Méthodes quantitatives 360-300 • Sciences humaines au cégep à Montréal
Fiche de révision : cote Z, rang centile et cote R
Cette fiche traite le chapitre qui décide de l'admission à l'université : la cote Z, le rang centile et la cote R du collégial. Elle ne redonne pas les formules, elle donne ce qu'il faut en faire, et surtout les six ou sept confusions qui coûtent des points à l'examen et qui alimentent tous les mythes de corridor sur la cote R.
Elle s'adresse aux étudiants de Sciences humaines du cégep qui suivent le cours obligatoire de méthodes quantitatives 360-300, et elle sert aussi à qui veut simplement comprendre son relevé de notes. La série d'exercices corrigés du même chapitre reprend chaque calcul, jusqu'au dossier complet d'une session.
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Le fil du chapitre
Une cote Z ne dit rien de votre note, elle dit votre POSITION dans votre groupe. Tout le chapitre, cote R comprise, consiste à corriger le fait qu'un même 82 % ne vaut pas la même chose selon le groupe où il a été obtenu.
•z=sx−x : c'est un nombre d'écarts-types, sans unité. La série standardisée a TOUJOURS pour moyenne 0 et pour écart-type 1.
•Ces deux nombres ne contiennent donc aucune information : les annoncer comme un résultat ne rapporte rien.
•La cote Z est INVARIANTE par toute transformation affine croissante des données : ajouter cinq points à tout le monde, ou noter sur 50 au lieu de 100, ne la change pas.
•Elle est une échelle d'INTERVALLE : les DIFFÉRENCES de cotes Z se comparent, les rapports n'ont aucun sens.
Standardiser, c'est regraduer : dans un groupe de moyenne 72 et d'écart-type 8, chaque note garde sa place, 72 devient 0 et chaque pas de 8 points devient un pas de 1.
Ce qui survit à la standardisation, c'est la FORME de la distribution et l'ordre des étudiants; ce qui disparaît, c'est l'échelle de notation et le niveau absolu.
Les cinq repères de la loi normale, à savoir par cœur
•z=−2 vers le rang 2, z=−1 vers 16, z=0 vers 50, z=+1 vers 84, z=+2 vers 98.
•Le RANG CENTILE est le pourcentage du groupe qui se trouve EN DESSOUS. Il ne vaut jamais 0 ni 100.
•De z=0 à z=1 on gagne 34 rangs; de z=1 à z=2 on n'en gagne que 14. Le même effort ne rapporte pas partout la même chose.
•Échelles dérivées, toutes de la forme y=az+b : quotient intellectuel 15z+100, score T 10z+50, cote R (z×IDGS+IFG)×5+25.
La cloche est symétrique et l'échelle des rangs centiles ne l'est pas : les 34 rangs gagnés entre z=0 et z=+1 tombent à 14 entre z=+1 et z=+2.
Ces repères sont la règle empirique déguisée : 68 % dans un écart-type, 95 % dans deux, ce qui laisse 2,5 % de chaque côté au-delà de z=2.
La cote R en trois corrections successives
•On part de la cote Z du cours, qui dit la position dans SON groupe.
•On la multiplie par l'IDGS, l'indicateur de dispersion du groupe, qui COMPRIME la cote Z quand le groupe était très homogène au secondaire.
•On ajoute l'IFG, l'indicateur de force du groupe, bâti sur les dossiers du secondaire : il sert à comparer les GROUPES entre eux.
•On ramène le tout sur l'échelle usuelle par (…)×5+25, puis on moyenne les cours en pondérant par les UNITÉS.
Chaque boîte corrige un défaut de la précédente : la cote Z ignore le groupe, l'IDGS corrige sa dispersion, l'IFG sa force, et la dernière étape n'est qu'un changement d'échelle.
Aucune cote R n'est produite si l'écart-type du groupe est nul ou si l'effectif est trop faible : toute la construction suppose de la variabilité.
Les pièges qui coûtent des points
Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.
1.Annoncer la moyenne et l'écart-type de la série standardisée
1 point, et la question de conclusion tombe à côté
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Après standardisation, la moyenne vaut 0 et l'écart-type 1 : le groupe est donc homogène. »
Ce qu'il faut écrire
« La moyenne 0 et l'écart-type 1 sont AUTOMATIQUES : toute série standardisée les a. L'homogénéité se lit sur l'écart-type des données BRUTES. »
La série serrée de la fiche (bleu) et la même série étirée (orange) donnent exactement les mêmes cotes Z : moyenne 0 et écart-type 1 ne disent rien de l'homogénéité.
