Méthodes quantitatives 360-300 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : concepts, variables et échelles de mesure

Cette fiche ne reprend pas le cours : vous l'avez déjà dans vos notes. Elle traite ce qui décide de la note au premier examen de méthodes quantitatives, c'est-à-dire l'écart entre ce que le logiciel accepte de calculer et ce que l'échelle de mesure autorise vraiment. Le tableur fait la moyenne d'une colonne de codes postaux sans broncher : c'est à vous de savoir que ce nombre ne veut rien dire.

Elle s'adresse aux étudiants de Sciences humaines du cégep, à Montréal comme ailleurs, qui suivent le cours obligatoire 360-300. Une fois la fiche lue, la série d'exercices corrigés du même chapitre met chaque réflexe à l'épreuve, de l'opérationnalisation jusqu'à la lecture d'une fiche technique d'enquête.

Le fil du chapitre

Une échelle de mesure n'est pas une propriété des nombres écrits dans la colonne, c'est une propriété de ce qu'ils représentent. Presque toutes les pertes de points du chapitre viennent de calculer sur des codes ce qu'on n'aurait le droit de calculer que sur des quantités.

Ce chapitre fait partie de Méthodes quantitatives en sciences humaines : tous les chapitres du 360-300

Notions couvertes

Opérationnalisation d'un concept
Échelle nominale
Échelle ordinale
Échelle d'intervalle
Échelle de rapport
Variable indépendante et dépendante
Variable confondante
Variable intermédiaire
Validité et fidélité d'un instrument
Indice composite
Normalisation min-max
Erreur écologique

L'essentiel

Trois étages, et un seul produit des nombres

• Le CONCEPT est ce dont on parle : la réussite, la pauvreté, la confiance envers les institutions. Il ne se mesure jamais directement.
• Les DIMENSIONS le découpent en aspects distincts : la réussite se découpe en résultats, en persévérance et en engagement.
• Les INDICATEURS sont les questions ou les relevés qui produisent des nombres : la cote R, le taux de cours réussis, les heures d'implication par semaine.
• Toute critique d'une recherche commence à cet étage : un indicateur peut être excellent et l'opérationnalisation, elle, avoir oublié une dimension entière.

Dans une question de critique, nommer l'étage où se situe le problème rapporte le point : « le problème n'est pas la mesure, c'est la dimension manquante ».

Les quatre échelles, et ce que chacune autorise

• NOMINALE : des catégories sans ordre. Mode, effectifs, pourcentages, khi-deux.
• ORDINALE : un ordre, mais des distances inconnues. On ajoute la médiane, les quartiles, le rang centile et le coefficient de Spearman.
• INTERVALLE : des distances constantes, un zéro conventionnel. On ajoute la moyenne, l'écart-type et la cote Z. Les rapports restent interdits.
• DE RAPPORT : un zéro qui signifie l'absence de la chose mesurée. On ajoute les rapports, le coefficient de variation et la moyenne géométrique.
• Chaque échelle hérite de tout ce qu'autorise la précédente : c'est un escalier, pas quatre cases séparées.

Chaque ligne ajoute des outils à la ligne précédente et n'en retire aucun : la dernière colonne se lit « en plus de tout ce qui est au-dessus ».

L'échelle est une propriété de la VARIABLE, pas du logiciel. Excel calcule la moyenne d'une colonne de codes de programme sans protester.

Quatre rôles, et deux d'entre eux se traitent à l'opposé

• INDÉPENDANTE : celle dont on suppose l'action. DÉPENDANTE : celle qui varie en réponse.
• CONFONDANTE : elle agit sur les deux autres sans être sur le chemin qui va de l'une à l'autre. Il faut la CONTRÔLER.
• INTERMÉDIAIRE : elle est sur ce chemin, c'est par elle que l'effet passe. Il ne faut SURTOUT PAS la contrôler.
• Contrôler une variable veut dire refaire l'analyse à l'intérieur de chacune de ses catégories.

La question d'examen ne demande jamais « quel est le rôle de cette variable » sans attendre en retour ce qu'on en fait : contrôler ou laisser tranquille.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. La moyenne d'une variable nominale codée en chiffres

2 points, plus tout ce que la question construisait dessus

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les cinq programmes sont codés de 1 à 5 et la moyenne vaut $2{,}8$ : le programme moyen est donc le troisième. »

Ce qu'il faut écrire

« La variable est nominale : les chiffres sont des étiquettes. La seule tendance centrale disponible est le MODE, ici le programme 4, choisi par 31 % des répondants. »

Pourquoi : Un code n'est pas une quantité. Renuméroter les programmes dans un autre ordre changerait la moyenne sans rien changer aux données : un indicateur qui dépend de l'ordre de saisie n'en est pas un.

