Exercices corrigés : tableaux croisés, khi-deux et association (360-300)

a) Pourcentage du TOTAL : $\dfrac{21}{300}=7{,}0\%$, qui répond à « quelle part de tous les répondants travaille beaucoup ET a abandonné ». Pourcentage EN LIGNE : $\dfrac{21}{60}=35{,}0\%$, qui répond à « parmi ceux qui travaillent 21 heures et plus, quelle part a abandonné ». Pourcentage EN COLONNE : $\dfrac{21}{63}\approx 33{,}3\%$, qui répond à « parmi ceux qui ont abandonné, quelle part travaillait beaucoup ». Trois nombres, trois questions, et une seule des trois est celle de l'enquête.

b) Pourcentages en ligne d'abandon : $\dfrac{18}{120}=15{,}0\%$, $\dfrac{24}{120}=20{,}0\%$, $\dfrac{21}{60}=35{,}0\%$. Ils montrent que la part d'abandons croît régulièrement avec les heures travaillées, et qu'elle plus que double entre le premier et le dernier profil. C'est exactement la lecture que le graphique en colonnes ramenées à 100 % rend visible d'un coup d'oeil.

c) Il faut calculer les pourcentages DANS LE SENS de la variable indépendante, ici les heures de travail, donc en ligne. La règle générale est simple et se retient : on pourcentage à l'intérieur des catégories de la variable INDÉPENDANTE, et on compare ces pourcentages d'une catégorie à l'autre. Ainsi chaque groupe est ramené à une base de 100, ce qui neutralise le fait que les trois profils n'ont pas le même effectif, 120, 120 et 60.

d) Pourcentages en colonne : $\dfrac{18}{63}\approx 28{,}6\%$, $\dfrac{24}{63}\approx 38{,}1\%$, $\dfrac{21}{63}\approx 33{,}3\%$. Ils décrivent la COMPOSITION du groupe des décrocheurs, et ils dépendent autant de la taille de chaque profil dans l'échantillon que du lien étudié. Le profil « 21 h et plus » n'y apparaît pas particulièrement inquiétant, 33,3 %, alors qu'il est de loin le plus à risque, simplement parce qu'il ne compte que 60 personnes. Lire un tableau dans le mauvais sens est l'erreur la plus fréquente de la session, et elle inverse régulièrement la conclusion.

e) Il faut lui répondre que le tableau établit une ASSOCIATION, pas une causalité. Trois objections tiennent debout avec ces seules données. La causalité peut être inverse : un étudiant en difficulté réduit sa charge de cours et prend un emploi, l'abandon précédant alors le travail. Une variable confondante peut expliquer les deux : la situation financière du ménage pousse à travailler et rend les études plus fragiles. Enfin, l'échantillon n'est pas expérimental, personne n'a été assigné au hasard à 21 heures de travail. Ce que le tableau autorise à dire, c'est que les gros travailleurs abandonnent plus souvent, et que cela mérite d'être expliqué.

a) Sous l'indépendance, la part d'abandons serait la MÊME dans les trois profils, et elle vaudrait la part d'ensemble : $\dfrac{63}{300}=21{,}0\%$. C'est la définition même de l'indépendance entre deux variables : connaître le nombre d'heures travaillées n'apporterait aucune information sur la probabilité d'abandonner.

b) Effectif théorique : $T_{ij}=\dfrac{\text{total de la ligne }i\times \text{total de la colonne }j}{n}$. Ligne « 0 à 10 h » : $\dfrac{120\times 63}{300}=25{,}2$ et $\dfrac{120\times 237}{300}=94{,}8$. Ligne « 11 à 20 h » : les mêmes, 25,2 et 94,8, puisque le total de ligne est identique. Ligne « 21 h et plus » : $\dfrac{60\times 63}{300}=12{,}6$ et $\dfrac{60\times 237}{300}=47{,}4$. Les effectifs théoriques sont décimaux, et il ne faut surtout pas les arrondir : ce sont des espérances, pas des comptages.

