Méthodes quantitatives 360-300 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : échantillonnage et questionnaire

Cette fiche ne réécrit pas le chapitre sur l'échantillonnage : elle traite les six ou sept endroits précis où les copies perdent des points. Tous se ramènent à la même confusion, celle entre le NOMBRE de personnes interrogées et la MANIÈRE dont elles ont été choisies. La première se voit dans le rapport, la seconde décide de ce que le rapport a le droit de conclure.

Elle s'adresse aux étudiants de Sciences humaines du cégep qui suivent le cours obligatoire de méthodes quantitatives 360-300. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve, du calcul de taille jusqu'à la critique d'une fiche technique publiée.

Le fil du chapitre

Un échantillon ne vaut pas par sa TAILLE mais par la façon dont il a été tiré. Mille volontaires qui se sont proposés valent moins que quatre cents personnes tirées au sort, et aucune pondération ne rattrape cet écart.

Ce chapitre fait partie de Méthodes quantitatives en sciences humaines : tous les chapitres du 360-300

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Concepts, variables et échelles de mesure Fiche

Notions couvertes

Base de sondage
Sous-couverture et surcouverture
Échantillonnage aléatoire simple
Échantillonnage systématique
Échantillonnage stratifié
Échantillonnage en grappes
Plans non probabilistes
Effet de plan
Taille d'échantillon requise
Allocation de Neyman
Correction de population finie
Biais de non-réponse

L'essentiel

Trois ensembles, et c'est entre eux que naissent les biais

• La POPULATION VISÉE est celle sur laquelle on veut conclure. La BASE DE SONDAGE est la liste dans laquelle on tire réellement.
• SOUS-COUVERTURE : dans la population, absent de la base. La probabilité d'être choisi vaut alors zéro, et aucune taille d'échantillon ne répare cela.
• SURCOUVERTURE : présent dans la base, hors de la population. C'est moins grave, on l'écarte au moment du contact.
• L'ÉCHANTILLON sort de la base, jamais de la population : toute critique d'une enquête commence par comparer les deux.

La zone de gauche est perdue d'avance : ces personnes font partie de la population et n'ont aucune chance d'être tirées. L'échantillon vit tout entier dans l'intersection.

Nommer la base de sondage rapporte presque toujours un point : « la liste des numéros de téléphone résidentiels » n'est pas « la population du Québec ».

Probabiliste ou non : la frontière qui décide de tout

• Un plan est PROBABILISTE si chaque unité a une probabilité CONNUE et NON NULLE d'être tirée. Connue, pas forcément égale : on corrige ensuite par des poids.
• Quatre plans probabilistes : aléatoire simple, systématique (pas $k=\dfrac{N}{n}$ ), stratifié (on tire dans chaque strate), en grappes (on tire des blocs entiers).
• Quatre plans non probabilistes : quotas, accidentel, choix raisonné, boule de neige. Aucun ne donne de marge d'erreur.
• À effectif égal, le stratifié est PLUS précis que l'aléatoire simple, et le plan en grappes MOINS précis, parce que les membres d'une grappe se ressemblent.

La question « ce plan est-il probabiliste » se tranche sur une seule chose : sait-on, pour chaque personne, quelle était sa chance d'être choisie ?

Les trois formules à savoir écrire de mémoire

• Taille pour une proportion : $n=\dfrac{z^{2}p(1-p)}{E^{2}}$ , avec $z=1{,}96$ à 95 %. Sans information sur $p$ , on prend $p=0{,}5$ , où $p(1-p)$ est maximale.
• Correction de population finie : $n_{c}=\dfrac{n}{1+\dfrac{n-1}{N}}$ , utile dès que l'échantillon dépasse environ 5 % de la population.
• Effet de plan : $n_{eff}=\dfrac{n}{deff}$ . C'est $n_{eff}$ , et jamais $n$ , qui entre dans une formule de marge d'erreur.
• Allocation PROPORTIONNELLE : selon $N_{h}$ . Allocation de NEYMAN : selon $N_{h}s_{h}$ , donc plus de questionnaires là où la strate est dispersée.

Le $p=0{,}5$ n'est pas une estimation, c'est un choix conservateur : il donne la taille la plus grande, donc celle qui protège dans tous les cas.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre la taille pour de la représentativité

2 points, et c'est la première phrase que le correcteur cherche

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Nous avons $5\,000$ répondants, l'échantillon est donc très représentatif. »

Ce qu'il faut écrire

« La représentativité vient du MODE DE TIRAGE. Ces $5\,000$ répondants se sont proposés eux-mêmes : l'échantillon est gros et biaisé. »

Pourquoi : Un biais de sélection ne diminue pas quand l'effectif augmente : il se répète à l'identique. Grossir un échantillon biaisé, c'est mesurer plus précisément la mauvaise chose.

