Méthodes quantitatives 360-300 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : indices, taux et dollars constants

Cette fiche traite le chapitre le plus utile de tout le cours de méthodes quantitatives : celui qui permet de lire un communiqué économique sans se faire raconter n'importe quoi. Elle ne redonne pas les formules, elle donne les huit endroits où un pourcentage juste devient une phrase fausse.

Elle s'adresse aux étudiants de Sciences humaines du cégep qui suivent le cours obligatoire 360-300, et elle sert aussi en économie et en histoire, partout où l'on compare des montants d'époques différentes. La série d'exercices corrigés du même chapitre reprend chaque calcul.

Le fil du chapitre

Un pourcentage n'a de sens que rapporté à son DÉNOMINATEUR et à sa DATE. Toutes les erreurs du chapitre viennent d'additionner des taux qui se multiplient, ou de comparer des dollars de deux années différentes.

Ce chapitre fait partie de Méthodes quantitatives en sciences humaines : tous les chapitres du 360-300

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Tableaux de distribution et graphiques Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

L'essentiel

Trois façons de dire qu'une chose a changé

• Variation en POINTS : la différence de deux pourcentages. Passer de $8$ % à $10$ % est une hausse de $2$ POINTS.
• Variation en POUR CENT : $\dfrac{\text{arrivée}-\text{départ}}{\text{départ}}$ . La même hausse est une hausse de $25$ %.
• COEFFICIENT MULTIPLICATEUR : $1+t$ . Il est le seul objet qui se compose, parce que les taux successifs se MULTIPLIENT.
• Pour effacer une baisse de $t$ , il faut une hausse de $\dfrac{t}{1-t}$ , toujours plus grande que $t$ .

La troisième barre est sous le pointillé du départ : une hausse de

10

% suivie d'une baisse de

10

% ne ramène pas à

100

mais à

99

En examen, écrire explicitement « points de pourcentage » ou « pour cent » vaut souvent un demi-point à lui seul.

Les indices : comparer par un quotient, jamais par une différence

• $I=\dfrac{V}{V_{base}}\times 100$ . Un indice est un rapport déguisé, donc deux indices se comparent par leur QUOTIENT.
• Passer de l'indice $120$ à l'indice $150$ est une hausse de $\dfrac{150}{120}-1=25$ %, et non de $30$ %.
• CHANGEMENT DE BASE : diviser tous les indices par celui de la nouvelle année de référence, puis multiplier par $100$ . Les rapports sont inchangés.
• Dollars constants : $V_{constant}=V_{courant}\times \dfrac{I_{\text{année visée}}}{I_{\text{année du montant}}}$ .

Toujours écrire l'année de référence à côté d'un montant constant : « en dollars de 2005 » fait partie du résultat, pas du commentaire.

Les deux formules qu'on écrit de travers

• Taux annuel moyen sur $n$ périodes : $t=\left(\dfrac{V_{f}}{V_{i}}\right)^{1/n}-1$ . C'est une moyenne GÉOMÉTRIQUE, jamais la hausse totale divisée par $n$ .
• Pouvoir d'achat : coefficient du salaire DIVISÉ par coefficient des prix. Toute hausse de salaire inférieure à l'inflation est une baisse réelle.
• Taux de chômage $=\dfrac{\text{chômeurs}}{\text{population active}}$ ; taux d'emploi $=\dfrac{\text{personnes en emploi}}{\text{population de 15 ans et plus}}$ .
• Règle de 70 : temps de doublement $\approx \dfrac{70}{\text{taux en pourcentage}}$ , parce que $\ln 2\approx 0{,}693$ .

Les deux taux ne partagent pas le même dénominateur : le chômage se calcule sur la barre du milieu, l'emploi sur la barre du bas, celle qui inclut les inactifs.

INFLATION : les prix montent. DÉSINFLATION : ils montent moins vite. DÉFLATION : ils baissent, le taux est négatif. Les trois mots ne sont pas interchangeables.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Additionner deux variations successives

2 points, et la faute est cherchée à chaque examen

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le prix a monté de $10$ % puis baissé de $10$ % : il est revenu à son niveau de départ. »

Ce qu'il faut écrire

« Les coefficients se multiplient : $1{,}10\times 0{,}90=0{,}99$ , donc le prix a baissé de $1$ % au total. »

Pourquoi : La seconde variation s'applique à un montant DÉJÀ modifié : la baisse de $10$ % porte sur $110$ et non sur $100$ . C'est le seul point du chapitre qui revient dans tous les devoirs.

