Exercices corrigés : la marge d'erreur d'un sondage (360-300)

a) $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}42\times 0{,}58}{1\,067}}=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}2436}{1\,067}}=1{,}96\sqrt{0{,}00022831}=1{,}96\times 0{,}015110\approx 0{,}0296$, soit 3,0 points. La marge annoncée est donc exacte, et l'on remarque qu'elle est calculée avec $p=0{,}42$; la maison aurait pu utiliser $p=0{,}5$, ce qui aurait donné 3,0 points également, la différence étant invisible au dixième près.

b) Intervalle : $\left[42{,}0-3{,}0\ ;\ 42{,}0+3{,}0\right]=\left[39{,}0\%\ ;\ 45{,}0\%\right]$. Ce qu'il signifie : si l'on répétait ce sondage un très grand nombre de fois, avec la même méthode et la même taille, 95 % des intervalles ainsi construits contiendraient la vraie proportion de la population. La propriété porte sur la PROCÉDURE, pas sur cet intervalle-ci en particulier.

c) La probabilité porte sur l'INTERVALLE, qui est la quantité aléatoire, et non sur la vraie valeur, qui est un nombre fixe et inconnu. Dans le cadre fréquentiste, la vraie proportion ne « tombe » nulle part : elle est où elle est. C'est l'intervalle qui varie d'un échantillon à l'autre, et l'on garantit que 19 fois sur 20 il attrapera sa cible. L'image du lancer d'anneaux est utile : l'anneau bouge, le piquet est fixe.

d) La phrase inverse le sujet de la probabilité, en attribuant 95 % de chances à la position de la vraie valeur alors qu'elle est fixe. En pratique, l'erreur est vénielle : le résultat numérique est le même, et les statisticiens bayésiens obtiendraient, avec une information préalable neutre, un intervalle de crédibilité presque identique dont l'interprétation serait précisément celle du lecteur. La nuance vaut malgré tout d'être connue, parce qu'elle explique pourquoi un intervalle ne dit rien de la probabilité qu'un parti dépasse 45 % : cette question demande un autre cadre.

e) Non, et c'est la limite la plus importante de tout le chapitre. La marge d'erreur ne mesure QUE la variabilité due au tirage au sort de l'échantillon dans une base de sondage parfaite, avec un taux de réponse de 100 %. Elle ignore la sous-couverture, la non-réponse, l'effet du mode de collecte, la formulation de la question et l'ordre des choix. Les post-mortem d'élections ratées montrent régulièrement que ces sources dépassent la marge d'échantillonnage, et c'est pourquoi un écart de sondage à résultat de quatre ou cinq points reste possible même quand tout le monde a fait son travail correctement.

a) $p=0{,}50$ : $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}25}{1000}}=1{,}96\times 0{,}015811\approx 0{,}0310$, soit 3,10 points. $p=0{,}30$ : $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}21}{1000}}\approx 0{,}0284$, soit 2,84 points. $p=0{,}10$ : $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}09}{1000}}\approx 0{,}0186$, soit 1,86 point. $p=0{,}03$ : $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}0291}{1000}}\approx 0{,}0106$, soit 1,06 point.

b) La marge est proportionnelle à $\sqrt{p(1-p)}$, fonction maximale en 0,5 et très plate autour. Pour rester à un dixième de point de 3,10, il faut $\sqrt{p(1-p)}\ge \dfrac{3{,}00}{3{,}10}\times 0{,}5=0{,}4839$, donc $p(1-p)\ge 0{,}23415$, ce qui se produit pour $p$ entre 0,374 et 0,626 environ. Autrement dit, pour toute proportion comprise entre 37 % et 63 %, la marge annoncée à 50 % est correcte au dixième de point près : c'est ce plateau qui justifie l'usage d'une marge unique.

