Examen blanc corrigé : méthodes quantitatives (360-300)

a) Première dimension, la présence : le taux d'assiduité aux cours, en pourcentage, variable DE RAPPORT. Deuxième dimension, l'investissement dans le travail : le nombre d'heures d'étude hebdomadaires déclarées, également de rapport. Troisième dimension, l'appartenance : un score d'échelle de Likert à quatre énoncés, traité comme une variable d'INTERVALLE par convention alors que chaque énoncé pris seul est ordinal. Les trois ne se recouvrent pas : un étudiant assidu peut ne se sentir attaché à rien.

b) Sur une échelle de 1 à 5, la formule d'inversion est $x'=\left(\min+\max\right)-x=6-x$, donc une réponse de 4 devient 2. Sans inversion, on additionnerait un indicateur de désengagement à des indicateurs d'engagement, ce qui reviendrait à soustraire au lieu d'ajouter.

c) Rien du tout comme moyenne. Le programme est une variable qualitative NOMINALE : les codes 1, 2 et 3 sont des étiquettes, leur ordre est arbitraire et permuter deux programmes changerait la moyenne sans que rien n'ait changé dans les données. Les résumés licites sont le MODE et la répartition en pourcentages.

d) Non. Le degré Celsius est une échelle d'INTERVALLE, dont le zéro est conventionnel : les rapports n'y ont pas de sens. En kelvins, échelle de rapport, $\dfrac{24+273{,}15}{12+273{,}15}=\dfrac{297{,}15}{285{,}15}\approx 1{,}042$, soit 4,2 % de plus et non le double. Un rapport qui change avec l'unité n'est pas une propriété du monde. La DIFFÉRENCE, elle, vaut 12 degrés dans les deux systèmes.

e) La corrélation test-retest mesure la FIDÉLITÉ, précisément la stabilité temporelle. Elle ne dit rien de la VALIDITÉ : un instrument qui mesurerait en réalité l'optimisme général, et non l'engagement scolaire, serait tout aussi stable. Un instrument fidèle et invalide est le cas le plus dangereux, parce que la constance des résultats donne l'illusion de la rigueur.

a) $n=\dfrac{1{,}96^{2}\times 0{,}25}{0{,}035^{2}}=\dfrac{0{,}9604}{0{,}001225}\approx 784$ répondants. On prend $p=0{,}5$ faute d'information préalable, parce que $p(1-p)$ y est maximale et que la taille obtenue garantit alors la marge quelle que soit la vraie proportion.

b) $n_{c}=\dfrac{784}{1+\dfrac{783}{5\,400}}=\dfrac{784}{1{,}14500}\approx 685$ répondants. L'échantillon représentant plus de 12 % de la population, la correction est légitime et fait économiser une centaine de questionnaires.

c) Allocation proportionnelle sur 685 : $0{,}55\times 685\approx 377$, $0{,}32\times 685\approx 219$ et $0{,}13\times 685\approx 89$. La somme fait bien 685, et cette vérification doit être faite systématiquement, car un arrondi mal placé y échappe facilement.

d) $\dfrac{685}{0{,}28}\approx 2\,447$ invitations. Sur 5 400 étudiants, cela signifie solliciter environ 45 % de la population, ce qui est réalisable en ligne mais impose de prévoir deux relances, sans lesquelles le taux de 28 % ne sera pas atteint.

e) Non. Une marge de 8 points sur une proportion exige $\dfrac{0{,}9604}{0{,}0064}\approx 150$ répondants dans le seul troisième secteur, or l'allocation proportionnelle ne lui en donne que 89, ce qui produirait une marge de $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}25}{89}}\approx 0{,}1039$, soit 10,4 points. Deux solutions : SURÉCHANTILLONNER ce secteur en lui allouant 150 questionnaires puis repondérer à l'analyse, ou porter l'échantillon total à environ $\dfrac{150}{0{,}13}\approx 1\,154$ répondants. La première est nettement moins coûteuse.

a) Total : $28+38+26+16+18+12=138$. Densités, effectif divisé par amplitude : $\dfrac{28}{4}=7{,}0$; $\dfrac{38}{4}=9{,}5$; $\dfrac{26}{4}=6{,}5$; $\dfrac{16}{4}=4{,}0$; $\dfrac{18}{8}=2{,}25$; $\dfrac{12}{16}=0{,}75$ étudiant par heure.