2. Confondre les points de pourcentage et les pour cent

1 point, et le correcteur le retire sans discussion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le taux de chômage passe de $8$ % à $10$ % : il a augmenté de $2$ %. »

Ce qu'il faut écrire

« Il a augmenté de $2$ POINTS DE POURCENTAGE, soit de $25$ % en variation relative. »

Pourquoi : Les deux nombres décrivent le même fait et ne se lisent pas de la même manière. La presse écrit souvent le premier en laissant croire au second.

3. Diviser la hausse totale par le nombre d'années

2 points, et l'écart grandit avec la durée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le salaire a monté de $37{,}8$ % en vingt ans, soit $1{,}89$ % par an. »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux annuel moyen vaut $\left(\dfrac{62000}{45000}\right)^{1/20}-1\approx 1{,}61$ % par an : c'est une moyenne géométrique. »

Pourquoi : Un taux annuel s'applique chaque année à un montant qui a déjà grossi. Diviser la hausse totale par $n$ ignore les intérêts composés et surestime toujours le taux.

4. Comparer deux indices par leur différence

1,5 point, et souvent toute la question de lecture de tableau

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'indice des loyers passe de $120$ à $150$ : les loyers ont augmenté de $30$ %. »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{150}{120}=1{,}25$ , donc les loyers ont augmenté de $25$ %. Un indice se compare par un quotient. »

Pourquoi : Un indice n'est pas un pourcentage : c'est un rapport à une base multiplié par $100$ . Soustraire deux rapports ne donne rien d'interprétable.

5. Comparer des dollars de deux années différentes

toute la question, et la conclusion est retournée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le salaire est passé de $45\,000$ à $62\,000$ dollars : les enseignants ont gagné $17\,000$ dollars de pouvoir d'achat. »

Ce qu'il faut écrire

« En dollars de 2005, les $62\,000$ dollars de 2025 valent $62\,000\times\dfrac{100}{140}\approx 44\,286$ dollars : le pouvoir d'achat a BAISSÉ de $1{,}6$ %. »

Le trait plein monte de

38

% en vingt ans; le trait pointillé, le même salaire ramené en dollars de 2005, finit sous son point de départ.

Pourquoi : Un dollar de 2005 et un dollar de 2025 ne sont pas la même unité. Comparer les deux montants bruts revient à comparer des mètres et des pieds.

6. Lire une baisse du taux de chômage comme une création d'emplois

toute la question de critique du communiqué

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le taux de chômage recule de $6{,}0$ % à $5{,}5$ % : il y a donc plus de gens en emploi. »

Ce qu'il faut écrire

« Le taux de chômage a pour dénominateur la population ACTIVE. Il baisse aussi quand des chômeurs découragés cessent de chercher : il faut regarder le taux d'EMPLOI, dont le dénominateur ne bouge pas ainsi. »

Pourquoi : Une personne qui abandonne sa recherche sort du numérateur ET du dénominateur : le taux baisse sans qu'un seul emploi ait été créé. C'est l'angle mort classique du chiffre mensuel.

7. Appeler déflation un ralentissement de l'inflation

1 point, et c'est une question de vocabulaire qui revient chaque session

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'inflation passe de $4$ % à $2$ % : nous sommes en déflation. »

Ce qu'il faut écrire

« Les prix montent encore, deux fois moins vite : c'est de la DÉSINFLATION. La déflation supposerait un taux NÉGATIF. »

Pourquoi : Le taux d'inflation est une dérivée : son ralentissement n'inverse pas le mouvement. Tant que le taux reste positif, l'indice des prix continue de monter.

8. Comparer des taux bruts entre deux populations de structures différentes

2 points, et la conclusion de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La région A a un taux de mortalité de $12$ pour mille contre $8$ dans la région B : on y meurt davantage. »

Ce qu'il faut écrire

« Les taux BRUTS ne se comparent pas : la région A est beaucoup plus âgée. Il faut appliquer les taux SPÉCIFIQUES de chaque région à une structure d'âge de référence COMMUNE. »

Pourquoi : Un taux brut mélange le risque et la composition de la population. La standardisation directe retire l'effet de la structure d'âge et ne laisse que ce qu'on veut comparer.