c) Marge réelle pour 3 % : 1,06 point, contre 3,10 annoncés, soit près de trois fois moins. Exprimée relativement à la proportion elle-même, la marge reste pourtant énorme : $\dfrac{1{,}06}{3{,}0}\approx 35\%$ de la valeur estimée, contre $\dfrac{3{,}10}{50}\approx 6\%$ pour un parti à 50 %. Voilà le paradoxe utile de la question : en points, les petits partis sont mesurés plus précisément; en proportion de ce qu'ils valent, ils le sont beaucoup moins bien.

d) Parce qu'annoncer une marge par ligne de tableau supposerait que le lecteur sache à quelle estimation rattacher chaque marge, et surtout parce que la marge à 50 % est la PLUS GRANDE : l'annoncer garantit qu'aucun résultat du sondage n'est présenté comme plus précis qu'il ne l'est. C'est une convention conservatrice, donc défendable. Ce qui ne l'est pas, c'est d'appliquer cette marge unique à un sous-groupe ou à un petit parti quand la question porte spécifiquement sur eux.

e) La formulation est prudente et correcte, et elle vaut mieux qu'un chiffre. Avec $n=1\,000$ et une estimation ponctuelle de 0,5 %, la marge calculée par la formule normale vaut environ 0,44 point, mais la formule elle-même n'est plus valide : elle exige $np\ge 5$ et $n(1-p)\ge 5$, or $np=5$ tout juste. On sort ici du domaine d'application de l'approximation normale, et l'intervalle correct s'obtient par une méthode exacte, qui donnerait quelque chose comme 0,1 % à 1,2 %. Écrire « moins de 1 % » résume honnêtement cette imprécision.

a) Effectif du sous-groupe : $0{,}11\times 1\,000=110$ répondants. Marge : $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}58\times 0{,}42}{110}}=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}2436}{110}}=1{,}96\times 0{,}047056\approx 0{,}0922$, soit 9,2 points. L'intervalle réel va donc de 48,8 % à 67,2 %, ce qui laisse ouvertes des conclusions très différentes.

b) La marge passe de 3,1 à 9,2 points, soit un facteur d'environ 3,0. Ce facteur n'a rien de mystérieux : il vaut $\sqrt{\dfrac{1000}{110}}=\sqrt{9{,}09}\approx 3{,}0$, puisque la marge décroît comme $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$. Retenir ce raccourci vaut mieux que la formule complète : un sous-groupe qui représente le neuvième de l'échantillon a une marge trois fois plus grande.

c) Il faut $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}2436}{n}}\le 0{,}05$, donc $n\ge \dfrac{1{,}96^{2}\times 0{,}2436}{0{,}05^{2}}=\dfrac{0{,}93602}{0{,}0025}\approx 375$ répondants dans le seul sous-groupe des 18-24 ans. Pour l'obtenir sans changer les proportions, il faudrait un échantillon total d'environ $\dfrac{375}{0{,}11}\approx 3\,400$ personnes, ce qui triple le coût de l'enquête. C'est pourquoi les instituts SURÉCHANTILLONNENT délibérément les sous-groupes qui intéressent le client, puis repondèrent.

d) Non. La marge sur la différence de deux proportions issues de groupes indépendants vaut $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}58\times 0{,}42}{110}+\dfrac{0{,}47\times 0{,}53}{260}}=1{,}96\sqrt{0{,}0022145+0{,}0009581}=1{,}96\sqrt{0{,}0031726}=1{,}96\times 0{,}056327\approx 0{,}1104$, soit 11,0 points. L'écart observé est de 11 points, donc à la limite exacte du seuil : on ne peut pas conclure. Il faut noter que la marge sur l'écart est gouvernée par le PLUS PETIT des deux groupes, dont la variance domine la somme.

e) « Avant de citer un résultat de sous-groupe, demander l'effectif de ce sous-groupe, et refaire la marge avec lui. » En pratique, la plupart des maisons refusent de publier un résultat sous 100 répondants, et beaucoup exigent 200. Une règle de terrain complémentaire : diviser 100 par la racine carrée de l'effectif donne une bonne approximation de la marge en points, ici $\dfrac{100}{\sqrt{110}}\approx 9{,}5$, ce qui suffit largement à décider si un titre tient debout.