2. Le rapport « deux fois plus » sur une échelle sans zéro absolu

1 point, et la faute est repérée en une seconde par le correcteur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le groupe A obtient $4$ et le groupe B obtient $2$ : le groupe A est deux fois plus satisfait. »

Ce qu'il faut écrire

« Le groupe A se situe $2$ échelons au-dessus du groupe B. Parler d'un rapport exigerait un zéro absolu, que l'échelle n'a pas. »

Les points A et B sont aux mêmes endroits sur les deux règles : seule la façon de numéroter change. L'écart de deux échelons survit, le rapport non.

Pourquoi : Sur une échelle d'intervalle, le zéro est un choix. Recoder la même échelle de $-2$ à $+2$ ne déplace aucune réponse et pourtant le rapport devient $-1$ : un nombre qui change avec le codage ne décrit pas les données.

3. L'item négatif inversé au signe moins

0,5 point par item, et l'indice construit ensuite est entièrement faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'item est formulé à l'envers, donc j'inverse : la réponse $4$ devient $-4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sur une échelle de $1$ à $5$ , l'item inversé vaut $x'=(1+5)-x=6-x$ : la réponse $4$ devient $2$ , la réponse $1$ devient $5$ . »

Pourquoi : La valeur inversée doit rester dans l'échelle. Le signe moins en sort, et un indice qui mélange des valeurs de $1$ à $5$ avec des valeurs de $-5$ à $-1$ ne mesure plus rien.

4. Prendre la fidélité pour de la validité

2 points, la question portant en général sur les deux qualités

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les deux passations donnent exactement les mêmes résultats : l'instrument est donc valide. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux passations concordent, donc l'instrument est FIDÈLE. La validité est une autre question : mesure-t-il bien le concept annoncé ? »

La fidélité se lit au SERREMENT du groupe de tirs, la validité au fait qu'il soit CENTRÉ sur la cible : en haut à droite, un tir très serré et complètement à côté.

Pourquoi : Une balance déréglée de deux kilos donne toujours le même chiffre : parfaitement fidèle, complètement invalide. La fidélité est nécessaire à la validité, jamais suffisante.

5. Comparer deux indices normalisés sur des bornes différentes

toute la conclusion de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'indice de la région A vaut $0{,}72$ et celui de la région B $0{,}65$ : la région A fait mieux. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux indices ont été normalisés sur des bornes différentes. Je recalcule les deux sur les mêmes minimum et maximum avant de les comparer. »

Pourquoi : La normalisation min-max place chaque valeur sur une règle définie par les deux bornes choisies. Deux règles différentes donnent deux nombres qui ne se comparent pas plus que des centimètres et des pouces.

6. Conclure sur des individus à partir de données de régions

2 points, et c'est la faute que les correcteurs cherchent en priorité dans la question de critique

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les quartiers où le revenu moyen est élevé votent davantage pour ce parti : les personnes riches votent donc pour ce parti. »

Ce qu'il faut écrire

« Au niveau des QUARTIERS, revenu moyen et part de vote sont liés. Rien dans ces données ne dit ce que font les individus : il faudrait des données individuelles. »

Les trois nuages montent, la droite en pointillé qui relie leurs moyennes descend : la pente n'est pas la même selon le niveau où on la mesure.

Pourquoi : C'est l'erreur écologique. La relation entre les moyennes de groupe peut avoir le signe opposé à la relation entre les individus de chaque groupe, sans aucune contradiction.

7. Contrôler la variable qui porte justement l'effet

toute l'interprétation, et la conclusion est retournée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je contrôle le nombre d'heures d'étude, et l'effet de la motivation sur la note disparaît : la motivation ne sert donc à rien. »

Ce qu'il faut écrire

« Les heures d'étude sont la variable INTERMÉDIAIRE par laquelle la motivation agit. Que l'effet disparaisse en la contrôlant montre le MÉCANISME, il ne l'annule pas. »

Pourquoi : On contrôle une confondante pour éliminer une explication concurrente. Contrôler une intermédiaire revient à demander l'effet de la motivation chez des étudiants qui étudient le même nombre d'heures : par construction, il n'en reste rien.

