Exercices corrigés : émission et perception d'un son (Seconde)

a) Oui : le motif se répète identique à lui-même à intervalles réguliers. C'est la définition d'un signal périodique, et c'est ce qui donne au son une hauteur perçue, contrairement à un bruit dont le tracé ne se répète pas.

b) Il faut mesurer sur PLUSIEURS motifs pour réduire l'erreur de lecture : $4$ motifs occupent $10{,}0$ divisions, donc un motif en occupe $2{,}50$. Chaque division valant $0{,}50\ \mathrm{ms}$, la période vaut $T=2{,}50\times 0{,}50=1{,}25\ \mathrm{ms}$, soit $T=1{,}25\times 10^{-3}\ \mathrm{s}$. Mesurer sur un seul motif donnerait la même valeur mais avec quatre fois plus d'incertitude.

c) $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{1{,}25\times 10^{-3}}=800\ \mathrm{Hz}$. L'oreille humaine perçoit de $20\ \mathrm{Hz}$ à $20\,000\ \mathrm{Hz}$ environ, donc ce son est parfaitement audible ; il se situe dans la zone où l'oreille est la plus sensible, celle de la voix.

d) Deux motifs occuperaient $2\times 1{,}25=2{,}50\ \mathrm{ms}$. Pour les étaler sur $10$ divisions, il faut $\dfrac{2{,}50}{10}=0{,}25\ \mathrm{ms}$ par division. Réduire le calibre de balayage étire donc le signal horizontalement, sans rien changer au son lui-même.

e) L'AMPLITUDE augmente, car l'intensité sonore reçue est plus grande : la courbe devient plus haute. La période et la fréquence, elles, ne changent pas d'un iota : elles sont imposées par la source. C'est la distinction centrale du chapitre, l'amplitude dit la force du son, la fréquence dit sa hauteur, et déplacer le microphone n'agit que sur la première.

a) $v=331+0{,}60\times 25=331+15=346\ \mathrm{m/s}$.

b) $d=v\,\Delta t=346\times 6{,}0=2{,}08\times 10^{3}\ \mathrm{m}$, soit environ $2{,}1\ \mathrm{km}$.

c) $\Delta t_{lumière}=\dfrac{2080}{3{,}0\times 10^{8}}=6{,}9\times 10^{-6}\ \mathrm{s}$, soit sept microsecondes. C'est un million de fois moins que les $6{,}0\ \mathrm{s}$ mesurées : la négliger est non seulement légitime, c'est indispensable, aucun chronomètre humain ne mesurerait une telle durée. On considère donc que l'éclair est vu à l'instant même où il se produit.

d) À $-20\ \mathrm{^\circ C}$ : $v=331+0{,}60\times (-20)=331-12=319\ \mathrm{m/s}$, donc $d=319\times 6{,}0=1{,}91\times 10^{3}\ \mathrm{m}$. L'écart relatif avec l'été vaut $\dfrac{2080-1914}{2080}=8{,}0\ \%$. Le son va plus lentement dans l'air froid, donc pour un même délai l'orage est plus proche qu'on ne le croirait avec la valeur d'été. Dans les régions où l'écart saisonnier dépasse quarante degrés, cela n'a rien d'anecdotique.

e) Diviser par trois revient à supposer $v=\dfrac{1000}{3}=333\ \mathrm{m/s}$. C'est une excellente approximation : la valeur réelle va de $319$ à $346\ \mathrm{m/s}$ entre l'hiver et l'été, et $333$ tombe au milieu. La règle est donc bonne à environ $4\ \%$ près, largement suffisant quand il s'agit de décider si l'orage est assez loin pour sortir.

a) Le fondamental est la plus basse fréquence du spectre, ici $220\ \mathrm{Hz}$. C'est lui qui fixe la hauteur perçue : l'oreille entend un la de $220\ \mathrm{Hz}$, et non un mélange de cinq sons.

b) Les raies suivantes sont à $440$, $660$, $880$ et $1100\ \mathrm{Hz}$, c'est-à-dire $2\times 220$, $3\times 220$, $4\times 220$ et $5\times 220$. Ce sont bien des multiples ENTIERS du fondamental, ce qui est la définition des harmoniques. Un rapport non entier donnerait un son inharmonique, perçu comme un bruit métallique plutôt que comme une note.

