Méthodes quantitatives 360-300 • Sciences humaines au cégep à Montréal
Fiche de révision : échantillonnage et questionnaire
Cette fiche ne réécrit pas le chapitre sur l'échantillonnage : elle traite les six ou sept endroits précis où les copies perdent des points. Tous se ramènent à la même confusion, celle entre le NOMBRE de personnes interrogées et la MANIÈRE dont elles ont été choisies. La première se voit dans le rapport, la seconde décide de ce que le rapport a le droit de conclure.
Elle s'adresse aux étudiants de Sciences humaines du cégep qui suivent le cours obligatoire de méthodes quantitatives 360-300. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve, du calcul de taille jusqu'à la critique d'une fiche technique publiée.
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Le fil du chapitre
Un échantillon ne vaut pas par sa TAILLE mais par la façon dont il a été tiré. Mille volontaires qui se sont proposés valent moins que quatre cents personnes tirées au sort, et aucune pondération ne rattrape cet écart.
Trois ensembles, et c'est entre eux que naissent les biais
•La POPULATION VISÉE est celle sur laquelle on veut conclure. La BASE DE SONDAGE est la liste dans laquelle on tire réellement.
•SOUS-COUVERTURE : dans la population, absent de la base. La probabilité d'être choisi vaut alors zéro, et aucune taille d'échantillon ne répare cela.
•SURCOUVERTURE : présent dans la base, hors de la population. C'est moins grave, on l'écarte au moment du contact.
•L'ÉCHANTILLON sort de la base, jamais de la population : toute critique d'une enquête commence par comparer les deux.
La zone de gauche est perdue d'avance : ces personnes font partie de la population et n'ont aucune chance d'être tirées. L'échantillon vit tout entier dans l'intersection.
Nommer la base de sondage rapporte presque toujours un point : « la liste des numéros de téléphone résidentiels » n'est pas « la population du Québec ».
Probabiliste ou non : la frontière qui décide de tout
•Un plan est PROBABILISTE si chaque unité a une probabilité CONNUE et NON NULLE d'être tirée. Connue, pas forcément égale : on corrige ensuite par des poids.
•Quatre plans probabilistes : aléatoire simple, systématique (pas k=nN), stratifié (on tire dans chaque strate), en grappes (on tire des blocs entiers).
•Quatre plans non probabilistes : quotas, accidentel, choix raisonné, boule de neige. Aucun ne donne de marge d'erreur.
•À effectif égal, le stratifié est PLUS précis que l'aléatoire simple, et le plan en grappes MOINS précis, parce que les membres d'une grappe se ressemblent.
Illustration : à effectif égal, le stratifié donne l'intervalle le plus étroit, les grappes le plus large, parce que les membres d'une grappe se ressemblent.
La question « ce plan est-il probabiliste » se tranche sur une seule chose : sait-on, pour chaque personne, quelle était sa chance d'être choisie ?
Les trois formules à savoir écrire de mémoire
•Taille pour une proportion : n=E2z2p(1−p), avec z=1,96 à 95 %. Sans information sur p, on prend p=0,5, où p(1−p) est maximale.
•Correction de population finie : nc=1+Nn−1n, utile dès que l'échantillon dépasse environ 5 % de la population.
•Effet de plan : neff=deffn. C'est neff, et jamais n, qui entre dans une formule de marge d'erreur.
•Allocation PROPORTIONNELLE : selon Nh. Allocation de NEYMAN : selon Nhsh, donc plus de questionnaires là où la strate est dispersée.
Les 526 questionnaires de l'exemple : proportionnels aux effectifs (bleu), ou selon Neyman aux produits effectif fois écart-type (orange), qui en envoie plus en Arts, la strate dispersée.
Le p=0,5 n'est pas une estimation, c'est un choix conservateur : il donne la taille la plus grande, donc celle qui protège dans tous les cas.
Les pièges qui coûtent des points
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
1.Prendre la taille pour de la représentativité
2 points, et c'est la première phrase que le correcteur cherche
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Nous avons 5000 répondants, l'échantillon est donc très représentatif. »
Ce qu'il faut écrire
« La représentativité vient du MODE DE TIRAGE. Ces 5000 répondants se sont proposés eux-mêmes : l'échantillon est gros et biaisé. »
Plus n grandit, plus l'estimation se resserre (pointillés : 95 %) ; celle du panel de volontaires se resserre aussi, mais autour de 62 % au lieu de 50 %.