a) Candidat A : $\left[38{,}9\ ;\ 45{,}1\right]$. Candidat B : $\left[34{,}9\ ;\ 41{,}1\right]$. Ils se recouvrent sur toute la zone de 38,9 à 41,1, soit 2,2 points de largeur commune. Un lecteur pressé en déduirait qu'aucune conclusion n'est possible.

b) Non, le recouvrement des intervalles est un critère TROP SÉVÈRE. Deux intervalles peuvent se chevaucher légèrement alors que la différence est significative : la quantité à tester est l'écart lui-même, avec sa propre incertitude, et cette incertitude n'est pas la somme des deux largeurs. Comparer deux intervalles conduit donc à rater des différences réelles, et c'est une des erreurs de lecture les plus répandues dans les rapports scientifiques comme dans la presse.

c) Variance de l'écart : $\dfrac{0{,}42\times 0{,}58+0{,}38\times 0{,}62+2\times 0{,}42\times 0{,}38}{1000}=\dfrac{0{,}2436+0{,}2356+0{,}3192}{1000}=\dfrac{0{,}7984}{1000}=0{,}0007984$. Écart type : $\sqrt{0{,}0007984}\approx 0{,}028256$. Marge : $1{,}96\times 0{,}028256\approx 0{,}05538$, soit 5,5 points. Le terme $2p_{1}p_{2}$ est celui qui vient de la corrélation négative entre les deux proportions dans un même sondage, et il n'est pas négligeable : il apporte à lui seul 40 % de la variance.

d) L'avance observée est de 4,0 points et la marge sur l'écart de 5,5 points : l'intervalle de l'avance va de $-1{,}5$ à $+9{,}5$ points. Il contient zéro, donc l'égalité reste plausible et l'avance n'est pas établie. Pour conclure, il faudrait une avance supérieure à environ 5,5 points, soit un écart d'au moins 6 points au vu des arrondis publiés. C'est exactement la règle de terrain qu'appliquent les commentateurs sérieux avant de parler d'avance.

e) Parce que le rapport entre les deux marges est stable autour des valeurs usuelles. Ici, $\dfrac{5{,}54}{3{,}06}\approx 1{,}8$. Dans le cas limite de deux candidats à 50 % chacun, la variance de l'écart vaut $\dfrac{0{,}25+0{,}25+0{,}5}{n}=\dfrac{1}{n}$, contre $\dfrac{0{,}25}{n}$ pour une proportion seule : le rapport des écarts types vaut alors exactement 2. D'où la règle mnémotechnique : doubler la marge affichée avant de commenter une avance.

a) $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}52\times 0{,}48}{1000}}=1{,}96\sqrt{0{,}00024960}=1{,}96\times 0{,}015799\approx 0{,}03097$, soit 3,1 points. Intervalle : $\left[48{,}9\%\ ;\ 55{,}1\%\right]$. Il CONTIENT 50 %, donc on ne peut pas conclure à une majorité : le camp du NON reste plausible. La formulation correcte est « le OUI est en tête, sans que la majorité soit acquise ».

b) Il faut que la borne inférieure dépasse 50 %, donc $p-1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{1000}}>0{,}50$. En prenant $\sqrt{p(1-p)}\approx 0{,}5$ pour approximer, il faut $p>0{,}50+0{,}031=0{,}531$, soit environ 53,1 %. Un calcul exact avec $p=0{,}531$ donne $E=0{,}03094$ et une borne inférieure de 50,01 % : la valeur seuil est bien un peu plus de 53 %. Retenir l'ordre de grandeur : avec mille répondants, il faut trois points d'avance sur la barre pour la déclarer franchie.

