Exercices corrigés d'enseignement scientifique : son, musique et audition

Ce qui se propage est une PERTURBATION, c'est-à-dire une variation locale de pression et de position des particules du milieu, transmise de proche en proche. Ce qui ne se propage pas, c'est la MATIÈRE : chaque particule oscille autour de sa position d'équilibre et y revient, elle n'accompagne pas le son. Le son ne traverse pas le vide parce qu'il lui faut un milieu matériel dont les particules puissent se pousser mutuellement : sans particules, rien ne transmet la perturbation. La lumière, elle, est une onde électromagnétique, c'est-à-dire une variation de champs qui n'a besoin d'aucun support matériel. C'est une différence de NATURE, pas de degré.

La célérité augmente avec la RIGIDITÉ du milieu et diminue avec sa masse volumique. Un solide résiste beaucoup plus qu'un liquide à une compression, et un liquide beaucoup plus qu'un gaz : chaque particule y transmet donc la poussée à sa voisine bien plus vite. L'ordre air, eau, acier suit exactement l'ordre des rigidités. C'est l'inverse de l'intuition courante, qui associe la vitesse à la légèreté : le son va dix-sept fois plus vite dans l'acier que dans l'air, alors que l'acier est environ six mille cinq cents fois plus dense.

La période vaut $T = 1 / f = 1 / 440 \approx 2{,}27 \times 10^{-3}$ s, soit environ $2{,}27$ ms. La longueur d'onde vaut $\lambda = v / f = 343 / 440 \approx 0{,}780$ m, soit environ 78 cm. Dans l'eau, la FRÉQUENCE ne change pas : elle est imposée par la source, pas par le milieu. La période reste donc $2{,}27$ ms. La longueur d'onde, elle, devient $\lambda = 1\ 480 / 440 \approx 3{,}36$ m, soit plus de quatre fois plus. C'est le piège classique du chapitre : en changeant de milieu, c'est $\lambda$ qui change, jamais $f$.

La lumière parcourt quelques kilomètres en quelques microsecondes : on néglige donc totalement son temps de trajet, et l'on suppose que l'éclair est vu à l'instant où il se produit. La distance vaut alors $d = v \times t = 343 \times 7{,}0 \approx 2\ 401$ m, soit environ $2{,}4$ km. L'approximation faite est double : temps de trajet de la lumière négligé, ce qui est excellent, et célérité du son supposée constante sur tout le trajet, ce qui est moins bon puisqu'elle dépend de la température, laquelle varie avec l'altitude.

La plage audible par une oreille humaine jeune s'étend d'environ 20 Hz à 20 000 Hz, soit trois décades de fréquence. En dessous de 20 Hz on parle d'INFRASONS : les éléphants s'en servent pour communiquer à plusieurs kilomètres, et les sismographes les enregistrent pour détecter des explosions lointaines. Au-dessus de 20 kHz on parle d'ULTRASONS : ils servent à l'échographie médicale, au sonar et au nettoyage de pièces par cavitation. La borne supérieure descend avec l'âge, jusqu'à 12 kHz vers soixante ans, ce qui explique que certains signaux sonores ne soient audibles que des adolescents.

Le premier signal accomplit un cycle complet en 1 ms : sa période vaut $T_{1} = 1$ ms, donc sa fréquence vaut $f_{1} = 1 / 10^{-3} = 1\ 000$ Hz. Le second accomplit deux cycles dans le même temps : sa période vaut $T_{2} = 0{,}5$ ms, donc $f_{2} = 1 / (0{,}5 \times 10^{-3}) = 2\ 000$ Hz. On vérifie $f_{2} = 2 f_{1}$, ce qui est bien ce qu'annonce l'énoncé.

L'oreille perçoit un son PLUS AIGU, et surtout elle perçoit les deux sons comme profondément apparentés, au point que la plupart des cultures leur donnent le même nom de note. Cet intervalle s'appelle l'OCTAVE. C'est le seul intervalle sur lequel tous les systèmes musicaux du monde s'accordent, et il correspond exactement au rapport de fréquences le plus simple après l'unisson, à savoir 2.

L'octave supérieure vaut $440 \times 2 = 880$ Hz. Celle encore au-dessus vaut $880 \times 2 = 1\ 760$ Hz. L'octave inférieure vaut $440 / 2 = 220$ Hz. On monte ou l'on descend d'une octave en MULTIPLIANT ou en divisant par 2, jamais en ajoutant : les intervalles musicaux sont des rapports, pas des différences, et c'est la raison profonde pour laquelle les échelles musicales sont logarithmiques.

Le rapport des fréquences extrêmes vaut $4\ 186 / 27{,}5 \approx 152{,}2$. Le nombre d'octaves est le nombre de fois qu'il faut multiplier par 2 pour l'atteindre : $2^{7} = 128$ et $2^{8} = 256$, donc $n$ est compris entre 7 et 8 ; à la calculatrice, $n = \frac{\log(152{,}2)}{\log 2} \approx 7{,}25$, et l'on vérifie $2^{7{,}25} \approx 152{,}2$. Le piano couvre donc un peu plus de sept octaves, ce qui confirme l'énoncé. Le quart d'octave supplémentaire correspond aux trois notes qui dépassent le la le plus aigu, en haut du clavier.

