Méthodes quantitatives 360-300 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : cote Z, rang centile et cote R

Cette fiche traite le chapitre qui décide de l'admission à l'université : la cote Z, le rang centile et la cote R du collégial. Elle ne redonne pas les formules, elle donne ce qu'il faut en faire, et surtout les six ou sept confusions qui coûtent des points à l'examen et qui alimentent tous les mythes de corridor sur la cote R.

Elle s'adresse aux étudiants de Sciences humaines du cégep qui suivent le cours obligatoire de méthodes quantitatives 360-300, et elle sert aussi à qui veut simplement comprendre son relevé de notes. La série d'exercices corrigés du même chapitre reprend chaque calcul, jusqu'au dossier complet d'une session.

Le fil du chapitre

Une cote Z ne dit rien de votre note, elle dit votre POSITION dans votre groupe. Tout le chapitre, cote R comprise, consiste à corriger le fait qu'un même $82$ % ne vaut pas la même chose selon le groupe où il a été obtenu.

Ce chapitre fait partie de Méthodes quantitatives en sciences humaines : tous les chapitres du 360-300

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Tableaux de distribution et graphiques Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Cote Z
Standardisation d'une série
Transformation affine
Échelles dérivées
Score T
Rang centile
Loi normale
Règle empirique
Cote de rendement au collégial
Indicateur de force du groupe
Indicateur de dispersion du groupe
Moyenne pondérée par les unités

L'essentiel

Ce que la cote Z conserve et ce qu'elle détruit

• $z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}$ : c'est un nombre d'écarts-types, sans unité. La série standardisée a TOUJOURS pour moyenne $0$ et pour écart-type $1$ .
• Ces deux nombres ne contiennent donc aucune information : les annoncer comme un résultat ne rapporte rien.
• La cote Z est INVARIANTE par toute transformation affine croissante des données : ajouter cinq points à tout le monde, ou noter sur $50$ au lieu de $100$ , ne la change pas.
• Elle est une échelle d'INTERVALLE : les DIFFÉRENCES de cotes Z se comparent, les rapports n'ont aucun sens.

Ce qui survit à la standardisation, c'est la FORME de la distribution et l'ordre des étudiants; ce qui disparaît, c'est l'échelle de notation et le niveau absolu.

Les cinq repères de la loi normale, à savoir par cœur

• $z=-2$ vers le rang $2$ , $z=-1$ vers $16$ , $z=0$ vers $50$ , $z=+1$ vers $84$ , $z=+2$ vers $98$ .
• Le RANG CENTILE est le pourcentage du groupe qui se trouve EN DESSOUS. Il ne vaut jamais $0$ ni $100$ .
• De $z=0$ à $z=1$ on gagne $34$ rangs; de $z=1$ à $z=2$ on n'en gagne que $14$ . Le même effort ne rapporte pas partout la même chose.
• Échelles dérivées, toutes de la forme $y=az+b$ : quotient intellectuel $15z+100$ , score T $10z+50$ , cote R $\left(z\times IDGS+IFG\right)\times 5+25$ .

La cloche est symétrique et l'échelle des rangs centiles ne l'est pas : les

34

rangs gagnés entre

z=0

z=+1

tombent à

14

entre

z=+1

z=+2

Ces repères sont la règle empirique déguisée : 68 % dans un écart-type, 95 % dans deux, ce qui laisse $2{,}5$ % de chaque côté au-delà de $z=2$ .

La cote R en trois corrections successives

• On part de la cote Z du cours, qui dit la position dans SON groupe.
• On la multiplie par l'IDGS, l'indicateur de dispersion du groupe, qui COMPRIME la cote Z quand le groupe était très homogène au secondaire.
• On ajoute l'IFG, l'indicateur de force du groupe, bâti sur les dossiers du secondaire : il sert à comparer les GROUPES entre eux.
• On ramène le tout sur l'échelle usuelle par $\left(\ldots\right)\times 5+25$ , puis on moyenne les cours en pondérant par les UNITÉS.

Chaque boîte corrige un défaut de la précédente : la cote Z ignore le groupe, l'IDGS corrige sa dispersion, l'IFG sa force, et la dernière étape n'est qu'un changement d'échelle.