c) Il faut $0{,}02>1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}2496}{n}}$, donc $n>\dfrac{1{,}96^{2}\times 0{,}2496}{0{,}02^{2}}=\dfrac{0{,}958816}{0{,}0004}\approx 2\,397$ répondants. Il faudrait donc plus que doubler l'échantillon pour trancher sur deux points d'écart au seuil, ce qui illustre à nouveau la loi du carré : diviser la marge par 1,55 exige de multiplier $n$ par 2,4.

d) $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}69\times 0{,}31}{400}}=1{,}96\sqrt{0{,}00053475}=1{,}96\times 0{,}023125\approx 0{,}04533$, soit 4,5 points. Intervalle : $\left[64{,}5\%\ ;\ 73{,}5\%\right]$. Le seuil des deux tiers vaut 66,67 %, et il est CONTENU dans l'intervalle : la majorité qualifiée n'est donc pas assurée. Le syndicat qui annoncerait la grève comme acquise prendrait un risque réel, ce que le calcul chiffre précisément.

e) Non, pas nécessairement. La valeur réelle de 64 % tombe juste sous la borne inférieure de l'intervalle, à 0,5 point près, ce qui est compatible avec les 5 % de cas où l'intervalle rate sa cible. Mais deux autres explications sont plus probables encore : la population a pu CHANGER d'avis en dix jours, un vote de grève étant précédé d'une campagne intense; et les votants réels ne sont pas les répondants au sondage, la participation étant elle-même sélective. Un sondage estime l'opinion au moment où il est fait, dans la population qu'il a interrogée; il ne prédit pas un vote futur, et confondre les deux est la source de presque toutes les accusations d'erreur adressées aux instituts.

a) Vague 1 : $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}38\times 0{,}62}{1000}}=1{,}96\times 0{,}015346\approx 0{,}03008$, soit 3,0 points. Vague 2 : $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}43\times 0{,}57}{1000}}=1{,}96\times 0{,}015657\approx 0{,}03069$, soit 3,1 points. Les deux intervalles, $\left[35{,}0\ ;\ 41{,}0\right]$ et $\left[39{,}9\ ;\ 46{,}1\right]$, se recouvrent sur un peu plus d'un point.

b) Variance de la différence : $\dfrac{0{,}38\times 0{,}62}{1000}+\dfrac{0{,}43\times 0{,}57}{1000}=0{,}00023560+0{,}00024510=0{,}00048070$. Écart type : $\sqrt{0{,}00048070}\approx 0{,}021925$. Marge sur l'évolution : $1{,}96\times 0{,}021925\approx 0{,}04297$, soit 4,3 points. On remarque que cette marge est plus petite que celle sur l'écart entre deux candidats du même sondage, calculée à l'exercice 4 : ici les deux mesures sont indépendantes, il n'y a pas de terme de covariance à ajouter.

c) L'évolution observée est de 5,0 points, et la marge sur cette évolution vaut 4,3 points : l'intervalle va de $+0{,}7$ à $+9{,}3$ points, il ne contient pas zéro. La progression est donc établie au seuil de 5 %, de justesse. Il faut noter que le simple recouvrement des deux intervalles individuels aurait conduit à la conclusion inverse : c'est l'illustration directe du fait que ce critère est trop sévère.

d) Elle serait PLUS PETITE, souvent beaucoup plus petite. Avec un panel où l'on réinterroge les mêmes personnes, les deux mesures sont positivement corrélées, puisque la plupart des répondants ne changent pas d'avis. La variance de la différence devient $\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2\rho\sigma_{1}\sigma_{2}$, et le terme soustrait peut être considérable. C'est l'argument statistique en faveur des panels longitudinaux : ils détectent les changements bien mieux que deux échantillons indépendants de même taille, au prix d'un risque d'usure et de conditionnement des répondants.

e) Douze vagues donnent onze comparaisons successives. Au seuil de 5 %, chaque comparaison a une chance sur vingt de conclure à tort à un changement, donc en moyenne $11\times 0{,}05=0{,}55$ fausse détection par an. Si l'institut compare en plus chaque vague à toutes les précédentes, le nombre de comparaisons passe à $\dfrac{12\times 11}{2}=66$, donc $66\times 0{,}05=3{,}3$ fausses détections annuelles. C'est le problème des COMPARAISONS MULTIPLES, et il explique une bonne part des « tendances » commentées dans les médias : à force de chercher, on trouve toujours quelque chose.

