Exercices corrigés : cote Z, rang centile et cote R (360-300)

$z=\frac{81-72}{6}=\frac{9}{6}=1{,}5$ : la note est à un écart-type et demi au-dessus de la moyenne.

$z=\frac{58-66}{5}=\frac{-8}{5}=-1{,}6$. Piège : écrire $\frac{66-58}{5}=1{,}6$, le numérateur à l'envers, qui place au-dessus de la moyenne une note qui est en dessous.

$x=\overline{x}+z\,s=64+(-0{,}75)\times 12=64-9=55$. Piège : perdre le signe de $z$, ce qui donne $73$, une note au-dessus de la moyenne pour une cote négative.

De $z=\frac{x-\overline{x}}{s}$ on tire $s=\frac{x-\overline{x}}{z}=\frac{85-75}{1{,}25}=8$. Piège : multiplier, $10\times 1{,}25=12{,}5$, alors que l'écart-type est au DÉNOMINATEUR.

$QI=15z+100=15\times(-0{,}6)+100=-9+100=91$.

On repasse par la cote Z : $z=\frac{112-100}{15}=\frac{12}{15}=0{,}8$, puis $T=10z+50=8+50=58$. Piège : convertir directement, $112-100+50=62$, comme si les deux échelles avaient le même écart-type.

$z=\frac{T-50}{10}=\frac{36-50}{10}=-1{,}4$.

$z=\frac{53-62}{9}=-1$. La règle empirique met $68\,\%$ des observations entre $z=-1$ et $z=1$, donc $\frac{100-68}{2}=16\,\%$ sous $z=-1$ : rang centile $16$. Piège : répondre $32$, la part totale hors de l'intervalle, au lieu de sa moitié inférieure.

Quatre notes sont inférieures à $67$, à savoir $47$, $54$, $59$ et $62$, et une autre note lui est égale : $R_{c}=\frac{4+0{,}5\times 1}{10}\times 100=45$. Piège : compter l'ex aequo en entier, ce qui donne $50$, ou l'oublier, ce qui donne $40$.

Position $\frac{70}{100}\times 10=7$ : la septième valeur de la liste classée, soit $72$. Piège : lire le rang centile $70$ comme $70\,\%$ de la meilleure note, alors qu'il désigne une POSITION dans le groupe.

Moyenne : $\dfrac{70+74+78+82+86}{5}=\dfrac{390}{5}=78$. Écarts à la moyenne : $-8$, $-4$, $0$, $4$, $8$; leurs carrés : 64, 16, 0, 16, 64, de somme 160. Variance de population : $\dfrac{160}{5}=32$, donc $\sigma=\sqrt{32}\approx 5{,}657$. Cotes Z : $-1{,}414$, $-0{,}707$, $0$, $0{,}707$ et $1{,}414$.

La somme des cotes Z vaut $-1{,}414-0{,}707+0+0{,}707+1{,}414=0$. C'est toujours vrai parce que $\sum z_{i}=\dfrac{\sum \left(x_{i}-\overline{x}\right)}{s}$ et que la somme des écarts à la moyenne est nulle par définition même de la moyenne. Quant à l'écart-type des cotes Z, $\sigma_{z}=\dfrac{\sigma_{x}}{s}=1$ puisque diviser toute une série par une constante divise son écart-type par cette même constante. Une série standardisée a donc TOUJOURS pour moyenne 0 et pour écart-type 1 : ces deux nombres ne contiennent aucune information, ils sont imposés par la construction.

Ajouter 5 points à tout le monde déplace la moyenne de 5 et laisse l'écart-type inchangé : chaque numérateur $x_{i}+5-\left(\overline{x}+5\right)$ redonne $x_{i}-\overline{x}$, donc les cotes Z sont INCHANGÉES. Multiplier par 1,2 multiplie la moyenne et l'écart-type par 1,2 : le numérateur et le dénominateur sont tous deux multipliés par 1,2, et les cotes Z sont encore INCHANGÉES. Voilà pourquoi la standardisation est le bon outil pour comparer des enseignants qui ne notent pas sur la même échelle : elle est insensible à toute transformation affine croissante.