b) La classe la plus DENSE est $\left[4\ ;\ 8\right[$, avec 9,5. Sur un histogramme à hauteur d'effectif, la classe $\left[16\ ;\ 24\right[$ paraîtrait comparable à $\left[12\ ;\ 16\right[$ avec 18 contre 16, alors qu'elle est deux fois moins dense, et surtout la dernière classe, deux fois plus large encore, occuperait une surface trompeuse. C'est la raison pour laquelle la hauteur doit valoir la densité dès que les amplitudes diffèrent.

c) Centres : 2, 6, 10, 14, 20 et 32. Somme pondérée : $2(28)+6(38)+10(26)+14(16)+20(18)+32(12)=56+228+260+224+360+384=1\,512$. Moyenne : $\dfrac{1512}{138}\approx 10{,}96$ heures. Le calcul suppose une répartition uniforme dans chaque classe, hypothèse fragile pour la dernière, très large.

d) Effectifs cumulés : 28, 66, 92, 108, 126, 138. La 69e observation, milieu de 138, tombe dans la classe $\left[8\ ;\ 12\right[$, où le cumul passe de 66 à 92. Interpolation : $8+\dfrac{69-66}{26}\times 4=8+0{,}46\approx 8{,}46$ heures.

e) La moyenne, 10,96, dépasse nettement la médiane, 8,46 : la distribution est ÉTIRÉE VERS LA DROITE. La longue queue des gros bénévoles tire la moyenne vers le haut sans déplacer la médiane, forme habituelle de toute variable bornée à zéro et sans limite supérieure. Le résumé honnête d'un tel profil est la médiane, éventuellement accompagnée des quartiles.

a) $z=\dfrac{79-68}{8}=1{,}375$. Cote R : $\left(1{,}375\times 0{,}95+0{,}7\right)\times 5+25=\left(1{,}30625+0{,}7\right)\times 5+25=2{,}00625\times 5+25\approx 35{,}03$. C'est une très bonne cote, du niveau exigé par les programmes les plus contingentés.

b) Une cote Z de 1,375 laisse environ 91,5 % de la distribution en dessous, valeur lue dans la table de la loi normale entre les repères connus $z=1$ vers le rang 84 et $z=1{,}5$ vers le rang 93. Le rang centile est donc d'environ 91 ou 92 : l'étudiant dépasse à peu près neuf camarades sur dix.

c) $z=\dfrac{79-74}{8}=0{,}625$, donc $CRC=\left(0{,}625+1{,}2\right)\times 5+25=1{,}825\times 5+25=34{,}125$. La même note dans un groupe plus fort donne une cote presque identique, 34,1 contre 35,0 : la cote Z chute de 1,375 à 0,625, soit 0,75 point de Z, mais l'IFG remonte de 0,5, ce qui compense les deux tiers de la perte. C'est exactement le rôle de l'indicateur de force du groupe.

d) Somme des unités : $2+2+2{,}33+1=7{,}33$. Somme pondérée : $2(32{,}9)+2(28{,}0)+2{,}33(30{,}5)+1(25{,}0)=65{,}8+56{,}0+71{,}065+25{,}0=217{,}865$. Dossier : $\dfrac{217{,}865}{7{,}33}\approx 29{,}72$. Une moyenne simple des quatre cotes donnerait 29,10 : la pondération par les unités déplace le résultat de plus d'un demi-point, ce qui est loin d'être négligeable dans un programme contingenté.

e) La cote R est une échelle d'INTERVALLE, construite par la transformation affine $5z+25$ dont le zéro est purement conventionnel : les rapports n'y ont aucun sens. La différence, elle, est interprétable : 32 et 16 sont séparés de 16 points, soit $\dfrac{16}{5}=3{,}2$ écarts-types, ce qui est un écart considérable et suffit à décrire la situation sans employer le mot « fois ».

a) Indice des frais : $\dfrac{1\,894}{1\,480}\times 100\approx 128{,}0$. Indice de l'aide : $\dfrac{2\,491}{2\,350}\times 100\approx 106{,}0$. Les deux séries partant de 100, la comparaison devient immédiate alors que les dollars bruts, 1 894 et 2 491, ne se comparent pas.

b) Rapport des indices : $\dfrac{128{,}0}{114{,}0}\approx 1{,}123$. Les frais ont donc augmenté environ 12 % plus vite que le niveau général des prix : en dollars constants, ils ont réellement crû de 12,3 %. C'est ce quotient qui a un sens, et non la différence 128 moins 114, qui donnerait des « points d'indice » dépendant de la base choisie.

c) $1\,894\times \dfrac{100}{114}\approx 1\,661{,}40$ dollars de la première année, contre 1 480 réellement payés alors. La hausse réelle est donc de $\dfrac{1661{,}40-1480}{1480}\approx 12{,}3\%$, ce qui confirme le calcul précédent par une autre route.