c) La flûte joue la même note, donc son fondamental est aussi à $220\ \mathrm{Hz}$ et les harmoniques tombent aux mêmes fréquences. Ce qui change, ce sont les AMPLITUDES relatives : la flûte a un fondamental très dominant et peu d'harmoniques, la guitare en a davantage. Cette répartition est le timbre, et c'est elle seule qui permet de reconnaître un instrument les yeux fermés.

d) Un son pur. Son oscillogramme est une sinusoïde parfaite, sans aucune déformation, alors que le son de la guitare a une allure périodique mais complexe. Le diapason est justement fabriqué pour cela, il donne une référence de hauteur sans coloration.

e) Monter d'une octave, c'est doubler la fréquence : le fondamental passe à $440\ \mathrm{Hz}$ et les harmoniques à $880$, $1320$, $1760\ \mathrm{Hz}$. Toutes les raies sont donc multipliées par deux, le spectre est dilaté d'un facteur $2$ vers la droite. Le timbre, lui, reste celui de la guitare, ce qui est la raison pour laquelle on reconnaît l'instrument quelle que soit la note jouée.

a) $L=10\,\log\dfrac{1{,}0\times 10^{-6}}{1{,}0\times 10^{-12}}=10\,\log(10^{6})=10\times 6=60\ \mathrm{dB}$. La lecture de l'échelle confirme cette valeur pour une conversation.

b) On inverse la relation : $\dfrac{I}{I_0}=10^{\frac{105}{10}}=10^{10{,}5}$, donc $I=10^{10{,}5}\times 10^{-12}=10^{-1{,}5}=3{,}2\times 10^{-2}\ \mathrm{W/m^{2}}$.

c) $\dfrac{3{,}2\times 10^{-2}}{1{,}0\times 10^{-6}}=3{,}2\times 10^{4}$, soit plus de trente mille fois. Entre $60$ et $105\ \mathrm{dB}$, il n'y a qu'un facteur $1{,}75$ sur l'échelle, mais un facteur trente mille sur l'énergie reçue. Toute l'utilité des décibels est là, ils compriment une gamme démesurée en nombres maniables.

d) Deux sources identiques doublent l'intensité, et doubler l'intensité ajoute $3\ \mathrm{dB}$ : on obtient $83\ \mathrm{dB}$. On peut le vérifier : $10\,\log(2)=3{,}01$.

e) Parce que le décibel n'est pas une grandeur physique qui s'ajoute, c'est un logarithme d'un rapport d'intensités. Ce sont les INTENSITÉS qui s'additionnent, en $\mathrm{W/m^{2}}$, et le logarithme transforme ce doublement en une simple addition de $3$. Additionner les niveaux reviendrait à multiplier les intensités entre elles, opération qui n'a aucun sens physique. Le réflexe correct est toujours le même : repasser aux intensités, additionner, puis revenir aux décibels.

a) Doubler la distance divise l'intensité par $2^{2}=4$. En décibels : $10\,\log(4)=6{,}0$, on perd donc $6{,}0\ \mathrm{dB}$ et l'on mesure $86-6=80\ \mathrm{dB}$. La règle « doubler la distance retire six décibels » se retient une fois pour toutes.

b) Multiplier la distance par $10$ divise l'intensité par $100$, soit une perte de $10\,\log(100)=20\ \mathrm{dB}$. On mesure $86-20=66\ \mathrm{dB}$.

c) C'est précisément la question précédente lue à l'envers : $66\ \mathrm{dB}$ correspond à une perte de $20\ \mathrm{dB}$, donc à une intensité divisée par $100$, donc à une distance multipliée par $\sqrt{100}=10$. La réponse est $10{,}0\ \mathrm{m}$. Attention au piège : la distance est multipliée par la RACINE du facteur d'intensité, pas par le facteur lui-même.

d) Non pour cette part-là : l'atténuation géométrique est purement une affaire de surface de sphère, elle traite toutes les fréquences de la même façon. En revanche l'absorption par l'air, elle, dépend de la fréquence et touche surtout les aigus. C'est pourquoi un concert lointain se réduit à des basses sourdes : les aigus ont été absorbés en chemin, pas dispersés.

