Enseignement scientifique, Première • Programme français, lycées de Montréal
Le thème du son est celui où l'intuition trompe le plus : on additionne des intervalles qui se multiplient, on additionne des décibels qui ne s'additionnent pas, on croit qu'un son devient plus aigu en devenant plus fort. Chacune de ces fautes se répare par un seul réflexe, se demander si la grandeur est un rapport ou une différence.
Cette fiche liste les neuf erreurs qui reviennent dans les copies, avec la phrase exacte à écrire à la place et ce que chacune coûte au barème.
Le fil du chapitre
La musique est faite de RAPPORTS et non de différences : un intervalle se multiplie, un niveau sonore s'ajoute en décibels et pas en intensités, et presque toutes les fautes viennent de cette confusion.
Les trois correspondances de la dernière ligne sont demandées presque à chaque sujet : les écrire dans cet ordre évite de les mélanger.
Un intervalle sans unité est un rapport, un intervalle en cents est un logarithme : les premiers se multiplient, les seconds s'additionnent.
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Une quinte vaut et une quarte , donc quinte plus quarte vaut . »
Ce qu'il faut écrire
« Les intervalles se MULTIPLIENT : , c'est exactement l'octave. »
Pourquoi : Un intervalle est un RAPPORT de fréquences, et des rapports se composent par produit. C'est aussi pourquoi on les mesure en cents, qui sont des logarithmes et s'additionnent, eux.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le son passe de l'air dans l'eau, donc sa fréquence augmente puisqu'il va plus vite. »
Ce qu'il faut écrire
« La fréquence est imposée par la SOURCE et ne change pas. Ce sont la vitesse et la longueur d'onde qui changent : est multipliée par le même facteur que . »
Pourquoi : La source vibre à sa propre cadence : chaque compression émise arrive à l'autre bout à la même cadence, quelle que soit sa vitesse de trajet. Le milieu ne peut pas créer ni supprimer des oscillations.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« On tourne le bouton du volume, le son devient plus fort donc plus aigu. »
Ce qu'il faut écrire
« Le volume change l'AMPLITUDE, donc l'intensité, donc le niveau sonore en décibels. La hauteur ne dépend que de la FRÉQUENCE, qui n'a pas bougé. »
Pourquoi : Amplitude et fréquence sont deux paramètres indépendants du signal : sur un enregistrement, l'une est la hauteur des oscillations, l'autre leur nombre par seconde.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le violon et la flûte se distinguent parce que le violon joue plus fort. »
Ce qu'il faut écrire
« Ils se distinguent par leur SPECTRE : à hauteur et intensité égales, la répartition des amplitudes de leurs harmoniques diffère. C'est cela, le timbre. »
Pourquoi : Le sujet fournit presque toujours deux spectres à comparer : la réponse attendue porte sur le NOMBRE et l'importance relative des harmoniques, jamais sur la hauteur globale des raies.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le fondamental vaut 220 Hz, donc 330 Hz est un de ses harmoniques. »
Ce qu'il faut écrire
« Les harmoniques sont les multiples ENTIERS : 220, 440, 660, 880. La raie à 330 Hz appartient à un autre son, ou c'est le fondamental qui vaut 110 Hz. »
Pourquoi : L'écart constant entre deux raies successives donne le fondamental, même quand celui-ci est absent du spectre. C'est le premier réflexe à avoir devant un spectre.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le signal monte à 15 kHz, donc j'échantillonne à 15 kHz et je capte tout. »
Ce qu'il faut écrire
« Shannon impose , donc plus de 30 kHz. À 15 kHz, tout ce qui dépasse 7,5 kHz se replie et apparaît comme une fréquence plus basse. »
Pourquoi : Il faut au moins deux points par période pour distinguer une oscillation. En dessous, plusieurs signaux différents donnent exactement les mêmes échantillons, et aucun traitement ultérieur ne peut les départager.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« échantillons par seconde sur 16 bits, donc octets par seconde. »
Ce qu'il faut écrire
« voies donnent BITS par seconde, soit octets par seconde après division par 8. »
Pourquoi : Le débit brut se calcule toujours en bits, parce que la profondeur d'échantillonnage est donnée en bits. La conversion en octets vient à la fin, et la stéréo double tout.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Deux haut-parleurs à 60 dB chacun donnent 120 dB. »
Ce qu'il faut écrire
« On additionne les INTENSITÉS, pas les niveaux : doubler l'intensité ajoute dB, donc deux sources de 60 dB donnent 63 dB. »
Pourquoi : Le décibel est un logarithme d'un rapport : additionner des logarithmes reviendrait à multiplier les intensités. Dix sources identiques ajoutent 10 dB, pas 600.
