Méthodes quantitatives 360-300 • Sciences humaines au cégep à Montréal
Fiche de révision : tableaux de distribution et graphiques
Cette fiche ne redonne pas les définitions du chapitre : elle traite les endroits précis où un tableau juste devient un graphique faux, et où une lecture rapide coûte la question de critique. Le fil est toujours le même : dans un graphique, l'œil mesure une grandeur physique, longueur ou aire, et il faut que cette grandeur soit exactement celle des données.
Elle s'adresse aux étudiants de Sciences humaines du cégep qui suivent le cours obligatoire de méthodes quantitatives 360-300. La série d'exercices corrigés du même chapitre reprend chaque réflexe, jusqu'à la démolition complète d'une infographie de journal.
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Le fil du chapitre
Un graphique n'est pas une illustration du tableau, c'est un CALCUL fait à l'œil : l'œil mesure une longueur de barre, une aire de rectangle, une surface de pictogramme. Toutes les tromperies du chapitre consistent à faire lire une grandeur là où l'œil en mesure une autre.
•EFFECTIF ni, FRÉQUENCE RELATIVE nni, effectif CUMULÉ, fréquence cumulée. La somme des fréquences relatives vaut 1, aux arrondis près.
•On ne CUMULE que sur une variable ordonnée : cumuler des catégories nominales revient à additionner selon un ordre arbitraire.
•Les classes doivent être mutuellement EXCLUSIVES et EXHAUSTIVES, d'amplitude égale sauf décision explicite. Convention : fermées à gauche, ouvertes à droite.
•Règle de Sturges pour le nombre de classes : k=1+3,322log10(n), puis amplitude =keˊtendue arrondie VERS LE HAUT à une valeur commode.
Classes d'amplitude 5, fermées à gauche et ouvertes à droite : un étudiant de 20 ans compte dans [20 ; 25[ et dans elle seule ; les classes se suivent sans trou ni chevauchement.
Sturges donne un point de départ, pas une obligation : un examen accepte 6 ou 7 classes pour n=60, à condition que le choix soit écrit.
Ce que l'œil mesure dans chaque graphique
•BARRES et BÂTONS : l'œil mesure une LONGUEUR, donc l'axe vertical part obligatoirement de zéro.
•HISTOGRAMME : l'œil mesure une AIRE. Avec des classes d'amplitudes inégales, la hauteur est la DENSITÉ =amplitudeeffectif.
•CERCLES et PICTOGRAMMES : l'œil mesure une SURFACE. Pour doubler la surface, on multiplie les dimensions par 2, jamais par 2.
•COURBE : l'œil mesure une PENTE, et une troncature d'axe y est admise à condition d'être visible.
Quatre graphiques, quatre grandeurs lues par l'œil : la longueur d'une barre, l'aire d'un rectangle, la surface d'un disque, la pente d'un segment (en orange).
La question de critique se répond toujours en deux temps : quelle grandeur l'œil mesure ici, et est-elle proportionnelle à la donnée ?
Les deux calculs sur données groupées
•Moyenne : x=n∑cini avec ci le CENTRE de la classe, sous hypothèse de répartition uniforme à l'intérieur.
•Médiane par interpolation : borneinf+effectif de la classe2n−cumul preˊceˊdent×amplitude.
•La même formule donne n'importe quel quantile : remplacer 2n par 4n pour Q1, par 43n pour Q3.
•Les deux résultats sont des ESTIMATIONS : les données brutes donneraient des valeurs légèrement différentes, et c'est le prix du regroupement.
Histogramme en densités de l'exemple : la médiane 38 laisse 30 étudiants de chaque côté (deux aires égales), la moyenne 52 est tirée vers la droite par la classe large.
Écrire « sous hypothèse de répartition uniforme dans la classe » rapporte le point de rigueur, et prend cinq secondes.
Les pièges qui coûtent des points
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
1.Cumuler des fréquences sur une variable nominale
1 point, et la colonne entière est rayée
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Programmes : Sciences humaines 30 %, Sciences de la nature 25 %, Arts 20 %... cumulé à 55 % pour les deux premiers. »
Ce qu'il faut écrire
« La variable est nominale : la colonne des cumuls n'a aucun sens, puisqu'elle dépendrait de l'ordre dans lequel j'ai écrit les programmes. »
Les mêmes quatre programmes écrits dans deux ordres : le « cumul » au deuxième rang vaut 55 % ou 50 %, selon l'ordre choisi. Il ne mesure rien.