c) Totaux de ligne : $25{,}2+94{,}8=120$, $25{,}2+94{,}8=120$, $12{,}6+47{,}4=60$. Totaux de colonne : $25{,}2+25{,}2+12{,}6=63$ et $94{,}8+94{,}8+47{,}4=237$. Grand total : 300. Cette vérification est le meilleur contrôle d'erreur du chapitre, et elle est immédiate : par construction, le tableau théorique a exactement les mêmes marges que le tableau observé, seule la répartition interne change.

d) Écarts $O-T$ : $18-25{,}2=-7{,}2$; $102-94{,}8=+7{,}2$; $24-25{,}2=-1{,}2$; $96-94{,}8=+1{,}2$; $21-12{,}6=+8{,}4$; $39-47{,}4=-8{,}4$. Leur somme vaut zéro, et par ligne aussi. C'est inévitable puisque les deux tableaux ont les mêmes marges : ce qui manque dans une case se retrouve nécessairement dans une autre de la même ligne. Cette propriété est la raison pour laquelle on ÉLÈVE AU CARRÉ les écarts avant de les additionner, faute de quoi la somme serait toujours nulle et ne mesurerait rien.

e) En valeur ABSOLUE, c'est le profil « 21 h et plus » avec 8,4 d'écart, contre 7,2 pour le premier profil. En valeur RELATIVE, l'écart est bien plus net encore : $\dfrac{8{,}4}{12{,}6}=66{,}7\%$ d'abandons de plus qu'attendu, contre $\dfrac{7{,}2}{25{,}2}=28{,}6\%$ de moins qu'attendu pour le premier profil. C'est exactement ce que le khi-deux formalise en divisant le carré de l'écart par l'effectif théorique : un écart de 8,4 sur une case qui n'en attendait que 12,6 pèse beaucoup plus lourd que le même écart sur une case qui en attendait 95.

a) Hypothèse NULLE : les heures de travail rémunéré et l'abandon sont INDÉPENDANTS dans la population, c'est-à-dire que la part d'abandons est la même quel que soit le profil. Hypothèse ALTERNATIVE : les deux variables ne sont pas indépendantes. Deux remarques comptent pour la suite : l'hypothèse nulle est celle que l'on cherche à réfuter, et l'alternative ne dit rien du SENS du lien, ce qui est une limite du khi-deux.

b) Contributions $\dfrac{\left(O-T\right)^{2}}{T}$ : $\dfrac{\left(-7{,}2\right)^{2}}{25{,}2}=\dfrac{51{,}84}{25{,}2}\approx 2{,}057$; $\dfrac{51{,}84}{94{,}8}\approx 0{,}547$; $\dfrac{1{,}44}{25{,}2}\approx 0{,}057$; $\dfrac{1{,}44}{94{,}8}\approx 0{,}015$; $\dfrac{70{,}56}{12{,}6}=5{,}600$; $\dfrac{70{,}56}{47{,}4}\approx 1{,}489$. Total : $\chi^{2}\approx 9{,}765$.

c) $ddl=\left(3-1\right)\left(2-1\right)=2$. La valeur critique à 5 % vaut 5,991. Comme $9{,}765>5{,}991$, on REJETTE l'hypothèse d'indépendance : l'association observée entre heures de travail et abandon est statistiquement significative au seuil de 5 %. On peut préciser davantage : la valeur dépasse aussi le seuil de 1 %, qui vaut 9,210, mais non celui de 0,1 %, qui vaut 13,816. La valeur p se situe donc entre 0,001 et 0,01.

d) La case « 21 h et plus, a abandonné » contribue pour 5,600, soit $\dfrac{5{,}600}{9{,}765}\approx 57{,}3\%$ du khi-deux total. En y ajoutant sa voisine de ligne, 1,489, le profil des gros travailleurs explique à lui seul plus de 72 % de l'écart à l'indépendance. C'est une lecture essentielle et souvent négligée : le khi-deux global dit qu'il y a un lien, la table des contributions dit OÙ il est, et ici il est entièrement concentré sur le troisième profil.