a) Somme : $41{,}0+43{,}5+39{,}5+42{,}0+44{,}5+40{,}0+42{,}5+41{,}5+43{,}0+40{,}5=418{,}0$. Moyenne : $\dfrac{418{,}0}{10}=41{,}8\%$.

b) Dix sondages de 1 000 équivalent à un échantillon de 10 000, donc $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}418\times 0{,}582}{10\,000}}=1{,}96\times 0{,}0049325\approx 0{,}00967$, soit environ 1,0 point au lieu de 3,1. C'est le gain annoncé par les agrégateurs, et il est réel dans la mesure où l'hypothèse d'indépendance tient.

c) Écarts à la moyenne : $-0{,}8$; $1{,}7$; $-2{,}3$; $0{,}2$; $2{,}7$; $-1{,}8$; $0{,}7$; $-0{,}3$; $1{,}2$; $-1{,}3$. Somme des carrés : $0{,}64+2{,}89+5{,}29+0{,}04+7{,}29+3{,}24+0{,}49+0{,}09+1{,}44+1{,}69=23{,}10$. Variance d'échantillon : $\dfrac{23{,}10}{9}\approx 2{,}567$, donc écart type $\approx 1{,}60$ point. La théorie prévoit, pour un sondage de 1 000 à 41,8 %, un écart type de $\sqrt{\dfrac{0{,}418\times 0{,}582}{1000}}\approx 0{,}0156$, soit 1,56 point. L'accord est excellent, ce qui suggère qu'ici la dispersion observée s'explique entièrement par l'échantillonnage.

d) Un EFFET DE MAISON est un écart SYSTÉMATIQUE et persistant entre les résultats d'un institut et la moyenne des autres, dû à sa méthode : mode de collecte, formulation, traitement des indécis, modèle de pondération. Il ne s'agit pas de bruit aléatoire mais d'un biais propre à la maison, souvent stable sur des années et de l'ordre de un à trois points. L'agrégation ne le corrige pas parce qu'elle repose sur l'idée que les erreurs se COMPENSENT en moyenne, ce qui suppose qu'elles soient centrées sur zéro; un biais commun à plusieurs maisons, par exemple une sous-représentation générale d'un électorat peu joignable, survit intact à la moyenne et peut même être renforcé si les maisons s'observent les unes les autres.

e) De trois façons. Il ESTIME l'effet de maison de chaque institut, en comparant ses écarts répétés à la moyenne des autres sur une longue série, puis il corrige. Il PONDÈRE les sondages selon leur taille, leur fraîcheur et la qualité méthodologique de leur maison. Enfin, il publie un intervalle plus large que celui de l'échantillonnage pur, calibré sur les erreurs HISTORIQUES des sondages face aux résultats réels, qui sont typiquement de deux à trois fois la marge théorique. Autrement dit, un agrégateur honnête utilise l'agrégation pour réduire le bruit et refuse d'annoncer la précision d'un échantillon de dix mille personnes.

1) FAUX. Rien n'est « forcément » dans l'intervalle : la procédure attrape la vraie valeur 19 fois sur 20, ce qui laisse une fois sur vingt où elle échoue. Et la marge ne couvre que l'erreur d'échantillonnage, non les biais de couverture et de non-réponse. Énoncé correct : la méthode utilisée produit, dans 95 % des répétitions, un intervalle contenant la vraie proportion; ici cet intervalle va de 39 % à 45 %, sous réserve que la collecte n'ait pas introduit de biais.

2) FAUX. Le recouvrement de deux intervalles est un critère trop sévère : deux intervalles peuvent se chevaucher alors que l'écart est significatif, comme le montre le cas des deux vagues à 38 % et 43 %. Énoncé correct : il faut construire l'intervalle de la DIFFÉRENCE, avec sa propre variance, et regarder s'il contient zéro.