d) $\left(1+t\right)^{5}=\dfrac{1894}{1480}=1{,}27973$, donc $1+t=1{,}27973^{1/5}\approx 1{,}05055$ et $t\approx 5{,}06\%$ par an. Attention à l'exposant : six valeurs annuelles ne représentent que CINQ intervalles de variation, et prendre 6 donnerait 4,2 %, une erreur classique.

e) Non. Pour suivre l'inflation, l'aide aurait dû atteindre $2\,350\times 1{,}14=2\,679$ dollars, alors qu'elle n'atteint que 2 491 : il manque 188 dollars, soit 7,0 % du montant requis. En dollars constants, l'aide a donc BAISSÉ de $\dfrac{1{,}060}{1{,}140}\approx 0{,}930$, soit 7,0 %, pendant que les frais réels montaient de 12,3 %. L'écart cumulé de pouvoir d'achat sur ce poste dépasse ainsi 19 points en six ans.

a) Taux de réussite : $\dfrac{117}{150}=78{,}0\%$, $\dfrac{114}{160}=71{,}25\%$ et $\dfrac{47}{90}\approx 52{,}2\%$. La tendance est monotone et forte : 26 points séparent les deux extrêmes, et le décrochement principal se produit au passage à 15 heures. On pourcentage en ligne parce que les heures de travail sont la variable indépendante.

b) Effectifs théoriques : $\dfrac{150\times 278}{400}=104{,}25$ et $\dfrac{150\times 122}{400}=45{,}75$; $\dfrac{160\times 278}{400}=111{,}2$ et $\dfrac{160\times 122}{400}=48{,}8$; $\dfrac{90\times 278}{400}=62{,}55$ et $\dfrac{90\times 122}{400}=27{,}45$. Toutes dépassent largement 5, les observations sont indépendantes et le calcul porte sur des effectifs : les trois conditions sont satisfaites.

c) Contributions : $\dfrac{\left(117-104{,}25\right)^{2}}{104{,}25}=\dfrac{162{,}5625}{104{,}25}\approx 1{,}559$; $\dfrac{162{,}5625}{45{,}75}\approx 3{,}553$; $\dfrac{\left(114-111{,}2\right)^{2}}{111{,}2}=\dfrac{7{,}84}{111{,}2}\approx 0{,}0705$; $\dfrac{7{,}84}{48{,}8}\approx 0{,}1607$; $\dfrac{\left(47-62{,}55\right)^{2}}{62{,}55}=\dfrac{241{,}8025}{62{,}55}\approx 3{,}866$; $\dfrac{241{,}8025}{27{,}45}\approx 8{,}809$. Total : $\chi^{2}\approx 18{,}02$, avec $ddl=2$. Comme $18{,}02>13{,}816$, on rejette l'indépendance avec une valeur p inférieure à 0,001.

d) La case « 15 h et plus, échoue au moins un cours » contribue pour 8,809, soit $\dfrac{8{,}809}{18{,}02}\approx 48{,}9\%$ du total. Avec sa voisine de ligne, le profil des gros travailleurs explique environ 70 % de l'écart à l'indépendance : c'est là, et nulle part ailleurs, que se joue l'association.

e) $V=\sqrt{\dfrac{18{,}02}{400\times 1}}=\sqrt{0{,}045}\approx 0{,}212$, association MODÉRÉE. Conclusion : « Le taux de réussite de tous les cours passe de 78,0 % chez les étudiants sans emploi à 52,2 % chez ceux qui travaillent 15 heures et plus. L'association est significative, $\chi^{2}=18{,}0$ à 2 degrés de liberté, p inférieur à 0,001, et d'intensité modérée, $V=0{,}21$; le devis étant transversal, il n'établit aucun lien de cause à effet. »

a) $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}55\times 0{,}45}{900}}=1{,}96\sqrt{0{,}000275}=1{,}96\times 0{,}016583\approx 0{,}0325$, soit 3,25 points. Intervalle : $\left[51{,}75\%\ ;\ 58{,}25\%\right]$. La borne inférieure dépasse 50 %, donc la majorité est acquise au seuil de 95 %, avec une marge d'environ 1,75 point au-dessus de la barre.

b) $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}62\times 0{,}38}{150}}=1{,}96\sqrt{0{,}0015707}=1{,}96\times 0{,}039632\approx 0{,}0777$, soit 7,8 points, soit près de deux fois et demie la marge globale. L'intervalle du sous-groupe va de 54,2 % à 69,8 % : le OUI y est majoritaire, mais son avance exacte reste très imprécise.