Pourquoi : Un biais de sélection ne diminue pas quand l'effectif augmente : il se répète à l'identique. Grossir un échantillon biaisé, c'est mesurer plus précisément la mauvaise chose.
2.Croire que doubler l'échantillon divise la marge par deux
1 point, et un budget d'enquête calculé de travers
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Nous passons de 400 à 800 répondants, la marge tombera donc de 4,9 à 2,45 points. »
Ce qu'il faut écrire
« La marge varie en n1 : doubler n la divise par 2, soit 3,5 points. Pour la diviser par deux, il faut QUADRUPLER l'effectif. »
La courbe s'aplatit très vite : entre n=400 et n=1600 on gagne 2,45 points, et il faudrait 6400 répondants pour en gagner autant de nouveau.
Pourquoi : La racine carrée du dénominateur est ce qui rend les grands sondages si chers : chaque point de précision gagné coûte de plus en plus cher.
3.Appeler stratifié un échantillon par quotas
toute la question sur la précision de l'enquête
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Nous avons respecté les proportions de sexe et d'âge de la population : l'échantillon est stratifié, donc probabiliste. »
Ce qu'il faut écrire
« Les proportions sont respectées, mais les répondants ont été recrutés au jugé à l'intérieur de chaque case : c'est un plan PAR QUOTAS, donc non probabiliste, et sans marge d'erreur. »
Mêmes cases, même nombre par case : à gauche on tire au sort dans chaque strate, à droite l'enquêteur prend les plus accessibles. Seul le premier est probabiliste.
Pourquoi : Stratifié et quotas produisent la même structure finale. La différence est invisible dans le tableau et décisive dans la méthode : dans un plan stratifié, on TIRE AU SORT à l'intérieur de chaque strate.
4.Le pas systématique posé sur une liste périodique
1 point pour le départ non tiré, davantage si la périodicité est signalée dans l'énoncé
Ce qu'il ne faut pas écrire
« La liste compte 700 noms et j'en veux 100 : je prends un nom sur 7 à partir du premier. »
Ce qu'il faut écrire
« Le pas vaut k=100700=7, et le point de départ se TIRE AU SORT entre 1 et 7. Je vérifie d'abord que la liste n'a pas de cycle de longueur 7. »
Une liste de garde rangée par semaine a un cycle de 7 : avec un pas de 7 et un départ non tiré au sort, l'échantillon ne contient que des dimanches.
Pourquoi : Une liste de garde organisée par semaine a un cycle de sept : un pas de sept ne sélectionnerait que des dimanches. Le plan systématique est le seul dont la validité dépend de l'ORDRE de la liste.
5.Calculer la marge d'un plan en grappes avec l'effectif brut
2 points, et une précision annoncée à tort
Ce qu'il ne faut pas écrire
« 1000 élèves répartis dans 40 classes tirées au sort : la marge vaut 3,1 points. »
Ce qu'il faut écrire
« L'effet de plan vaut 2,0, donc neff=21000=500 et la marge vaut 4,4 points. C'est neff qui entre dans la formule. »
À gauche, les huit tirés se répartissent sur les quatre strates. À droite, les huit viennent tous de la même grappe : le même effectif, beaucoup moins de diversité.
Pourquoi : Les élèves d'une même classe se ressemblent : le millième élève d'une grappe apporte beaucoup moins d'information nouvelle que le millième élève d'un tirage aléatoire simple.
6.Prendre le taux de réponse pour la mesure du biais
1 point de méthode, davantage si l'énoncé fournit de quoi comparer les deux groupes
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le taux de réponse atteint 72 % : le biais de non-réponse est donc faible. »
Ce qu'il faut écrire
« Le taux de réponse mesure le RISQUE de biais, pas le biais. Celui-ci vaut (1−t)(yr−ynr) : il est nul si les non-répondants ressemblent aux répondants, énorme sinon. »
Rectangles de largeur égale aux parts : 72 % de répondants à 60, 28 % de non-répondants à 40. L'ensemble vaut 54,4 ; les seuls répondants surestiment de 5,6.
Pourquoi : Un taux de 95 % avec des non-répondants tous du même profil biaise plus qu'un taux de 40 % avec une non-réponse indifférente au sujet de l'enquête.
7.Croire que la pondération répare un panel de volontaires
toute la conclusion sur la portée de l'enquête
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Nous avons pondéré selon le sexe, l'âge et la région : l'échantillon est maintenant représentatif. »
Ce qu'il faut écrire
« La pondération redresse la structure OBSERVABLE. Elle ne corrige rien de ce qui a poussé ces personnes à s'inscrire, et ne crée aucune probabilité d'inclusion là où il n'y en avait pas. »
Illustration : la pondération ramène la part des 18-34 ans à celle de la population (vert), mais l'intérêt pour le sujet, absent des recensements, reste gonflé (rouge).