3) FAUX. La marge de 3 points est celle de l'échantillon complet. Les 18-24 ans ne sont que 110 répondants, et leur marge propre vaut environ 9 points. Énoncé correct : chez les 18-24 ans, le soutien est estimé à 58 %, plus ou moins 9 points, sur 110 répondants.

4) FAUX. La marge de 3 points s'applique à chaque proportion prise séparément, pas à leur écart. La marge sur l'écart vaut ici 5,5 points, et l'intervalle de l'avance, de $-1{,}5$ à $+9{,}5$, contient zéro. Énoncé correct : le candidat A devance le candidat B de 4 points, un écart qui reste dans les limites de l'incertitude; il faudrait environ 6 points pour parler d'avance établie.

5) FAUX, du moins comme conclusion automatique. Trois raisons peuvent expliquer l'écart sans faute de méthode : l'intervalle du sondage, $\left[48{,}9\ ;\ 55{,}1\right]$, contenait déjà 49 %; l'opinion a pu changer entre le sondage et le vote; et les votants ne sont pas les répondants, la participation étant sélective. Énoncé correct : le résultat de 49 % était compris dans l'intervalle du sondage, qui ne permettait donc pas de conclure à une majorité de OUI; le sondage n'a pas prédit le résultat, mais il ne l'a pas contredit non plus.

a) Marges avec $n=1\,200$ : pour A, $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}41\times 0{,}59}{1200}}\approx 0{,}0278$, soit 2,8 points, intervalle $\left[38{,}2\ ;\ 43{,}8\right]$; pour B, $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}37\times 0{,}63}{1200}}\approx 0{,}0273$, soit 2,7 points, intervalle $\left[34{,}3\ ;\ 39{,}7\right]$; pour C, $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}22\times 0{,}78}{1200}}\approx 0{,}0234$, soit 2,3 points, intervalle $\left[19{,}7\ ;\ 24{,}3\right]$. Le résultat final de A, 38 %, tombe tout juste SOUS sa borne inférieure de 38,2. Celui de B, 40 %, tombe tout juste AU-DESSUS de sa borne supérieure de 39,7. Celui de C, 22 %, est exactement au centre.

b) Variance de l'écart : $\dfrac{0{,}41\times 0{,}59+0{,}37\times 0{,}63+2\times 0{,}41\times 0{,}37}{1200}=\dfrac{0{,}2419+0{,}2331+0{,}3034}{1200}=\dfrac{0{,}7784}{1200}=0{,}00064867$. Marge : $1{,}96\sqrt{0{,}00064867}=1{,}96\times 0{,}025469\approx 0{,}0499$, soit 5,0 points. L'avance observée était de 4 points, donc INFÉRIEURE à la marge sur l'écart : le sondage n'annonçait aucune avance établie, et une inversion était parfaitement compatible avec ses propres chiffres.

c) Première explication, le HASARD D'ÉCHANTILLONNAGE : deux des trois estimations manquent leur cible d'un ou deux dixièmes de point, ce qui arrive dans le cinq pour cent de cas prévu, et rien d'autre n'est nécessaire pour expliquer l'inversion. Deuxième explication, un MOUVEMENT TARDIF de l'opinion entre le terrain du sondage et le jour du vote, phénomène documenté et fréquent dans les dernières 48 heures. Troisième explication, un BIAIS DE PARTICIPATION : les sondages mesurent des intentions dans la population, le résultat compte les voix de ceux qui se déplacent, et si l'électorat de B est plus mobilisé, l'écart apparaît sans qu'aucune opinion n'ait changé. Les trois peuvent d'ailleurs jouer ensemble, et seule une analyse post-électorale permet de les départager.