La HAUTEUR est le caractère grave ou aigu : elle correspond à la FRÉQUENCE du son, et pour un son complexe à celle de son fondamental. L'INTENSITÉ est le caractère fort ou faible : elle correspond à l'AMPLITUDE des variations de pression, et se mesure en watts par mètre carré ou, plus commodément, en décibels. Le TIMBRE est ce qui permet de distinguer une flûte d'un violon jouant la même note aussi fort : il correspond à la composition SPECTRALE du son, c'est-à-dire à la présence et à l'importance relative des harmoniques, sujet de l'exercice suivant. Trois caractères perçus, trois grandeurs physiques distinctes : les confondre est la source d'erreur numéro un du chapitre.

Les composantes sont des multiples entiers du fondamental : 220, 440, 660, 880, 1 100 et 1 320 Hz. La première s'appelle le FONDAMENTAL ; les suivantes s'appellent les HARMONIQUES, numérotées 2, 3, 4, 5 et 6. Attention au vocabulaire : l'harmonique de rang 2 a une fréquence DOUBLE, il n'y a pas de décalage d'un rang, et le fondamental est parfois appelé harmonique de rang 1.

Parce que toutes les composantes sont des multiples entiers d'une même fréquence : leurs périodes valent $T$, $T/2$, $T/3$, et ainsi de suite, et elles se retrouvent donc toutes simultanément dans le même état au bout de la durée $T$. La somme est alors périodique de période $T$, celle du fondamental, soit $T = 1 / 220 \approx 4{,}55 \times 10^{-3}$ s. C'est ce qui distingue un son MUSICAL d'un bruit : dans un bruit, les composantes ne sont pas dans des rapports entiers, et rien ne se répète.

Ce qui diffère est la RÉPARTITION des amplitudes entre les harmoniques. Les fréquences présentes sont les mêmes, imposées par la note ; ce sont leurs poids relatifs qui changent. Une flûte a un spectre pauvre, dominé par le fondamental ; un violon ou une trompette ont des harmoniques élevés bien plus fournis, ce que l'oreille perçoit comme un son plus brillant ou plus mordant. S'y ajoutent l'attaque et l'extinction, qui ne se lisent pas sur un spectre figé et qui contribuent énormément à la reconnaissance d'un instrument.

Le diapason est l'objet qui s'en approche le plus : sa forme est étudiée pour que ses modes de vibration parasites s'éteignent très vite, et il ne subsiste qu'une fréquence. Une flûte jouée doucement dans le grave s'en approche aussi. Un son purement sinusoïdal paraît artificiel parce qu'aucun objet réel ne vibre ainsi : tout corps matériel possède plusieurs modes de vibration, donc produit toujours des harmoniques. L'oreille, entraînée par toute une vie d'écoute, identifie donc l'absence d'harmoniques comme la signature d'une source non naturelle.

L'oreille perçoit toujours la même hauteur, 220 Hz, alors que cette fréquence n'est plus présente dans le signal. Le phénomène s'appelle le FONDAMENTAL MANQUANT, ou fondamental absent : le cerveau reconstitue la hauteur à partir de l'ÉCART régulier entre les harmoniques restants, qui vaut toujours 220 Hz. On l'utilise massivement dans les petits haut-parleurs, ceux d'un téléphone ou d'une enceinte compacte, physiquement incapables de reproduire les fréquences graves : ils ne restituent que les harmoniques, et l'auditeur entend pourtant la basse. C'est un bon rappel que la perception n'est pas une mesure : l'oreille interprète, elle ne relève pas.

L'octave vaut $2/1$, la quinte $3/2$, la quarte $4/3$ et la tierce majeure $5/4$. Classées du plus simple au moins simple, c'est-à-dire par entiers croissants : octave, quinte, quarte, tierce majeure. Cet ordre correspond exactement à l'ordre de consonance perçue, ce qui est le point remarquable : une propriété arithmétique prédit une sensation.

Une quinte au-dessus : $440 \times 3/2 = 660$ Hz, ce qui est un mi. Une quarte au-dessus : $440 \times 4/3 \approx 586{,}7$ Hz, ce qui est un ré. On note que 660 Hz apparaît dans le spectre de l'exercice 3, comme harmonique 3 du fondamental de 220 Hz : ce n'est pas une coïncidence, et c'est l'objet de la question d.

Composer deux intervalles revient à MULTIPLIER leurs rapports. Quinte puis quarte : $\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{12}{6} = 2$, qui est exactement le rapport de l'octave. Vérification numérique : $440 \times 3/2 = 660$, puis $660 \times 4/3 = 880 = 2 \times 440$. C'est parce que les intervalles se composent par multiplication, et non par addition, que leur description naturelle est logarithmique.

Parce que leurs spectres d'harmoniques se RECOUVRENT largement. Prenons un son de fondamental $f$ et un son de fondamental $3f/2$. Les harmoniques du premier sont $f, 2f, 3f, 4f, 5f, 6f$ ; ceux du second sont $1{,}5f, 3f, 4{,}5f, 6f$. Les fréquences $3f$ et $6f$ sont COMMUNES aux deux, et les autres tombent à mi-chemin, loin les unes des autres. Il y a donc peu de paires de fréquences voisines mais distinctes, or ce sont précisément ces paires qui produisent la sensation de rugosité. Plus le rapport est simple, plus les harmoniques coïncident, moins il y a de rugosité, et plus l'accord paraît consonant.