Pourquoi : Une fréquence cumulée répond à la question « combien au-dessous de cette valeur ». Sans ordre, « au-dessous » ne veut rien dire.
2.Dessiner l'histogramme en effectifs alors que les classes sont inégales
2 points, et la lecture du graphique qui suit est fausse
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les effectifs sont 12, 20, 16 et 12 : je trace quatre barres de ces hauteurs. »
Ce qu'il faut écrire
« Les amplitudes sont 20, 20, 40 et 80, donc les hauteurs sont les DENSITÉS 0,6, 1,0, 0,4 et 0,15 : c'est l'aire de chaque barre qui doit valoir l'effectif. »
À gauche, la dernière classe couvre à elle seule plus de 40% de la surface alors qu'elle ne contient que 12 observations sur 60 ; à droite, chaque aire vaut son effectif.
Pourquoi : En hauteurs brutes, la classe de 40 à 80 occupe environ 1,6 fois plus de surface que celle de 20 à 40 (16×40 contre 20×20) tout en contenant moins de monde : le dessin dit le contraire du tableau.
3.L'axe vertical tronqué sur un diagramme en barres
toute la question de critique, qui porte presque toujours là-dessus
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le graphique le montre bien : le candidat C est loin devant. »
Ce qu'il faut écrire
« L'axe commence à 50 %. Les trois valeurs sont 52, 55 et 58 % : l'écart réel est de six points, mais la barre de C y paraît quatre fois plus longue que celle de A. »
Les mêmes trois pourcentages, à gauche sur un axe partant de zéro, à droite sur un axe coupé à 50 : la barre de C y devient quatre fois celle de A.
Pourquoi : Sur des barres, l'œil compare des LONGUEURS. Couper le bas de l'axe multiplie les rapports de longueur sans toucher aux données : c'est la tromperie la plus courante de la presse.
4.Doubler la hauteur d'un pictogramme pour doubler la valeur
1 point, et davantage si la question demande de corriger le graphique
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La valeur a doublé, donc je dessine le bonhomme deux fois plus grand. »
Ce qu'il faut écrire
« Doubler les deux dimensions QUADRUPLE la surface. Pour doubler l'aire, je multiplie les dimensions par 2≈1,41, ou mieux, je répète deux fois le même pictogramme. »
Le grand carré a un côté deux fois plus long et une surface quatre fois plus grande : c'est cette surface que le lecteur compare, sans le savoir.
Pourquoi : L'œil lit la surface, pas la hauteur. Le même piège gouverne les cercles proportionnels : le rapport des RAYONS est la racine carrée du rapport des valeurs.
5.Coller les barres d'une variable qualitative
0,5 point par graphique, systématiquement retiré
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Je trace l'histogramme des programmes d'études. »
Ce qu'il faut écrire
« Les programmes forment une variable qualitative : c'est un DIAGRAMME EN BÂTONS, barres séparées. L'histogramme est réservé aux variables continues regroupées en classes. »
Une variable qualitative : barres séparées, car entre deux programmes il n'existe rien. Collées, elles feraient croire à une variable continue.
Pourquoi : L'espace entre les barres est un signe et non une décoration : il dit qu'entre deux modalités, il n'existe rien. Sur une variable continue, entre deux classes, il existe des valeurs.
6.La moyenne groupée calculée sur les bornes de classes
2 points, la moyenne entière étant fausse
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Classe [20;40[, effectif 20 : je prends 20×20. »
Ce qu'il faut écrire
« Le représentant d'une classe est son CENTRE : c=220+40=30, donc 30×20=600. »
La classe [20 ; 40[ est représentée par son centre 30 ; la borne 20 décale chaque classe d'une demi-amplitude vers le bas, et toute la moyenne avec elle.
Pourquoi : Prendre systématiquement la borne inférieure sous-estime la moyenne d'une demi-amplitude, soit ici 10 dollars : l'erreur est régulière et donc invisible au contrôle de vraisemblance.