Pourquoi : La standardisation est une construction : elle fabrique ces deux nombres par définition. Un résultat qu'on obtiendrait sur n'importe quelles données n'est pas un résultat.
2.Comparer deux cotes Z par un rapport
1 point, et la faute est immédiate à repérer
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Sa cote Z vaut 1,6 et la mienne 0,8 : il est deux fois meilleur. »
Ce qu'il faut écrire
« Il se situe 0,8 écart-type au-dessus de moi. La cote Z est une échelle d'INTERVALLE : les différences se comparent, pas les rapports. »
Le zéro des cotes Z est la moyenne du groupe, un choix : l'écart de 0,8 écart-type a un sens (vert), le rapport 2 n'en a pas (rouge).
Pourquoi : Le zéro d'une cote Z est la moyenne du groupe, donc une convention. Une cote Z de 0 n'est pas l'absence de performance, et un rapport n'a aucun sens sans zéro absolu.
3.Lire le rang centile comme un pourcentage de bonnes réponses
2 points, et l'interprétation de tout le tableau
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Mon rang centile est 84 : j'ai donc réussi 84 % de l'examen. »
Ce qu'il faut écrire
« Mon rang centile est 84 : 84 % du groupe a fait MOINS BIEN que moi. Cela ne dit rien de ma note, qui peut être 62 % comme 95 %. »
Deux groupes d'illustration de 20 : 62 % dans le groupe faible et 95 % dans le groupe fort donnent le même rang centile 95. Le rang est une position, pas une note.
Pourquoi : Un rang centile est une POSITION, un pourcentage de bonnes réponses est une PERFORMANCE. Dans un groupe très faible, un rang de 95 peut accompagner une note médiocre.
4.Croire que dix rangs centiles valent partout le même effort
1 point, et la question sur la forme de la courbe
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Passer du rang 50 au rang 60 ou du rang 85 au rang 95, c'est le même progrès. »
Ce qu'il faut écrire
« Du rang 50 au rang 60, il faut gagner environ 0,25 écart-type; du rang 85 au rang 95, il en faut 0,61, deux fois et demie plus. »
Les deux aires valent 10 % : près du centre, 0,25 écart-type suffit (bleu) ; dans la queue, il en faut 0,61 (orange), parce que la cloche y est basse.
Pourquoi : La densité de la loi normale s'effondre dans les queues : il y a très peu de monde entre z=1,5 et z=2, donc dépasser ces gens coûte beaucoup d'écarts-types.
5.Croire qu'une hausse générale des notes fait monter la cote Z
1,5 point, et la question sur l'invariance affine
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Le professeur a ajouté cinq points à tout le monde : ma cote Z monte. »
Ce qu'il faut écrire
« Ajouter la même chose à tous déplace la moyenne d'autant et laisse l'écart-type inchangé : la cote Z ne bouge pas d'un millième. »
Cinq points de plus pour tous : la moyenne avance aussi de cinq, l'écart de l'étudiant à la moyenne reste de 8 points, un écart-type, et sa cote Z reste 1.
Pourquoi : La cote Z mesure une position relative. Seule une modification qui change les ÉCARTS entre étudiants, comme une note bonifiée pour certains, peut la déplacer.
6.Comparer deux étudiants de groupes différents par leur note
toute la question, qui porte exactement là-dessus
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Nous avons tous les deux 82 % : nous sommes au même niveau. »
Ce qu'il faut écrire
« Dans un groupe de moyenne 74 et d'écart-type 4, 82 donne z=2,0, soit le rang 98. Dans un groupe de même moyenne mais d'écart-type 12, le même 82 donne z≈0,67, soit le rang 75. »
Les deux groupes ont la même moyenne de 74. Dans le groupe serré, la note 82 est presque à l'extrémité de la courbe; dans le groupe dispersé, elle est encore dans le gros du peloton.
Pourquoi : C'est la raison d'être de la cote Z : la note brute mélange le niveau de l'étudiant et la sévérité de la correction. La dispersion du groupe est ce qui décide de tout.
7.Moyenner les cotes R par cours au lieu de les pondérer par les unités
1,5 point, et un écart réel de quelques dixièmes sur un dossier d'admission
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Mes trois cours donnent 33, 29 et 29,13 : ma cote R est 30,38. »
Ce qu'il faut écrire
« La cote R du dossier est ∑ui∑uiCRCi : pondérée par les UNITÉS, elle vaut 30,19 et non 30,38. »
Chaque cours est un rectangle de largeur égale à ses unités : la moyenne pondérée (vert) tient compte des 2,66 unités du cours 2, la moyenne simple (rouge) non. Axe coupé à 28.