Pourquoi : On ne pondère que sur des variables qu'on connaît dans la population. L'intérêt pour le sujet de l'enquête, lui, n'est dans aucun recensement.
8.La question à double barillet
1 point par question fautive, et l'item devient inexploitable
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Trouvez-vous les locaux propres et bien éclairés ? Oui / Non »
Ce qu'il faut écrire
« Trouvez-vous les locaux propres ? » puis « Trouvez-vous les locaux bien éclairés ? » : deux idées, deux questions.
Pourquoi : Un « non » ne dit pas laquelle des deux propriétés manque. Aucun traitement statistique ne rattrape une question qui posait deux choses à la fois : la donnée n'a jamais existé.
Quelle méthode choisir
Quel plan l'énoncé décrit-il ?
On cherche dans l'énoncé la PHRASE qui dit comment les gens ont été atteints, et on la compare à quatre formes.
Les quatre plans probabilistes : au hasard dans la liste, un sur k, au hasard dans chaque strate (rangées), des blocs entiers tirés (colonnes).
Si « tirés au hasard dans la liste complète » → aléatoire simple : probabiliste, la formule de marge s'applique directement
Exemple : 300 noms tirés parmi les 4 200 de la liste étudiante
Si « un sur k à partir d'un départ tiré au sort » → systématique : probabiliste, à condition que la liste n'ait pas de cycle de longueur k
Exemple : un dossier sur 14 dans un classeur alphabétique
Si « on a tiré dans CHAQUE groupe » → stratifié : probabiliste et plus précis que l'aléatoire simple; il faut préciser l'allocation
Exemple : 40 étudiants tirés dans chacun des 3 programmes
Si « on a tiré des groupes ENTIERS, puis interrogé tout le monde dedans » → en grappes : probabiliste mais MOINS précis; il faut appliquer l'effet de plan
Exemple : 12 classes tirées au sort, tous les élèves interrogés
Si « nous avons recruté jusqu'à respecter les proportions » ou « les volontaires ont répondu en ligne » → NON probabiliste : quotas ou accidentel. Aucune marge d'erreur ne peut être annoncée
Exemple : un sondage ouvert sur la page du journal étudiant
Si aucune branche ne s'applique, c'est que l'énoncé ne dit pas comment les répondants ont été atteints : le signaler EST la réponse attendue.
Quelle faute de rédaction porte cette question ?
On lit la question du questionnaire à voix basse et on cherche laquelle de ces cinq formes elle prend.
Si un « et » ou un « ou » relie deux idées évaluables séparément → DOUBLE BARILLET : couper en deux questions
Exemple : « les locaux sont-ils propres et bien éclairés ? »
Si la question contient un jugement, un chiffre alarmant ou une autorité → QUESTION ORIENTÉE : retirer la prémisse et poser la question nue
Exemple : « compte tenu de la hausse des frais, trouvez-vous... »
Si une réponse possible n'est dans aucune modalité, ou deux modalités se recouvrent → MODALITÉS NON EXHAUSTIVES OU NON EXCLUSIVES : ajouter « autre » et redécouper les bornes
Exemple : les tranches « 20 à 30 » et « 30 à 40 »
Si la réponse expose le répondant, sur ses revenus, ses notes ou ses opinions mal vues → DÉSIRABILITÉ SOCIALE : garantir l'anonymat, passer à l'auto-administré, formuler en tranches
Exemple : « avez-vous déjà triché à un examen ? »
Si la question suit immédiatement une autre qui l'oriente → EFFET D'ORDRE : séparer les deux questions ou permuter l'ordre d'un questionnaire à l'autre
Exemple : une question sur le coût juste avant une question sur la satisfaction
Une même question peut porter deux fautes : les nommer toutes les deux, chacune vaut son point.
La rédaction attendue
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Justifier une taille d'échantillon
Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande « combien de personnes faut-il interroger » ou fournit une marge d'erreur visée.
1Écrire les trois données de la formule : le niveau de confiance et son z, la marge visée E, la valeur retenue pour p.
2Justifier le choix de p : p=0,5 faute d'information, parce que p(1−p) y est maximale et que la taille obtenue protège dans tous les cas.
3Calculer n=E2z2p(1−p) et ARRONDIR VERS LE HAUT, jamais au plus proche.