7.Donner la classe médiane à la place de la médiane
1,5 point, la moitié de la question
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La médiane se trouve dans la classe [20;40[, donc la médiane vaut 30. »
Ce qu'il faut écrire
« La classe médiane est [20;40[; par interpolation, M=20+2030−12×20=38. »
Polygone des effectifs cumulés : l'ordonnée 30 est atteinte en 38 (vert), pas au centre 30 de la classe médiane (rouge), parce que 12 étudiants sont déjà comptés avant 20.
Pourquoi : Le centre de la classe médiane n'est la médiane que si exactement la moitié des observations se trouve avant la classe. L'interpolation est justement là pour tenir compte du cumul déjà atteint.
8.Interpréter le croisement de deux courbes à double axe
toute la conclusion de la question
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Les deux courbes se croisent en 2019 : c'est l'année où le chômage a rattrapé l'inflation. »
Ce qu'il faut écrire
« Les deux axes ont des unités et des bornes différentes : le point de croisement dépend entièrement de ces bornes et ne signifie rien. »
Les mêmes deux séries ; seule la graduation de l'axe de droite change, et le croisement (cerclé de rouge) saute d'une année à une autre.
Pourquoi : Changer la borne supérieure d'un des deux axes déplace le croisement où l'on veut. Sur un double axe, seules les FORMES des deux courbes se comparent, jamais leur position relative.
Quelle méthode choisir
Quel graphique l'échelle autorise-t-elle ?
On regarde le TYPE de la variable et le nombre de modalités avant de choisir un graphique, jamais l'inverse.
Les cinq formes de l'arbre : circulaire pour un tout partagé, bâtons groupés, histogramme à classes égales, histogramme en densités, courbe des fréquences cumulées.
Si variable qualitative, peu de modalités, et le total a un sens → diagramme circulaire ou en bâtons
Exemple : répartition des répondants par programme
au-delà de cinq ou six parts, le circulaire devient illisible
Si variable qualitative ou discrète, plusieurs groupes à comparer → diagramme en bâtons GROUPÉ, barres séparées, axe partant de zéro
Exemple : satisfaction par programme
Si variable continue regroupée en classes d'amplitude ÉGALE → histogramme en effectifs, barres jointives
Exemple : âges par tranches de cinq ans
Si variable continue regroupée en classes d'amplitude INÉGALE → histogramme en DENSITÉS : hauteur =amplitudeeffectif
Exemple : revenus, dont la dernière classe est toujours très large
Si on veut comparer deux distributions, ou lire des quantiles → polygone de fréquences, ou courbe des fréquences cumulées
Exemple : deux cohortes superposées sur le même axe
Si la variable est nominale, aucune branche ne mène à un histogramme ni à une courbe cumulative : c'est là que la question attend la faute.
Quelle tromperie ce graphique cache-t-il ?
Sur une infographie à critiquer, on parcourt cette liste dans l'ordre : le premier défaut trouvé est celui que l'énoncé attend.
Les cinq défauts, dans l'ordre de l'arbre : axe coupé, classe large en effectif, surface quadruplée, croisement de double axe, années inégalement espacées.
Si l'axe vertical ne part pas de zéro alors que ce sont des barres → AXE TRONQUÉ : recalculer les écarts réels et les comparer aux longueurs dessinées
Exemple : trois barres de 52, 55 et 58 % sur un axe partant de 50
Si les classes d'un histogramme n'ont pas la même largeur → DENSITÉ OUBLIÉE : recalculer les hauteurs
Exemple : une dernière classe « 80 et plus »
Si des dessins ou des cercles ont été agrandis proportionnellement → SURFACE : le rapport des aires est le CARRÉ du rapport des longueurs
Exemple : un billet de banque deux fois plus haut
Si deux séries partagent un graphique avec deux axes verticaux → DOUBLE AXE : ne comparer que les formes, jamais les positions ni les croisements
Exemple : chômage à gauche, inflation à droite
Si l'axe horizontal saute des périodes ou change de pas → AXE TEMPOREL IRRÉGULIER : la pente dessinée n'est pas la vitesse réelle
Exemple : 2010, 2011, 2015, 2016 également espacés
Un graphique peut porter deux défauts à la fois : les nommer tous les deux, chacun vaut son point.
La rédaction attendue
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Construire un tableau de distribution en classes
Quand l'utiliser : Quand l'énoncé donne un relevé brut et demande un tableau, un histogramme ou des statistiques groupées.