Quelle méthode choisir

Quelle opération demande ce pourcentage ?

On regarde ce que l'énoncé donne, et surtout si les grandeurs sont déjà des pourcentages.

Si les deux grandeurs comparées sont elles-mêmes des pourcentages → la différence est en POINTS, la variation relative en POUR CENT : donner les deux

Exemple : de $8$ % à $10$ % : $2$ points, soit $25$ %
Si plusieurs variations se succèdent dans le temps → MULTIPLIER les coefficients $1+t$ , jamais additionner les taux

Exemple : $+10$ % puis $-10$ % donne $\times 0{,}99$
Si on connaît le début, la fin et le nombre de périodes → taux annuel moyen $\left(\dfrac{V_{f}}{V_{i}}\right)^{1/n}-1$

Exemple : $45\,000$ à $62\,000$ en 20 ans donne $1{,}61$ % par an
Si les valeurs sont des indices → comparer par le QUOTIENT des indices, puis retrancher $1$

Exemple : de $120$ à $150$ : $+25$ %
Si l'énoncé demande un temps de doublement → règle de 70 : $\dfrac{70}{\text{taux en pourcentage}}$

Exemple : à $1{,}7$ % par an, doublement en $41$ ans

Si aucune branche ne s'applique, c'est presque toujours que l'énoncé mélange deux dénominateurs différents : le dire est la réponse.

Faut-il déflater ce montant ?

On regarde les DATES des montants comparés et ce que la question cherche à mesurer.

Si deux montants portent des années différentes et la question parle de niveau de vie, de pouvoir d'achat ou d'évolution réelle → DÉFLATER : ramener tous les montants à une même année de référence avec l'indice des prix

Exemple : un salaire de 2005 comparé à un salaire de 2025
Si les deux montants portent la même année → aucune correction : les dollars sont déjà comparables

Exemple : deux régions la même année
Si la question porte sur ce qui a été effectivement versé ou encaissé → garder les dollars COURANTS, et le dire

Exemple : le montant inscrit au budget de l'année
Si on compare un salaire et des prix sur la même période → diviser le coefficient du salaire par celui des prix : c'est le pouvoir d'achat

Exemple : salaire $\times 1{,}378$ et prix $\times 1{,}40$ donnent $0{,}984$

Un montant constant se cite toujours avec son année de référence. Sans elle, le nombre n'est comparable à rien.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Ramener un montant en dollars constants

Quand l'utiliser : Dès qu'un énoncé compare deux montants d'années différentes, ou demande une évolution « réelle ».

1 Choisir et ANNONCER l'année de référence, celle dont les dollars serviront d'unité.
2 Relever les deux indices de prix, celui de l'année du montant et celui de l'année de référence.
3 Appliquer $V_{constant}=V_{courant}\times \dfrac{I_{\text{référence}}}{I_{\text{année du montant}}}$ .
4 Comparer les deux montants désormais exprimés dans la même unité, et calculer la variation réelle.
5 Conclure en écrivant l'année de référence dans la phrase.

Phrase de conclusion

« En dollars constants de 2005, le salaire passe de $45\,000$ à $44\,286$ dollars : le pouvoir d'achat des enseignants a baissé de $1{,}6$ % en vingt ans, malgré une hausse nominale de $37{,}8$ %. »

Le piège : Multiplier au lieu de diviser : ramener un montant de 2025 en dollars de 2005 le fait BAISSER, puisque les prix ont monté entre-temps.

Barème : 1 point pour l'année de référence annoncée, 2 points pour le calcul, 1 point pour la variation réelle, 1 point pour la phrase de conclusion.

Calculer et interpréter un taux annuel moyen

Quand l'utiliser : Quand l'énoncé donne une valeur de départ, une valeur d'arrivée et une durée.

1 Calculer le coefficient global $\dfrac{V_{f}}{V_{i}}$ et le commenter : au-dessus de $1$ , c'est une hausse.
2 Élever ce coefficient à la puissance $\dfrac{1}{n}$ , où $n$ est le nombre de PÉRIODES et non le nombre de dates.
3 Retrancher $1$ et convertir en pourcentage, avec deux décimales.
4 Vérifier en élevant $1+t$ à la puissance $n$ : on doit retomber sur le coefficient global.