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Avec le tempérament égal, tous les intervalles sont justes puisque l'octave se referme. »
Ce qu'il faut écrire
« Seule l'OCTAVE est pure. La quinte tempérée, , perd 2 cents sur , et la tierce majeure, , en perd 14 sur . »
Pourquoi : Le tempérament égal est un COMPROMIS : il répartit le comma sur les douze quintes pour rendre toutes les tonalités jouables, au prix de très légères faussetés partout.
Regarder l'unité : sans unité, c'est un rapport ; en décibels ou en cents, c'est un logarithme.
Si un intervalle musical, sans unité → rapport, on MULTIPLIE
Exemple :
Si un intervalle en cents → logarithme, on ADDITIONNE
Exemple : cents
Si des intensités sonores en W/m → on additionne les intensités
Exemple : deux sources égales doublent l'intensité
Si des niveaux en décibels → revenir aux intensités, additionner, puis reconvertir
Exemple : 60 dB et 60 dB donnent 63 dB
jamais
Un logarithme transforme les produits en sommes : c'est exactement pour cela que les cents et les décibels ont été inventés.
Le mot de l'énoncé : « peut-on », « quel débit », « quel poids », « que se passe-t-il si ».
Si « quelle fréquence d'échantillonnage choisir » → Shannon, , puis arrondir vers le haut à une valeur normalisée
Exemple : 20 kHz donnent kHz
Si « quel débit » → bits voies, résultat en bits par seconde
Exemple : bit/s pour un disque compact
Si « quel poids de fichier » → débit durée, puis diviser par 8 pour des octets
Exemple : 3 minutes pèsent Mo
Si « que se passe-t-il si l'on échantillonne trop lentement » → repliement de spectre, irréparable
Exemple : un 3 Hz échantillonné à 4 Hz devient un 1 Hz
Une réponse sur la numérisation doit toujours nommer l'unité : bits, octets, hertz. C'est là que se perdent les points de rigueur.
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Quand l'utiliser : L'énoncé demande de composer deux intervalles, ou de dire si une gamme se referme.
Phrase de conclusion
« Douze quintes pures valent , alors que sept octaves valent . Le rapport est le comma pythagoricien, soit cents : la gamme ne se referme pas. »
Le piège : Convertir en cents trop tôt : les arrondis successifs font perdre le dixième de cent, et la comparaison finale devient discutable.
Barème : 1 point pour l'écriture en rapports, 1 point pour le produit, 1 point pour la comparaison, 1 point pour la conversion en cents.
Quand l'utiliser : L'énoncé donne une bande passante, une durée, et demande un débit ou un poids.
Phrase de conclusion
« La condition de Shannon impose kHz, d'où le choix de kHz. Le débit vaut bit/s, soit octets par seconde, et trois minutes pèsent Mo. »
Le piège : Oublier le facteur 2 de la stéréo : le poids annoncé est alors exactement la moitié du bon, ce qui passe inaperçu si l'on ne vérifie pas l'ordre de grandeur.
Barème : 1 point pour Shannon, 1 point pour le débit en bits, 1 point pour la conversion en octets, 1 point pour le poids final.
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Vérifier qu'un intervalle composé reste un rapport plausible
Un intervalle vaut toujours plus de 1 s'il monte, et une octave vaut exactement 2. Un résultat comme pour une octave signale une addition de rapports.
: le produit se simplifie, l'addition ne se simplifie jamais.
Lire l'écart entre deux raies d'un spectre
Dans un son harmonique, l'écart entre deux raies successives est constant et vaut le fondamental, même si celui-ci est absent.
Des raies à 330, 440 et 550 Hz ont un écart de 110 Hz : le fondamental vaut 110 Hz, et non 330.
Contrôler la condition de Shannon avant tout calcul
Comparer la fréquence d'échantillonnage au double de la fréquence maximale. Si elle est inférieure, aucun calcul de débit n'a de sens : le signal est déjà perdu.
: le disque compact respecte la condition, avec une marge de 10 pour cent.
Vérifier l'ordre de grandeur d'un poids de fichier
Une minute de son non compressé en qualité disque compact pèse environ 10 Mo. Un résultat en kilooctets ou en gigaoctets signale une erreur de conversion.
Trois minutes donnent Mo : un résultat de 4 Mo aurait oublié la stéréo et la conversion en octets.