c) Variance de l'écart : $\dfrac{0{,}55\times 0{,}45+0{,}45\times 0{,}55+2\times 0{,}55\times 0{,}45}{900}=\dfrac{0{,}2475+0{,}2475+0{,}495}{900}=\dfrac{0{,}99}{900}=0{,}0011$. Marge : $1{,}96\sqrt{0{,}0011}=1{,}96\times 0{,}033166\approx 0{,}065$, soit 6,5 points. L'écart observé de 10 points le dépasse largement : l'avance du OUI est bien établie. On remarque que la marge sur l'écart vaut exactement le double de la marge simple, ce qui est le cas limite de deux proportions complémentaires.

d) Variance de la différence entre deux échantillons indépendants : $\dfrac{0{,}49\times 0{,}51}{900}+\dfrac{0{,}55\times 0{,}45}{900}=0{,}00027767+0{,}000275=0{,}00055267$. Marge : $1{,}96\times 0{,}023509\approx 0{,}0461$, soit 4,6 points. La progression observée vaut 6 points, donc l'intervalle va de $+1{,}4$ à $+10{,}6$ : il ne contient pas zéro, la progression est établie. Le simple examen des deux intervalles individuels, qui se recouvrent, aurait conduit à la conclusion inverse.

e) $\sqrt{\dfrac{5\,400-900}{5\,400-1}}=\sqrt{\dfrac{4500}{5399}}\approx 0{,}91296$, donc $E_{c}=0{,}0325\times 0{,}91293\approx 0{,}02967$, soit 2,97 points. L'échantillon représentant un sixième de la population, la correction fait gagner près de trois dixièmes de point, ce qui renforce encore la conclusion de la question a).

a) C'est un devis PRÉ-EXPÉRIMENTAL avant-après sans groupe témoin, le plus faible de tous. Sa menace principale est la RÉGRESSION VERS LA MOYENNE : le groupe a été sélectionné sur une performance extrême, donc une part de son mauvais résultat tient à des circonstances passagères qui ne se répéteront pas. S'y ajoutent la maturation et le testage, qui jouent dans le même sens.

b) $z_{1}=\dfrac{52-70}{12}=-1{,}5$. Prédiction : $z_{2}=0{,}65\times \left(-1{,}5\right)=-0{,}975$, donc une note de $70+\left(-0{,}975\right)\times 12=70-11{,}7=58{,}3$. Le groupe devrait donc remonter de 6,3 points sans qu'on fasse quoi que ce soit.

c) Le groupe obtient 62, soit 10 points de plus qu'au premier examen, mais seulement $62-58{,}3=3{,}7$ points de plus que ce que la seule régression vers la moyenne prédisait. On ne peut donc RIEN conclure de solide : 3,7 points sur 40 étudiants, sans groupe témoin, sans mesure de l'incertitude, ne distinguent pas un effet réel d'une fluctuation. Le chiffre brut de 10 points, lui, surestime l'effet d'un facteur de près de trois.

d) Il faudrait une EXPÉRIENCE À LISTE D'ATTENTE : parmi les 80 étudiants les plus faibles, on en tire 40 au sort pour l'atelier immédiat, les 40 autres l'ayant à la session suivante. Les deux groupes sont alors sélectionnés sur le même critère, donc soumis à la même régression vers la moyenne, et la différence entre eux mesure l'effet propre de l'atelier. Cela exige que l'établissement accepte de retarder le service pour la moitié des étudiants, et que les deux groupes ne se contaminent pas.

e) Erreur type de la différence : $\sqrt{\dfrac{121}{40}+\dfrac{121}{40}}=\sqrt{3{,}025+3{,}025}=\sqrt{6{,}05}\approx 2{,}4597$. Marge : $1{,}96\times 2{,}4597\approx 4{,}82$ points. L'écart observé vaut $63{,}5-60{,}2=3{,}3$ points, inférieur à la marge : l'intervalle, de $-1{,}52$ à $+8{,}12$, contient zéro et l'effet n'est pas significatif. Taille d'effet : $d=\dfrac{3{,}3}{11}=0{,}30$, soit un petit effet. La conclusion honnête est que l'atelier produit peut-être un effet petit à modéré, mais que 40 étudiants par groupe ne suffisent pas à le démontrer : il faudrait environ 175 étudiants par groupe pour détecter un $d$ de 0,30 avec une puissance de 80 %, puisque $n=\dfrac{2\left(1{,}96+0{,}84\right)^{2}}{0{,}30^{2}}\approx 174$.