4Comparer n à la taille N de la population : si n dépasse environ 5 % de N, appliquer la correction de population finie.
5Conclure par une phrase qui redonne la marge et le niveau de confiance, sans quoi le nombre ne veut rien dire.
Phrase de conclusion
« Pour une marge de 4 points au niveau de confiance de 95 %, et en prenant p=0,5 faute d'information préalable, il faut 601 répondants; la population ne comptant que 4200 personnes, la correction de population finie ramène ce nombre à 526 répondants effectivement joints. »
Le piège : Arrondir 600,25 à 600 : la marge visée n'est alors plus atteinte. On arrondit toujours vers le haut.
Barème : 1 point pour la formule posée, 1 point pour le choix de p justifié, 1 point pour le calcul, 1 point pour la correction de population finie quand elle s'impose.
Décrire un plan stratifié et son allocation
Quand l'utiliser : Quand l'énoncé donne des strates avec leurs effectifs, et parfois leurs écarts-types.
1Nommer la variable de stratification et dire pourquoi elle est pertinente : les strates doivent être homogènes à l'intérieur et différentes entre elles.
2Choisir l'allocation et l'annoncer : proportionnelle si l'on ne dispose que des Nh, de Neyman si les sh sont fournis.
3Calculer les nh, puis vérifier que leur somme redonne n après arrondi.
4Signaler les strates dont l'effectif tiré descend sous une trentaine d'unités : aucune conclusion par strate n'y sera possible.
Phrase de conclusion
« L'allocation de Neyman attribue 231, 103 et 192 questionnaires aux trois programmes, contre 226, 150 et 150 en allocation proportionnelle : elle déplace l'effort vers la strate la plus dispersée. »
Le piège : Répartir en parts égales entre les strates : ce n'est ni proportionnel ni Neyman, et cela surreprésente les petites strates sans que ce soit dit.
Barème : 1 point pour l'allocation nommée, 2 points pour les calculs, 1 point pour le contrôle de la somme.
Vérifier avant de rendre
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
La somme des sous-échantillons redonne le total
Après toute allocation, additionner les nh : l'arrondi fait souvent perdre ou gagner une unité, qu'on rattrape sur la plus grosse strate.
225+150+150=525 au lieu de 526 : on ajoute l'unité manquante à la strate la plus nombreuse.
L'approximation de la marge en un coup d'œil
Pour p voisin de 0,5, la marge en points vaut environ n100. Elle confirme ou contredit tout calcul en trois secondes.
Pour n=1000, on attend environ 3,2 points : un résultat annoncé à 1,5 point signale une erreur de formule.
Le plan autorise-t-il une marge d'erreur ?
Avant d'écrire le moindre intervalle, relire la phrase de l'énoncé qui décrit le recrutement et vérifier qu'elle contient un tirage au sort.
« les visiteurs du site ont pu répondre » : pas de tirage, donc pas de marge, et la question porte souvent exactement là-dessus.
La correction de population finie était-elle nécessaire ?
Calculer Nn : au-dessous de 0,05 la correction change à peine le résultat, au-dessus elle est attendue.
4200600≈0,14 : la correction s'impose et fait économiser 75 questionnaires.
L'exercice type décortiqué
Concevoir l'enquête sur la vie étudiante, de la taille à l'allocation
Un cégep compte 4200 étudiants : 1800 en Sciences humaines, 1200 en Sciences de la nature, 1200 en Arts et lettres.
On veut estimer la proportion d'étudiants qui occupent un emploi rémunéré, avec une marge de 4 points au niveau de confiance de 95 %.
Les écarts-types des heures travaillées, connus d'une enquête précédente, valent respectivement 12, 8 et 15 heures.
Les trois strates du cégep : effectifs 1 800, 1 200 et 1 200, écarts-types des heures travaillées 12, 8 et 15.
Étape 1
n=0,0421,962×0,5×0,5=0,00160,9604=600,25, soit 601 répondants.
Pourquoi
On prend p=0,5 parce qu'aucune estimation préalable n'est donnée et que p(1−p) y est maximale : la taille obtenue est celle qui protège quel que soit le vrai p.
Étape 2
4200600≈0,14>0,05, donc nc=1+4200599,25600,25≈525,3, soit 526 répondants.
Pourquoi
Dans une petite population, chaque personne interrogée retire de l'incertitude à celles qui restent. Sauter cette étape fait payer 75 questionnaires pour rien.
Étape 3
Allocation proportionnelle : 526×42001800≈225,4, puis 150,3 et 150,3, soit 226, 150 et 150.