8. Annoncer une marge d'erreur sur un panel de volontaires

1 point de méthode, et la crédibilité de tout le rapport

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Nous avons recueilli $1\,200$ réponses en ligne : la marge d'erreur est de $2{,}8$ points, 19 fois sur 20. »

Ce qu'il faut écrire

« L'échantillon n'est pas probabiliste : aucune marge d'erreur n'est calculable. Les résultats décrivent les répondants, pas la population. »

Pourquoi : La formule tourne sur n'importe quel nombre, y compris sur un sondage de forum. Ce qu'elle suppose, c'est une probabilité d'inclusion connue et non nulle pour chaque unité, ce qu'un panel de volontaires n'a pas.

Quelle méthode choisir

Quelle échelle, donc quelle statistique ?

On regarde la colonne de données et on pose trois questions dans cet ordre : peut-on ranger, les écarts sont-ils constants, le zéro veut-il dire « rien ».

Si les modalités sont des noms qu'aucun ordre naturel ne classe → échelle NOMINALE : mode, effectifs, pourcentages, khi-deux

Exemple : programme d'études, région, code postal

le fait que les modalités soient saisies en chiffres ne change rien
Si on peut ranger les modalités, mais l'écart entre deux voisines n'a pas de valeur connue → échelle ORDINALE : on ajoute médiane, quartiles, rang centile et Spearman

Exemple : échelle de Likert, plus haut diplôme obtenu

traiter une Likert en intervalle est courant, mais cela se DÉCLARE
Si les écarts sont constants et interprétables, mais le zéro est conventionnel → échelle d'INTERVALLE : on ajoute moyenne, écart-type et cote Z ; les rapports restent interdits

Exemple : température en degrés Celsius, cote Z, année civile
Si le zéro signifie l'absence complète de la chose mesurée → échelle DE RAPPORT : tout est permis, rapports et coefficient de variation compris

Exemple : revenu, âge, nombre d'heures d'étude par semaine

Test décisif entre intervalle et rapport : la phrase « deux fois plus » a-t-elle un sens ? $20$ °C n'est pas deux fois plus chaud que $10$ °C, alors que $20$ dollars valent bien deux fois $10$ dollars.

Quel rôle donner à une troisième variable ?

On dessine la flèche supposée, de l'indépendante vers la dépendante, puis on demande où se branche la troisième variable.

Si elle agit sur l'indépendante ET sur la dépendante, sans être sur le chemin entre les deux → CONFONDANTE : la contrôler, faute de quoi la relation observée peut être entièrement fallacieuse

Exemple : l'âge, dans le lien entre années d'expérience et salaire
Si l'indépendante agit sur elle, et c'est elle qui agit ensuite sur la dépendante → INTERMÉDIAIRE : ne pas la contrôler, on effacerait justement l'effet cherché

Exemple : les heures d'étude, entre motivation et note finale
Si l'intensité de la relation change selon la catégorie où l'on se place → MODÉRATRICE : refaire l'analyse séparément dans chaque catégorie et comparer les résultats

Exemple : le sexe, dans le lien entre pratique sportive et stress

Si aucune branche ne s'applique, la variable est simplement hors sujet : ne pas la faire entrer dans l'analyse pour la seule raison qu'elle figure dans le fichier.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Justifier l'échelle de mesure d'une variable

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande « de quel type est cette variable » ou « quelle mesure de tendance centrale est appropriée ».

1 Nommer la variable et citer deux de ses modalités telles qu'elles apparaissent dans le tableau.
2 Dire si les modalités se rangent, et par quoi : un ordre existe ou n'existe pas, ce n'est pas une affaire d'opinion.
3 Dire si l'écart entre deux modalités voisines est constant et interprétable.
4 Dire si le zéro signifie l'absence de la chose mesurée ou s'il est conventionnel.
5 Conclure sur l'échelle, PUIS énumérer les statistiques qu'elle autorise.

Phrase de conclusion

« La variable « niveau de satisfaction » prend les modalités $1$ à $5$ , qui se rangent du plus faible au plus fort mais dont les écarts ne sont pas garantis constants : c'est une échelle ORDINALE. On peut donc en donner le mode, la médiane et les quartiles, mais ni la moyenne ni l'écart-type sans déclarer l'hypothèse d'écarts égaux. »

Le piège : Conclure sur l'échelle sans dire ce qu'elle autorise : la moitié des points de la question est dans la seconde phrase.

Barème : 1 point pour l'échelle, 1 point pour la justification par l'ordre et le zéro, 1 point pour les statistiques autorisées.