On entend un son unique dont l'INTENSITÉ varie périodiquement, ce qu'on appelle un BATTEMENT. Sa fréquence est la différence des deux fréquences, soit $443 - 440 = 3$ Hz : l'intensité passe par un maximum trois fois par seconde. Les musiciens s'en servent pour ACCORDER : on joue simultanément la note à accorder et une référence, et l'on ajuste jusqu'à ce que le battement disparaisse. La méthode est extraordinairement sensible, puisque l'oreille perçoit un battement de moins d'un hertz, soit un écart relatif de deux millièmes, bien mieux que ce qu'elle sait faire en comparant deux hauteurs séparément.

Monter d'une quinte multiplie la fréquence par $3/2$, soit environ $1{,}5$ : on sort donc de l'octave de départ dès la deuxième quinte, puisque $1{,}5^{2} = 2{,}25 > 2$. Redescendre d'une octave divise par 2. En alternant ces deux opérations, on ramène systématiquement le résultat dans l'intervalle allant de la note de départ à son octave, sans changer la CLASSE de la note obtenue, puisque deux notes séparées d'une octave portent le même nom. On engendre ainsi, une à une, les douze notes de la gamme chromatique.

Douze quintes donnent $(3/2)^{12} = 3^{12} / 2^{12} = 531\ 441 / 4\ 096 \approx 129{,}74634$. Sept octaves donnent $2^{7} = 128$. Les deux nombres sont proches mais DIFFÉRENTS : après douze quintes, on croit être revenu sur la note de départ sept octaves plus haut, et l'on est légèrement au-dessus.

Le comma vaut $\frac{(3/2)^{12}}{2^{7}} = \frac{129{,}74634}{128} \approx 1{,}01364$. En cents : un cent vaut un douze-centième d'octave, donc l'intervalle en cents vaut $1\ 200 \times \frac{\log(1{,}01364)}{\log 2} \approx 1\ 200 \times 0{,}019550 \approx 23{,}46$ cents. C'est environ un quart de demi-ton, ce qui est parfaitement audible : deux instruments désaccordés d'un comma sonnent franchement faux ensemble.

Parce qu'il faudrait qu'une puissance de $3/2$ soit égale à une puissance de 2, autrement dit qu'il existe des entiers $m$ et $n$ tels que $3^{m} = 2^{n+m}$. C'est impossible : la décomposition en facteurs premiers d'un entier est UNIQUE, donc un nombre qui ne contient que des facteurs 3 ne peut jamais être égal à un nombre qui ne contient que des facteurs 2, sauf si les deux valent 1. Aucun empilement de quintes justes ne retombe donc jamais exactement sur une octave juste, et la gamme ne se referme pas. Ce n'est pas un défaut de la méthode de Pythagore : c'est un théorème d'arithmétique.

Un VIOLONISTE choisit la hauteur exacte de chaque note en posant son doigt où il veut : il peut donc jouer chaque intervalle juste, et ajuster en fonction du contexte harmonique. Un PIANISTE dispose de douze touches par octave, accordées une fois pour toutes : il lui faut un compromis fixe. Le tempérament égal SACRIFIE la justesse de tous les intervalles sauf l'octave : la quinte tempérée vaut $2^{7/12} \approx 1{,}49831$ au lieu de $1{,}5$, soit environ deux cents trop bas. Il GAGNE la possibilité de jouer dans les douze tonalités avec la même qualité, et de moduler de l'une à l'autre sans réaccorder. Deux cents étant à peine perceptibles, l'échange est excellent, et c'est ce qui a permis toute la musique tonale depuis le XVIIIe siècle.

La condition : douze demi-tons identiques doivent composer exactement une octave, donc si $r$ est le rapport d'un demi-ton, $r^{12} = 2$. D'où $r = 2^{1/12} \approx 1{,}059463$. Chaque demi-ton multiplie donc la fréquence par environ $1{,}0595$, soit une hausse de près de six pour cent.

On multiplie successivement par $2^{1/12}$ à partir de 440 Hz. Premier demi-ton : $440 \times 1{,}059463 \approx 466{,}2$ Hz. Deuxième : $\approx 493{,}9$ Hz. Troisième : $\approx 523{,}3$ Hz. Quatrième : $\approx 554{,}4$ Hz. Après douze demi-tons : $440 \times (2^{1/12})^{12} = 440 \times 2 = 880$ Hz exactement, ce qui est bien l'octave. La vérification n'est pas décorative : elle contrôle d'un coup toute la construction.

La quinte tempérée vaut $2^{7/12} \approx 1{,}498307$, contre $1{,}5$ pour la quinte juste. L'écart en cents vaut $1\ 200 \times \frac{\log(1{,}5 / 1{,}498307)}{\log 2} \approx 1{,}96$ cent. La tierce majeure tempérée vaut $2^{4/12} = 2^{1/3} \approx 1{,}259921$, contre $1{,}25$ pour la tierce juste. L'écart vaut $1\ 200 \times \frac{\log(1{,}259921 / 1{,}25)}{\log 2} \approx 13{,}69$ cents.