e) Non. Le rejet dit que l'écart observé est trop grand pour être attribué au seul hasard de l'échantillonnage; il ne dit rien de l'INTENSITÉ du lien. La preuve en est que le khi-deux croît proportionnellement à la taille de l'échantillon à structure identique : n'importe quel écart, si minuscule soit-il, devient significatif avec assez de répondants. Il faut donc calculer en plus une mesure d'ASSOCIATION normalisée, le V de Cramér ou le coefficient de contingence, qui ne dépend pas de $n$.

a) Première condition, l'INDÉPENDANCE des observations : chaque individu n'apparaît que dans une case, ce qui interdit les questions à choix multiples et les mesures répétées sur les mêmes personnes. Deuxième condition, tous les effectifs théoriques doivent être SUPÉRIEURS À 5, ou plus souplement, au plus 20 % des cases peuvent avoir un effectif théorique entre 1 et 5, et aucune ne doit descendre sous 1. Troisième condition, le test porte sur des EFFECTIFS, jamais sur des pourcentages : calculer un khi-deux sur un tableau de pourcentages revient à faire comme si l'échantillon comptait exactement 100 personnes.

b) Total d'« Arts et lettres » : $8+11+4+2=25$. Totaux de colonne : $38+22+8=68$; $52+31+11=94$; $14+9+4=27$; $6+3+2=11$. Grand total : 200. Effectifs théoriques de la ligne : $\dfrac{25\times 68}{200}=8{,}5$; $\dfrac{25\times 94}{200}=11{,}75$; $\dfrac{25\times 27}{200}=3{,}375$; $\dfrac{25\times 11}{200}=1{,}375$. Deux cases sur quatre tombent sous 5, et sur les douze cases du tableau, les trois cases inférieures à 5 représentent 25 % du total, ce qui dépasse la tolérance de 20 %. Le test n'est donc pas applicable en l'état.

c) On regroupe les deux modalités extrêmes de satisfaction en une seule, « peu satisfait ou insatisfait ». La ligne « Arts et lettres » a alors pour effectifs observés 8, 11 et 6, et pour effectifs théoriques 8,5; 11,75 et $\dfrac{25\times 38}{200}=4{,}75$. Une seule case sur neuf reste sous 5, soit 11 %, ce qui est acceptable. Le coût est double : on perd la distinction entre « peu satisfait » et « insatisfait », donc de l'information, et surtout on a choisi le regroupement APRÈS avoir vu les données, ce qui est une décision à déclarer honnêtement dans le rapport. Un regroupement décidé d'avance, pour des raisons de contenu, est toujours préférable.

d) Tableau 12, 8 / 6, 14 : les totaux de ligne valent 20 et 20, ceux de colonne 18 et 22, et $n=40$. Effectifs théoriques : $\dfrac{20\times 18}{40}=9$ et $\dfrac{20\times 22}{40}=11$, dans les deux lignes. Sans correction : $\chi^{2}=\dfrac{9}{9}+\dfrac{9}{11}+\dfrac{9}{9}+\dfrac{9}{11}\approx 3{,}636$, inférieur au seuil de 3,841 : on ne rejette pas. Avec la correction de Yates, chaque écart absolu de 3 devient 2,5 : $\chi^{2}=\dfrac{6{,}25}{9}\times 2+\dfrac{6{,}25}{11}\times 2\approx 2{,}525$, encore plus loin du seuil. La correction est donc CONSERVATRICE : elle diminue toujours le khi-deux et rend le rejet plus difficile, ce qui compense le fait que la loi du khi-deux, continue, approxime une réalité discrète.

e) Trois voies. Regrouper des modalités, ce qui reste la solution la plus simple quand le regroupement a un sens de contenu. Utiliser le test EXACT de Fisher, qui calcule directement la probabilité de chaque tableau possible à marges fixées et ne demande aucune condition d'effectif; il est aujourd'hui immédiat avec un logiciel, et c'est la bonne réponse pour un petit tableau 2 par 2. Enfin, augmenter l'échantillon, ce qui est la seule solution si l'on tient à conserver toutes les modalités. Ce qu'il ne faut jamais faire, c'est appliquer le test quand même en espérant que personne ne vérifie : les valeurs p obtenues sur des cases quasi vides sont franchement fausses, et pas seulement approximatives.