d) « Le parti A devance le parti B de 4 points, un écart inférieur à la marge de 5 points sur les avances : les deux partis sont à égalité statistique. » Le titre correct nomme l'écart, nomme la marge PERTINENTE, celle de l'écart et non celle des proportions, et conclut à l'indécision. Il faut noter que ce titre est moins vendeur, ce qui explique sa rareté, mais qu'il aurait épargné à la presse le procès en incompétence du lendemain.

e) Pour C, l'affirmation est incontestable : 22 % observés contre 22 % estimés, écart nul. Pour A, l'écart est de 3,0 points et la marge de 2,8 : le résultat est HORS de l'intervalle, de peu. Pour B, l'écart est de 3,0 points et la marge de 2,7 : hors de l'intervalle également. L'affirmation de l'institut est donc fausse pour deux partis sur trois, quoique de très peu. La formulation honnête serait : « nos estimations manquent leur cible d'environ trois points sur les deux principaux partis, soit un peu plus que notre marge; cela se produit dans environ un sondage sur vingt par parti, et nous vérifions si un biais systématique est en cause. »

a) Sans correction : $E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}54\times 0{,}46}{340}}=1{,}96\sqrt{0{,}00073059}=1{,}96\times 0{,}027029\approx 0{,}05298$, soit 5,3 points. Avec la correction de population finie, l'échantillon représentant $\dfrac{340}{6200}=5{,}5\%$ de la population : on multiplie par $\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}=\sqrt{\dfrac{5860}{6199}}\approx 0{,}97227$, ce qui donne 5,15 points. La correction fait gagner un dixième et demi de point, ce qui est marginal mais légitime ici puisque le seuil de 5 % est franchi.

b) Intervalle : $\left[54{,}0-5{,}2\ ;\ 54{,}0+5{,}2\right]=\left[48{,}8\%\ ;\ 59{,}2\%\right]$. Il contient 50 %, donc le OUI n'est PAS assuré : sur ces données, une victoire du NON reste possible. L'association ne doit pas annoncer le résultat comme acquis, et elle a intérêt à faire campagne.

c) En excluant les indécis, la base devient $54+39=93$ pour cent de l'échantillon, donc environ $0{,}93\times 340\approx 316$ répondants exprimés, et le OUI vaut $\dfrac{54}{93}\approx 58{,}1\%$. La marge sur cette nouvelle base : $1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}581\times 0{,}419}{316}}\approx 0{,}05438$, soit 5,4 points, et l'intervalle devient $\left[52{,}7\%\ ;\ 63{,}5\%\right]$, qui exclut 50 %. La conclusion CHANGE : parmi ceux qui se prononcent, le OUI est majoritaire de façon significative. Les deux calculs sont corrects et répondent à deux questions différentes, selon que l'on suppose ou non que les indécis se répartiront comme les autres.

d) $n=\dfrac{1{,}96^{2}\times 0{,}25}{0{,}04^{2}}=\dfrac{0{,}9604}{0{,}0016}\approx 601$ répondants, ramenés par la correction de population finie à $\dfrac{601}{1+\dfrac{600}{6200}}\approx 548$. Il faut donc environ 550 répondants, soit 9 % des membres, ce qui reste atteignable pour une association étudiante par un sondage en ligne bien relancé.

e) Oui, et pour deux raisons. D'abord, 58 % tombe dans l'intervalle du sondage, $\left[48{,}8\ ;\ 59{,}2\right]$, et coïncide même presque exactement avec l'estimation faite sur les seuls votes exprimés, 58,1 %, ce qui est le calcul pertinent puisqu'un référendum ne compte pas les indécis. Ensuite, le sondage a fourni l'information utile : le OUI est majoritaire chez ceux qui se prononcent, sans que la victoire soit acquise si les indécis basculent. Une réserve subsiste, et elle est de taille : avec 14 % de participation, le résultat réel décrit les 868 votants et non les 6 200 membres, et la sélection des votants est probablement corrélée à leur opinion. Le référendum a donc tranché légalement sans mesurer l'opinion de l'association mieux que le sondage.