1) FAUX. Le khi-deux mesure la SIGNIFICATIVITÉ, pas l'intensité : il est proportionnel à la taille de l'échantillon à structure constante. Ici, $V=\sqrt{\dfrac{18{,}0}{400}}\approx 0{,}21$, une association modérée. Énoncé correct : l'association est significative, p inférieur à 0,001, et d'intensité modérée, $V=0{,}21$.

2) FAUX. La marge de 3,25 points est celle de l'échantillon complet de 900 répondants. Sur 150 répondants, la marge vaut $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}62\times 0{,}38}{150}}\approx 7{,}8$ points. Énoncé correct : chez les 150 étudiants du secteur technique, le OUI est estimé à 62 %, plus ou moins 7,8 points.

3) FAUX. Les variations relatives ne se soustraient pas, elles se divisent : $\dfrac{1{,}28}{1{,}14}\approx 1{,}123$, soit une hausse réelle de 12,3 % et non de 14 %. L'écart, ici de 1,7 point, grandit avec l'ampleur des variations. Énoncé correct : en dollars constants, les frais ont augmenté d'environ 12,3 %.

4) FAUX. Le groupe ayant été sélectionné sur une performance extrême, la régression vers la moyenne prédit à elle seule un gain de 6,3 points. Le gain net n'est que de 3,7 points, mesuré sans groupe témoin ni incertitude. Énoncé correct : le groupe a gagné 10 points, dont environ 6,3 attribuables à la seule régression vers la moyenne; conclure exigerait un groupe témoin sélectionné selon le même critère.

5) FAUX, l'effectif ne se compare pas directement quand les amplitudes diffèrent. La classe de 16 à 24 heures, large de 8, a une densité de $\dfrac{30}{8}=3{,}75$ étudiants par heure, contre $\dfrac{16}{4}=4{,}0$ pour la classe de 12 à 16. La seconde est donc MOINS nombreuse et plus DENSE. Énoncé correct : la première classe compte davantage d'étudiants parce qu'elle est deux fois plus large; à largeur égale, elle en compte moins.

a) C'est un devis QUASI EXPÉRIMENTAL à participation volontaire, et sa menace principale est le BIAIS DE SÉLECTION. Les étudiants qui s'inscrivent à un accompagnement diffèrent des autres par la motivation, la conscience de leurs difficultés et la disponibilité, toutes liées à la réussite. L'écart de 13 points mélange l'effet du programme et l'effet de ces caractéristiques, et aucun test statistique ne peut les séparer.

b) $V=\sqrt{\dfrac{8{,}9}{620\times 1}}=\sqrt{0{,}014355}\approx 0{,}120$. L'association est donc FAIBLE, tout juste au-dessus du seuil de négligeabilité, alors que le rapport la présente comme une démonstration. C'est le contraste habituel entre une valeur p spectaculaire et une intensité modeste, rendu possible par un échantillon de 620 personnes.

c) Le sondage n'interroge que les PARTICIPANTS, c'est-à-dire les seuls qui sont restés dans le programme : ceux qui l'ont quitté, précisément ceux à qui il ne convenait pas, ne sont pas dans la base. S'y ajoute la non-réponse à l'intérieur même des participants, elle aussi sélective. Il faudrait connaître le taux de réponse, le nombre d'inscrits initiaux et le nombre d'abandons : un taux de 91 % calculé sur 40 % des inscrits restants ne décrit qu'une minorité satisfaite, et ne dit rien du programme.

d) Parce que le nombre de participants mesure la POPULARITÉ du programme et non son efficacité. Un programme peut doubler sa fréquentation parce qu'il est mieux annoncé, parce que les difficultés augmentent, ou parce qu'il est devenu obligatoire pour certains dossiers. Pire, la phrase suggère une croissance à porter au crédit du programme alors qu'une fréquentation en hausse et une réussite stable seraient un mauvais signe. Le chiffre est vrai, il est simplement sans rapport avec la question posée.

e) « Sur 620 étudiants, le taux de réussite des participants au programme atteint 74 %, contre 61 % chez les non-participants, soit 13 points d'écart. L'association est statistiquement significative, $\chi^{2}=8{,}9$; $ddl=1$; $p=0{,}003$, mais d'intensité faible, $V=0{,}12$. La participation étant volontaire, cet écart mesure à la fois l'effet du programme et les différences préexistantes entre ceux qui s'y inscrivent et les autres; il ne peut donc pas être attribué au programme. Nous proposons, pour la prochaine session, une assignation aléatoire par liste d'attente parmi les demandeurs, seul dispositif qui permettra de mesurer l'effet propre du programme. »