a) $\min\left(3-1\ ;\ 2-1\right)=1$, donc $V=\sqrt{\dfrac{9{,}765}{300\times 1}}=\sqrt{0{,}03255}\approx 0{,}180$.

b) Une valeur de 0,18 correspond à une association FAIBLE, tout juste au-dessus du seuil de la négligeabilité. Autrement dit, le lien entre heures de travail et abandon est réel au sens statistique, il est bien plus grand que ce que le hasard produirait, et il reste modeste : connaître le profil horaire d'un étudiant n'améliore que marginalement la prédiction de son abandon. C'est la nuance que le titre d'un communiqué perd toujours.

c) Si les deux variables sont indépendantes, chaque effectif observé égale son effectif théorique, tous les écarts sont nuls, donc $\chi^{2}=0$ et $V=0$. À l'autre extrême, sur un tableau 2 par 2 où toutes les observations se rangent sur une diagonale, par exemple 50 et 0 sur la première ligne, 0 et 50 sur la seconde, on calcule des effectifs théoriques tous égaux à 25 et $\chi^{2}=4\times \dfrac{625}{25}=100=n$. Comme $\min\left(l-1\ ;\ c-1\right)=1$, on obtient $V=\sqrt{\dfrac{100}{100}}=1$. Le V est donc bien normalisé entre 0 et 1, et c'est précisément la division par $n$ qui le rend insensible à la taille de l'échantillon.

d) $C=\sqrt{\dfrac{9{,}765}{9{,}765+300}}=\sqrt{\dfrac{9{,}765}{309{,}765}}\approx 0{,}178$. La valeur est très proche du V, ce qui est normal pour une association faible. On lui préfère le V parce que le coefficient de contingence n'atteint JAMAIS 1 : son maximum dépend des dimensions du tableau, il vaut environ 0,707 pour un tableau 2 par 2 et 0,816 pour un 3 par 3. Deux coefficients de contingence issus de tableaux de formats différents ne sont donc pas comparables, alors que deux V le sont.

e) « Sur 300 étudiants, la proportion d'abandons croît de 15,0 % chez ceux qui travaillent au plus 10 heures par semaine à 35,0 % chez ceux qui travaillent 21 heures et plus. L'association est statistiquement significative, $\chi^{2}=9{,}77$ à 2 degrés de liberté, valeur p inférieure à 0,01, mais son intensité est faible, $V=0{,}18$. Plus de la moitié de l'écart à l'indépendance provient du seul profil de 21 heures et plus. Ces données étant transversales et non expérimentales, elles n'établissent pas de lien de cause à effet. » Quatre éléments à ne jamais omettre : les pourcentages qui montrent le SENS, le test qui montre la SIGNIFICATIVITÉ, la mesure qui montre l'INTENSITÉ, et la limite du devis.

a) Le khi-deux est MULTIPLIÉ PAR DEUX, passant de 9,765 à 19,53. Algébriquement : si tous les effectifs observés sont multipliés par $k$, les totaux de ligne et de colonne le sont aussi, donc chaque effectif théorique $\dfrac{L\times C}{n}$ est multiplié par $\dfrac{k\times k}{k}=k$. Chaque terme devient alors $\dfrac{\left(kO-kT\right)^{2}}{kT}=\dfrac{k^{2}\left(O-T\right)^{2}}{kT}=k\dfrac{\left(O-T\right)^{2}}{T}$. Le khi-deux est donc exactement proportionnel à $n$, et le seuil critique, lui, ne bouge pas : il ne dépend que des degrés de liberté.

b) Le V de Cramér est INCHANGÉ : $V=\sqrt{\dfrac{k\chi^{2}}{kn\times \min\left(l-1;c-1\right)}}$, et le facteur $k$ se simplifie. Avec $n=900$ et $\chi^{2}=29{,}29$, on retrouve $V=\sqrt{\dfrac{29{,}29}{900}}\approx 0{,}180$. C'est précisément la propriété qui fait du V une mesure d'INTENSITÉ : il décrit la structure du tableau, pas la quantité de données recueillies.