Construire un indice composite en quatre gestes

Quand l'utiliser : Quand l'énoncé demande de résumer plusieurs indicateurs en un seul nombre comparable.

1 Déclarer les indicateurs retenus et l'échelle de chacun.
2 Fixer et ÉCRIRE les bornes de normalisation, en disant d'où elles viennent : minimum et maximum observés, bornes théoriques ou seuils officiels.
3 Normaliser chaque indicateur par $z=\dfrac{x-\min}{\max-\min}$ , puis vérifier que chaque $z$ tombe entre $0$ et $1$ .
4 Inverser les indicateurs dont la valeur haute est mauvaise, par $1-z$ , avant toute agrégation.
5 Agréger, en disant si les composantes ont le même poids et pourquoi.

Phrase de conclusion

« L'indice vaut $0{,}58$ sur une échelle de $0$ à $1$ , construite sur les bornes déclarées ci-dessus ; il ne se compare qu'à un indice bâti sur exactement les mêmes bornes. »

Le piège : Oublier d'inverser un indicateur négatif : le taux d'échec entre alors dans l'indice comme s'il était une bonne nouvelle.

Barème : 1 point pour les bornes déclarées, 2 points pour les normalisations, 1 point pour l'agrégation justifiée.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le test du « deux fois plus »

Avant d'écrire un rapport ou un pourcentage de variation, prononcer la phrase à voix basse et se demander si elle a un sens.

« Il fait deux fois plus chaud qu'hier » : la phrase sonne faux, donc les degrés Celsius sont une échelle d'intervalle et le rapport est interdit.
Chaque valeur normalisée est entre 0 et 1

Après une normalisation min-max, relire la colonne : une valeur négative ou supérieure à $1$ signale une borne mal choisie ou une inversion oubliée.

Un $z$ de $1{,}3$ veut dire que le maximum déclaré est plus petit qu'une donnée réelle.
L'indice est compris entre le plus petit et le plus grand de ses composantes

Une moyenne, arithmétique ou géométrique, ne sort jamais de l'intervalle des valeurs moyennées. C'est le contrôle le plus rapide d'une agrégation.

Trois composantes de $0{,}40$ , $0{,}53$ et $0{,}80$ ne peuvent pas donner un indice de $0{,}92$ .
Le niveau de la conclusion est celui de la mesure

Souligner dans la conclusion le mot qui désigne l'unité d'analyse, puis vérifier qu'il est le même que dans le tableau de données.

Le tableau parle de quartiers, la conclusion parle de personnes : c'est une erreur écologique, à corriger en une phrase.

L'exercice type décortiqué

Opérationnaliser la réussite au cégep, puis construire l'indice

On veut résumer la réussite d'un étudiant de Sciences humaines par un indice unique compris entre $0$ et $1$ .

Trois indicateurs sont retenus : la cote R du dossier, $28$ ; la proportion de cours réussis dans la session, $0{,}90$ ; le nombre d'heures d'implication parascolaire par semaine, $4$ .

Les bornes retenues sont : cote R de $20$ à $35$ , proportion de $0{,}50$ à $1$ , implication de $0$ à $10$ heures.

Étape 1

Concept : la réussite au cégep. Dimensions : résultats, persévérance, engagement. Indicateurs : cote R, proportion de cours réussis, heures d'implication.

Pourquoi

Écrire les trois étages avant tout calcul : c'est le seul endroit où l'on peut encore voir qu'une dimension manque, et c'est un point de barème à lui seul.

Étape 2

Échelles : la cote R est une échelle d'INTERVALLE, la proportion et les heures sont des échelles DE RAPPORT. Les trois autorisent la moyenne.

Pourquoi

La normalisation min-max n'a de sens qu'à partir de l'intervalle : sur une variable ordinale, elle inventerait des distances que les données ne contiennent pas.

Étape 3

$z_{1}=\dfrac{28-20}{35-20}=\dfrac{8}{15}\approx 0{,}533$ ; $z_{2}=\dfrac{0{,}90-0{,}50}{1-0{,}50}=0{,}800$ ; $z_{3}=\dfrac{4-0}{10-0}=0{,}400$ .

Pourquoi

Les trois indicateurs arrivent avec des unités incomparables. Sans normalisation, la cote R pèse trente fois plus que la proportion dans n'importe quelle somme.

Étape 4

Moyenne arithmétique : $\dfrac{0{,}533+0{,}800+0{,}400}{3}\approx 0{,}578$ .