Pourquoi : Un cours de 2,66 unités pèse plus qu'un cours de 2,00. L'écart paraît minuscule, mais les programmes contingentés se jouent au dixième de cote R.
8.Croire qu'un groupe faible est une bonne affaire
toute la question sur le rôle des deux indicateurs
Ce qu'il ne faut pas écrire
« Je m'inscris dans le groupe le plus faible : ma cote Z y sera plus haute, donc ma cote R aussi. »
Ce qu'il faut écrire
« La cote Z y sera plus haute, mais l'IFG du groupe sera plus bas et l'IDGS comprimera la cote Z si le groupe était homogène au secondaire : les deux corrections sont faites pour annuler cet avantage. »
Pourquoi : L'IFG et l'IDGS existent précisément pour rendre les cotes comparables d'un groupe à l'autre. C'est le mythe de corridor le plus répandu, et l'examen le prend souvent pour sujet.
Quelle méthode choisir
Que demande l'énoncé : une cote, un rang ou une note ?
On repère ce qui est DONNÉ et ce qui est CHERCHÉ, puis on suit le chemin : note brute, cote Z, rang centile.
Le chemin du chapitre : de la note à la cote Z, de la cote Z au rang centile par la table, et de la cote Z à une échelle dérivée par y = az + b.
Si on donne la note, la moyenne et l'écart-type du groupe → calculer z=sx−x, c'est le passage obligé de tout le chapitre
Exemple : 82 dans un groupe (74;8) donne z=1,0
Si on donne la cote Z et on demande une position dans le groupe → lire le rang centile par les repères, ou par la table de la loi normale
Exemple : z=+1 donne le rang 84
Si on donne le rang centile et on demande une note → remonter du rang à la cote Z par la table, PUIS x=x+zs
Exemple : rang 98 dans un groupe (74;4) donne x=82
Si on demande un score dérivé : QI, score T, cote R → appliquer la forme affine y=az+b propre à cette échelle, après avoir calculé z
Exemple : z=1,2 donne un score T de 62
Si on compare deux étudiants de groupes différents → standardiser CHACUN dans son groupe, puis comparer les cotes Z, jamais les notes
Exemple : 82 dans (74;4) bat 88 dans (80;12)
La table de la loi normale ne sert que si l'énoncé dit, ou laisse entendre, que la distribution est normale. Sinon, seuls les rangs observés sont utilisables.
Quel morceau de la cote R corrige quoi ?
Devant une question sur la cote R, on cherche d'abord QUEL défaut la question met en cause.
Les deux défauts que corrige la cote R : deux groupes de niveaux différents (l'IFG), deux groupes de dispersions différentes (l'IDGS).
Si l'énoncé dit que les groupes n'ont pas le même niveau → c'est l'IFG qui répond : il est bâti sur les dossiers du secondaire et compare les groupes entre eux
Exemple : un groupe d'élite et un groupe ordinaire
Si l'énoncé dit qu'un groupe est très homogène → c'est l'IDGS qui répond : il comprime la cote Z gonflée par un écart-type artificiellement petit
Exemple : un groupe où tout le monde tourne autour de 84 %
Si l'énoncé porte sur un cours à plus ou moins d'unités → c'est la pondération finale qui répond : la moyenne se fait sur les unités, pas sur le nombre de cours
Exemple : un cours de 2,66 unités contre un cours de 1,00
Si l'énoncé dit que le groupe compte cinq étudiants, ou que tous ont la même note → aucune cote R n'est produite : la construction exige de la variabilité et un effectif suffisant
Exemple : un cours d'appoint à cinq inscrits
Si la question porte sur l'équité entre programmes plutôt que sur un calcul, la réponse attendue est que la cote R compare des positions, jamais des contenus de cours.
La rédaction attendue
Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.
Comparer deux étudiants venus de groupes différents
Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé donne deux notes accompagnées chacune de la moyenne et de l'écart-type de son groupe.
1Écrire pour chacun la note, la moyenne et l'écart-type de SON groupe, dans un tableau à trois colonnes.
2Calculer les deux cotes Z, avec au moins deux décimales.
3Traduire chaque cote Z en rang centile, en disant que l'on suppose la distribution normale.