1Repérer le minimum, le maximum et l'étendue, et les écrire.
2Proposer un nombre de classes avec Sturges, k=1+3,322log10(n), puis annoncer le nombre RETENU et pourquoi.
3Calculer l'amplitude keˊtendue et l'arrondir VERS LE HAUT à une valeur commode.
4Écrire les bornes en respectant la convention fermée à gauche, ouverte à droite, et vérifier que la dernière classe contient le maximum.
5Dresser les quatre colonnes, puis contrôler que la somme des effectifs redonne n et que la dernière fréquence cumulée vaut 1.
Phrase de conclusion
« Pour n=60 observations d'étendue 155 dollars, la règle de Sturges donne k≈6,9 : je retiens 7 classes d'amplitude 25 dollars, la première commençant à 0. »
Le piège : Arrondir l'amplitude vers le bas : la dernière classe ne contient alors plus le maximum et le tableau n'est pas exhaustif.
Barème : 1 point pour Sturges, 1 point pour l'amplitude arrondie vers le haut, 2 points pour les colonnes, 1 point pour les contrôles.
Calculer la médiane sur données groupées
Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé donne un tableau en classes et demande la médiane, un quartile ou un centile.
1Construire la colonne des effectifs cumulés, si elle n'est pas déjà là.
2Calculer le rang cherché : 2n pour la médiane, 4n pour Q1, 43n pour Q3.
3Repérer la classe où le cumul atteint ce rang, et noter sa borne inférieure, son effectif et son amplitude.
4Appliquer l'interpolation et écrire l'unité du résultat.
5Vérifier que le résultat tombe bien à l'intérieur de la classe repérée.
Phrase de conclusion
« La classe médiane est [20;40[ : M=20+2030−12×20=38 dollars, sous hypothèse de répartition uniforme à l'intérieur de la classe. »
Le piège : Utiliser le cumul de la classe médiane elle-même au lieu de celui de la classe PRÉCÉDENTE : la formule renvoie alors une valeur hors de la classe.
Barème : 1 point pour la classe repérée, 2 points pour l'interpolation, 1 point pour l'hypothèse écrite.
Vérifier avant de rendre
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
La somme des fréquences relatives vaut 1
Additionner la colonne des fréquences : un total de 0,98 ou 1,02 vient des arrondis, un total de 0,80 vient d'une classe oubliée.
Un total à 1,15 signale que deux classes se recouvrent, donc que des observations ont été comptées deux fois.
La médiane tombe dans sa classe
Après l'interpolation, vérifier que le résultat est compris entre les deux bornes de la classe médiane.
Une médiane de 44 annoncée pour la classe [20;40[ vient presque toujours du mauvais cumul dans le numérateur.
L'aire totale de l'histogramme vaut l'effectif
Multiplier chaque hauteur par son amplitude et additionner : on doit retomber sur n.
0,6×20+1,0×20+0,4×40+0,15×80=60 : les densités sont bonnes.
Le test des deux secondes sur un graphique publié
Poser le doigt sur l'origine de l'axe vertical et lire la première graduation. Si ce n'est pas zéro sur des barres, la critique est trouvée.
Un axe qui commence à 50 % sur un diagramme en barres : l'écart dessiné n'a plus aucun rapport avec l'écart réel.
L'exercice type décortiqué
Du relevé brut à l'histogramme, avec des classes inégales
Soixante étudiants déclarent leur dépense hebdomadaire de transport, en dollars. Le regroupement retenu est : [0;20[ avec 12 étudiants, [20;40[ avec 20, [40;80[ avec 16, [80;160[ avec 12.
On demande l'histogramme, la moyenne et la médiane, puis un commentaire sur la forme de la distribution.
Le regroupement de l'énoncé : quatre classes d'amplitudes 20, 20, 40 et 80, et leurs effectifs.
Les cumuls servent à la médiane et les fréquences à la comparaison avec une autre cohorte : les deux colonnes se font en même temps, jamais en deux passages.
Étape 2
Sturges donnerait k=1+3,322log10(60)≈6,9, donc 7 classes égales. Le regroupement proposé n'en a que 4, d'amplitudes inégales.
Pourquoi
Il faut le dire, et dire pourquoi c'est légitime : les dépenses sont étalées vers le haut, et des classes égales laisseraient trois classes vides à droite.
