 m ; à Philadelphie, 0,8370{,}837 m. Les deux villes sont sur le même méridien, séparées de 616,6616{,}6 km.

En déduire la circonférence puis le rayon de la Terre, et comparer à la valeur admise de 6 3716\,371 km.

Étape 1

Hypothèse : le Soleil est assez loin pour que ses rayons arrivent parallèles sur les deux villes.

Pourquoi

Sans cette phrase, l'égalité entre la différence des hauteurs et l'angle au centre n'est pas justifiée, et le calcul qui suit ne démontre rien. C'est le premier point du barème.

Étape 2

À Montréal : tan⁡h1=1,00/1,018\tan h_{1} = 1{,}00/1{,}018, donc h1=44,50°h_{1} = 44{,}50°.

Pourquoi

La hauteur se lit sur le triangle rectangle formé par le gnomon et son ombre : le gnomon est le côté opposé, l'ombre le côté adjacent. On divise la hauteur par l'ombre, jamais l'inverse.

Étape 3

À Philadelphie : tan⁡h2=1,00/0,837\tan h_{2} = 1{,}00/0{,}837, donc h2=50,05°h_{2} = 50{,}05°.

Pourquoi

L'ombre plus courte annonce déjà un Soleil plus haut, donc une ville plus au sud : ce contrôle qualitatif se fait avant même la calculatrice et évite toute inversion.

Étape 4

Angle au centre : α=h2−h1=5,55°\alpha = h_{2} - h_{1} = 5{,}55°.

Pourquoi

C'est la DIFFÉRENCE, par les angles alternes-internes que forment les rayons parallèles avec les deux verticales locales. La somme n'aurait aucun sens géométrique.

Étape 5

Proportionnalité : C=616,6×360/5,55=4,0×104C = 616{,}6 \times 360/5{,}55 = 4{,}0 \times 10^{4} km.

Pourquoi

L'arc est à la circonférence ce que l'angle est à 360°360° : une seule règle de trois, écrite en une ligne, et sans aucune connaissance préalable sur la Terre.

Étape 6

Rayon : R=C/(2π)=6,4×103R = C/(2\pi) = 6{,}4 \times 10^{3} km, à comparer aux 6 3716\,371 km admis, soit un écart inférieur à un pour cent.

Pourquoi

La comparaison finale valide toute la chaîne. Un écart de quelques pour cent est normal avec des ombres mesurées au centimètre ; un facteur 4 signalerait une somme au lieu d'une différence.

Conclusion rédigée

« Les rayons solaires étant parallèles, la différence des hauteurs du Soleil, 5,55°5{,}55°, est l'angle au centre séparant les deux villes. La circonférence vaut 616,6×360/5,55≈4,0×104616{,}6 \times 360/5{,}55 \approx 4{,}0 \times 10^{4} km et le rayon 6,4×1036{,}4 \times 10^{3} km, en accord à moins d'un pour cent avec la valeur admise. »

L'erreur classique sur cet exercice : Additionner les deux hauteurs : l'angle au centre annoncé vaudrait 94,55°94{,}55°, la circonférence tomberait à 2 3472\,347 km et le rayon à 374 km, valeur qu'un simple ordre de grandeur suffit à rejeter.

À savoir par cœur

  • • Hypothèse d'Ératosthène : rayons du Soleil PARALLÈLES. Sans elle, rien ne se démontre.
  • • Angle de l'ombre = angle au centre, par les angles alternes-internes.
  • • Méridien 40 00040\,000 km. Un degré : 111,1111{,}1 km. Une minute : 1,8521{,}852 km, le mille marin.
  • • Aplatissement f=(a−b)/a≈1/298f = (a-b)/a \approx 1/298. Ellipsoïde pour les coordonnées, géoïde pour les altitudes.
  • • h=90°−φ+δh = 90° - \varphi + \delta, avec δ=±23,4°\delta = \pm 23{,}4° aux solstices et 00 aux équinoxes.
  • • L=H/tan⁡hL = H/\tan h : on DIVISE. Soleil haut, ombre courte.
  • • Les saisons viennent de l'INCLINAISON, jamais de la distance.
  • • Milankovitch : 100 ka, 41 ka, 23 ka. Ils changent la RÉPARTITION, pas le total.
  • • L'âge de la Terre, 4,544{,}54 Ga, se lit sur les MÉTÉORITES.

Questions fréquentes

Comment Ératosthène a-t-il mesuré la Terre ?

En comparant deux ombres le même jour à midi dans deux villes du même méridien. En supposant les rayons solaires parallèles, l'angle mesuré sur l'ombre est égal à l'angle au centre séparant les deux villes. La proportionnalité entre cet angle et l'arc donne la circonférence : sept virgule deux degrés pour huit cents kilomètres conduisent à quarante mille kilomètres.

Combien de kilomètres fait un degré de latitude ?

Environ 111,1 kilomètres, et ce nombre n'est pas à retenir : il se retrouve en divisant les quarante mille kilomètres du méridien par trois cent soixante. En divisant encore par soixante, on obtient 1,852 kilomètre pour une minute d'arc, ce qui est exactement la définition du mille marin.

Comment calculer la longueur de l'ombre d'un objet ?

On divise la hauteur de l'objet par la tangente de la hauteur du Soleil au-dessus de l'horizon. Un mât de deux mètres, éclairé par un Soleil à trente degrés, projette une ombre de 3,46 mètres. Le contrôle est immédiat : plus le Soleil est bas, plus l'ombre s'allonge, ce qui exclut de multiplier par la tangente.

Quelle différence entre l'ellipsoïde et le géoïde ?

L'ellipsoïde est une surface mathématique simple, aplatie d'environ un sur deux cent quatre-vingt-dix-huit, qui sert de référence aux coordonnées GPS. Le géoïde est la surface d'équilibre du champ de pesanteur, celle à laquelle se rapportent les altitudes. Les deux s'écartent de quelques dizaines de mètres selon les régions.

Pourquoi date-t-on la Terre avec des météorites ?

Parce que toutes les roches terrestres ont été fondues, érodées ou recyclées par la tectonique : les dater revient à dater leur dernière cristallisation, pas la formation de la planète. La plus ancienne connue donne 4,03 milliards d'années, un âge minimal. Les météorites, elles, n'ont pas été remaniées depuis la formation du système solaire, il y a 4,54 milliards d'années.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La Terre, un astre singulier

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

  • 15 exercices corrigés
  • 150 points
  • 225 minutes
Faire les exercices
Fiche précédente Le Soleil, notre source d'énergie Fiche suivante Son et musique, porteurs d'information

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Tuteur Première à MontréalLe Soleil, notre source d'énergieCours de SVTTous les exercices

Vous cherchez un tuteur pour l'enseignement scientifique à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. On reprend les points de méthode qui font perdre des points en évaluation, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel de l'examen.

Me contacter WhatsApp
Site par Studio Squalli