On peut comparer les POSITIONS RELATIVES : l'étudiant est bien au-dessous de son groupe dans le premier cours, légèrement au-dessus dans le second. On ne peut PAS en conclure qu'il maîtrise mieux la matière du second cours, ni que les deux groupes ont un niveau comparable : une cote Z de $+0{,}4$ dans un groupe faible peut correspondre à une maîtrise inférieure à une cote de $-1{,}5$ dans un groupe très fort. La cote Z compare l'étudiant à SON groupe, jamais deux groupes entre eux. C'est précisément le trou que la cote R vient boucher.

La standardisation détruit le NIVEAU ABSOLU et l'UNITÉ. Après transformation, on ne sait plus si la moyenne du groupe était 45 ou 85, ni si l'examen portait sur 20 ou sur 100. Le cas grave est celui d'un groupe où tout le monde a échoué : l'étudiant qui obtient 48 sur 100 dans un groupe de moyenne 40 affiche une cote Z de $+1$, flatteuse, alors qu'il n'a pas atteint le seuil de réussite. La cote Z ne dit jamais si un objectif a été atteint, seulement où l'on se situe par rapport aux autres. Toute décision qui porte sur une compétence, et non sur un classement, doit donc revenir à la note brute.

$QI=15z+100$. Pour $z=1{,}2$ : $QI=15\times 1{,}2+100=18+100=118$. La lecture correcte est que la personne se situe à 1,2 écart-type au-dessus de la moyenne de son groupe d'âge, ce qui, sous une loi normale, correspond au rang centile 88 environ. Le nombre 118 n'a aucune existence propre : c'est une position déguisée en quantité.

$T=10z+50$, donc $z=\dfrac{T-50}{10}=\dfrac{63-50}{10}=1{,}3$. En QI : $15\times 1{,}3+100=19{,}5+100=119{,}5$, soit environ 120. Il faut noter que les deux nombres, 63 et 119,5, décrivent exactement la même position : passer de l'un à l'autre ne fait que changer d'unité, comme passer des centimètres aux pouces.

Dans un groupe, la moyenne des cotes Z vaut 0 par construction. La cote R moyenne vaut donc $\left(0+0{,}8\right)\times 5+25=4+25=29$. Voilà l'effet exact de l'indicateur de force du groupe : il DÉPLACE toute la distribution des cotes R du groupe vers le haut ou vers le bas, sans changer les écarts entre les étudiants d'un même groupe. Un groupe fort, à IFG élevé, voit toutes ses cotes R monter ensemble.

$z=\dfrac{128-100}{15}=\dfrac{28}{15}\approx 1{,}867$. Score T correspondant : $10\times 1{,}867+50\approx 68{,}7$. On peut vérifier la cohérence autrement : 128 est à un peu moins de deux écarts-types au-dessus de 100, et 68,7 est à un peu moins de deux écarts-types au-dessus de 50. Les deux échelles racontent la même chose.

Pour trois raisons pratiques. D'abord, un écart-type de 1 donnerait des scores compris entre $-3$ et $3$, avec des négatifs et des décimales, ce que les usagers refusent. Ensuite, un écart-type plus grand permet d'écrire des ENTIERS suffisamment fins : avec le QI, une différence d'un point représente $\dfrac{1}{15}$ d'écart-type, une résolution commode. Enfin, l'échelle choisie cache la nature relative du score, ce qui est un avantage commercial et un défaut scientifique : personne ne demande « 118 par rapport à qui ? », alors que la question est la seule qui vaille.

Le rang centile d'une valeur est le pourcentage des observations qui lui sont INFÉRIEURES, les ex aequo comptant pour moitié. La note 71 occupe le 11e rang; dix notes lui sont inférieures et il n'y a pas d'ex aequo, donc $R_{c}=\dfrac{10+0}{20}\times 100=50$. Avec la convention qui compte la valeur elle-même pour moitié, on obtiendrait $\dfrac{10+0{,}5}{20}\times 100=52{,}5$ : les deux conventions circulent, et un énoncé sérieux précise laquelle il emploie, car l'écart atteint plusieurs rangs sur un petit effectif.

Pour 94, dix-neuf notes sont inférieures : $R_{c}=\dfrac{19}{20}\times 100=95$, ou 97,5 avec la seconde convention. Le rang centile ne peut jamais valoir 100, puisqu'une observation ne peut pas être strictement supérieure à elle-même : il y a toujours au moins une valeur, la sienne, qui n'est pas en dessous. Symétriquement, le rang 0 est impossible. Un logiciel qui affiche « rang centile 100 » a arrondi.