2. Croire que doubler l'échantillon divise la marge par deux

1 point, et un budget d'enquête calculé de travers

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Nous passons de $400$ à $800$ répondants, la marge tombera donc de $4{,}9$ à $2{,}45$ points. »

Ce qu'il faut écrire

« La marge varie en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ : doubler $n$ la divise par $\sqrt{2}$ , soit $3{,}5$ points. Pour la diviser par deux, il faut QUADRUPLER l'effectif. »

La courbe s'aplatit très vite : entre

n=400

n=1600

on gagne

2{,}45

points, et il faudrait

6\,400

répondants pour en gagner autant de nouveau.

Pourquoi : La racine carrée du dénominateur est ce qui rend les grands sondages si chers : chaque point de précision gagné coûte de plus en plus cher.

3. Appeler stratifié un échantillon par quotas

toute la question sur la précision de l'enquête

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Nous avons respecté les proportions de sexe et d'âge de la population : l'échantillon est stratifié, donc probabiliste. »

Ce qu'il faut écrire

« Les proportions sont respectées, mais les répondants ont été recrutés au jugé à l'intérieur de chaque case : c'est un plan PAR QUOTAS, donc non probabiliste, et sans marge d'erreur. »

Pourquoi : Stratifié et quotas produisent la même structure finale. La différence est invisible dans le tableau et décisive dans la méthode : dans un plan stratifié, on TIRE AU SORT à l'intérieur de chaque strate.

4. Le pas systématique posé sur une liste périodique

1 point pour le départ non tiré, davantage si la périodicité est signalée dans l'énoncé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La liste compte $700$ noms et j'en veux $100$ : je prends un nom sur $7$ à partir du premier. »

Ce qu'il faut écrire

« Le pas vaut $k=\dfrac{700}{100}=7$ , et le point de départ se TIRE AU SORT entre $1$ et $7$ . Je vérifie d'abord que la liste n'a pas de cycle de longueur $7$ . »

Pourquoi : Une liste de garde organisée par semaine a un cycle de sept : un pas de sept ne sélectionnerait que des dimanches. Le plan systématique est le seul dont la validité dépend de l'ORDRE de la liste.

5. Calculer la marge d'un plan en grappes avec l'effectif brut

2 points, et une précision annoncée à tort

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $1\,000$ élèves répartis dans $40$ classes tirées au sort : la marge vaut $3{,}1$ points. »

Ce qu'il faut écrire

« L'effet de plan vaut $2{,}0$ , donc $n_{eff}=\dfrac{1000}{2}=500$ et la marge vaut $4{,}4$ points. C'est $n_{eff}$ qui entre dans la formule. »

À gauche, les huit tirés se répartissent sur les quatre strates. À droite, les huit viennent tous de la même grappe : le même effectif, beaucoup moins de diversité.

Pourquoi : Les élèves d'une même classe se ressemblent : le millième élève d'une grappe apporte beaucoup moins d'information nouvelle que le millième élève d'un tirage aléatoire simple.

6. Prendre le taux de réponse pour la mesure du biais

1 point de méthode, davantage si l'énoncé fournit de quoi comparer les deux groupes

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le taux de réponse atteint 72 % : le biais de non-réponse est donc faible. »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux de réponse mesure le RISQUE de biais, pas le biais. Celui-ci vaut $(1-t)(\overline{y}_{r}-\overline{y}_{nr})$ : il est nul si les non-répondants ressemblent aux répondants, énorme sinon. »

Pourquoi : Un taux de 95 % avec des non-répondants tous du même profil biaise plus qu'un taux de 40 % avec une non-réponse indifférente au sujet de l'enquête.

7. Croire que la pondération répare un panel de volontaires

toute la conclusion sur la portée de l'enquête

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Nous avons pondéré selon le sexe, l'âge et la région : l'échantillon est maintenant représentatif. »

Ce qu'il faut écrire

« La pondération redresse la structure OBSERVABLE. Elle ne corrige rien de ce qui a poussé ces personnes à s'inscrire, et ne crée aucune probabilité d'inclusion là où il n'y en avait pas. »

Pourquoi : On ne pondère que sur des variables qu'on connaît dans la population. L'intérêt pour le sujet de l'enquête, lui, n'est dans aucun recensement.

8. La question à double barillet

1 point par question fautive, et l'item devient inexploitable

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Trouvez-vous les locaux propres et bien éclairés ? Oui / Non »

Ce qu'il faut écrire

« Trouvez-vous les locaux propres ? » puis « Trouvez-vous les locaux bien éclairés ? » : deux idées, deux questions.