4Comparer les cotes Z par leur DIFFÉRENCE, jamais par leur rapport.
5Conclure par une phrase qui nomme la position, pas la note.
Phrase de conclusion
« Avec zA=2,00 contre zB=0,67, l'étudiant A se situe 1,33 écart-type plus haut dans son groupe que l'étudiant B dans le sien, soit approximativement le rang 98 contre le rang 75, en supposant les deux distributions normales. »
Le piège : Standardiser les deux notes avec la même moyenne et le même écart-type : chacun se compare à SON groupe, jamais à l'autre.
Barème : 2 points pour les deux cotes Z, 1 point pour les rangs, 1 point pour l'hypothèse de normalité écrite, 1 point pour la conclusion.
Calculer la cote R d'une session
Quand l'utiliser : Quand l'énoncé donne, pour chaque cours, la note, les statistiques du groupe, l'IFG, l'IDGS et le nombre d'unités.
1Calculer la cote Z de chaque cours séparément, dans son propre groupe.
2Appliquer CRC=(z×IDGS+IFG)×5+25 cours par cours, et garder deux décimales.
3Multiplier chaque CRC par les unités du cours, puis additionner.
4Diviser par la somme des unités, et non par le nombre de cours.
5Vérifier que le résultat tombe entre la plus petite et la plus grande des CRC.
Phrase de conclusion
« La cote R de la session vaut ∑ui∑uiCRCi=6,99211,00≈30,19. »
Le piège : Arrondir les CRC à l'unité avant de pondérer : sur un dossier d'admission, quelques centièmes se voient.
Barème : 1 point par cote Z, 1 point par CRC, 1 point pour la pondération par les unités.
Vérifier avant de rendre
Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.
Le signe de la cote Z
Comparer la note à la moyenne du groupe : au-dessus, la cote Z est positive; au-dessous, négative. Aucun calcul n'est nécessaire.
Une note de 68 dans un groupe de moyenne 74 ne peut pas donner z=+0,75.
Le rang centile est cohérent avec le signe
Une cote Z positive donne un rang supérieur à 50, une cote Z négative un rang inférieur. Le rang 50 correspond exactement à la moyenne.
z=−0,4 avec un rang annoncé à 66 : les deux se contredisent, l'un des deux est faux.
L'ordre de grandeur d'une cote Z
Dans un groupe ordinaire, presque toutes les cotes Z sont comprises entre −3 et +3. Au-delà, on a divisé par la variance au lieu de l'écart-type.
Un z=8,4 vient presque toujours d'un écart-type confondu avec une variance de s2.
La cote R reste entre ses composantes
La moyenne pondérée des CRC ne peut pas sortir de l'intervalle des CRC : c'est le contrôle immédiat d'une pondération.
Des CRC de 29, 29,1 et 33 ne peuvent pas donner une cote R de 34.
L'exercice type décortiqué
Le dossier complet d'une session, du relevé de notes à la cote R
Cours 1 : note 82, groupe de moyenne 74 et d'écart-type 8, IFG=0,60, IDGS=1,00, 2,00 unités.
Cours 2 : note 78, groupe de moyenne 70 et d'écart-type 12, IFG=0,20, IDGS=0,90, 2,66 unités.
Cours 3 : note 90, groupe de moyenne 84 et d'écart-type 4, IFG=−0,30, IDGS=0,75, 2,33 unités.
Les trois groupes-cours de l'énoncé, chacun avec sa moyenne et sa dispersion, et la note de l'étudiant (en bleu) dans chacun.
Chaque cours a son propre groupe, donc sa propre moyenne et son propre écart-type. Mélanger les trois groupes est l'erreur qui coûte la question entière.
Étape 2
CRC1=(1,000×1,00+0,60)×5+25=33,00.
Pourquoi
L'IDGS vaut ici 1,00 : le groupe était de dispersion normale au secondaire, donc la cote Z passe sans être comprimée.
Étape 3
CRC2=(0,667×0,90+0,20)×5+25=29,00 et CRC3=(1,500×0,75−0,30)×5+25≈29,13.
Pourquoi
Le cours 3 porte la meilleure note et la meilleure cote Z, et pourtant sa CRC est à peine au-dessus de la plus basse et loin des 33,00 du cours 1 : le groupe était homogène, donc comprimé par l'IDGS, et faible, donc pénalisé par un IFG négatif.