Phrase de conclusion

« Le salaire a progressé au taux annuel moyen de $1{,}61$ % : appliqué vingt fois, ce taux transforme bien $45\,000$ dollars en $62\,000$ dollars. »

Le piège : Compter $21$ périodes de 2005 à 2025 : il y a $21$ dates mais $20$ intervalles.

Barème : 1 point pour le coefficient, 2 points pour la racine $n$ -ième, 1 point pour la vérification.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le sens de la déflation

Un montant récent ramené en dollars anciens doit DIMINUER, puisque les prix ont monté. S'il augmente, la fraction est à l'envers.

$62\,000$ dollars de 2025 ramenés en dollars de 2005 donnent $44\,286$ et non $86\,800$ .
Le taux annuel moyen refait le chemin

Élever $1+t$ à la puissance $n$ et comparer au coefficient global : c'est la vérification la plus rapide du chapitre.

$1{,}0161^{20}\approx 1{,}378$ , ce qui correspond bien aux $+37{,}8$ % annoncés.
L'ordre de grandeur par la règle de 70

À $t$ pour cent par an, on double en environ $\dfrac{70}{t}$ années. Cela dit tout de suite si un taux annoncé est vraisemblable.

Un taux annuel moyen de $7$ % sur un salaire signifierait un doublement en dix ans : peu crédible sur des données réelles.
Le dénominateur est-il le bon ?

Avant d'interpréter un taux, écrire à côté la population qui sert de dénominateur, et vérifier qu'elle n'a pas bougé entre les deux dates.

Une baisse du chômage accompagnée d'une baisse du taux d'activité : le dénominateur a rétréci, pas le chômage.

L'exercice type décortiqué

Vingt ans de salaire enseignant, du nominal au réel

Le salaire annuel moyen d'un enseignant passe de $45\,000$ dollars en 2005 à $62\,000$ dollars en 2025.

L'indice des prix à la consommation, base $100$ en 2005, atteint $140$ en 2025.

On demande la hausse nominale, le taux annuel moyen, l'évolution réelle du pouvoir d'achat et le temps de doublement des prix.

Étape 1

Hausse nominale : $\dfrac{62000-45000}{45000}\approx 0{,}3778$ , soit $+37{,}8$ %.

Pourquoi

C'est le chiffre que tout le monde cite et le seul qui ne réponde à aucune question intéressante : il mélange la hausse du salaire et celle des prix.

Étape 2

Taux annuel moyen nominal : $\left(\dfrac{62000}{45000}\right)^{1/20}-1\approx 0{,}0161$ , soit $1{,}61$ % par an.

Pourquoi

Vingt INTERVALLES entre 2005 et 2025, pas vingt et un. La division naïve $\dfrac{37{,}8}{20}=1{,}89$ % surestime de près de trois dixièmes de point.

Étape 3

Inflation : les prix sont multipliés par $\dfrac{140}{100}=1{,}40$ , soit $+40$ % au total et $1{,}40^{1/20}-1\approx 1{,}70$ % par an.

Pourquoi

Les deux taux annuels sont maintenant comparables : $1{,}61$ % contre $1{,}70$ %, et l'écart, minuscule chaque année, se cumule sur vingt ans.

Étape 4

Salaire de 2025 en dollars de 2005 : $62000\times\dfrac{100}{140}\approx 44\,286$ dollars.

Pourquoi

On multiplie par l'indice de l'année VISÉE sur l'indice de l'année du montant. L'inverse ferait grimper le salaire à $86\,800$ dollars, ce qu'aucun contrôle de vraisemblance ne laisserait passer.

Étape 5

Variation réelle : $\dfrac{44286}{45000}-1\approx -0{,}0159$ , soit $-1{,}6$ %. Autre chemin : $\dfrac{1{,}3778}{1{,}40}\approx 0{,}9841$ .

Pourquoi

Les deux chemins donnent le même nombre et c'est le contrôle du calcul : le pouvoir d'achat est le quotient des deux coefficients, rien d'autre.

Étape 6

Règle de 70 : à $1{,}70$ % par an, les prix doublent en $\dfrac{70}{1{,}70}\approx 41$ ans.

Pourquoi

Ce chiffre sert de contrôle final : les prix ont monté de $40$ % en vingt ans, donc un doublement en une quarantaine d'années est exactement ce qu'on attendait.