Pourquoi
L'unité perdue à l'arrondi se rend à la plus grosse strate : c'est là qu'elle change le moins la précision relative, et la somme doit redonner 526.
Étape 4
Allocation de Neyman : les Nhsh valent 21600, 9600 et 18000, de somme 49200; d'où 231, 103 et 192 questionnaires.
Pourquoi
Neyman envoie les questionnaires là où les réponses varient le plus : Arts et lettres est la strate la plus dispersée et reçoit 192 questionnaires au lieu de 150.
Étape 5
Si le plan devenait un plan en grappes de deff=1,6, alors neff=1,6526≈328,8 et la marge remonterait à 1,96328,80,25≈5,4 points.
Pourquoi
C'est le chiffre qui justifie le coût du plan stratifié : à effectif identique, passer aux grappes ferait perdre 1,4 point de précision.
Étape 6
Contrôle : 226+150+150=526 et 231+103+192=526.
Pourquoi
Une somme d'allocation qui ne retombe pas sur n signale un arrondi mal réparti, avant même d'avoir imprimé un questionnaire.
Conclusion rédigée
« Il faut 526 répondants tirés au sort, répartis en 231, 103 et 192 selon l'allocation de Neyman, pour estimer la proportion d'étudiants en emploi avec une marge de 4 points, 19 fois sur 20. »
L'erreur classique sur cet exercice : Calculer 601 puis répartir directement ces 601 questionnaires sans appliquer la correction de population finie : l'enquête coûte 14 % plus cher pour la même précision.
À savoir par cœur
•Un plan est PROBABILISTE si chaque unité a une probabilité CONNUE et NON NULLE d'être tirée. Sinon, aucune marge d'erreur.
•La marge varie en n1 : pour la diviser par deux, il faut QUADRUPLER l'effectif.
•n=E2z2p(1−p), avec p=0,5 faute d'information, et on arrondit toujours VERS LE HAUT.
•Le stratifié est plus précis que l'aléatoire simple, le plan en grappes l'est MOINS : c'est neff=deffn qui entre dans la formule.
•Allocation proportionnelle selon Nh, allocation de Neyman selon Nhsh : la seconde envoie l'effort là où ça varie.
•Le taux de réponse mesure le RISQUE de biais, jamais le biais : celui-ci vaut (1−t)(yr−ynr).
•Une question par idée. Le double barillet ne se répare pas au traitement.
Questions fréquentes
Quelle taille d'échantillon faut-il pour un sondage ?
Elle se calcule à partir de trois choix : le niveau de confiance, presque toujours 95 pour cent, la marge d'erreur visée, et la proportion attendue. Sans information sur cette proportion, on prend 0,5, qui donne la taille la plus grande. Pour une marge de 4 points à 95 pour cent, il faut environ 601 personnes, et moins si la population est petite.
Quelle différence entre un plan stratifié et des quotas ?
Les deux respectent les proportions de la population, mais le stratifié tire au sort à l'intérieur de chaque strate alors que les quotas laissent l'enquêteur recruter qui il veut jusqu'à remplir la case. Le premier est probabiliste et donne une marge d'erreur, le second non. La différence est invisible dans le tableau final et décisive dans la méthode.
Pourquoi un sondage en ligne n'a-t-il pas de marge d'erreur ?
Parce que les répondants se sont proposés eux-mêmes : on ne connaît la probabilité d'inclusion de personne, et la formule de la marge suppose justement qu'elle est connue et non nulle. Le calcul donne quand même un nombre, mais ce nombre ne décrit rien. Pondérer les résultats ne crée pas la probabilité qui manquait.
Qu'est-ce que l'effet de plan dans un sondage ?
C'est le facteur qui dit combien de précision un plan fait perdre par rapport à un tirage aléatoire simple de même taille. On divise l'effectif par ce facteur pour obtenir la taille effective, et c'est elle qu'on met dans la formule de la marge. Un plan en grappes a un effet de plan supérieur à 1 parce que les membres d'une grappe se ressemblent.
Un taux de réponse élevé garantit-il un sondage fiable ?
Non. Le taux de réponse mesure le risque de biais, pas le biais lui-même. Si les non-répondants ressemblent aux répondants sur la question posée, un taux de 40 pour cent ne biaise rien. S'ils en diffèrent systématiquement, un taux de 90 pour cent peut encore fausser le résultat. Ce qui compte est l'écart entre les deux groupes, pas leur proportion.
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Exercices corrigés : Échantillonnage et questionnaire
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