Étape 4
∑uiCRCi=2,00(33,00)+2,66(29,00)+2,33(29,13)≈211,00 et ∑ui=6,99.
Pourquoi
On multiplie AVANT d'additionner : c'est la définition même d'une moyenne pondérée, et l'ordre inverse donne n'importe quoi.
Étape 5
Cote R =6,99211,00≈30,19, contre 333,00+29,00+29,13≈30,38 en moyenne simple.
Pourquoi
L'écart de 0,19 vient de ce que le cours de plus haute CRC (le cours 1) porte le moins d'unités (2,00), alors que celui de plus basse CRC (le cours 2) en porte le plus (2,66). Sur un dossier contingenté, deux dixièmes de cote R séparent des centaines de candidats.
Étape 6
Contrôle : 29,00≤30,19≤33,00.
Pourquoi
Une moyenne pondérée reste toujours entre le plus petit et le plus grand de ses termes; un résultat hors de cet intervalle signale une pondération inversée.
Conclusion rédigée
« La cote R de la session vaut 30,19, obtenue en pondérant les trois cotes de rendement par les unités des cours. Le cours où la note brute était la plus élevée se retrouve avec une CRC à peine au-dessus de la plus basse, parce que son groupe était à la fois homogène et faible. »
L'erreur classique sur cet exercice : Prendre la moyenne arithmétique des trois CRC : on obtient 30,38 et on ignore que le cours de plus haute CRC ne compte que pour 2,00 unités sur 6,99, alors que celui de plus basse CRC en compte 2,66.
À savoir par cœur
•z=sx−x. La série standardisée a TOUJOURS moyenne 0 et écart-type 1 : ces deux nombres n'apprennent rien.
•Repères de la loi normale : z=−2→2, z=−1→16, z=0→50, z=+1→84, z=+2→98.
•Le RANG CENTILE est le pourcentage du groupe EN DESSOUS. Il ne vaut jamais 0 ni 100, et il n'a rien d'un pourcentage de bonnes réponses.
•La cote Z est INVARIANTE par transformation affine croissante : ajouter des points à tout le monde ne la change pas.
•CRC=(z×IDGS+IFG)×5+25, et la cote R du dossier est ∑ui∑uiCRCi, pondérée par les UNITÉS.
•Les différences de cotes Z se comparent, les rapports jamais : c'est une échelle d'intervalle.
•Pas de cote R sans variabilité : écart-type nul ou effectif trop faible, aucune cote n'est produite.
Questions fréquentes
Comment calculer sa cote Z à partir de sa note ?
On soustrait la moyenne du groupe à sa note, puis on divise par l'écart-type du groupe. Une note de 82 dans un groupe de moyenne 74 et d'écart-type 8 donne une cote Z de 1,00, soit un écart-type au-dessus de la moyenne. Le résultat n'a pas d'unité : il se lit en nombre d'écarts-types, jamais en points.
Que veut dire un rang centile de 84 ?
Que 84 pour cent du groupe se situe en dessous de vous. Ce n'est pas un pourcentage de bonnes réponses : votre note peut être de 62 comme de 95, tout dépend du groupe. Un rang centile est une position dans un classement, et il ne vaut jamais 0 ni 100 puisqu'on ne peut pas se dépasser soi-même.
Comment se calcule la cote R au cégep ?
Pour chaque cours, on prend la cote Z de l'étudiant dans son groupe, on la multiplie par l'indicateur de dispersion du groupe, on ajoute l'indicateur de force du groupe, puis on multiplie par cinq et on ajoute vingt-cinq. La cote R du dossier est ensuite la moyenne de ces cotes de rendement, pondérée par les unités de chaque cours.
Est-ce avantageux d'être dans un groupe faible pour la cote R ?
Non, et c'est justement ce que les deux indicateurs corrigent. Dans un groupe faible, la cote Z monte, mais l'indicateur de force du groupe est plus bas et vient la compenser. Si en plus le groupe est très homogène, l'indicateur de dispersion comprime la cote Z. Toute la construction vise à rendre les cotes comparables d'un groupe à l'autre.
Pourquoi ma cote Z ne monte-t-elle pas quand le professeur ajoute des points ?
Parce qu'une bonification donnée à tout le monde déplace la moyenne exactement autant que votre note, et laisse l'écart-type inchangé. La cote Z mesure une position relative : elle ne bouge que si les écarts entre étudiants changent. Une hausse générale ne change le classement de personne.
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Exercices corrigés : Cote Z, rang centile et cote R
Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.
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