Pourquoi : Un « non » ne dit pas laquelle des deux propriétés manque. Aucun traitement statistique ne rattrape une question qui posait deux choses à la fois : la donnée n'a jamais existé.

Quelle méthode choisir

Quel plan l'énoncé décrit-il ?

On cherche dans l'énoncé la PHRASE qui dit comment les gens ont été atteints, et on la compare à quatre formes.

Si « tirés au hasard dans la liste complète » → aléatoire simple : probabiliste, la formule de marge s'applique directement

Exemple : 300 noms tirés parmi les 4 200 de la liste étudiante
Si « un sur k à partir d'un départ tiré au sort » → systématique : probabiliste, à condition que la liste n'ait pas de cycle de longueur $k$

Exemple : un dossier sur 14 dans un classeur alphabétique
Si « on a tiré dans CHAQUE groupe » → stratifié : probabiliste et plus précis que l'aléatoire simple; il faut préciser l'allocation

Exemple : 40 étudiants tirés dans chacun des 3 programmes
Si « on a tiré des groupes ENTIERS, puis interrogé tout le monde dedans » → en grappes : probabiliste mais MOINS précis; il faut appliquer l'effet de plan

Exemple : 12 classes tirées au sort, tous les élèves interrogés
Si « nous avons recruté jusqu'à respecter les proportions » ou « les volontaires ont répondu en ligne » → NON probabiliste : quotas ou accidentel. Aucune marge d'erreur ne peut être annoncée

Exemple : un sondage ouvert sur la page du journal étudiant

Si aucune branche ne s'applique, c'est que l'énoncé ne dit pas comment les répondants ont été atteints : le signaler EST la réponse attendue.

Quelle faute de rédaction porte cette question ?

On lit la question du questionnaire à voix basse et on cherche laquelle de ces cinq formes elle prend.

Si un « et » ou un « ou » relie deux idées évaluables séparément → DOUBLE BARILLET : couper en deux questions

Exemple : « les locaux sont-ils propres et bien éclairés ? »
Si la question contient un jugement, un chiffre alarmant ou une autorité → QUESTION ORIENTÉE : retirer la prémisse et poser la question nue

Exemple : « compte tenu de la hausse des frais, trouvez-vous... »
Si une réponse possible n'est dans aucune modalité, ou deux modalités se recouvrent → MODALITÉS NON EXHAUSTIVES OU NON EXCLUSIVES : ajouter « autre » et redécouper les bornes

Exemple : les tranches « 20 à 30 » et « 30 à 40 »
Si la réponse expose le répondant, sur ses revenus, ses notes ou ses opinions mal vues → DÉSIRABILITÉ SOCIALE : garantir l'anonymat, passer à l'auto-administré, formuler en tranches

Exemple : « avez-vous déjà triché à un examen ? »
Si la question suit immédiatement une autre qui l'oriente → EFFET D'ORDRE : séparer les deux questions ou permuter l'ordre d'un questionnaire à l'autre

Exemple : une question sur le coût juste avant une question sur la satisfaction

Une même question peut porter deux fautes : les nommer toutes les deux, chacune vaut son point.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Justifier une taille d'échantillon

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande « combien de personnes faut-il interroger » ou fournit une marge d'erreur visée.

1 Écrire les trois données de la formule : le niveau de confiance et son $z$ , la marge visée $E$ , la valeur retenue pour $p$ .
2 Justifier le choix de $p$ : $p=0{,}5$ faute d'information, parce que $p(1-p)$ y est maximale et que la taille obtenue protège dans tous les cas.
3 Calculer $n=\dfrac{z^{2}p(1-p)}{E^{2}}$ et ARRONDIR VERS LE HAUT, jamais au plus proche.
4 Comparer $n$ à la taille $N$ de la population : si $n$ dépasse environ 5 % de $N$ , appliquer la correction de population finie.
5 Conclure par une phrase qui redonne la marge et le niveau de confiance, sans quoi le nombre ne veut rien dire.

Phrase de conclusion

« Pour une marge de $4$ points au niveau de confiance de 95 %, et en prenant $p=0{,}5$ faute d'information préalable, il faut $601$ répondants; la population ne comptant que $4\,200$ personnes, la correction de population finie ramène ce nombre à $526$ répondants effectivement joints. »

Le piège : Arrondir $600{,}25$ à $600$ : la marge visée n'est alors plus atteinte. On arrondit toujours vers le haut.