e) Parce que dans une salle fermée le son ne se disperse pas librement : il se réfléchit sur les murs, le plafond et le sol, et ces réflexions se superposent au son direct. L'auditeur reçoit donc plus d'énergie que ne le prévoit la loi en $\dfrac{1}{d^{2}}$, valable pour un espace ouvert. C'est la raison d'être des panneaux absorbants dans les studios et de la réverbération des églises.

a) $v=\dfrac{d}{\Delta t}=\dfrac{8{,}00}{23{,}5\times 10^{-3}}=340\ \mathrm{m/s}$.

b) Valeur attendue : $v=331+0{,}60\times 21=331+12{,}6=344\ \mathrm{m/s}$. Écart relatif : $\dfrac{344-340}{344}=1{,}2\ \%$. C'est un très bon accord pour une manipulation faite avec deux téléphones, et cela valide la méthode.

c) Avec $\Delta t$ entre $5{,}5$ et $6{,}5\ \mathrm{ms}$ : la célérité va de $\dfrac{2{,}00}{6{,}5\times 10^{-3}}=308\ \mathrm{m/s}$ à $\dfrac{2{,}00}{5{,}5\times 10^{-3}}=364\ \mathrm{m/s}$. L'encadrement est donc très large, environ $\pm 8\ \%$, et il contient la valeur attendue sans permettre de conclure grand-chose.

d) La grande distance, nettement. La même incertitude absolue de $0{,}5\ \mathrm{ms}$ pèse quatre fois moins sur un retard de $23{,}5\ \mathrm{ms}$ que sur un retard de $6{,}0\ \mathrm{ms}$ : l'incertitude relative passe de $8\ \%$ à $2\ \%$. La règle générale à retenir vaut pour toute la physique expérimentale : pour améliorer une mesure, on agrandit la grandeur mesurée plutôt que de raffiner l'appareil.

e) L'écho parcourt l'aller ET le retour, soit $2\times 12{,}0=24{,}0\ \mathrm{m}$. Avec $v=344\ \mathrm{m/s}$, le retard attendu est $\Delta t=\dfrac{24{,}0}{344}=69{,}8\ \mathrm{ms}$. Cette méthode est encore meilleure, puisqu'elle triple la durée mesurée sans changer de local, et qu'elle ne demande qu'un seul téléphone.

a) $330\times 65{,}0=21\,450$ ; $390\times 55{,}0=21\,450$ ; $477\times 45{,}0=21\,465$ ; $660\times 32{,}5=21\,450$. Le produit est constant, à la troisième mesure près qui ne s'écarte que de $0{,}07\ \%$, ce qui est de l'ordre de l'arrondi. La fréquence est donc INVERSEMENT proportionnelle à la longueur.

b) Les quatre points sont alignés sur une droite passant par l'origine. Or tracer $f$ en fonction de $\dfrac{1}{L}$ et obtenir une droite par l'origine est exactement le test d'une proportionnalité inverse entre $f$ et $L$. Le coefficient directeur vaut $214{,}5$ quand $L$ est en centimètres, c'est-à-dire le produit constant divisé par cent.

c) Diviser $L$ par deux double la fréquence, puisque le produit reste constant. De $330\ \mathrm{Hz}$ on passe à $660\ \mathrm{Hz}$, ce que confirme la quatrième mesure, à $32{,}5\ \mathrm{cm}$. Un doublement de fréquence est une OCTAVE, et c'est la raison pour laquelle la douzième case d'une guitare tombe exactement au milieu de la corde.

d) $L=\dfrac{21\,450}{440}=48{,}8\ \mathrm{cm}$. Une prédiction de ce genre, faite avant de jouer, est la vraie preuve qu'une loi a été comprise et pas seulement constatée.

e) Elles varient bien ensemble, mais en sens CONTRAIRE : quand $L$ diminue, $f$ augmente. Une proportionnalité exigerait un quotient $\dfrac{f}{L}$ constant ; or il vaut $5{,}08$ pour la première mesure et $20{,}3$ pour la dernière, soit quatre fois plus. C'est le produit qui est constant, pas le quotient, et cela distingue une proportionnalité inverse d'une proportionnalité directe.