Aucune cote R n'est produite si l'écart-type du groupe est nul ou si l'effectif est trop faible : toute la construction suppose de la variabilité.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Annoncer la moyenne et l'écart-type de la série standardisée

1 point, et la question de conclusion tombe à côté

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Après standardisation, la moyenne vaut $0$ et l'écart-type $1$ : le groupe est donc homogène. »

Ce qu'il faut écrire

« La moyenne $0$ et l'écart-type $1$ sont AUTOMATIQUES : toute série standardisée les a. L'homogénéité se lit sur l'écart-type des données BRUTES. »

Pourquoi : La standardisation est une construction : elle fabrique ces deux nombres par définition. Un résultat qu'on obtiendrait sur n'importe quelles données n'est pas un résultat.

2. Comparer deux cotes Z par un rapport

1 point, et la faute est immédiate à repérer

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sa cote Z vaut $1{,}6$ et la mienne $0{,}8$ : il est deux fois meilleur. »

Ce qu'il faut écrire

« Il se situe $0{,}8$ écart-type au-dessus de moi. La cote Z est une échelle d'INTERVALLE : les différences se comparent, pas les rapports. »

Pourquoi : Le zéro d'une cote Z est la moyenne du groupe, donc une convention. Une cote Z de $0$ n'est pas l'absence de performance, et un rapport n'a aucun sens sans zéro absolu.

3. Lire le rang centile comme un pourcentage de bonnes réponses

2 points, et l'interprétation de tout le tableau

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Mon rang centile est $84$ : j'ai donc réussi 84 % de l'examen. »

Ce qu'il faut écrire

« Mon rang centile est $84$ : 84 % du groupe a fait MOINS BIEN que moi. Cela ne dit rien de ma note, qui peut être $62$ % comme $95$ %. »

Pourquoi : Un rang centile est une POSITION, un pourcentage de bonnes réponses est une PERFORMANCE. Dans un groupe très faible, un rang de $95$ peut accompagner une note médiocre.

4. Croire que dix rangs centiles valent partout le même effort

1 point, et la question sur la forme de la courbe

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Passer du rang $50$ au rang $60$ ou du rang $85$ au rang $95$ , c'est le même progrès. »

Ce qu'il faut écrire

« Du rang $50$ au rang $60$ , il faut gagner environ $0{,}25$ écart-type; du rang $85$ au rang $95$ , il en faut $0{,}61$ , deux fois et demie plus. »

Pourquoi : La densité de la loi normale s'effondre dans les queues : il y a très peu de monde entre $z=1{,}5$ et $z=2$ , donc dépasser ces gens coûte beaucoup d'écarts-types.

5. Croire qu'une hausse générale des notes fait monter la cote Z

1,5 point, et la question sur l'invariance affine

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le professeur a ajouté cinq points à tout le monde : ma cote Z monte. »

Ce qu'il faut écrire

« Ajouter la même chose à tous déplace la moyenne d'autant et laisse l'écart-type inchangé : la cote Z ne bouge pas d'un millième. »

Pourquoi : La cote Z mesure une position relative. Seule une modification qui change les ÉCARTS entre étudiants, comme une note bonifiée pour certains, peut la déplacer.

6. Comparer deux étudiants de groupes différents par leur note

toute la question, qui porte exactement là-dessus

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Nous avons tous les deux $82$ % : nous sommes au même niveau. »

Ce qu'il faut écrire

« Dans un groupe de moyenne $74$ et d'écart-type $4$ , $82$ donne $z=2{,}0$ , soit le rang $98$ . Dans un groupe de même moyenne mais d'écart-type $12$ , le même $82$ donne $z\approx 0{,}67$ , soit le rang $75$ . »

Les deux groupes ont la même moyenne de

74

. Dans le groupe serré, la note

82

est presque à l'extrémité de la courbe; dans le groupe dispersé, elle est encore dans le gros du peloton.

Pourquoi : C'est la raison d'être de la cote Z : la note brute mélange le niveau de l'étudiant et la sévérité de la correction. La dispersion du groupe est ce qui décide de tout.

7. Moyenner les cotes R par cours au lieu de les pondérer par les unités

1,5 point, et un écart réel de quelques dixièmes sur un dossier d'admission

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Mes trois cours donnent $33$ , $29$ et $29{,}1$ : ma cote R est $30{,}4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La cote R du dossier est $\dfrac{\sum u_{i}CRC_{i}}{\sum u_{i}}$ : pondérée par les UNITÉS, elle vaut $30{,}19$ et non $30{,}38$ . »

Pourquoi : Un cours de $2{,}66$ unités pèse plus qu'un cours de $2{,}00$ . L'écart paraît minuscule, mais les programmes contingentés se jouent au dixième de cote R.