Barème : 1 point pour la formule posée, 1 point pour le choix de $p$ justifié, 1 point pour le calcul, 1 point pour la correction de population finie quand elle s'impose.

Décrire un plan stratifié et son allocation

Quand l'utiliser : Quand l'énoncé donne des strates avec leurs effectifs, et parfois leurs écarts-types.

1 Nommer la variable de stratification et dire pourquoi elle est pertinente : les strates doivent être homogènes à l'intérieur et différentes entre elles.
2 Choisir l'allocation et l'annoncer : proportionnelle si l'on ne dispose que des $N_{h}$ , de Neyman si les $s_{h}$ sont fournis.
3 Calculer les $n_{h}$ , puis vérifier que leur somme redonne $n$ après arrondi.
4 Signaler les strates dont l'effectif tiré descend sous une trentaine d'unités : aucune conclusion par strate n'y sera possible.

Phrase de conclusion

« L'allocation de Neyman attribue $231$ , $103$ et $192$ questionnaires aux trois programmes, contre $226$ , $150$ et $150$ en allocation proportionnelle : elle déplace l'effort vers la strate la plus dispersée. »

Le piège : Répartir en parts égales entre les strates : ce n'est ni proportionnel ni Neyman, et cela surreprésente les petites strates sans que ce soit dit.

Barème : 1 point pour l'allocation nommée, 2 points pour les calculs, 1 point pour le contrôle de la somme.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme des sous-échantillons redonne le total

Après toute allocation, additionner les $n_{h}$ : l'arrondi fait souvent perdre ou gagner une unité, qu'on rattrape sur la plus grosse strate.

$225+150+150=525$ au lieu de $526$ : on ajoute l'unité manquante à la strate la plus nombreuse.
L'approximation de la marge en un coup d'œil

Pour $p$ voisin de $0{,}5$ , la marge en points vaut environ $\dfrac{100}{\sqrt{n}}$ . Elle confirme ou contredit tout calcul en trois secondes.

Pour $n=1000$ , on attend environ $3{,}2$ points : un résultat annoncé à $1{,}5$ point signale une erreur de formule.
Le plan autorise-t-il une marge d'erreur ?

Avant d'écrire le moindre intervalle, relire la phrase de l'énoncé qui décrit le recrutement et vérifier qu'elle contient un tirage au sort.

« les visiteurs du site ont pu répondre » : pas de tirage, donc pas de marge, et la question porte souvent exactement là-dessus.
La correction de population finie était-elle nécessaire ?

Calculer $\dfrac{n}{N}$ : au-dessous de $0{,}05$ la correction change à peine le résultat, au-dessus elle est attendue.

$\dfrac{600}{4200}\approx 0{,}14$ : la correction s'impose et fait économiser 75 questionnaires.

L'exercice type décortiqué

Concevoir l'enquête sur la vie étudiante, de la taille à l'allocation

Un cégep compte $4\,200$ étudiants : $1\,800$ en Sciences humaines, $1\,200$ en Sciences de la nature, $1\,200$ en Arts et lettres.

On veut estimer la proportion d'étudiants qui occupent un emploi rémunéré, avec une marge de $4$ points au niveau de confiance de 95 %.

Les écarts-types des heures travaillées, connus d'une enquête précédente, valent respectivement $12$ , $8$ et $15$ heures.

Étape 1

$n=\dfrac{1{,}96^{2}\times 0{,}5\times 0{,}5}{0{,}04^{2}}=\dfrac{0{,}9604}{0{,}0016}=600{,}25$ , soit $601$ répondants.

Pourquoi

On prend $p=0{,}5$ parce qu'aucune estimation préalable n'est donnée et que $p(1-p)$ y est maximale : la taille obtenue est celle qui protège quel que soit le vrai $p$ .

Étape 2

$\dfrac{600}{4200}\approx 0{,}14 > 0{,}05$ , donc $n_{c}=\dfrac{600{,}25}{1+\dfrac{599{,}25}{4200}}\approx 525{,}3$ , soit $526$ répondants.

Pourquoi

Dans une petite population, chaque personne interrogée retire de l'incertitude à celles qui restent. Sauter cette étape fait payer 75 questionnaires pour rien.

Étape 3

Allocation proportionnelle : $526\times\dfrac{1800}{4200}\approx 225{,}4$ , puis $150{,}3$ et $150{,}3$ , soit $226$ , $150$ et $150$ .

Pourquoi

L'unité perdue à l'arrondi se rend à la plus grosse strate : c'est là qu'elle change le moins la précision relative, et la somme doit redonner $526$ .

Étape 4

Allocation de Neyman : les $N_{h}s_{h}$ valent $21\,600$ , $9\,600$ et $18\,000$ , de somme $49\,200$ ; d'où $231$ , $103$ et $192$ questionnaires.