La note de 71 sur 100 mesure une PERFORMANCE : la part de l'examen réussie, jugée à l'aune du contenu. Le rang centile de 52,5 mesure une POSITION : environ la moitié du groupe a fait moins bien. Les deux peuvent diverger complètement. Dans un examen très difficile, une note de 45 peut correspondre au rang 95; dans un examen facile, une note de 88 peut correspondre au rang 30. Ce qu'il faut dire au parent : la note répond à « qu'a-t-il appris ? », le rang centile répond à « où se situe-t-il ? », et un dossier d'admission contingenté ne s'intéresse qu'à la seconde question.

La position 15 correspond à la 15e valeur de la série ordonnée, soit 78. On peut affiner par interpolation entre la 15e et la 16e valeur, mais avec 20 observations la précision affichée serait illusoire. Il faut surtout retenir que le rang centile 75 n'est pas « 75 % de la note maximale » : ici, il vaut 78 points, et il aurait pu valoir 40 dans un groupe plus faible.

Parce que le rang centile dépend de la DENSITÉ des observations dans la zone concernée. Aux extrémités de la distribution, là où les observations sont rares, il faut beaucoup de points pour gagner quelques rangs : entre 83 et 94, onze points, on ne franchit que trois observations (86, 90 et 94). Au centre, où tout le monde s'entasse, la même distance va beaucoup plus loin : de 60 à 66, six points, on en dépasse quatre (61, 63, 65 et 66). Sur cette liste de vingt, chaque observation franchie vaut 5 rangs : les trois du haut rapportent 15 rangs pour onze points, les quatre du milieu en rapportent 20 pour six points. C'est la traduction directe de la forme en cloche : la même distance en points ne vaut pas le même nombre de rangs selon l'endroit où l'on se trouve, et c'est pourquoi le rang centile n'est pas une échelle d'intervalle.

Règle empirique : environ 68 % des observations tombent dans $\left[\mu-\sigma\ ;\ \mu+\sigma\right]$, environ 95 % dans $\left[\mu-2\sigma\ ;\ \mu+2\sigma\right]$ et environ 99,7 % dans trois écarts-types. Par symétrie, en dessous de $z=-1$ il reste $\dfrac{100-68}{2}=16\%$, donc le rang centile de $z=-1$ vaut 16, celui de $z=1$ vaut $16+68=84$. En dessous de $z=-2$ : $\dfrac{100-95}{2}=2{,}5\%$, arrondi à 2 avec les valeurs exactes de la table, et $z=2$ correspond au rang 98. Enfin $z=0$ est la médiane, rang 50.

Rang centile 84, c'est $z=1$, donc le score $500+1\times 100=600$. Rang centile 16, c'est $z=-1$, donc $500-100=400$. Ces deux valeurs encadrent les deux tiers centraux des candidats : un score de 600 place au-dessus de cinq candidats sur six environ.

Il faut $z=1{,}28$, donc un score de $500+1{,}28\times 100=628$. On note au passage que gagner les six rangs centiles qui séparent 84 de 90 coûte 28 points de score, alors que les 34 rangs qui séparent 50 de 84 en coûtent 100 : la progression n'est pas linéaire, et elle devient de plus en plus chère à mesure qu'on monte.

Non, l'écart n'est pas le même. Entre $z=0$ et $z=1$ : de 50 à 84, soit 34 rangs. Entre $z=1$ et $z=2$ : de 84 à 97,5 (98 avec le repère arrondi), soit environ 13,5 rangs, ou 14 à l'unité près. Le même écart d'un écart-type vaut donc plus du double de rangs au centre qu'à la périphérie, parce que la densité de la courbe y est bien plus forte. C'est la démonstration chiffrée du point de l'exercice précédent : le rang centile est ORDINAL, il ne se soustrait pas.

Le passage cesse d'être valide. Les correspondances $z=1$ vers le rang 84 et $z=2$ vers le rang 98 sont des propriétés de la loi NORMALE, pas des propriétés de la cote Z. Sur une distribution étirée vers la droite, comme des revenus ou des temps de réponse, une cote Z de 1 peut correspondre au rang 90 ou davantage. La cote Z reste calculable et interprétable comme une distance en écarts-types, mais toute conversion en rang centile exige soit la normalité, soit la distribution empirique elle-même. Un rappel utile de l'inégalité de Tchebychev : sans hypothèse de forme, on sait seulement qu'au plus $\dfrac{1}{4}$ des observations dépassent deux écarts-types de la moyenne, ce qui est bien plus lâche que les 5 % de la normale.