L'écart sur la TIERCE est de très loin le plus grand : près de 14 cents contre 2 pour la quinte, soit sept fois plus. On en conclut que le tempérament égal préserve très bien les quintes, à peine altérées, et dégrade nettement les tierces majeures, qui sonnent sensiblement trop hautes. C'est audible : un choeur ou un quatuor à cordes, libres de leur intonation, chantent spontanément des tierces plus basses que celles du piano qui les accompagne, et cet écart est une difficulté classique du travail avec clavier.

La fréquence d'une corde est inversement proportionnelle à sa longueur vibrante. Pour monter d'une octave, il faut donc DIVISER la longueur par 2 : la douzième frette se place à la MOITIÉ de la longueur de corde, ce qui se vérifie immédiatement sur n'importe quelle guitare. Pour la septième frette, sept demi-tons, la fréquence est multipliée par $2^{7/12} \approx 1{,}498307$, donc la longueur est divisée par ce nombre : la frette se place à $1 / 1{,}498307 \approx 0{,}6674$ de la longueur, soit à environ $33{,}3$ pour cent de la longueur depuis le sillet. On retrouve presque exactement le rapport $2/3$ de la quinte juste, l'écart étant les deux cents de la question c.

Les points relevés sont espacés de $0{,}5$ ms sur le graphique : c'est la période d'échantillonnage $T_{e}$. La fréquence d'échantillonnage vaut $f_{e} = 1 / T_{e} = 1 / (0{,}5 \times 10^{-3}) = 2\ 000$ Hz, soit 2 kHz. Le signal représenté ayant une fréquence de $250$ Hz, on prélève huit points par période, ce qui est confortable.

La condition de Shannon impose $f_{e} > 2 f_{\max}$, où $f_{\max}$ est la plus haute fréquence présente dans le signal. Pour $f_{\max} = 20$ kHz, il faut donc $f_{e} > 40$ kHz. Le disque compact utilise $44{,}1$ kHz pour deux raisons : la condition est une inégalité STRICTE, et échantillonner tout juste au double laisserait un signal reconstruit désastreux ; et surtout, aucun filtre réel ne coupe brutalement à 20 kHz, il faut donc une marge pour laisser au filtre anti-repliement une bande de transition. Les $4{,}1$ kHz supplémentaires sont cette marge, et la valeur exacte tient à des contraintes historiques d'enregistrement sur bande vidéo.

Le débit vaut $44\ 100 \times 16 \times 2 = 1\ 411\ 200$ bit/s, soit $1\ 411{,}2$ kbit/s. Pour 3 minutes, soit 180 s : $1\ 411\ 200 \times 180 = 254\ 016\ 000$ bits, soit $254\ 016\ 000 / 8 = 31\ 752\ 000$ octets, c'est-à-dire $31\ 752\ 000 / 1\ 048\ 576 \approx 30{,}3$ Mio. On retrouve l'ordre de grandeur bien connu d'une dizaine de mégaoctets par minute de musique non compressée.

Le taux de compression vaut $1\ 411{,}2 / 192 \approx 7{,}35$. La taille devient $192\ 000 \times 180 / 8 = 4\ 320\ 000$ octets, soit $4\ 320\ 000 / 1\ 048\ 576 \approx 4{,}12$ Mio. Cette compression est AVEC PERTE : aucune méthode sans perte n'atteint un facteur 7 sur de la musique, et le format retenu supprime délibérément les composantes que l'oreille ne perçoit pas, soit parce qu'elles sont hors de la bande audible, soit parce qu'elles sont masquées par une composante voisine plus forte. Le fichier décodé n'est donc pas identique à l'original, et les pertes se cumulent si l'on réencode, exactement comme pour une image.

Il se produit un REPLIEMENT de spectre : la condition de Shannon n'est pas respectée, puisqu'il faudrait $f_{e} > 12$ kHz. La composante à 6 kHz est reconstruite à une fréquence fausse, égale à $f_{e} - f = 8\ 000 - 6\ 000 = 2\ 000$ Hz : on entend un son grave de 2 kHz qui n'existait pas dans l'original. Le défaut est irréparable après coup, puisque rien ne distingue cette composante d'un vrai son à 2 kHz. On l'évite en plaçant AVANT le convertisseur un filtre passe-bas, dit anti-repliement, qui supprime toute composante au-dessus de la moitié de la fréquence d'échantillonnage. Le filtre est analogique, donc physiquement placé avant la numérisation : c'est le seul endroit où il peut agir.

FAUX. La fréquence est imposée par la SOURCE et ne change jamais au passage d'un milieu à l'autre. Ce qui change est la célérité, donc la longueur d'onde, liées par $\lambda = v / f$. Énoncé correct : en passant de l'air à l'eau, la célérité passe de 343 à 1 480 m/s et la longueur d'onde est multipliée par le même facteur, tandis que la fréquence, donc la hauteur perçue, reste identique.

FAUX. Les intervalles musicaux sont des RAPPORTS, pas des différences. Une octave au-dessus du la 440 vaut $880$ Hz, mais une octave au-dessus du la 220 vaut $440$ Hz, soit un écart de 220 Hz seulement. Énoncé correct : monter d'une octave, c'est multiplier la fréquence par 2 ; c'est parce que les intervalles se composent par multiplication que les échelles musicales sont logarithmiques.

FAUX. Il reste le TIMBRE, c'est-à-dire la répartition des amplitudes entre les harmoniques. Une flûte et un violon jouant le même la aussi fort se distinguent immédiatement. Énoncé correct : hauteur, intensité et timbre sont trois caractères indépendants, correspondant respectivement à la fréquence du fondamental, à l'amplitude et à la composition spectrale.