a) Faux : le son va environ quatre fois PLUS vite dans l'eau, à $1\,500\ \mathrm{m/s}$ contre $340\ \mathrm{m/s}$ dans l'air, et plus vite encore dans l'acier. Ce qui compte n'est pas la densité seule mais la rigidité du milieu : plus les particules sont liées, plus vite la perturbation se transmet de proche en proche. Énoncé correct : le son se propage plus vite dans les liquides et les solides que dans les gaz.

b) Faux : s'éloigner diminue l'INTENSITÉ, donc le son devient plus faible, mais sa fréquence est imposée par la source et ne change pas. Un son grave est un son de basse fréquence, ce qui est une tout autre affaire. Énoncé correct : en s'éloignant, le son devient moins fort mais reste à la même hauteur.

c) Faux : les décibels ne s'additionnent pas. Ce sont les intensités qui s'ajoutent, et un doublement d'intensité correspond à $+3\ \mathrm{dB}$. Énoncé correct : deux sources de $80\ \mathrm{dB}$ donnent $83\ \mathrm{dB}$.

d) Faux : la force d'un son est liée à son AMPLITUDE et à son intensité, sa hauteur est liée à sa fréquence. Ce sont deux caractéristiques indépendantes, on peut jouer une note aiguë doucement et une note grave très fort. Énoncé correct : un son plus fort a une plus grande amplitude.

e) Faux : le son est une onde mécanique, il a besoin d'un milieu matériel pour se propager, et l'espace est essentiellement vide. Aucun son ne traverse le vide, si faible soit-il. Les astronautes communiquent par ondes radio, qui sont électromagnétiques et se propagent parfaitement dans le vide. Énoncé correct : aucun son ne se propage dans l'espace.

a) $95-85=10\ \mathrm{dB}$ de plus. Chaque doublement d'intensité vaut $3\ \mathrm{dB}$, donc cela représente $\dfrac{10}{3}=3{,}33$ doublements.

b) La durée est divisée par $2$ à chaque doublement : $t=\dfrac{8{,}0}{2^{3{,}33}}=\dfrac{8{,}0}{10{,}1}=0{,}79\ \mathrm{h}$, soit environ $48\ \mathrm{min}$. On retrouve au passage la règle des $10\ \mathrm{dB}$ : dix décibels de plus, c'est dix fois plus d'énergie reçue par seconde, donc dix fois moins de temps disponible.

c) Il passe $2\times 25=50\ \mathrm{min}$ par jour dans le métro, contre $48\ \mathrm{min}$ tolérées. Il est donc tout juste à la limite, et la dépasse légèrement, sans compter le reste de sa journée sonore. Le résultat n'est pas alarmant en soi, mais il montre qu'une exposition quotidienne banale consomme déjà tout le budget.

d) $95-18=77\ \mathrm{dB}$. Le facteur de réduction de l'intensité vaut $10^{\frac{18}{10}}=63$, soit une intensité divisée par plus de soixante. À ce niveau, la durée tolérable dépasse la journée entière.

e) Le casque continue d'atténuer le bruit du tunnel, qui reste à $77\ \mathrm{dB}$, mais il ajoute désormais une source à $88\ \mathrm{dB}$ directement dans l'oreille. Le total est dominé par la musique : en repassant aux intensités, $10\,\log(10^{7{,}7}+10^{8{,}8})=88{,}3\ \mathrm{dB}$. L'usager est donc plus exposé qu'avant d'avoir mis le casque. Un casque à réduction de bruit protège tant qu'on ne s'en sert pas pour monter le volume, et c'est exactement l'usage qu'on en fait la plupart du temps.

a) Atténuation : $78-66=12\ \mathrm{dB}$. En intensité, cela correspond à un facteur $10^{\frac{12}{10}}=10^{1{,}2}=16$. Le mur ne laisse donc passer qu'un seizième de l'énergie sonore, ce qui est déjà considérable.

b) Passer de $50$ à $200\ \mathrm{m}$, c'est multiplier la distance par $4$, donc diviser l'intensité par $16$, donc retirer $10\,\log(16)=12{,}0\ \mathrm{dB}$. On mesurerait $78-12=66\ \mathrm{dB}$.

c) Les deux solutions donnent exactement le même niveau, $66\ \mathrm{dB}$ : le mur équivaut à s'éloigner quatre fois plus. Ce n'est pas un hasard de l'énoncé, c'est l'ordre de grandeur réel d'un bon mur antibruit, et c'est ce qui justifie son coût comparé à celui d'un déplacement d'habitations.