8. Croire qu'un groupe faible est une bonne affaire

toute la question sur le rôle des deux indicateurs

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Je m'inscris dans le groupe le plus faible : ma cote Z y sera plus haute, donc ma cote R aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« La cote Z y sera plus haute, mais l'IFG du groupe sera plus bas et l'IDGS comprimera la cote Z si le groupe était homogène au secondaire : les deux corrections sont faites pour annuler cet avantage. »

Pourquoi : L'IFG et l'IDGS existent précisément pour rendre les cotes comparables d'un groupe à l'autre. C'est le mythe de corridor le plus répandu, et l'examen le prend souvent pour sujet.

Quelle méthode choisir

Que demande l'énoncé : une cote, un rang ou une note ?

On repère ce qui est DONNÉ et ce qui est CHERCHÉ, puis on suit le chemin : note brute, cote Z, rang centile.

Si on donne la note, la moyenne et l'écart-type du groupe → calculer $z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}$ , c'est le passage obligé de tout le chapitre

Exemple : $82$ dans un groupe $(74\ ;8)$ donne $z=1{,}0$
Si on donne la cote Z et on demande une position dans le groupe → lire le rang centile par les repères, ou par la table de la loi normale

Exemple : $z=+1$ donne le rang $84$
Si on donne le rang centile et on demande une note → remonter du rang à la cote Z par la table, PUIS $x=\overline{x}+zs$

Exemple : rang $98$ dans un groupe $(74\ ;4)$ donne $x=82$
Si on demande un score dérivé : QI, score T, cote R → appliquer la forme affine $y=az+b$ propre à cette échelle, après avoir calculé $z$

Exemple : $z=1{,}2$ donne un score T de $62$
Si on compare deux étudiants de groupes différents → standardiser CHACUN dans son groupe, puis comparer les cotes Z, jamais les notes

Exemple : $82$ dans $(74\ ;4)$ bat $88$ dans $(80\ ;12)$

La table de la loi normale ne sert que si l'énoncé dit, ou laisse entendre, que la distribution est normale. Sinon, seuls les rangs observés sont utilisables.

Quel morceau de la cote R corrige quoi ?

Devant une question sur la cote R, on cherche d'abord QUEL défaut la question met en cause.

Si l'énoncé dit que les groupes n'ont pas le même niveau → c'est l'IFG qui répond : il est bâti sur les dossiers du secondaire et compare les groupes entre eux

Exemple : un groupe d'élite et un groupe ordinaire
Si l'énoncé dit qu'un groupe est très homogène → c'est l'IDGS qui répond : il comprime la cote Z gonflée par un écart-type artificiellement petit

Exemple : un groupe où tout le monde tourne autour de 84 %
Si l'énoncé porte sur un cours à plus ou moins d'unités → c'est la pondération finale qui répond : la moyenne se fait sur les unités, pas sur le nombre de cours

Exemple : un cours de 2,66 unités contre un cours de 1,00
Si l'énoncé dit que le groupe compte cinq étudiants, ou que tous ont la même note → aucune cote R n'est produite : la construction exige de la variabilité et un effectif suffisant

Exemple : un cours d'appoint à six inscrits

Si la question porte sur l'équité entre programmes plutôt que sur un calcul, la réponse attendue est que la cote R compare des positions, jamais des contenus de cours.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Comparer deux étudiants venus de groupes différents

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé donne deux notes accompagnées chacune de la moyenne et de l'écart-type de son groupe.

1 Écrire pour chacun la note, la moyenne et l'écart-type de SON groupe, dans un tableau à trois colonnes.
2 Calculer les deux cotes Z, avec au moins deux décimales.
3 Traduire chaque cote Z en rang centile, en disant que l'on suppose la distribution normale.
4 Comparer les cotes Z par leur DIFFÉRENCE, jamais par leur rapport.
5 Conclure par une phrase qui nomme la position, pas la note.

Phrase de conclusion

« Avec $z_{A}=2{,}00$ contre $z_{B}=0{,}67$ , l'étudiant A se situe $1{,}33$ écart-type plus haut dans son groupe que l'étudiant B dans le sien, soit approximativement le rang $98$ contre le rang $75$ , en supposant les deux distributions normales. »

Le piège : Standardiser les deux notes avec la même moyenne et le même écart-type : chacun se compare à SON groupe, jamais à l'autre.

Barème : 2 points pour les deux cotes Z, 1 point pour les rangs, 1 point pour l'hypothèse de normalité écrite, 1 point pour la conclusion.