FAUX. Le décibel est une échelle LOGARITHMIQUE : ce sont les intensités qui s'ajoutent, pas les niveaux. Doubler l'intensité ajoute $10 \log(2) \approx 3$ dB. Énoncé correct : deux sources de 60 dB donnent ensemble 63 dB, et il en faudrait dix pour atteindre 70 dB, cent pour 80 dB.

FAUX, et l'accusation vise le mauvais coupable. Douze quintes justes ne peuvent PAS tomber sur sept octaves, pour une raison arithmétique : $3^{12}$ ne peut jamais être égal à une puissance de 2, la décomposition en facteurs premiers étant unique. Énoncé correct : la gamme de Pythagore n'est pas fausse, elle est irrémédiablement ouverte ; l'écart, le comma pythagoricien, vaut $23{,}5$ cents, et c'est le tempérament égal qui choisit de le répartir sur les douze demi-tons.

Le niveau sonore est défini par $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)$, où $I$ est l'intensité sonore en watts par mètre carré et $I_{0} = 10^{-12}$ W/m$^{2}$ l'intensité de référence. Cette valeur correspond au SEUIL D'AUDITION d'une oreille humaine jeune à 1 000 Hz : c'est pourquoi ce seuil vaut 0 dB, non parce qu'il n'y a pas de son, mais parce que l'intensité y égale la référence.

À 60 dB : $60 = 10 \log(I / 10^{-12})$, donc $\log(I / 10^{-12}) = 6$, donc $I = 10^{-12} \times 10^{6} = 10^{-6}$ W/m$^{2}$. À 120 dB : $I = 10^{-12} \times 10^{12} = 1$ W/m$^{2}$. Le rapport vaut $1 / 10^{-6} = 10^{6}$, soit un million. Et entre le seuil d'audition et le seuil de douleur, le rapport vaut $10^{12}$, mille milliards : aucune échelle linéaire ne pourrait représenter cela sur une figure lisible, et c'est exactement la raison d'être du décibel.

Doubler l'intensité : $\Delta L = 10 \log(2 I / I) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$ dB. Le niveau augmente donc d'environ 3 dB. Multiplier par dix : $\Delta L = 10 \log(10) = 10$ dB exactement. Ces deux résultats sont à connaître par coeur : ils permettent de raisonner de tête sur toute cette échelle, et ils expliquent qu'un doublement d'intensité, qui semble énorme, ne s'entende que comme une légère hausse.

Ce sont les INTENSITÉS qui s'ajoutent. Trois machines identiques donnent une intensité triple, donc $\Delta L = 10 \log(3) \approx 4{,}77$ dB. Le niveau résultant vaut $75 + 4{,}77 \approx 79{,}8$ dB. On note qu'il ne vaut ni 225 dB, ni 78 dB : ajouter deux machines à une première n'ajoute pas 5 dB par machine, l'échelle étant logarithmique.

De 85 à 100 dB, il y a $100 - 85 = 15$ dB, soit $15 / 3 = 5$ divisions par deux. La durée admissible vaut donc $8 / 2^{5} = 8 / 32 = 0{,}25$ heure, c'est-à-dire 15 minutes. Le commentaire s'impose : un concert dure deux à trois heures à ce niveau, soit dix fois la durée admissible, et l'exposition n'est douloureuse à aucun moment. Or la perte auditive due au bruit est INDOLORE, PROGRESSIVE et DÉFINITIVE, les cellules ciliées de l'oreille interne ne se régénérant pas chez l'être humain. C'est précisément parce que rien ne prévient sur le moment que la protection doit être décidée à l'avance, sur un calcul comme celui-ci, et non sur une sensation.

L'intensité varie comme $1/d^{2}$, donc le niveau baisse de $20 \log(d)$ par rapport à la valeur à 1 m. À 8 m : $L = 105 - 20 \log(8) = 105 - 20 \times 0{,}9031 \approx 105 - 18{,}1 = 86{,}9$ dB. À 16 m : $L = 105 - 20 \log(16) = 105 - 24{,}1 = 80{,}9$ dB.

Doubler la distance divise l'intensité par $2^{2} = 4$, donc le niveau baisse de $10 \log(4) = 20 \log(2) \approx 6{,}02$ dB. La règle : le niveau perd environ 6 dB à chaque doublement de distance. Vérification : de 8 m à 16 m, on passe de $86{,}9$ à $80{,}9$ dB, soit exactement 6 dB de moins. Cette règle est le pendant de celle de l'exercice 9 : 3 dB par doublement d'intensité, 6 dB par doublement de distance, parce que la distance intervient au carré.

À 20 m, une enceinte donne $L = 105 - 20 \log(20) = 105 - 26{,}0 = 79{,}0$ dB. Il faut atteindre 95 dB, soit $95 - 79{,}0 = 16{,}0$ dB de plus. Or ajouter $n$ sources identiques ajoute $10 \log(n)$ dB : il faut donc $10 \log(n) \ge 16{,}02$, c'est-à-dire $n \ge 10^{1{,}602} \approx 40{,}0$. Il faudrait donc 40 enceintes, ce qui est manifestement absurde et signale que l'hypothèse de départ est mauvaise : dans une salle fermée, la réverbération contribue autant que le son direct, et l'on n'applique pas la décroissance en champ libre au-delà de quelques mètres.