C'est l'étape qui rapporte le plus de points et celle qu'on saute le plus souvent. Sans elle, le dessin dit que la dernière classe est la plus fournie alors qu'elle est la moins dense de toutes.
Le centre, pas la borne : prendre les bornes inférieures donnerait 33,33 dollars au lieu de 52, une sous-estimation de près de 19 dollars sur une dépense moyenne.
Étape 5
Rang 260=30; le cumul atteint 30 dans [20;40[, donc M=20+2030−12×20=38 dollars.
Pourquoi
Le cumul utilisé est celui de la classe PRÉCÉDENTE, 12, et non 32. C'est la seule difficulté de la formule et c'est là que se perd le point.
Étape 6
Contrôle : 0,6(20)+1,0(20)+0,4(40)+0,15(80)=60, et M=38<x=52.
Pourquoi
L'aire totale redonne l'effectif, donc les densités sont justes. La médiane inférieure à la moyenne confirme l'étalement vers la droite, cohérent avec la classe très large de la fin.
Conclusion rédigée
« La dépense médiane est de 38 dollars et la dépense moyenne de 52 dollars. L'écart entre les deux, et la densité qui s'effondre à 0,15 dans la dernière classe, décrivent une distribution étalée vers la droite : une minorité d'étudiants dépense beaucoup. »
L'erreur classique sur cet exercice : Tracer quatre barres de hauteurs 12, 20, 16 et 12 : la dernière classe occupe alors plus de 40% de la surface du graphique pour un cinquième des étudiants.
À savoir par cœur
•On ne CUMULE que sur une variable ordonnée. Sur une nominale, la colonne des cumuls n'existe pas.
•Classes inégales : hauteur =amplitudeeffectif, pour que l'AIRE vaille l'effectif.
•Sur des barres, l'axe vertical part de ZÉRO. Sur une courbe, une troncature visible est admise.
•Doubler les dimensions QUADRUPLE la surface. Pour doubler l'aire, multiplier par 2.
•Moyenne groupée : le CENTRE de classe, jamais la borne. Médiane groupée : le cumul de la classe PRÉCÉDENTE.
•Sur un double axe vertical, le point de croisement des deux courbes ne signifie rien.
Questions fréquentes
Comment calculer la hauteur des barres d'un histogramme à classes inégales ?
La hauteur est la densité, c'est-à-dire l'effectif de la classe divisé par son amplitude. Une classe de 40 unités contenant 16 observations donne une hauteur de 0,4. On procède ainsi pour que l'aire de chaque barre, et non sa hauteur, représente l'effectif : c'est l'aire que l'œil compare sur un histogramme.
Quelle différence entre un histogramme et un diagramme en bâtons ?
L'histogramme sert aux variables continues regroupées en classes et ses barres sont jointives, parce qu'entre deux classes il existe des valeurs. Le diagramme en bâtons sert aux variables qualitatives ou discrètes et ses barres sont séparées, parce qu'entre deux modalités il n'existe rien. L'espace entre les barres est donc une information.
Comment trouver la médiane d'un tableau en classes ?
On repère la classe où l'effectif cumulé atteint la moitié de l'effectif total, puis on interpole : on part de la borne inférieure de cette classe et on y ajoute l'amplitude multipliée par l'écart entre la moitié de l'effectif et le cumul de la classe précédente, divisé par l'effectif de la classe. Le résultat doit tomber dans la classe repérée.
Pourquoi un axe qui ne part pas de zéro est-il trompeur ?
Sur un diagramme en barres, le lecteur compare des longueurs. Si l'axe commence à 50, une valeur de 52 devient une barre deux unités de long et une valeur de 58 une barre huit unités de long : la seconde paraît quatre fois la première alors que l'écart réel est de six points sur cinquante-huit. La troncature multiplie les rapports sans toucher aux données.
Combien de classes faut-il pour regrouper des données ?
La règle de Sturges donne un point de départ : un plus 3,322 fois le logarithme décimal de l'effectif, ce qui donne environ sept classes pour soixante observations. Ce n'est pas une obligation : on arrondit à un nombre commode et on choisit une amplitude ronde, à condition d'écrire le choix et de vérifier que la dernière classe contient le maximum.
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Exercices corrigés : Tableaux de distribution et graphiques
Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.
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