d) Non, on ne peut pas simplement retrancher $12$ une seconde fois. Le son ne franchit pas seulement le mur, il le CONTOURNE par le dessus, et cette part diffractée n'est pas réduite par un second mur placé derrière. Chaque décibel gagné coûte donc de plus en plus cher, et l'atténuation plafonne. C'est une propriété générale des protections : la première moitié du problème est bon marché, la dernière ne l'est jamais.

e) Parce que la diffraction est d'autant plus marquée que la longueur d'onde est grande. Les sons graves du grondement des camions, autour de $100\ \mathrm{Hz}$, ont une longueur d'onde de l'ordre de $3{,}4\ \mathrm{m}$, comparable à la hauteur du mur : ils le contournent facilement. Les sifflements aigus des pneus, autour de $3\,000\ \mathrm{Hz}$, n'ont que $11\ \mathrm{cm}$ de longueur d'onde et sont bien mieux arrêtés. C'est la même raison qui fait que l'on entend les basses de la fête du voisin à travers le mur, mais pas les paroles.

a) Du minimum au maximum, il y a $5{,}0$ divisions : l'amplitude correspond à la moitié, $2{,}5$ divisions. $U_{max}=2{,}5\times 20=50\ \mathrm{mV}$. Le piège est de prendre les $5{,}0$ divisions entières, ce qui double la tension.

b) Une période occupe $\dfrac{7{,}5}{3}=2{,}5$ divisions, donc $T=2{,}5\times 0{,}20=0{,}50\ \mathrm{ms}=5{,}0\times 10^{-4}\ \mathrm{s}$. Puis $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{5{,}0\times 10^{-4}}=2{,}0\times 10^{3}\ \mathrm{Hz}$.

c) La tension crête à crête vaut $5{,}0\times 20=100\ \mathrm{mV}$, soit $\dfrac{100}{50}=2{,}0$ divisions avec le nouveau réglage. Le signal paraît plus petit, mais le son n'a pas changé : on a seulement changé l'échelle de l'écran.

d) Même période, donc même fréquence : les deux sons ont la même HAUTEUR. Le second a une amplitude de $2{,}0\times 20=40\ \mathrm{mV}$, plus petite que $50\ \mathrm{mV}$ : il est moins fort.

e) $T=\dfrac{1}{500}=2{,}0\times 10^{-3}\ \mathrm{s}=2{,}0\ \mathrm{ms}$. L'écran couvre $10\times 0{,}20=2{,}0\ \mathrm{ms}$ : on voit exactement une période.

Méthode à retenir : on compte des divisions, on multiplie par le réglage de l'axe, et l'on mesure sur plusieurs périodes pour limiter l'erreur de lecture.

a) Éléphant, $14\ \mathrm{Hz}<20\ \mathrm{Hz}$ : infrason. Voix, $200\ \mathrm{Hz}$ : son audible. Sifflet, $25\ \mathrm{kHz}>20\ \mathrm{kHz}$ : ultrason. Chauve-souris, $50\ \mathrm{kHz}$ : ultrason.

b) $T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{50\times 10^{3}}=2{,}0\times 10^{-5}\ \mathrm{s}$, soit $20$ microsecondes.

c) $\lambda=\dfrac{v}{f}$ : $\dfrac{340}{20}=17\ \mathrm{m}$ pour le son le plus grave, $\dfrac{340}{20\,000}=1{,}7\times 10^{-2}\ \mathrm{m}=1{,}7\ \mathrm{cm}$ pour le plus aigu. Les sons audibles ont des longueurs d'onde allant du centimètre à la taille d'un immeuble.

d) $\lambda=\dfrac{340}{50\times 10^{3}}=6{,}8\times 10^{-3}\ \mathrm{m}$, soit $6{,}8\ \mathrm{mm}$, de l'ordre de la taille d'un insecte. Un son de $200\ \mathrm{Hz}$ aurait une longueur d'onde de $1{,}7\ \mathrm{m}$ : il contournerait l'insecte presque sans être renvoyé, comme la houle contourne un piquet. Pour repérer un petit objet par écho, il faut une longueur d'onde du même ordre que lui ou plus petite.

e) La fréquence du sifflet, $25\ \mathrm{kHz}$, est au-dessus du seuil de l'oreille humaine, mais en dessous de celui du chien, qui perçoit des sons jusqu'à plusieurs dizaines de kilohertz. Le domaine audible n'est pas le même pour toutes les espèces.