La cote Z répond à l'objection des ENSEIGNANTS QUI NE NOTENT PAS PAREIL. Si l'on classait sur la moyenne brute, un étudiant tomberait sur un correcteur généreux et gagnerait des points sans rien apprendre de plus, tandis qu'un autre, dans un cours réputé pour ses moyennes basses, serait pénalisé toute sa vie universitaire. En standardisant à l'intérieur de chaque groupe-cours, on efface la sévérité du correcteur et l'échelle de l'examen, puisque la cote Z est invariante par toute transformation affine croissante des notes.

L'indicateur de force du groupe répond à l'objection SYMÉTRIQUE : après standardisation, tous les groupes ont la même moyenne, 0, alors que les groupes n'ont pas le même niveau. Sans IFG, un étudiant moyen d'un groupe très fort et un étudiant moyen d'un groupe très faible auraient exactement la même cote, ce qui inciterait à choisir les groupes les plus faibles possible. L'IFG est estimé à partir des dossiers du SECONDAIRE des membres du groupe, donc à partir d'une information antérieure et extérieure au cours, et il déplace toutes les cotes du groupe vers le haut ou vers le bas.

Pour des raisons purement cosmétiques et pratiques, exactement comme le QI. Multiplier par 5 étale l'échelle de sorte qu'un écart-type vaille 5 points de cote R, ce qui donne une résolution commode. Ajouter 25 élimine les valeurs négatives : la quasi-totalité des cotes tombe alors entre 15 et 35. Il faut insister sur le fait que ces deux opérations ne changent rien au CLASSEMENT : elles sont affines et croissantes, donc l'ordre des étudiants est rigoureusement le même qu'avec les cotes Z brutes.

Avec $IFG=0{,}9$ : $CRC=\left(1{,}4\times 1{,}0+0{,}9\right)\times 5+25=2{,}3\times 5+25=11{,}5+25=36{,}5$. Avec $IFG=0{,}3$ : $CRC=\left(1{,}4+0{,}3\right)\times 5+25=1{,}7\times 5+25=8{,}5+25=33{,}5$. Trois points de cote R d'écart pour la même performance relative, uniquement à cause du niveau du groupe. Sur un dossier complet, un tel écart déplace un candidat de plusieurs centaines de rangs dans un programme contingenté, ce qui explique que la construction de l'IFG soit l'objet d'un contrôle serré.

$CRC=\left(1{,}4\times 0{,}85+0{,}9\right)\times 5+25=\left(1{,}19+0{,}9\right)\times 5+25=2{,}09\times 5+25\approx 35{,}45$. La correction fait perdre environ un point. Son sens : dans un groupe très HOMOGÈNE au secondaire, l'écart-type des notes du cours est artificiellement petit, si bien qu'une performance ordinaire produit une cote Z gonflée. L'IDGS, inférieur à 1 dans ce cas, comprime la cote Z pour annuler ce gonflement. C'est la réponse à une troisième objection : sans elle, un étudiant aurait intérêt à se retrouver dans un groupe où tout le monde se ressemble.

Dans le groupe A : $z=\dfrac{78-70}{4}=2{,}0$. Dans le groupe B : $z=\dfrac{78-82}{4}=-1{,}0$. La même note de 78 vaut donc deux écarts-types au-dessus dans un cas, un écart-type en dessous dans l'autre : c'est l'écart maximal que l'on rencontre en pratique, et il illustre pourquoi une note brute ne veut rien dire sans son groupe.

Groupe A : $CRC=\left(2{,}0+0{,}4\right)\times 5+25=2{,}4\times 5+25=37$. Groupe B : $CRC=\left(-1{,}0+1{,}1\right)\times 5+25=0{,}1\times 5+25=25{,}5$. L'écart est de 11,5 points de cote R, énorme. Le correctif de force du groupe, qui donne 0,7 point de Z de plus au groupe B, soit 3,5 points de cote R, est très loin de compenser les trois écarts-types qui séparent les deux positions relatives.