c) Sur un tableau 2 par 2 à groupes égaux et à proportions 0,51 et 0,49, le khi-deux vaut approximativement $n\times \dfrac{\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}}{4\overline{p}\left(1-\overline{p}\right)}$ avec $\overline{p}=0{,}50$, soit $n\times \dfrac{0{,}0004}{1}=0{,}0004n$. Il faut $0{,}0004n\ge 3{,}841$, donc $n\ge 9\,603$. Avec près de dix mille répondants, un écart de deux points devient donc significatif, alors que le V de Cramér vaut $\sqrt{\dfrac{3{,}841}{9603}}=0{,}02$, une association parfaitement négligeable.

d) Qu'il faut cesser de le lire comme « important ». « Significatif » ne signifie rien d'autre que « trop grand pour être raisonnablement attribué au hasard de l'échantillonnage, compte tenu de la taille de l'échantillon ». Un rapport sérieux publie donc toujours trois choses ensemble : la mesure d'écart brute, en points de pourcentage, le résultat du test, et une mesure d'intensité normalisée. Sur de très grands fichiers administratifs, où $n$ dépasse le million, le test perd tout intérêt pratique puisque absolument tout y est significatif.

e) Le problème symétrique est le manque de PUISSANCE : avec un échantillon trop petit, un lien réel et même important peut ne pas atteindre la significativité, et l'on conclut à tort à l'absence de lien. Ne pas rejeter l'hypothèse nulle n'a jamais voulu dire qu'elle est vraie. On s'en protège en calculant la puissance AVANT l'enquête, ce qui revient à choisir la taille d'échantillon en fonction de l'écart minimal que l'on souhaite pouvoir détecter, et en publiant les intervalles de confiance plutôt que la seule décision de rejet.

a) Sur l'ensemble, 72,5 % des participants réussissent tous leurs cours contre 57,5 % des non-participants, soit un écart de 15,0 POINTS en faveur des participants. Un rapport pressé en conclurait que les activités parascolaires favorisent la réussite, et l'établissement financerait le programme.

b) Chez ceux qui travaillent peu : 80 % contre 80 %, écart NUL. Chez ceux qui travaillent beaucoup : 50 % contre 50 %, écart NUL également. À heures de travail constantes, la participation n'a strictement aucun rapport avec la réussite. L'association d'ensemble, pourtant bien réelle, ne se retrouve dans AUCUN des deux sous-groupes.

c) Participants : $150+50=200$, dont $120+25=145$ réussites, soit 72,5 %. Non-participants : $50+150=200$, dont $40+75=115$ réussites, soit 57,5 %. Le total fait bien 400 étudiants et 260 réussites. Cette vérification est indispensable : elle établit que le renversement n'est pas une erreur de calcul mais une propriété des données.

d) Le mécanisme est celui d'une variable ANTÉCÉDENTE commune. Les heures de travail rémunéré déterminent à la fois la participation, on ne s'inscrit pas au club de débats quand on travaille 25 heures par semaine, et la réussite, qui chute de 80 % à 50 % chez les gros travailleurs. Les participants sont donc massivement recrutés parmi ceux qui travaillent peu, 150 sur 200, et les non-participants parmi ceux qui travaillent beaucoup, 150 sur 200. La comparaison d'ensemble compare en réalité deux populations de disponibilité très différente, et l'écart de 15 points mesure cette différence de composition, pas un effet du parascolaire.

e) Trois issues possibles. La RÉPLICATION : l'association subsiste identique dans chaque strate, la troisième variable n'y change rien, et la relation initiale est renforcée. L'EXPLICATION, ou relation fallacieuse : l'association disparaît dans toutes les strates parce que la troisième variable est ANTÉCÉDENTE aux deux autres. La SPÉCIFICATION, ou interaction : l'association subsiste dans certaines strates et pas dans d'autres, ce qui précise les conditions du lien. Le cas présent est une EXPLICATION : les heures de travail précèdent logiquement et chronologiquement la participation comme la réussite, et l'association d'ensemble était fallacieuse. Si la troisième variable était postérieure à la première, on parlerait d'interprétation, et la variable serait intermédiaire plutôt que confondante.

1) FAUX. La valeur du khi-deux dépend de trois choses : l'intensité du lien, la taille de l'échantillon et les dimensions du tableau. Un khi-deux de 42,7 sur 5 000 répondants correspond à un V de Cramér de 0,09, soit une association négligeable. Énoncé correct : le khi-deux tranche la SIGNIFICATIVITÉ; l'intensité se lit sur le V de Cramér, qui divise justement par $n$.

2) FAUX, c'est une lecture en colonne présentée comme une explication. Les 33 % décrivent la COMPOSITION du groupe des décrocheurs, laquelle dépend surtout de la taille de chaque profil dans l'échantillon. La bonne lecture est en ligne : 35 % des gros travailleurs abandonnent contre 15 % des petits. Énoncé correct : la part d'abandons est plus de deux fois plus élevée chez ceux qui travaillent 21 heures et plus, et rien dans ce tableau n'attribue une part des abandons à une cause.

3) FAUX, et l'erreur est grave. Le khi-deux se calcule sur des EFFECTIFS. Le convertir en pourcentages revient à imposer $n=100$ dans chaque ligne, ce qui fabrique une taille d'échantillon fictive et rend la valeur p entièrement fausse, dans un sens ou dans l'autre selon la vraie taille. Énoncé correct : on présente les pourcentages au lecteur, et on calcule le test sur les effectifs bruts.

4) FAUX. Ne pas rejeter l'hypothèse nulle signifie que les données sont COMPATIBLES avec l'indépendance, pas qu'elles la démontrent. Avec un petit échantillon, une association importante peut très bien ne pas atteindre le seuil : c'est un manque de puissance, pas une preuve d'absence. Énoncé correct : au seuil de 5 %, les données ne permettent pas de conclure à une association; il faudrait, pour aller plus loin, un échantillon plus grand ou un intervalle de confiance sur la différence.

5) FAUX, ou plutôt à l'envers. L'élaboration n'invalide pas l'analyse initiale, elle la COMPLÈTE : la relation d'ensemble existait bel et bien dans les données, et le contrôle apprend qu'elle passait par une troisième variable. Énoncé correct : l'association observée était fallacieuse, c'est-à-dire attribuable à une variable antécédente commune; c'est un RÉSULTAT de l'analyse, souvent le plus intéressant, et il doit être publié comme tel plutôt que dissimulé.

a) Taux de réussite : $\dfrac{96}{120}=80{,}0\%$ avec un espace dédié, $\dfrac{56}{90}\approx 62{,}2\%$ avec un espace partagé, $\dfrac{18}{40}=45{,}0\%$ sans aucun lieu d'étude. La tendance est monotone et forte : 35 points séparent les deux extrêmes, et le taux baisse à chaque échelon. C'est le sens de calcul correct, puisque le lieu d'étude est ici la variable indépendante.

b) Marges : lignes 120, 90 et 40; colonnes 170 et 80; $n=250$. Effectifs théoriques : $\dfrac{120\times 170}{250}=81{,}6$ et $\dfrac{120\times 80}{250}=38{,}4$; $\dfrac{90\times 170}{250}=61{,}2$ et $\dfrac{90\times 80}{250}=28{,}8$; $\dfrac{40\times 170}{250}=27{,}2$ et $\dfrac{40\times 80}{250}=12{,}8$. Toutes dépassent 5, la condition est satisfaite.

c) Contributions : $\dfrac{\left(96-81{,}6\right)^{2}}{81{,}6}=\dfrac{207{,}36}{81{,}6}\approx 2{,}541$; $\dfrac{207{,}36}{38{,}4}=5{,}400$; $\dfrac{\left(56-61{,}2\right)^{2}}{61{,}2}=\dfrac{27{,}04}{61{,}2}\approx 0{,}442$; $\dfrac{27{,}04}{28{,}8}\approx 0{,}939$; $\dfrac{\left(18-27{,}2\right)^{2}}{27{,}2}=\dfrac{84{,}64}{27{,}2}\approx 3{,}112$; $\dfrac{84{,}64}{12{,}8}=6{,}613$. Total : $\chi^{2}\approx 19{,}05$, avec $ddl=\left(3-1\right)\left(2-1\right)=2$. Comme $19{,}05>5{,}991$ et même $>13{,}816$, on rejette l'indépendance avec une valeur p inférieure à 0,001.

d) $V=\sqrt{\dfrac{19{,}05}{250\times 1}}=\sqrt{0{,}07619}\approx 0{,}276$. L'association est MODÉRÉE, nettement plus forte que celle observée avec les heures de travail, qui valait 0,18. C'est un résultat que le service peut effectivement utiliser, contrairement à une association de 0,05 qui serait significative sans être exploitable.

e) « Le taux de réussite de tous les cours passe de 80,0 % chez les étudiants disposant d'un espace d'étude dédié à 62,2 % chez ceux dont l'espace est partagé, puis à 45,0 % chez ceux qui n'en ont aucun. L'association est significative, $\chi^{2}=19{,}05$ à 2 degrés de liberté, valeur p inférieure à 0,001, et d'intensité modérée, $V=0{,}28$. Ces données étant transversales, elles ne permettent pas d'attribuer la différence au seul lieu d'étude : la disponibilité d'un espace dédié est fortement liée au revenu du ménage et à la taille du logement, variables qu'il faudrait contrôler avant d'orienter une intervention. » On y trouve les trois éléments obligatoires, le sens, la significativité et l'intensité, plus la limite du devis et la variable de contrôle qu'il faudrait mesurer.

a) $ddl=\left(3-1\right)\left(2-1\right)=2$ : l'annonce est correcte. Taux de bénévolat : $\dfrac{38}{170}\approx 22{,}4\%$, $\dfrac{52}{200}=26{,}0\%$, $\dfrac{44}{140}\approx 31{,}4\%$. La tendance est croissante avec le revenu, sur neuf points de pourcentage entre les extrêmes, ce qui n'est pas rien même si le test ne conclut pas.

b) L'auteur peut dire que, au seuil usuel de 5 %, les données ne permettent PAS de rejeter l'hypothèse d'indépendance : l'écart observé pourrait être produit par le hasard de l'échantillonnage environ une fois sur huit. Il ne peut PAS dire que le bénévolat est indépendant du revenu : avec $N=510$ répartis sur trois tranches, la puissance du test est modeste, et une différence réelle de neuf points peut parfaitement passer sous le seuil. Ce que l'on devrait publier ici, c'est l'intervalle de confiance sur l'écart entre les tranches extrêmes, qui montrerait toute la gamme des différences compatibles avec ces données.

c) $V=\sqrt{\dfrac{4{,}12}{510\times \min\left(2;1\right)}}=\sqrt{\dfrac{4{,}12}{510}}=\sqrt{0{,}008078}\approx 0{,}0899$, arrondi à 0,09. Le chiffre annoncé est donc cohérent. Ce contrôle prend dix secondes et il attrape régulièrement des erreurs de transcription dans les tableaux publiés : il vaut la peine d'être fait systématiquement.

d) La non-réponse à la question du revenu n'est pas aléatoire : elle est notoirement plus fréquente aux deux extrémités de la distribution, chez les plus pauvres par gêne et chez les plus riches par prudence. Les 94 exclus représentent 15,6 % de l'échantillon initial, une part considérable, et leur retrait peut avoir aplati la relation en vidant précisément les tranches extrêmes, celles qui portaient l'écart. Une analyse sérieuse comparerait les répondants et les non-répondants sur les autres variables disponibles, âge, scolarité, région, et le dirait dans le texte.

e) « Dans cet échantillon, le taux de bénévolat croît de 22,4 % chez les ménages de moins de 40 000 dollars à 31,4 % chez ceux de 80 000 dollars et plus, mais l'écart n'atteint pas le seuil de signification au niveau de 5 %, $\chi^{2}=4{,}12$; $ddl=2$; $p=0{,}127$; $V=0{,}09$. Ces données ne permettent donc pas de conclure à un lien, sans permettre non plus de l'écarter, d'autant que 15,6 % des répondants ont été exclus faute de déclaration de revenu. » La différence avec la phrase de l'auteur est décisive : elle remplace une affirmation d'absence par un constat d'indécision, ce qui est la seule chose que le test autorise.