Calculer la cote R d'une session

Quand l'utiliser : Quand l'énoncé donne, pour chaque cours, la note, les statistiques du groupe, l'IFG, l'IDGS et le nombre d'unités.

1 Calculer la cote Z de chaque cours séparément, dans son propre groupe.
2 Appliquer $CRC=\left(z\times IDGS+IFG\right)\times 5+25$ cours par cours, et garder deux décimales.
3 Multiplier chaque CRC par les unités du cours, puis additionner.
4 Diviser par la somme des unités, et non par le nombre de cours.
5 Vérifier que le résultat tombe entre la plus petite et la plus grande des CRC.

Phrase de conclusion

« La cote R de la session vaut $\dfrac{\sum u_{i}CRC_{i}}{\sum u_{i}}=\dfrac{211{,}00}{6{,}99}\approx 30{,}19$ . »

Le piège : Arrondir les CRC à l'unité avant de pondérer : sur un dossier d'admission, quelques centièmes se voient.

Barème : 1 point par cote Z, 1 point par CRC, 1 point pour la pondération par les unités.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le signe de la cote Z

Comparer la note à la moyenne du groupe : au-dessus, la cote Z est positive; au-dessous, négative. Aucun calcul n'est nécessaire.

Une note de $68$ dans un groupe de moyenne $74$ ne peut pas donner $z=+0{,}75$ .
Le rang centile est cohérent avec le signe

Une cote Z positive donne un rang supérieur à $50$ , une cote Z négative un rang inférieur. Le rang $50$ correspond exactement à la moyenne.

$z=-0{,}4$ avec un rang annoncé à $66$ : les deux se contredisent, l'un des deux est faux.
L'ordre de grandeur d'une cote Z

Dans un groupe ordinaire, presque toutes les cotes Z sont comprises entre $-3$ et $+3$ . Au-delà, on a divisé par la variance au lieu de l'écart-type.

Un $z=8{,}4$ vient presque toujours d'un écart-type confondu avec une variance de $s^{2}$ .
La cote R reste entre ses composantes

La moyenne pondérée des CRC ne peut pas sortir de l'intervalle des CRC : c'est le contrôle immédiat d'une pondération.

Des CRC de $29$ , $29{,}1$ et $33$ ne peuvent pas donner une cote R de $34$ .

L'exercice type décortiqué

Le dossier complet d'une session, du relevé de notes à la cote R

Cours 1 : note $82$ , groupe de moyenne $74$ et d'écart-type $8$ , $IFG=0{,}60$ , $IDGS=1{,}00$ , $2{,}00$ unités.

Cours 2 : note $78$ , groupe de moyenne $70$ et d'écart-type $12$ , $IFG=0{,}20$ , $IDGS=0{,}90$ , $2{,}66$ unités.

Cours 3 : note $90$ , groupe de moyenne $84$ et d'écart-type $4$ , $IFG=-0{,}30$ , $IDGS=0{,}75$ , $2{,}33$ unités.

Étape 1

$z_{1}=\dfrac{82-74}{8}=1{,}000$ ; $z_{2}=\dfrac{78-70}{12}\approx 0{,}667$ ; $z_{3}=\dfrac{90-84}{4}=1{,}500$ .

Pourquoi

Chaque cours a son propre groupe, donc sa propre moyenne et son propre écart-type. Mélanger les trois groupes est l'erreur qui coûte la question entière.

Étape 2

$CRC_{1}=\left(1{,}000\times 1{,}00+0{,}60\right)\times 5+25=33{,}00$ .

Pourquoi

L'IDGS vaut ici $1{,}00$ : le groupe était de dispersion normale au secondaire, donc la cote Z passe sans être comprimée.

Étape 3

$CRC_{2}=\left(0{,}667\times 0{,}90+0{,}20\right)\times 5+25=29{,}00$ et $CRC_{3}=\left(1{,}500\times 0{,}75-0{,}30\right)\times 5+25\approx 29{,}13$ .

Pourquoi

Le cours 3 porte la meilleure note et la meilleure cote Z, et pourtant sa CRC est la plus basse des trois : le groupe était homogène, donc comprimé par l'IDGS, et faible, donc pénalisé par un IFG négatif.

Étape 4

$\sum u_{i}CRC_{i}=2{,}00(33{,}00)+2{,}66(29{,}00)+2{,}33(29{,}13)\approx 211{,}00$ et $\sum u_{i}=6{,}99$ .