Il faut séparer les deux effets. Par la cote Z, oui : dans un groupe faible, la même performance absolue place plus haut, et la cote Z monte. Par l'IFG, non : un groupe faible a un IFG plus bas, et toutes ses cotes R sont abaissées d'autant. Le calcul montre que la compensation est PARTIELLE, parce que l'IFG est estimé sur les dossiers du secondaire et ne varie que d'environ un point d'un extrême à l'autre, alors que la cote Z peut varier de trois. En pratique, l'avantage résiduel d'un groupe faible existe mais reste modeste, et il est annulé dès que le groupe faible enseigne moins bien, ce qui se paie sur les cours suivants. La réponse honnête à donner à un étudiant est donc : ce paramètre est marginal comparé au travail fourni, et il n'est pas contrôlable au moment de l'inscription.

$z=\dfrac{78-70}{8}=1{,}0$ au lieu de 2,0. La cote Z est DIVISÉE PAR DEUX alors que ni la note ni la moyenne n'ont bougé. La raison est que la cote Z mesure une distance en unités d'écart-type : dans un groupe très dispersé, huit points au-dessus de la moyenne est banal, dans un groupe homogène c'est exceptionnel. C'est exactement le phénomène que l'IDGS vient corriger quand cette homogénéité vient du recrutement plutôt que du cours.

L'écart-type du groupe vaut 0, et la cote Z serait $\dfrac{0}{0}$, donc indéfinie. Le système ne calcule alors aucune cote Z : les règlements prévoient que la cote R n'est pas produite lorsque la dispersion est nulle ou que le groupe est trop petit, en pratique moins de six étudiants ayant un dossier collégial exploitable. Le cours est alors retiré du calcul du dossier, sans pénalité. C'est un rappel important : toute la construction repose sur l'existence d'une variabilité dans le groupe, et elle n'a plus de sens sans elle.

Avec 8 étudiants, la moyenne et surtout l'écart-type du groupe sont estimés sur très peu d'observations, donc très sensibles à chaque valeur. Si le groupe comptait un étudiant à 95 et que celui-ci abandonne, la moyenne baisse et l'écart-type CHUTE : les autres cotes Z sont recalculées sur une base plus resserrée, et celles des bons étudiants montent mécaniquement. Un exemple chiffré : sur les notes 60, 64, 68, 70, 72, 76, 80 et 95, la moyenne vaut 73,125 et l'écart-type de population environ 10,17; l'étudiant à 80 a une cote Z de 0,676. Sans le 95, la moyenne tombe à 70 et l'écart-type à 6,32, et le même 80 vaut désormais 1,58. Sa cote R gagne plus de quatre points sans qu'il ait rien fait. C'est précisément pour cela qu'un seuil minimal d'effectif est imposé.

Les deux résultats comptent : l'échec entre dans le dossier avec sa cote, et la reprise avec la sienne, chacune pondérée par les unités du cours. Rien n'efface l'échec. La critique est double : elle pénalise durablement un mauvais départ, souvent lié à des conditions extérieures aux études, et elle décourage la prise de risque, puisqu'un étudiant a intérêt à ne jamais s'inscrire à un cours difficile hors de son programme. En pratique, une session complète ratée pour raison de santé peut être retirée du calcul sur demande, mais c'est une procédure administrative, pas un mécanisme automatique.

Parce que trois des quatre ingrédients de la formule ne dépendent pas de lui. La composition du groupe change à chaque session, donc la moyenne et l'écart-type sur lesquels sa cote Z est calculée changent aussi; l'IFG change avec la cohorte; les cours suivis n'ont pas la même pondération en unités. Un étudiant parfaitement constant verra donc sa cote fluctuer d'un ou deux points d'une session à l'autre, ce qui est le bruit normal de l'instrument.

La frontière est administrative, pas statistique. L'écart de 0,4 point de cote R correspond à moins d'un dixième d'écart-type de performance, c'est-à-dire à une différence indiscernable, du même ordre que le bruit décrit à la question précédente. Traiter 29,8 et 30,2 comme deux cas distincts est un choix de gestion que rien dans la mesure ne justifie. Ce que l'on peut en dire correctement : la cote R classe bien de grands groupes, et elle ne tranche pas entre deux dossiers voisins. Les programmes qui le savent complètent d'ailleurs le classement par une lettre, une entrevue ou un test.

Oui, en principe, et c'est tout l'objet de la construction. Le premier terme, la cote Z, est calculé à l'intérieur d'un groupe-cours d'un cégep donné, ce qui n'autorise aucune comparaison directe entre établissements. C'est l'IFG qui rend la comparaison possible, parce qu'il est bâti sur une référence COMMUNE et extérieure aux cégeps, les notes du secondaire, elles-mêmes homogénéisées à l'échelle du Québec. La comparabilité repose donc entièrement sur la qualité de cette référence : si les notes du secondaire étaient elles-mêmes incomparables d'une école à l'autre, tout l'édifice perdrait son point d'appui. C'est l'objection de fond qui revient régulièrement dans le débat public.