Le fil de l'exercice : la fréquence classe un son, et la longueur d'onde dit la taille des objets avec lesquels il interagit.

a) $2\times 440=880\ \mathrm{Hz}$ et $2\times 880=1760\ \mathrm{Hz}$. Monter de deux octaves multiplie par $2\times 2=4$, pas par $2+2$.

b) $\dfrac{440}{27{,}5}=16=2^{4}$ : quatre octaves séparent les deux notes. Chaque octave double la fréquence, donc on compte combien de fois il faut doubler.

c) $440\times\dfrac{3}{2}=660\ \mathrm{Hz}$, un mi.

d) Les harmoniques de $220\ \mathrm{Hz}$ sont $440$, $660$, $880\ \mathrm{Hz}$... La fréquence $660\ \mathrm{Hz}$ est l'harmonique de rang $3$, puisque $660=3\times 220$. C'est l'une des raisons pour lesquelles la quinte sonne juste avec la note de départ : elles partagent des harmoniques.

e) $2^{\frac{1}{12}}\approx 1{,}0595$, et $440\times 1{,}0595\approx 466\ \mathrm{Hz}$ : c'est le la dièse. Douze demi-tons successifs multiplient bien par $\left(2^{\frac{1}{12}}\right)^{12}=2$, une octave.

Méthode à retenir : les intervalles musicaux sont des RAPPORTS de fréquences, ils se multiplient et ne s'additionnent pas.

a) $L=60+10\,\log 10=60+10=70\ \mathrm{dB}$. Dix fois plus d'intensité, et seulement $10\ \mathrm{dB}$ de plus.

b) $L=60+10\,\log 100=60+20=80\ \mathrm{dB}$.

c) $60+10\,\log N=85$ donne $\log N=2{,}5$, donc $N=10^{2{,}5}\approx 316$ élèves. L'erreur serait de raisonner comme si les décibels s'additionnaient et de répondre moins de deux élèves.

d) Diviser l'intensité par $4$ retire $10\,\log 4\approx 6\ \mathrm{dB}$ : $80-6=74\ \mathrm{dB}$.

e) Doubler l'intensité de chaque source ajoute $10\,\log 2\approx 3\ \mathrm{dB}$ : $80+3=83\ \mathrm{dB}$. Chacun parle plus fort pour couvrir le bruit des autres, ce qui augmente le bruit, et pousse chacun à parler encore plus fort : c'est un emballement, que les panneaux absorbants aident à casser.

Le fil du problème : on raisonne sur les intensités, qui s'additionnent et se multiplient, puis on revient aux décibels avec le logarithme.

a) À $4000\ \mathrm{Hz}$, avec $45\ \mathrm{dB}$ de perte : ce sont des sons aigus. C'est la signature typique d'une exposition prolongée à des niveaux sonores élevés.

b) $45\ \mathrm{dB}$ correspondent à un facteur $10^{\frac{45}{10}}=10^{4{,}5}\approx 3{,}2\times 10^{4}$ : il faut un son plus de trente mille fois plus intense.

c) $45\ \mathrm{dB}$ est compris entre $40$ et $70\ \mathrm{dB}$ : la perte est moyenne à cette fréquence, légère aux autres.

d) Non : les consonnes arrivent à $40\ \mathrm{dB}$, soit $5\ \mathrm{dB}$ SOUS le seuil du musicien. Il entend les voyelles, plus graves, mais pas ces consonnes : il perçoit qu'on lui parle sans bien comprendre les mots, surtout dans le bruit.

e) Les consonnes arrivent à $40+30=70\ \mathrm{dB}$, soit $70-45=25\ \mathrm{dB}$ au-dessus de son seuil : elles redeviennent audibles. L'intensité est multipliée par $10^{\frac{30}{10}}=10^{3}=1000$.

Le fil du problème : un écart en décibels se convertit en facteur d'intensité par $10^{\frac{L}{10}}$ ; l'audition se juge fréquence par fréquence.