Pourquoi

On multiplie AVANT d'additionner : c'est la définition même d'une moyenne pondérée, et l'ordre inverse donne n'importe quoi.

Étape 5

Cote R $=\dfrac{211{,}00}{6{,}99}\approx 30{,}19$ , contre $\dfrac{33{,}00+29{,}00+29{,}13}{3}\approx 30{,}38$ en moyenne simple.

Pourquoi

L'écart de $0{,}19$ vient de ce que le meilleur cours porte le moins d'unités. Sur un dossier contingenté, deux dixièmes de cote R séparent des centaines de candidats.

Étape 6

Contrôle : $29{,}00\le 30{,}19\le 33{,}00$ .

Pourquoi

Une moyenne pondérée reste toujours entre le plus petit et le plus grand de ses termes; un résultat hors de cet intervalle signale une pondération inversée.

Conclusion rédigée

« La cote R de la session vaut $30{,}19$ , obtenue en pondérant les trois cotes de rendement par les unités des cours. Le cours où la note brute était la plus élevée est celui qui contribue le moins, parce que son groupe était à la fois homogène et faible. »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre la moyenne arithmétique des trois CRC : on obtient $30{,}38$ et on ignore que le cours le mieux réussi ne compte que pour $2{,}33$ unités sur $6{,}99$ .

À savoir par cœur

• $z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}$ . La série standardisée a TOUJOURS moyenne $0$ et écart-type $1$ : ces deux nombres n'apprennent rien.
• Repères de la loi normale : $z=-2\to 2$ , $z=-1\to 16$ , $z=0\to 50$ , $z=+1\to 84$ , $z=+2\to 98$ .
• Le RANG CENTILE est le pourcentage du groupe EN DESSOUS. Il ne vaut jamais $0$ ni $100$ , et il n'a rien d'un pourcentage de bonnes réponses.
• La cote Z est INVARIANTE par transformation affine croissante : ajouter des points à tout le monde ne la change pas.
• $CRC=\left(z\times IDGS+IFG\right)\times 5+25$ , et la cote R du dossier est $\dfrac{\sum u_{i}CRC_{i}}{\sum u_{i}}$ , pondérée par les UNITÉS.
• Les différences de cotes Z se comparent, les rapports jamais : c'est une échelle d'intervalle.
• Pas de cote R sans variabilité : écart-type nul ou effectif trop faible, aucune cote n'est produite.

Questions fréquentes

Comment calculer sa cote Z à partir de sa note ?

On soustrait la moyenne du groupe à sa note, puis on divise par l'écart-type du groupe. Une note de 82 dans un groupe de moyenne 74 et d'écart-type 8 donne une cote Z de 1,00, soit un écart-type au-dessus de la moyenne. Le résultat n'a pas d'unité : il se lit en nombre d'écarts-types, jamais en points.

Que veut dire un rang centile de 84 ?

Que 84 pour cent du groupe se situe en dessous de vous. Ce n'est pas un pourcentage de bonnes réponses : votre note peut être de 62 comme de 95, tout dépend du groupe. Un rang centile est une position dans un classement, et il ne vaut jamais 0 ni 100 puisqu'on ne peut pas se dépasser soi-même.

Comment se calcule la cote R au cégep ?

Pour chaque cours, on prend la cote Z de l'étudiant dans son groupe, on la multiplie par l'indicateur de dispersion du groupe, on ajoute l'indicateur de force du groupe, puis on multiplie par cinq et on ajoute vingt-cinq. La cote R du dossier est ensuite la moyenne de ces cotes de rendement, pondérée par les unités de chaque cours.

Est-ce avantageux d'être dans un groupe faible pour la cote R ?

Non, et c'est justement ce que les deux indicateurs corrigent. Dans un groupe faible, la cote Z monte, mais l'indicateur de force du groupe est plus bas et vient la compenser. Si en plus le groupe est très homogène, l'indicateur de dispersion comprime la cote Z. Toute la construction vise à rendre les cotes comparables d'un groupe à l'autre.

Pourquoi ma cote Z ne monte-t-elle pas quand le professeur ajoute des points ?

Parce qu'une bonification donnée à tout le monde déplace la moyenne exactement autant que votre note, et laisse l'écart-type inchangé. La cote Z mesure une position relative : elle ne bouge que si les écarts entre étudiants changent. Une hausse générale ne change le classement de personne.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Cote Z, rang centile et cote R

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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