FAUX. Le rang centile 80 signifie que 80 % du groupe a fait MOINS BIEN, et ne dit rien de la note. Dans un examen difficile, il peut correspondre à 58 sur 100; dans un examen facile, à 92. Énoncé correct : le rang centile est une position dans un groupe, la note est une performance sur un contenu, et les deux ne coïncident que par hasard.

FAUX. La cote Z est une échelle d'INTERVALLE, avec un zéro conventionnel placé à la moyenne : les rapports n'y ont aucun sens, exactement comme pour les degrés Celsius. Passer de 1 à 2 correspond d'ailleurs à gagner seulement 14 rangs centiles, contre 34 pour passer de 0 à 1. Énoncé correct : une cote Z de 2 est un écart-type plus haut qu'une cote de 1, ce qui est un écart considérable, mais l'expression « deux fois meilleure » n'a pas de sens.

FAUX, et c'est même l'inverse. Si tout le monde a 85, l'écart-type du groupe est nul, la cote Z est indéfinie et aucune cote R n'est produite pour ce cours; il est retiré du dossier. Plus généralement, dans un groupe très homogène, l'écart-type est petit et les cotes Z sont extrêmes dans les deux sens, ce qui bénéficie aux uns et pénalise durement les autres. Énoncé correct : la cote R n'existe que s'il y a de la variabilité dans le groupe, et une note élevée partagée par tous ne produit aucun avantage.

FAUX. Les rangs centiles ne sont pas équidistants en performance. Sous une distribution normale, passer du rang 50 au rang 60 demande environ 0,25 écart-type; passer du rang 85 au rang 95 en demande environ 0,60, soit près de deux fois et demie plus. Énoncé correct : dix rangs centiles coûtent d'autant plus cher qu'on est plus haut, parce que la densité de la distribution diminue vers les extrémités.

FAUX. Le dossier collégial est une moyenne PONDÉRÉE par le nombre d'unités de chaque cours : un cours de 3 unités pèse davantage qu'un cours de 1 unité, et les cours d'éducation physique ou les cours d'appoint n'ont pas le même poids qu'un cours de la formation spécifique. Énoncé correct : la cote R du dossier vaut $\dfrac{\sum u_{i}CRC_{i}}{\sum u_{i}}$, et deux étudiants ayant exactement les mêmes cotes par cours peuvent avoir des dossiers différents si leur répartition d'unités diffère.

Méthodes quantitatives : $z=\dfrac{84-71}{8}=1{,}625$. Philosophie : $z=\dfrac{76-73}{6}=0{,}5$. Psychologie : $z=\dfrac{81-72}{9}=1{,}0$. Anglais : $z=\dfrac{70-74}{7}\approx -0{,}571$. Il faut noter que la meilleure NOTE, 84, correspond aussi à la meilleure position, mais que ce n'est pas automatique : 81 en psychologie, dans un groupe très dispersé, vaut moins que 84 dans un groupe qui l'est moins.

Méthodes quantitatives : $\left(1{,}625+0{,}7\right)\times 5+25=2{,}325\times 5+25\approx 36{,}63$. Philosophie : $\left(0{,}5+0{,}5\right)\times 5+25=30{,}0$. Psychologie : $\left(1{,}0+0{,}8\right)\times 5+25=34{,}0$. Anglais : $\left(-0{,}571+0{,}9\right)\times 5+25\approx 26{,}64$. On observe que l'anglais, seul cours où l'étudiant est sous la moyenne, reste au-dessus de 25 grâce à un IFG élevé : le groupe était fort, et cela le protège partiellement.

Somme des unités : $2+2{,}33+2+2=8{,}33$. Somme pondérée : $2\times 36{,}63+2{,}33\times 30{,}0+2\times 34{,}0+2\times 26{,}64=73{,}26+69{,}90+68{,}00+53{,}28=264{,}44$. Dossier : $\dfrac{264{,}44}{8{,}33}\approx 31{,}75$. La pondération par unités a ici un effet réel : la philosophie, moins bonne cote mais plus d'unités, tire le dossier vers le bas d'environ un dixième de point par rapport à une moyenne simple.