Pourquoi

Neyman envoie les questionnaires là où les réponses varient le plus : Arts et lettres est la strate la plus dispersée et reçoit $192$ questionnaires au lieu de $150$ .

Étape 5

Si le plan devenait un plan en grappes de $deff=1{,}6$ , alors $n_{eff}=\dfrac{526}{1{,}6}\approx 328{,}8$ et la marge remonterait à $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}25}{328{,}8}}\approx 5{,}4$ points.

Pourquoi

C'est le chiffre qui justifie le coût du plan stratifié : à effectif identique, passer aux grappes ferait perdre $1{,}4$ point de précision.

Étape 6

Contrôle : $226+150+150=526$ et $231+103+192=526$ .

Pourquoi

Une somme d'allocation qui ne retombe pas sur $n$ signale un arrondi mal réparti, avant même d'avoir imprimé un questionnaire.

Conclusion rédigée

« Il faut $526$ répondants tirés au sort, répartis en $231$ , $103$ et $192$ selon l'allocation de Neyman, pour estimer la proportion d'étudiants en emploi avec une marge de $4$ points, 19 fois sur 20. »

L'erreur classique sur cet exercice : Calculer $601$ puis répartir directement ces $601$ questionnaires sans appliquer la correction de population finie : l'enquête coûte 14 % plus cher pour la même précision.

À savoir par cœur

• Un plan est PROBABILISTE si chaque unité a une probabilité CONNUE et NON NULLE d'être tirée. Sinon, aucune marge d'erreur.
• La marge varie en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ : pour la diviser par deux, il faut QUADRUPLER l'effectif.
• $n=\dfrac{z^{2}p(1-p)}{E^{2}}$ , avec $p=0{,}5$ faute d'information, et on arrondit toujours VERS LE HAUT.
• Le stratifié est plus précis que l'aléatoire simple, le plan en grappes l'est MOINS : c'est $n_{eff}=\dfrac{n}{deff}$ qui entre dans la formule.
• Allocation proportionnelle selon $N_{h}$ , allocation de Neyman selon $N_{h}s_{h}$ : la seconde envoie l'effort là où ça varie.
• Le taux de réponse mesure le RISQUE de biais, jamais le biais : celui-ci vaut $(1-t)(\overline{y}_{r}-\overline{y}_{nr})$ .
• Une question par idée. Le double barillet ne se répare pas au traitement.

Questions fréquentes

Quelle taille d'échantillon faut-il pour un sondage ?

Elle se calcule à partir de trois choix : le niveau de confiance, presque toujours 95 pour cent, la marge d'erreur visée, et la proportion attendue. Sans information sur cette proportion, on prend 0,5, qui donne la taille la plus grande. Pour une marge de 4 points à 95 pour cent, il faut environ 601 personnes, et moins si la population est petite.

Quelle différence entre un plan stratifié et des quotas ?

Les deux respectent les proportions de la population, mais le stratifié tire au sort à l'intérieur de chaque strate alors que les quotas laissent l'enquêteur recruter qui il veut jusqu'à remplir la case. Le premier est probabiliste et donne une marge d'erreur, le second non. La différence est invisible dans le tableau final et décisive dans la méthode.

Pourquoi un sondage en ligne n'a-t-il pas de marge d'erreur ?

Parce que les répondants se sont proposés eux-mêmes : on ne connaît la probabilité d'inclusion de personne, et la formule de la marge suppose justement qu'elle est connue et non nulle. Le calcul donne quand même un nombre, mais ce nombre ne décrit rien. Pondérer les résultats ne crée pas la probabilité qui manquait.

Qu'est-ce que l'effet de plan dans un sondage ?

C'est le facteur qui dit combien de précision un plan fait perdre par rapport à un tirage aléatoire simple de même taille. On divise l'effectif par ce facteur pour obtenir la taille effective, et c'est elle qu'on met dans la formule de la marge. Un plan en grappes a un effet de plan supérieur à 1 parce que les membres d'une grappe se ressemblent.

Un taux de réponse élevé garantit-il un sondage fiable ?

Non. Le taux de réponse mesure le risque de biais, pas le biais lui-même. Si les non-répondants ressemblent aux répondants sur la question posée, un taux de 40 pour cent ne biaise rien. S'ils en diffèrent systématiquement, un taux de 90 pour cent peut encore fausser le résultat. Ce qui compte est l'écart entre les deux groupes, pas leur proportion.

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Exercices corrigés : Échantillonnage et questionnaire

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
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150 minutes

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La marge d'erreur d'un sondage

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