À 4 m, une enceinte donne $105 - 20 \log(4) = 105 - 12{,}0 = 93{,}0$ dB. Avec 40 enceintes, on ajoute $10 \log(40) \approx 16{,}0$ dB, soit $109{,}0$ dB au premier rang. C'est très au-dessus du seuil réglementaire de 85 dB : l'écart vaut $109{,}0 - 85 = 24{,}0$ dB, soit $24 / 3 = 8$ divisions par deux, et la durée admissible tombe à $8 / 2^{8} = 8 / 256 \approx 0{,}031$ heure, c'est-à-dire moins de deux minutes. Le calcul condamne donc la configuration : on ne peut pas couvrir le fond de salle en poussant une source unique sans détruire les oreilles du premier rang.

La recommandation. Un, le calcul ÉTABLIT que la décroissance en $1/d^{2}$ interdit d'obtenir un niveau homogène avec une source unique : $14$ dB d'écart entre le premier rang, à 4 m, et le dernier, à 20 m, soit un rapport d'intensités de 25. Deux, il NÉGLIGE la réverbération de la salle, qui relève le niveau au fond bien au-delà du son direct, et la directivité réelle des enceintes, qui n'émettent pas dans toutes les directions : les 40 enceintes calculées sont donc un artefact du modèle en champ libre, pas une préconisation. Trois, la solution technique n'est pas d'augmenter la puissance mais de RÉPARTIR les sources : plusieurs enceintes de faible puissance disposées le long de la salle, chacune couvrant quelques rangs, ce qui égalise le niveau et abaisse le maximum. Quatre, mesurer, et non calculer : un sonomètre en trois points de la salle pendant les réglages coûte quelques minutes et remplace tout ce raisonnement. Cinq, quelle que soit la configuration retenue, afficher le niveau, distribuer des protections auditives et interdire l'accès à la zone située à moins de quelques mètres des enceintes, la réglementation étant une limite et non un objectif.

Sol : $264 \times \frac{3}{2} = 396$ Hz, qui est bien entre 264 et 528 Hz.

Ré : $396 \times \frac{3}{2} = 594$ Hz, au-dessus de 528 Hz, donc on divise par 2 : 297 Hz. La : $297 \times \frac{3}{2} = 445{,}5$ Hz. Mi : $445{,}5 \times \frac{3}{2} = 668{,}25$ Hz, divisé par 2 : $334{,}125$ Hz. Si : $334{,}125 \times \frac{3}{2} \approx 501{,}19$ Hz. Le piège est d'oublier de redescendre : on obtiendrait un ré à 594 Hz, qui appartient à l'octave suivante.

Descendre d'une quinte, c'est DIVISER par $\frac{3}{2}$ : $264 \div \frac{3}{2} = 176$ Hz, sous le do de départ. On remonte d'une octave : $176 \times 2 = 352$ Hz. Monter d'une quarte, de rapport $\frac{4}{3}$, donne directement $264 \times \frac{4}{3} = 352$ Hz : quinte descendante et octave montante composent une quarte.

Ordre : do 264, ré 297, mi $334{,}1$, fa 352, sol 396, la $445{,}5$, si $501{,}2$, do 528. Rapports : do-ré $\frac{297}{264} = 1{,}125$ ; ré-mi $1{,}125$ ; mi-fa $\frac{352}{334{,}125} \approx 1{,}0535$ ; fa-sol $1{,}125$ ; sol-la $1{,}125$ ; la-si $1{,}125$ ; si-do $\frac{528}{501{,}1875} \approx 1{,}0535$. On trouve DEUX rapports seulement : le ton, $\frac{9}{8} = 1{,}125$, présent cinq fois, et le demi-ton de Pythagore, $\frac{256}{243} \approx 1{,}0535$, présent deux fois, entre mi et fa et entre si et do.

Deux demi-tons de Pythagore donnent $1{,}0535^{2} \approx 1{,}1099$, alors qu'un ton vaut $1{,}125$ : deux petits intervalles ne font PAS un grand, et le petit n'est pas la moitié du grand. Les intervalles se composent par multiplication : la « moitié » d'un ton serait $\sqrt{1{,}125} \approx 1{,}0607$, qui n'est pas un rapport de la gamme. C'est une autre face du problème du comma : la gamme de Pythagore ne peut pas être découpée en intervalles égaux.

$f = \frac{343}{4 \times 0{,}025} = 3\ 430$ Hz. Le conduit auditif amplifie naturellement les sons voisins de cette fréquence, qui arrivent au tympan avec une pression renforcée : c'est pourquoi le seuil d'audition est le plus bas, et l'oreille la plus sensible, entre 2 000 et 5 000 Hz environ. Le piège est d'utiliser $\frac{v}{2L}$, qui vaut pour un tube ouvert aux deux bouts.

La même force s'exerce sur une surface bien plus petite, et la pression est une force par unité de surface : le rapport des surfaces donne $\frac{55}{3{,}2} \approx 17{,}2$. Avec le levier des osselets, la pression est multipliée par $17{,}2 \times 1{,}3 \approx 22$.