Conclusion rédigée

« En dollars courants, le salaire a progressé de $37{,}8$ % en vingt ans, soit $1{,}61$ % par an. Les prix ayant monté de $40$ %, soit $1{,}70$ % par an, le salaire réel a BAISSÉ de $1{,}6$ % : en dollars de 2005, il passe de $45\,000$ à $44\,286$ dollars. »

L'erreur classique sur cet exercice : Conclure sur les $17\,000$ dollars d'écart nominal : c'est le seul chiffre du problème qui n'a aucune signification économique.

À savoir par cœur

• Les taux successifs se MULTIPLIENT par leurs coefficients $1+t$ : $+10$ % puis $-10$ % donne $0{,}99$ .
• POINTS de pourcentage pour la différence de deux pourcentages, POUR CENT pour la variation relative. Ce ne sont jamais les mêmes nombres.
• Taux annuel moyen : $\left(\dfrac{V_{f}}{V_{i}}\right)^{1/n}-1$ , et $n$ est le nombre d'INTERVALLES.
• Deux indices se comparent par leur QUOTIENT : de $120$ à $150$ , c'est $+25$ % et non $+30$ %.
• $V_{constant}=V_{courant}\times\dfrac{I_{\text{visée}}}{I_{\text{du montant}}}$ , et on cite toujours l'année de référence.
• Pouvoir d'achat = coefficient du salaire divisé par coefficient des prix. En dessous de $1$ , c'est une baisse.
• INFLATION, les prix montent. DÉSINFLATION, ils montent moins vite. DÉFLATION, ils baissent.

Questions fréquentes

Pourquoi une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 10 % ne revient-elle pas au point de départ ?

Parce que la baisse s'applique à un montant déjà augmenté. Cent dollars montés de 10 pour cent font 110 dollars, et 10 pour cent de 110 font 11 dollars, soit un retour à 99 dollars. Les taux ne s'additionnent pas : ce sont les coefficients qui se multiplient, ici 1,10 fois 0,90, ce qui donne 0,99.

Comment convertir un montant en dollars constants ?

On multiplie le montant par l'indice des prix de l'année de référence, puis on divise par l'indice de l'année du montant. Un salaire de 62 000 dollars en 2025, avec un indice de 140 base 100 en 2005, vaut 44 286 dollars de 2005. Le montant récent diminue toujours quand on le ramène à une année plus ancienne, puisque les prix ont monté.

Quelle différence entre points de pourcentage et pour cent ?

Un point de pourcentage est la différence brute entre deux pourcentages : de 8 à 10, c'est deux points. Le pour cent est la variation relative : de 8 à 10, c'est une hausse de 25 pour cent. Les deux décrivent le même fait et donnent des nombres très différents, ce qui rend la confusion très utile à qui veut impressionner.

Comment calculer un taux de croissance annuel moyen ?

On divise la valeur finale par la valeur initiale, on élève le résultat à la puissance un sur le nombre d'années, puis on retranche un. Ce n'est jamais la hausse totale divisée par le nombre d'années, qui surestime le taux parce qu'elle ignore la composition. On vérifie en élevant un plus le taux à la puissance du nombre d'années.

Une baisse du taux de chômage veut-elle dire plus d'emplois ?

Pas nécessairement. Le taux de chômage a pour dénominateur la population active, c'est-à-dire les personnes en emploi plus celles qui en cherchent. Quand des chômeurs découragés cessent de chercher, ils sortent du numérateur et du dénominateur, et le taux baisse sans qu'aucun emploi ait été créé. Le taux d'emploi, lui, n'a pas ce défaut.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Indices, taux et dollars constants

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

Fiche précédente Cote Z, rang centile et cote R Fiche suivante Tableaux croisés, khi-deux et association

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Séries chronologiques et prévisionMéthodes quantitatives avancées (360-301)

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Cote Z, rang centile et cote R (360-300)Tableaux et graphiques (360-300)Tutorat au cégep à Montréal

Vous cherchez un tuteur en méthodes quantitatives à Montréal ?

Contactez-moi pour une première séance. Les méthodes quantitatives sont le seul cours de mathématiques obligatoire en sciences humaines, et c'est aussi celui qui décide le plus souvent de la cote R d'une session.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli