Exercices corrigés : tableaux de distribution et graphiques (360-300)

a) Fréquences relatives : $\dfrac{96}{200}=48{,}0\%$, $\dfrac{42}{200}=21{,}0\%$, $\dfrac{50}{200}=25{,}0\%$, $\dfrac{12}{200}=6{,}0\%$, de somme 100 %. Les fréquences cumulées n'ont aucun sens parce que la variable est NOMINALE : cumuler suppose un ordre, et « transport en commun puis marche » ne forme pas une progression. Additionner ces effectifs revient à additionner des catégories, ce que seul l'ordre rendrait licite. La cumulation est réservée aux variables ordinales, discrètes ordonnées et continues.

b) Effectifs 104, 52, 28, 16, de somme 200. Fréquences relatives : 52,0 %, 26,0 %, 14,0 %, 8,0 %. Effectifs cumulés croissants : 104, 156, 184, 200. Fréquences cumulées : 52,0 %, 78,0 %, 92,0 %, 100,0 %. Deux vérifications à faire chaque fois : la somme des effectifs redonne $n$, et la dernière fréquence cumulée vaut exactement 100 %. Si l'une des deux échoue, c'est un arrondi ou une donnée manquante, et il faut le régler avant d'aller plus loin.

c) Au plus un cours échoué : c'est la fréquence cumulée au rang 1, soit 78,0 %, ce qui correspond à 156 étudiants. Au moins deux : le complément, $100-78=22{,}0\%$, soit 44 étudiants. Le passage par le complément est presque toujours plus rapide que la somme directe, et il évite l'erreur de bord qui consiste à inclure ou exclure la modalité charnière.

d) « 3 et plus » est une classe OUVERTE, sans borne supérieure. On perd la valeur exacte des observations qu'elle contient, donc la possibilité de calculer une moyenne, une variance ou un centre de classe pour ce groupe. On la conserve malgré tout parce qu'elle protège l'anonymat des cas rares et évite une queue de tableau avec des effectifs de 1 ou 2. C'est un compromis assumé, et il doit être signalé sous le tableau plutôt que découvert au moment de l'analyse.

e) Le nombre n'est PAS calculable à partir du tableau seul. Les trois premières modalités donnent $0\times 104+1\times 52+2\times 28=108$ échecs pour 184 étudiants; les 16 étudiants de la classe ouverte contribuent d'au moins $3\times 16=48$ échecs, sans borne supérieure. La moyenne est donc au minimum $\dfrac{108+48}{200}=0{,}78$ et peut être bien plus grande. La valeur annoncée coïncide exactement avec la borne INFÉRIEURE, ce qui trahit un calcul fait en assignant 3 à toute la classe ouverte. La rédaction correcte serait « au moins 0,78 cours échoué en moyenne », ou mieux, un retour aux données brutes.

a) Étendue : $486-42=444$ dollars. Règle de Sturges avec $n=120$ : $\log_{10}(120)\approx 2{,}0792$, donc $k=1+3{,}322\times 2{,}0792\approx 7{,}91$, que l'on arrondit à 8 classes. La règle n'a rien d'obligatoire : elle propose un compromis entre trop de détail et trop de lissage, et elle croît lentement, en logarithme, ce qui traduit une réalité, à savoir qu'un échantillon quatre fois plus grand ne mérite que deux classes de plus.

b) Amplitude brute : $\dfrac{444}{8}=55{,}5$ dollars, que l'on arrondit VERS LE HAUT à une valeur commode, ici 60 dollars. Bornes : $\left[40\ ;\ 100\right[$, $\left[100\ ;\ 160\right[$, et ainsi de suite jusqu'à $\left[460\ ;\ 520\right[$, soit 8 classes qui couvrent de 40 à 520 dollars. On vérifie que la première contient le minimum, 42, et la dernière le maximum, 486. Arrondir vers le haut plutôt que vers le bas est ce qui garantit que $k$ classes suffisent à tout couvrir; arrondir vers le bas obligerait à en ajouter une neuvième.

c) Première règle, les classes sont MUTUELLEMENT EXCLUSIVES : une observation tombe dans une seule, d'où la convention des bornes fermées à gauche et ouvertes à droite. Deuxième règle, elles sont EXHAUSTIVES : leur réunion couvre toutes les valeurs observées, sans trou. Troisième règle, elles sont d'AMPLITUDE ÉGALE, sauf décision explicite qui obligera alors à raisonner en densité. On y ajoute en pratique une exigence de lisibilité : des bornes rondes, choisies pour le lecteur et non pour le logiciel.

d) Avec 3 classes, on lisse tellement que la forme disparaît : une distribution bimodale, par exemple les étudiants à temps partiel et ceux à temps plein, apparaîtra comme un bloc unique, et toute l'information sur la dispersion sera perdue. Avec 25 classes pour 120 observations, on obtient en moyenne moins de 5 observations par classe : l'histogramme devient un peigne irrégulier où le hasard de l'échantillon crée de faux pics, et le lecteur voit une structure qui n'existe pas. Entre les deux, la bonne pratique consiste à essayer deux ou trois découpages et à retenir celui dont la forme reste stable.

e) On fait l'hypothèse que les observations sont réparties UNIFORMÉMENT à l'intérieur de la classe, de sorte que leur moyenne coïncide avec le centre. Elle devient fausse dès que la répartition interne est fortement asymétrique, ce qui arrive typiquement dans la dernière classe des revenus, où presque tout le monde est près de la borne inférieure, et dans les classes larges. La conséquence est une moyenne calculée sur données groupées légèrement biaisée : on la présente donc comme une approximation, et on retourne aux données brutes chaque fois qu'elles existent.

a) Les effectifs se lisent 8, 18, 26, 20, 10 et 4, de somme $8+18+26+20+10+4=86$. Cette vérification n'est pas une formalité : sur un histogramme lu à l'oeil, une erreur d'une graduation est fréquente, et la somme des effectifs est le seul contrôle disponible quand le tableau d'origine n'accompagne pas la figure.

b) Parce que la variable est CONTINUE : entre 9,9 et 10,1 heures il n'y a pas de vide, la valeur 10 existe, et les classes se succèdent bord à bord en couvrant tout l'intervalle. Un diagramme en bâtons représente une variable discrète ou qualitative, où les modalités sont séparées par du vide : entre 2 et 3 cours échoués, aucune valeur n'existe, et laisser un espace le dit visuellement. L'écart de dessin traduit donc un écart de nature, et c'est exactement le genre de détail sur lequel un correcteur enlève des points.

c) On place un point au CENTRE du sommet de chaque barre, à l'abscisse du milieu de classe et à l'ordonnée de l'effectif : ici $(2{,}5;8)$, $(7{,}5;18)$, $(12{,}5;26)$, $(17{,}5;20)$, $(22{,}5;10)$ et $(27{,}5;4)$. On relie ces points par des segments. Aux deux extrémités, on ajoute une classe fictive vide de part et d'autre, ici de centres $-2{,}5$ et $32{,}5$, et l'on ramène le polygone à zéro : c'est ce qui ferme la ligne et donne à l'aire sous le polygone la même valeur qu'à l'aire de l'histogramme. Beaucoup d'élèves oublient cette fermeture, et le graphique flotte alors sans repère.

d) La classe MODALE est $\left[10\ ;\ 15\right[$, celle dont l'effectif est le plus élevé avec 26 étudiants. Pour la médiane, on cumule : 8, puis 26, puis 52; la 43e et la 44e observation, qui encadrent le milieu de 86, tombent dans la classe $\left[10\ ;\ 15\right[$, qui est donc aussi la classe médiane. La distribution est unimodale et LÉGÈREMENT ÉTIRÉE VERS LA DROITE : la queue de droite, de 20 à 30 heures, est plus longue que celle de gauche, ce qui est la forme habituelle du temps consacré à une activité, borné à zéro et sans limite haute.

e) Il faut passer des EFFECTIFS aux FRÉQUENCES RELATIVES, en pourcentage ou en proportion. Sans cela, l'histogramme du second cégep écraserait le premier par le seul effet de sa taille, et l'on comparerait des populations plutôt que des formes. Une fois les deux distributions exprimées en pourcentage, on superpose les deux POLYGONES plutôt que les deux histogrammes, précisément parce que deux séries de barres qui se recouvrent sont illisibles alors que deux lignes se distinguent sans peine.

a) Densités : $\dfrac{20}{10}=2{,}0$, $\dfrac{30}{10}=3{,}0$, $\dfrac{40}{20}=2{,}0$ et $\dfrac{40}{40}=1{,}0$ ménage par millier de dollars. La densité s'interprète directement : la classe $\left[10\ ;\ 20\right[$ concentre trois ménages par tranche de mille dollars, la dernière classe un seul.

b) Sur l'histogramme de gauche, dessiné à hauteur d'effectif, les deux dernières classes paraissent les plus nombreuses avec 40 chacune, et la dernière semble écrasante puisqu'elle est en plus la plus large : l'oeil lui attribue une aire quatre fois supérieure à celle de la classe $\left[10\ ;\ 20\right[$, alors qu'elle contient seulement 33 % de ménages de plus. Sur l'histogramme de droite, la classe la plus DENSE est $\left[10\ ;\ 20\right[$, avec 3,0, et c'est bien là que se concentre le gros de la population : le dessin corrigé raconte l'inverse du premier.

c) Aires : $10\times 2{,}0=20$, $10\times 3{,}0=30$, $20\times 2{,}0=40$, $40\times 1{,}0=40$. On retrouve exactement les quatre effectifs, et leur somme, 130, est l'aire totale. C'est la propriété qui définit l'histogramme correct : l'aire, et non la hauteur, représente l'effectif. Sur un histogramme à classes égales, les deux coïncident à un facteur près, ce qui explique qu'on l'oublie si facilement.

d) Moins de 20 000 dollars : $\dfrac{20+30}{130}=\dfrac{50}{130}\approx 38{,}5\%$. Entre 20 000 et 30 000 : la classe $\left[20\ ;\ 40\right[$ contient 40 ménages sur 20 unités de largeur, donc sous l'hypothèse d'uniformité la moitié de la classe, soit 20 ménages, tombe dans la première moitié, ce qui donne $\dfrac{20}{130}\approx 15{,}4\%$. On aurait pu procéder directement par la densité : $10\times 2{,}0=20$ ménages. Il faut rappeler ici que l'uniformité est une hypothèse commode et probablement fausse pour des revenus, où la concentration est plus forte près de la borne inférieure.

e) Parce que la distribution des revenus est très étirée vers la droite : la grande majorité des ménages se concentre dans un intervalle étroit, tandis qu'une petite minorité s'étale sur un très large domaine. Des classes égales assez fines pour décrire le bas de la distribution exigeraient des centaines de classes pour atteindre le haut, presque toutes vides. On resserre donc les classes là où il y a du monde et on les élargit là où il n'y en a plus, quitte à raisonner en densité. C'est aussi pourquoi la dernière classe est presque toujours ouverte, du type « 200 000 et plus » : sa borne supérieure serait à la fois inutile et indiscrète.

a) Langue parlée à la maison, variable nominale : diagramme en BÂTONS, ou circulaire si les modalités sont peu nombreuses et forment un tout. Niveau de satisfaction de 1 à 5, ordinal : diagramme en bâtons dont l'ORDRE des modalités est respecté, ou barres empilées à cent pour cent si l'on compare des groupes. Nombre d'enfants, quantitatif discret : diagramme en bâtons également, avec des bâtons séparés. Revenu annuel, quantitatif continu : HISTOGRAMME, éventuellement à densité. Évolution du taux de chômage sur douze ans : COURBE, parce que le temps est continu et que la ligne suggère à juste titre les valeurs intermédiaires.

b) Au-delà de cinq ou six secteurs, l'oeil humain compare très mal des angles voisins : on distingue sans peine deux barres qui diffèrent de 3 %, presque pas deux secteurs. Le circulaire est donc réservé au cas où l'on veut montrer qu'une part domine, pas au cas où l'on veut comparer des parts entre elles. Il est carrément interdit pour des réponses à choix multiples, où un répondant peut cocher plusieurs modalités : le total dépasse alors 100 % et le disque, qui représente un TOUT partagé, devient faux par construction. On utilise dans ce cas des barres dont chacune se lit sur la base des répondants.

c) La variable est NOMINALE : relier ses modalités par une ligne suggère un passage continu de l'une à l'autre, comme s'il existait des états intermédiaires entre marié et séparé, et comme si l'ordre choisi était le bon. Or cet ordre est arbitraire : en permutant les modalités, on obtient une courbe entièrement différente, ce qui suffit à démontrer que la forme ne veut rien dire. Le reproche technique tient donc en une phrase : une ligne code une continuité et un ordre, et une variable nominale n'a ni l'un ni l'autre.

d) Une PYRAMIDE DES ÂGES, c'est-à-dire deux histogrammes horizontaux dos à dos partageant l'axe des classes d'âge, ou à défaut deux polygones de fréquences superposés. Le point important est d'exprimer les effectifs en POURCENTAGE de chaque population, sans quoi la plus nombreuse écrase l'autre. La pyramide a l'avantage de rendre immédiatement lisibles les creux de génération et les déséquilibres, que deux tableaux côte à côte ne révéleraient jamais aussi vite.

e) Le DIAGRAMME EN BOÎTE, une boîte par programme, aligné sur un même axe. Il montre simultanément la médiane, le trait central, les quartiles, les bords de la boîte, l'étendue des données non aberrantes par les moustaches, et les valeurs aberrantes par des points isolés. C'est le seul graphique compact qui donne à la fois le niveau et la dispersion, et il permet de voir immédiatement qu'un programme à médiane élevée mais très dispersée n'est pas comparable à un programme homogène de même médiane. Ce qu'il ne montre PAS, en revanche, c'est la forme fine de la distribution : une distribution bimodale et une distribution plate peuvent donner exactement la même boîte.

a) Variation en points : $42{,}4-41{,}2=1{,}2$ point. Variation relative : $\dfrac{1{,}2}{41{,}2}\approx 0{,}0291$, soit environ 2,9 %. C'est une hausse réelle mais modeste, du type de celles qu'un bruit d'échantillonnage peut produire à lui seul si les valeurs proviennent de sondages successifs à un millier de répondants, où la marge est de trois points.

b) Sur le graphique de gauche, l'axe part de 41 : la première barre mesure $41{,}2-41=0{,}2$ unité de hauteur, la dernière $42{,}4-41=1{,}4$, soit un rapport de 7. L'oeil lit donc une multiplication par SEPT là où les valeurs varient de 2,9 %. Sur le graphique de droite, à axe complet, le rapport des hauteurs vaut $\dfrac{42{,}4}{41{,}2}\approx 1{,}03$, c'est-à-dire exactement le rapport des valeurs. La distorsion est donc d'un facteur voisin de 240 entre ce qui est vu et ce qui est vrai.

c) Non, pas toujours. Il est LÉGITIME quand la variable n'a pas de zéro significatif ou qu'un zéro rendrait la lecture impossible : une température corporelle, un indice boursier, un pH, une année. Il devient MALHONNÊTE quand la variable est une quantité ou une proportion dont le zéro a un sens et que le lecteur va interpréter la hauteur des barres comme une quantité, ce qui est exactement le cas d'un pourcentage de soutien ou d'un chiffre d'affaires. Règle pratique : sur des BARRES, l'axe doit partir de zéro, parce qu'une barre code une longueur donc une quantité; sur une COURBE, la troncature est admise à condition d'être visible et signalée.

d) En choisissant les BORNES de la fenêtre temporelle. Un taux qui oscille autour d'une valeur stable atteint périodiquement des creux et des sommets : partir d'un creux et s'arrêter à un sommet montre une hausse spectaculaire, faire l'inverse montre un effondrement, et les deux graphiques sont exacts. C'est la variante temporelle du même procédé, et elle est plus difficile à repérer parce que rien n'est visiblement tronqué. La parade consiste à exiger la série complète disponible, et à se méfier de toute fenêtre dont les bornes tombent exactement sur un minimum ou un maximum local.

e) Première question : où commence l'axe vertical, et la variable a-t-elle un zéro qui a un sens ? Deuxième question : quelle est l'unité, et s'agit-il d'effectifs ou de pourcentages, calculés sur quelle base ? Troisième question : quelles données ont été laissées hors du cadre, en amont ou en aval de la période montrée, et pourquoi celle-là ? On peut ajouter une quatrième question, souvent décisive : d'où viennent les données et qui a payé la figure.

a) Non : doubler la hauteur d'une figure en gardant ses proportions double aussi la largeur, donc l'aire est multipliée par $2\times 2=4$. Le lecteur, qui perçoit spontanément la quantité de dessin, c'est-à-dire l'aire, lit une multiplication par quatre là où le budget a doublé. La surestimation vaut donc 100 % de la variation réelle, et elle est d'autant plus efficace qu'elle ne repose sur aucun chiffre faux.

b) En trois dimensions, le rapport perçu devient $2^{3}=8$ si le lecteur interprète le volume, puisque les trois dimensions sont multipliées par deux. Selon qu'il lit la hauteur, la face ou le volume, il conclut à un rapport de 2, 4 ou 8 pour la même figure. Un graphique dont la lecture dépend à ce point de l'oeil du lecteur n'est plus un instrument de mesure, et c'est la raison pour laquelle les manuels de visualisation proscrivent les effets de relief.

c) Pour que l'AIRE double, il faut multiplier chaque dimension par $\sqrt{2}\approx 1{,}414$, et non par 2. La solution vraiment robuste consiste toutefois à ne pas redimensionner du tout : on répète le pictogramme, deux silhouettes identiques au lieu d'une, ce qui code la quantité par un COMPTE plutôt que par une taille. C'est la forme retenue par les infographies sérieuses, et elle a l'avantage de rester lisible même quand le rapport n'est pas entier, la dernière silhouette étant alors coupée.

d) L'inclinaison écrase le disque en une ellipse et brise la proportionnalité entre angle et surface visible : les secteurs situés à l'AVANT paraissent nettement plus grands que ceux de l'arrière, à angle égal. Deux secteurs de 20 % occuperont des surfaces différentes selon leur position, et l'ordre même des parts peut sembler inversé. Comme la position dans le disque est un choix du concepteur, la perspective donne un moyen commode de mettre en avant la part que l'on souhaite.

e) Le rapport des populations vaut $\dfrac{32}{8}=4$. Comme l'aire d'un disque est $\pi r^{2}$, il faut $\dfrac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}=4$, donc $\dfrac{r_{2}}{r_{1}}=2$. Le second cercle doit avoir un rayon DOUBLE, et non quadruple. L'erreur consistant à quadrupler le rayon produirait une aire seize fois plus grande, soit quatre fois l'écart réel; c'est l'une des erreurs les plus fréquentes des infographies, et elle se repère en vérifiant que le rapport des rayons est la racine carrée du rapport des valeurs.

1) FAUX. L'espacement n'est pas un choix de mise en page, c'est un signe qui code la nature de la variable : barres jointives pour une variable continue, barres séparées pour une variable discrète ou qualitative. Séparer les barres d'un histogramme affirme visuellement qu'il existe des valeurs impossibles entre les classes, ce qui est faux pour un revenu ou une durée. Énoncé correct : dans un histogramme, les barres se touchent, parce que les classes se succèdent bord à bord et couvrent tout l'intervalle.

2) FAUX. Le fait que le cumul atteigne 100 % ne prouve rien : il l'atteindra toujours, quel que soit l'ordre des modalités, puisqu'on additionne toutes les fréquences. Le problème est que la variable est NOMINALE : le cumul dépend d'un ordre arbitraire, et permuter deux catégories change toutes les valeurs intermédiaires. Énoncé correct : on ne cumule que sur une variable ordonnée; pour le moyen de transport, seules les fréquences simples ont un sens.

3) FAUX, et l'effet obtenu est exactement l'inverse du but recherché. Une barre deux fois plus large ET deux fois plus haute a une aire QUADRUPLE, alors que la classe ne contient peut-être pas plus d'observations que les autres. Énoncé correct : quand les classes ont des amplitudes inégales, la hauteur doit valoir la DENSITÉ, effectif divisé par amplitude, de sorte que l'aire du rectangle représente l'effectif.

4) FAUX. Quarante classes pour 400 observations donnent en moyenne 10 observations par classe, avec des irrégularités purement aléatoires qui feront apparaître des pics et des creux inexistants dans la population. L'histogramme cesse alors de résumer et se met à reproduire le bruit. Énoncé correct : la règle de Sturges suggère ici $1+3{,}322\log_{10}(400)\approx 9{,}6$, donc une dizaine de classes; on peut monter un peu au-dessus si la distribution est très structurée, jamais jusqu'à quarante.

5) FAUX. L'explication du total dépassant 100 % est correcte, mais elle disqualifie précisément le choix du graphique : un disque représente un tout partagé en parts exclusives, et il ne peut pas afficher 168 %. Énoncé correct : pour une question à choix multiples, on utilise un diagramme en barres où chaque modalité se lit indépendamment, en pourcentage des RÉPONDANTS, et l'on précise sous la figure que le total dépasse 100 % parce que plusieurs réponses étaient permises.

a) Un double axe permet de superposer deux séries d'unités différentes, ici des dollars et des visites, sur un même dessin. La liberté qu'il laisse est totale : le concepteur choisit indépendamment les bornes de CHAQUE axe, et il peut donc faire se croiser les deux courbes où il veut, ou les faire coïncider presque parfaitement, sans changer une seule donnée. C'est la seule figure dont on peut inverser la conclusion visuelle en modifiant deux nombres qui n'apparaissent nulle part.

b) Aucune. Le point de croisement dépend uniquement du choix des deux échelles : en déplaçant la borne inférieure de l'axe de droite de quelques dixièmes, il se déplace n'importe où, disparaît, ou apparaît deux fois. Comparer un montant en dollars et un nombre de visites n'a d'ailleurs aucun sens dimensionnel : dire qu'ils « se croisent en année 3 » revient à dire qu'un poids croise une longueur. Ce que l'oeil interprète comme un moment de bascule n'est qu'un artefact du dessin.

c) Série A : $\dfrac{3{,}3-1{,}2}{1{,}2}=\dfrac{2{,}1}{1{,}2}=1{,}75$, soit une hausse de 175 %. Série B : $\dfrac{2{,}2-3{,}4}{3{,}4}\approx -0{,}353$, soit une baisse de 35,3 %. Les deux variations sont donc d'ampleur très différente, la première étant environ cinq fois plus forte que la seconde, ce que le graphique masque entièrement en donnant aux deux courbes des pentes visuellement comparables. C'est un troisième effet du double axe, indépendant du croisement.

d) Première explication concurrente : la CAUSALITÉ INVERSE, la fréquentation baisse pour des raisons propres, et l'entreprise réagit en augmentant sa publicité; la corrélation serait alors la trace d'une réaction, pas d'un effet. Deuxième explication : une VARIABLE CONFONDANTE, par exemple l'ouverture d'un concurrent ou une conjoncture économique qui, simultanément, fait chuter la fréquentation et pousse à dépenser plus. Troisième explication : la TENDANCE COMMUNE, ou fausse corrélation temporelle, deux séries dont l'une monte et l'autre descend sur six points sont mécaniquement corrélées, et six observations annuelles ne permettent presque jamais d'écarter le hasard.

e) Deux graphiques SÉPARÉS, l'un pour les dépenses, l'autre pour la fréquentation, avec chacun son axe partant de zéro et la même largeur temporelle : le lecteur voit alors les deux évolutions sans qu'une échelle arbitraire ne les mette en scène. En un seul graphique, la solution correcte consiste à exprimer les deux séries en INDICES base 100 à l'année 1, ce qui les rend comparables dans la même unité, sans dimension : on lirait alors 100 puis 275 pour les dépenses et 100 puis 65 pour la fréquentation, et l'écart d'ampleur deviendrait immédiatement visible. Dans tous les cas, la légende doit dire que six points annuels ne permettent pas d'affirmer un lien causal.

a) Fréquences relatives : $26{,}0\%$, $16{,}0\%$, $20{,}0\%$, $18{,}0\%$, $16{,}0\%$ et $4{,}0\%$, de somme 100 %. Fréquences cumulées : $26{,}0$, $42{,}0$, $62{,}0$, $80{,}0$, $96{,}0$ et $100{,}0$ %. Densités, effectif divisé par amplitude : $\dfrac{39}{5}=7{,}8$, $\dfrac{24}{5}=4{,}8$, $\dfrac{30}{5}=6{,}0$, $\dfrac{27}{5}=5{,}4$, $\dfrac{24}{10}=2{,}4$ et $\dfrac{6}{20}=0{,}3$ étudiant par heure.

b) La hauteur doit valoir la DENSITÉ, puisque les deux dernières classes sont plus larges que les quatre premières. La classe la plus dense est $\left[0\ ;\ 5\right[$ avec 7,8, et c'est aussi la classe modale. Dessinée à hauteur d'effectif, la classe $\left[20\ ;\ 30\right[$ paraîtrait aussi importante que $\left[5\ ;\ 10\right[$ alors que sa densité est deux fois moindre.

c) Moyenne par centres de classe : $\dfrac{2{,}5(39)+7{,}5(24)+12{,}5(30)+17{,}5(27)+25(24)+40(6)}{150}=\dfrac{97{,}5+180+375+472{,}5+600+240}{150}=\dfrac{1965}{150}=13{,}1$ heures. Médiane : la 75e observation tombe dans $\left[10\ ;\ 15\right[$, puisque le cumul passe de 63 à 93; par interpolation, $10+\dfrac{75-63}{30}\times 5=10+2{,}0=12{,}0$ heures. La moyenne, 13,1, dépasse la médiane, 12,0 : la distribution est ÉTIRÉE VERS LA DROITE, tirée par la minorité qui travaille plus de 30 heures. Le résumé honnête d'un tel profil est la médiane.

d) Les deux dernières classes réunissent $24+6=30$ étudiants, soit $\dfrac{30}{150}=20{,}0\%$. Le seuil de 20 heures est celui que retiennent la plupart des recherches sur la persévérance parce que c'est autour de là que les effets changent de signe : en deçà, le travail rémunéré est neutre voire favorable, il structure l'horaire et finance les études; au-delà, il entre en concurrence directe avec le temps d'étude et la participation à la vie scolaire, et l'association avec l'abandon devient nette. Un seuil pertinent est toujours un seuil justifié par la littérature, jamais un chiffre rond choisi pour la commodité.

e) Titre : « Répartition des 150 étudiants selon les heures de travail rémunéré par semaine, hiver 2026 ». Note de bas de figure : « Histogramme à densité; les deux dernières classes ont une amplitude de 10 et 20 heures, la hauteur des barres représente le nombre d'étudiants par heure de travail, l'aire de chaque barre représente l'effectif. Source : enquête sur la vie étudiante, n égale 150, taux de réponse de 32 %. » Le titre dit qui, quoi, quand; la note dit comment lire et d'où vient le chiffre. Ce sont les deux seules choses qu'un lecteur pressé lira, et elles doivent suffire à ne pas se tromper.