$20 \log(22{,}3) \approx 27$ dB. Ce gain est nécessaire parce que le liquide de la cochlée est bien plus difficile à mettre en mouvement que l'air : sans adaptation, presque toute l'énergie sonore serait réfléchie à la surface du liquide, comme le son se réfléchit à la surface d'une piscine. L'oreille moyenne est un ADAPTATEUR, qui transforme une grande surface faiblement poussée en une petite surface fortement poussée.

Les harmoniques aigus ne sont plus perçus : la personne entend encore la hauteur, donnée par le fondamental et les premiers harmoniques, mais le TIMBRE change, le son paraît sourd et moins clair. Pour la parole, les consonnes, riches en hautes fréquences, deviennent difficiles à distinguer : on entend que quelqu'un parle sans comprendre ce qu'il dit.

La résonance du conduit auditif renforce précisément les fréquences voisines de 3 000 à 4 000 Hz : les cellules qui leur répondent reçoivent donc les vibrations les plus fortes, et ce sont elles qui s'usent en premier lors d'une exposition prolongée au bruit. C'est pourquoi un audiogramme de personne exposée montre souvent une encoche vers 4 000 Hz, bien avant toute gêne dans les graves. Les cellules détruites ne repoussent pas : la perte est définitive.

Sur 8 bits : $2^{8} = 256$ valeurs. Sur 16 bits : $2^{16} = 65\ 536$ valeurs. Sur 24 bits : $2^{24} = 16\ 777\ 216$ valeurs. Chaque bit ajouté DOUBLE le nombre de valeurs, il ne l'augmente pas d'une unité.

8 bits : $20 \log(256) \approx 48$ dB. 16 bits : $20 \log(65\ 536) \approx 96$ dB. 24 bits : $20 \log(16\ 777\ 216) \approx 144$ dB. Un bit de plus multiplie le nombre de valeurs par 2, donc ajoute $20 \log 2 \approx 6{,}02$ dB : 8 bits de plus ajoutent $8 \times 6{,}02 \approx 48$ dB, ce qu'on vérifie de 8 à 16 puis de 16 à 24 bits.

La plage de l'orchestre vaut $110 - 30 = 80$ dB. Sur 16 bits, la dynamique de 96 dB la contient : tout est restitué, avec une marge. Sur 8 bits, 48 dB ne suffisent pas : si l'on règle le niveau pour ne pas saturer les passages forts, les passages les plus doux se perdent dans l'erreur d'arrondi, qui s'entend comme un souffle.

Débit : $8\ 000 \times 8 = 64\ 000$ bit/s, soit 64 kbit/s, vingt-deux fois moins que le disque compact. D'après la condition de Shannon, la plus haute fréquence transmise est inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, soit 4 000 Hz ; en pratique, un filtre coupe vers $3\ 400$ Hz.

L'essentiel de ce qui permet de reconnaître les voyelles et la plupart des consonnes se situe sous 4 000 Hz, et la parole n'a pas besoin d'une grande dynamique : elle reste compréhensible. Une musique contient au contraire des harmoniques jusqu'à 20 kHz, qui portent le timbre des instruments, et des écarts de niveau bien supérieurs à 48 dB : la coupure au-dessus de 4 kHz la rend terne et l'arrondi sur 8 bits la rend granuleuse.

$v = 331 + 0{,}6 \times 20 = 343$ m/s. $L = \frac{v}{4f} = \frac{343}{4 \times 440} \approx 0{,}195$ m, soit environ $19{,}5$ cm. Le piège est d'utiliser $\frac{v}{2f}$, qui donne un tuyau deux fois trop long : le tuyau fermé résonne pour un quart de longueur d'onde.

$L = \frac{343}{4 \times 523{,}3} \approx 0{,}164$ m, soit $16{,}4$ cm. Rapport : $\frac{19{,}49}{16{,}39} \approx 1{,}189$, égal à $2^{3/12} \approx 1{,}189$. La fréquence étant inversement proportionnelle à la longueur, monter de trois demi-tons multiplie la fréquence par $2^{3/12}$ et divise la longueur par le même nombre.

Doubler la fréquence divise la longueur par 2 : $\frac{19{,}49}{2} \approx 9{,}74$ cm. C'est la forme en escalier caractéristique de la flûte de Pan : le tuyau le plus court d'une octave mesure la moitié du plus long.

À 30 °C, $v = 331 + 0{,}6 \times 30 = 349$ m/s. Le tuyau garde sa longueur, donc $f = \frac{349}{4 \times 0{,}1949} \approx 447{,}7$ Hz. Plus directement, $f$ est proportionnelle à $v$ : $440 \times \frac{349}{343} \approx 447{,}7$ Hz. Le battement a pour fréquence la différence des deux fréquences : $447{,}7 - 440 \approx 7{,}7$ battements par seconde, très audibles.

Oui : toutes les fréquences sont multipliées par le même rapport $\frac{349}{343} \approx 1{,}0175$, puisque chacune est proportionnelle à $v$. Les rapports entre les notes ne changent pas, donc la flûte reste parfaitement juste AVEC ELLE-MÊME. En revanche, elle est trop haute d'environ $1{,}75$ pour cent par rapport au piano, dont les cordes ne dépendent pas de la célérité du son dans l'air : cela représente $1\ 200 \times \frac{\log(1{,}0175)}{\log 2} \approx 30$ cents, près d'un tiers de demi-ton, et l'ensemble sonne faux. C'est pourquoi les instruments à vent s'accordent après s'être réchauffés, en ajustant la longueur de leur tuyau.