Pourquoi

Poids égaux, donc il faut le dire : « les trois dimensions sont supposées d'importance égale, faute d'argument pour les hiérarchiser ». Un choix non déclaré est un choix caché.

Étape 5

Moyenne géométrique : $\sqrt[3]{0{,}533\times 0{,}800\times 0{,}400}\approx 0{,}555$ , soit $0{,}023$ de moins.

Pourquoi

La géométrique punit le déséquilibre entre composantes. L'écart de deux centièmes chiffre exactement à quel point le profil de cet étudiant est irrégulier.

Étape 6

Contrôle : les trois $z$ sont bien dans $[0\ ;1]$ , et $0{,}400 \le 0{,}578 \le 0{,}800$ .

Pourquoi

Une moyenne qui sortirait de l'intervalle de ses composantes dénoncerait une erreur de saisie ou de normalisation, sans qu'il faille refaire un seul calcul.

Conclusion rédigée

« L'indice de réussite de cet étudiant vaut $0{,}58$ sur une échelle de $0$ à $1$ , construite sur les bornes déclarées : cote R de $20$ à $35$ , proportion de cours réussis de $0{,}50$ à $1$ , implication de $0$ à $10$ heures. Il ne se compare qu'à un indice bâti sur exactement les mêmes bornes. »

L'erreur classique sur cet exercice : Additionner les trois indicateurs bruts, $28+0{,}90+4$ : la cote R écrase les deux autres et l'indice ne mesure plus rien d'autre qu'elle.

À savoir par cœur

• NOMINALE : mode. ORDINALE : plus la médiane et les quantiles. INTERVALLE : plus la moyenne et l'écart-type. DE RAPPORT : plus les rapports.
• Un rapport (« deux fois plus ») exige un ZÉRO ABSOLU. Sans lui, on ne compare que des DIFFÉRENCES.
• Item inversé sur une échelle de $\min$ à $\max$ : $x'=(\min+\max)-x$ . De $1$ à $5$ , cela donne $x'=6-x$ .
• La FIDÉLITÉ est nécessaire à la validité et jamais suffisante : un instrument peut se tromper toujours de la même façon.
• On contrôle une variable CONFONDANTE. On ne contrôle JAMAIS une variable intermédiaire.
• Une relation appartient au NIVEAU où elle a été mesurée : des régions ne disent rien des individus.
• Une marge d'erreur suppose un échantillon PROBABILISTE. Sur un panel de volontaires, la formule donne un nombre qui ne veut rien dire.

Questions fréquentes

Comment savoir si une variable est ordinale ou d'intervalle ?

Posez deux questions dans l'ordre. Peut-on ranger les modalités de la plus petite à la plus grande ? Si non, la variable est nominale. Si oui, l'écart entre deux modalités voisines est-il le même partout et interprétable ? Si oui, c'est une échelle d'intervalle et la moyenne devient licite. Sinon la variable reste ordinale, et on s'en tient à la médiane et aux quartiles.

Peut-on calculer une moyenne sur une échelle de Likert ?

En toute rigueur non : une Likert est ordinale, et rien ne garantit que passer de 2 à 3 vaut le même écart que passer de 4 à 5. En pratique, beaucoup de recherches le font quand l'échelle compte au moins cinq échelons et que la distribution n'est pas trop asymétrique. La règle en examen : le faire seulement en déclarant l'hypothèse, et donner aussi la médiane.

Quelle est la différence entre validité et fidélité ?

La fidélité est la constance : le même instrument, appliqué deux fois dans les mêmes conditions, donne le même résultat. La validité est la justesse : l'instrument mesure bien le concept annoncé. Une balance déréglée de deux kilos est parfaitement fidèle et pourtant invalide. La fidélité est nécessaire à la validité, jamais suffisante.

Qu'est-ce que l'erreur écologique en sciences humaines ?

C'est conclure sur des individus à partir de données mesurées sur des groupes. Si les quartiers au revenu moyen élevé votent davantage pour un parti, cela ne dit pas que les personnes riches votent pour ce parti : la relation peut même être inversée à l'intérieur de chaque quartier. Une relation appartient au niveau où elle a été mesurée.

Comment inverser un item négatif dans un questionnaire ?

Sur une échelle allant du minimum au maximum, la valeur inversée vaut la somme des deux bornes moins la réponse. Sur une échelle de 1 à 5, on calcule 6 moins la réponse : un 4 devient 2, un 1 devient 5. On n'utilise jamais le signe moins, qui sortirait de l'échelle et rendrait négatif tout indice construit ensuite.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Concepts, variables et échelles de mesure

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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