Vérifier qu'un niveau sonore reste plausible
Les niveaux courants vont de 0 dB, seuil d'audition, à 120 dB, seuil de douleur. Tout résultat au-delà signale des décibels additionnés.
120 dB pour deux enceintes de salon est impossible : la bonne réponse est 63 dB.
On veut enregistrer en stéréo un morceau de 3 minutes dont le spectre monte jusqu'à 20 kHz, avec une profondeur de 16 bits.
Choisir la fréquence d'échantillonnage, calculer le débit et le poids du fichier, puis dire ce qui se produirait avec kHz.
Étape 1
Shannon : Hz. On retient la valeur normalisée Hz.
Pourquoi
La condition donne une borne inférieure, pas une valeur : il faut ensuite choisir, et justifier le choix par la marge. C'est cette marge de 10 pour cent qui explique le nombre kHz du disque compact.
Étape 2
Débit bits par seconde.
Pourquoi
Trois facteurs, trois informations de l'énoncé : la cadence, la profondeur, le nombre de voies. Oublier la stéréo divise le résultat par deux sans qu'aucune unité ne le signale.
Étape 3
En octets : octets par seconde.
Pourquoi
La division par 8 vient APRÈS le produit, parce que la profondeur était donnée en bits. Faire la conversion trop tôt conduit à diviser deux fois ou à ne pas la faire du tout.
Étape 4
Durée : s, donc poids octets, soit Mo.
Pourquoi
La conversion de la durée en secondes est ce qu'on oublie le plus souvent quand l'énoncé donne des minutes. L'ordre de grandeur, environ 10 Mo par minute, sert ensuite de contrôle.
Étape 5
Avec kHz : tout ce qui dépasse 15 kHz se replie et réapparaît comme une fréquence plus basse.
Pourquoi
Le seuil est la MOITIÉ de la fréquence d'échantillonnage, pas la fréquence elle-même. Une composante à 18 kHz reviendrait à kHz, en plein dans la bande audible.
Étape 6
Ce repliement est IRRÉPARABLE : aucun filtrage postérieur ne peut séparer la composante repliée du signal utile.
Pourquoi
C'est la conclusion attendue, et elle explique la présence d'un filtre passe-bas AVANT le convertisseur dans toute chaîne d'enregistrement.
Conclusion rédigée
« La condition de Shannon impose kHz, d'où kHz. Le débit vaut bit/s, soit octets par seconde, et le fichier de 3 minutes pèse Mo. À kHz, toute composante au-delà de 15 kHz se replierait dans la bande audible, sans possibilité de correction. »
L'erreur classique sur cet exercice : Prendre kHz au motif qu'elle dépasse les 20 kHz du signal : la condition porte sur le DOUBLE de la fréquence maximale, et la marge apparente cache un repliement de 5 kHz de large.
Parce qu'un intervalle est un rapport de fréquences, pas une différence. Une quinte multiplie la fréquence par trois demis, une quarte par quatre tiers, et les enchaîner revient à multiplier les deux rapports, ce qui donne exactement deux, l'octave. C'est aussi la raison pour laquelle les octaves sont régulièrement espacées sur une échelle logarithmique.
La vitesse et la longueur d'onde, jamais la fréquence. La fréquence est imposée par la source qui vibre, et chaque compression émise arrive à l'autre bout à la même cadence, quel que soit le milieu traversé. Comme la longueur d'onde vaut la vitesse divisée par la fréquence, elle est multipliée par le même facteur que la vitesse.
C'est le petit écart qui empêche la gamme de se refermer. Douze quintes pures empilées valent trois demis puissance douze, soit 129,75, alors que sept octaves valent 128. Le rapport, environ 1,0136, vaut 23,5 cents, un peu moins d'un quart de demi-ton. Sa cause est arithmétique : aucune puissance de trois n'est une puissance de deux.
Plus du double de la fréquence maximale présente dans le signal : c'est la condition de Shannon. Pour de la musique montant à 20 kilohertz, il faut dépasser 40 kilohertz, d'où la valeur normalisée de 44,1 kilohertz du disque compact. En dessous, les composantes trop aiguës se replient et apparaissent comme des sons plus graves, sans correction possible.
Non, ils font 63 décibels. Le décibel est un logarithme d'un rapport d'intensités : on additionne les intensités, pas les niveaux. Doubler l'intensité ajoute dix fois le logarithme de deux, soit environ trois décibels. Il faudrait dix haut-parleurs identiques pour gagner dix décibels, et cent pour en gagner vingt.