Sans l'anglais, la somme des unités devient 6,33 et la somme pondérée $264{,}44-53{,}28=211{,}16$, donc un dossier de $\dfrac{211{,}16}{6{,}33}\approx 33{,}36$, soit un gain de 1,6 point. Arithmétiquement, l'abandon améliore donc le dossier. Est-ce une bonne idée ? Rarement : un abandon inscrit la mention au bulletin, il retarde la diplomation, il peut faire perdre le statut de temps plein donc l'aide financière, et surtout le cours devra être repris, avec le risque que la nouvelle cote soit moins bonne. La règle prudente est d'abandonner un cours qu'on va échouer, pas un cours où l'on est légèrement sous la moyenne.

Le dossier est déjà à 31,75, largement au-dessus du seuil de 29 : aucune amélioration n'est nécessaire. On peut retourner la question et chercher la cote R minimale en anglais qui maintiendrait le dossier à 29 : il faudrait $\dfrac{73{,}26+69{,}90+68{,}00+2x}{8{,}33}=29$, donc $2x=29\times 8{,}33-211{,}16=241{,}57-211{,}16=30{,}41$, soit $x\approx 15{,}2$. Une cote R de 15 correspond à environ deux écarts-types sous la moyenne d'un groupe ordinaire, c'est-à-dire à un échec net. Le seuil est donc atteint avec une marge très confortable, et c'est exactement le genre de vérification qu'un étudiant devrait faire avant de s'inquiéter.

Candidat A : la cote R a par construction une moyenne de 25 et un écart-type de 5, donc $z=\dfrac{31-25}{5}=1{,}2$. Candidat B : $z=\dfrac{612-500}{100}=1{,}12$. Candidat C : $z=\dfrac{14{,}6-12{,}4}{1{,}8}\approx 1{,}222$. Candidat D : le rang 88 correspond, sous la loi normale, à $z\approx 1{,}175$, valeur lue dans la table entre 1,17 et 1,18.

Classement par cote Z décroissante : C ($1{,}222$), A ($1{,}200$), D ($1{,}175$), B ($1{,}120$). L'écart entre le premier et le dernier vaut $1{,}222-1{,}120=0{,}102$ écart-type, soit environ un dixième d'écart-type. C'est un écart minuscule : sur une distribution normale, il sépare le rang centile 89 du rang 87. Autant dire que les quatre candidats sont indiscernables, et que l'ordre obtenu tient à des arrondis.

La conversion d'un rang centile en cote Z suppose la NORMALITÉ de la distribution d'origine. Sans elle, un rang 88 peut correspondre à une cote Z très différente : sur une distribution étirée vers la droite, il pourrait valoir 0,9; sur une distribution resserrée avec quelques valeurs extrêmes, 1,6. En l'absence d'information sur la forme, la seule chose que l'on sait avec certitude est l'ORDRE : le candidat D dépasse 88 % de son groupe, ce qui suffit pour un classement grossier et pas pour une comparaison au dixième.

Avec $y=8z+70$ : candidat A, $8\times 1{,}2+70=79{,}6$; candidat B, $8\times 1{,}12+70=78{,}96$; candidat C, $8\times 1{,}222+70\approx 79{,}78$; candidat D, $8\times 1{,}175+70=79{,}4$. Les quatre notes tiennent en huit dixièmes de point, ce qui rend visible d'un coup d'oeil ce que les nombres bruts, 31, 612, 14,6 et 88, dissimulaient complètement.

Trois réserves. Première réserve : les quatre cotes Z sont calculées sur des POPULATIONS DE RÉFÉRENCE différentes, les collégiens du Québec pour A, les candidats au test pour B, une classe de lycée pour C; être au-dessus de son groupe ne dit rien tant que les groupes ne sont pas comparables, et rien ici ne garantit qu'ils le soient. Deuxième réserve : l'écart mesuré, un dixième d'écart-type, est inférieur au bruit de chacun des instruments, donc le classement obtenu n'est pas reproductible. Troisième réserve : pour C, l'écart-type de 1,8 point provient d'une seule classe, donc d'un effectif faible, ce qui rend sa cote Z instable exactement comme dans le cas des petits groupes du cégep. La conclusion à écrire est que les quatre dossiers sont équivalents au regard des données disponibles, et que le départage doit se faire sur d'autres critères, explicites et écrits d'avance.