Mi 3 tempéré : $110 \times 2^{7/12} \approx 110 \times 1{,}498307 \approx 164{,}81$ Hz. Dans une quinte juste : $110 \times \frac{3}{2} = 165$ Hz.

Harmonique 3 du la 2 : $3 \times 110 = 330$ Hz. Harmonique 2 du mi 3 : $2 \times 164{,}81 \approx 329{,}63$ Hz. Battements : $330 - 329{,}63 \approx 0{,}37$ par seconde, soit un battement toutes les $\frac{1}{0{,}37} \approx 2{,}7$ secondes. On compare les harmoniques et non les fondamentaux : 110 et $164{,}81$ Hz sont trop éloignés pour battre.

Avec une quinte juste, l'harmonique 2 du mi vaut $2 \times 165 = 330$ Hz, exactement l'harmonique 3 du la : il n'y a plus AUCUN battement. Mais le piano doit être accordé en tempérament égal, pour jouer dans toutes les tonalités : l'accordeur règle donc chaque quinte légèrement trop basse, jusqu'à entendre environ un battement toutes les trois secondes. Le battement lent n'est pas un défaut de réglage, c'est la signature du tempérament.

Do dièse 4 : $220 \times 2^{4/12} \approx 220 \times 1{,}259921 \approx 277{,}18$ Hz. Harmonique 5 du la 3 : $5 \times 220 = 1\ 100$ Hz. Harmonique 4 du do dièse : $4 \times 277{,}18 \approx 1\ 108{,}73$ Hz. Battements : $1\ 108{,}73 - 1\ 100 \approx 8{,}7$ par seconde. Pour une tierce juste, le do dièse vaudrait $220 \times \frac{5}{4} = 275$ Hz et l'harmonique 4 serait exactement 1 100 Hz.

La tierce tempérée bat environ $\frac{8{,}7}{0{,}37} \approx 23$ fois plus vite que la quinte, un battement rapide et granuleux contre un battement presque imperceptible. C'est la traduction auditive des écarts de l'exercice 6 : 2 cents seulement sur la quinte, près de 14 cents sur la tierce. Les battements sont d'autant plus rapides que l'écart est grand ET que les harmoniques concernés sont aigus, d'où la rugosité des tierces sur un piano.

Patient A, $1$ kHz : le point plein est sur la ligne des $40$ dB, le rond vide sur celle des $10$ dB. Patient B, $4$ kHz : $55$ dB, entre les lignes $40$ et $60$, plus près de $60$. L'axe est orienté vers le BAS : le piège est de lire « plus haut » comme « plus fort », alors qu'un point haut est une bonne audition.

Patient A : la conduction osseuse est presque normale, entre $5$ et $10$ dB, alors que la conduction aérienne perd environ $40$ dB à toutes les fréquences. L'oreille interne fonctionne, puisque le vibreur la fait réagir ; c'est le trajet par l'oreille externe et l'oreille moyenne qui est gêné : surdité de TRANSMISSION. Causes possibles : bouchon de cérumen, otite avec liquide derrière le tympan, tympan perforé, osselets bloqués. Patient B : les deux courbes sont confondues à moins de $5$ dB près. Rien ne se perd avant l'oreille interne, qui répond mal elle-même, surtout aux aigus : surdité de PERCEPTION, ici liée à l'âge, la presbyacousie. L'écart entre les deux courbes est tout le diagnostic : grand, transmission ; nul, perception.

Le seuil du patient A est relevé de $40$ dB : la conversation ne dépasse son seuil que de $60-40=20$ dB, et il l'entend comme une personne normale entend un chuchotement. Une perte de $40$ dB correspond à un rapport d'intensités de $10^{\frac{40}{10}}=10^{4}=10\ 000$ : tout se passe comme si l'intensité reçue était divisée par dix mille. C'est l'échelle logarithmique qui fait paraître modeste une perte énorme.

Sa perte atteint $55$ à $60$ dB dans les aigus, là où se jouent les consonnes, qui distinguent « pain » de « bain » ; les voyelles, plus graves, restent audibles. Il entend donc qu'on lui parle sans comprendre, et le bruit ambiant, surtout grave, masque ce qui reste. Cette perte ne guérira pas : les cellules ciliées de l'oreille interne sont en nombre limité et ne se renouvellent pas. On lui propose un appareil auditif, qui amplifie davantage les aigus que les graves. Si la perte devenait profonde, un implant cochléaire, qui stimule directement le nerf auditif par des électrodes, prendrait le relais des cellules détruites.

L'IRMf ne mesure pas le message nerveux : elle mesure une variation de l'irrigation sanguine locale, qui augmente dans les zones du cerveau plus actives. L'image est une DIFFÉRENCE entre deux situations, écoute et repos, traitée statistiquement. Elle montre que le message nerveux venu des deux oreilles est traité dans les aires auditives des lobes temporaux, et que la compréhension de la parole mobilise davantage l'hémisphère gauche. Chez l'enfant implanté, l'activation progressive indique que l'interprétation des sons s'APPREND : l'oreille rétablie ne suffit pas, le cerveau doit apprendre à traiter ces nouveaux messages. C'est pour cela qu'on implante tôt et qu'une rééducation accompagne l'implant.