Méthodes quantitatives 360-300 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : tableaux croisés, khi-deux et association

Cette fiche traite le test le plus utilisé de tout le cours et le plus mal rédigé : le khi-deux d'un tableau croisé. Elle ne redonne pas la formule, elle donne les trois questions qui se posent dans l'ordre, y a-t-il un lien, où est-il, quelle est son intensité, et les huit endroits où une copie répond à l'une en croyant répondre aux trois.

Elle s'adresse aux étudiants de Sciences humaines du cégep qui suivent le cours obligatoire de méthodes quantitatives 360-300. La série d'exercices corrigés du même chapitre reprend chaque geste, du calcul des effectifs théoriques jusqu'à la lecture d'un tableau publié dans une revue.

Le fil du chapitre

Un tableau croisé ne devient une réponse qu'une fois pourcentagé DANS LE BON SENS. Le khi-deux dit ensuite s'il y a un lien, jamais où il se trouve ni s'il est fort : ce sont trois questions distinctes, et l'examen les pose toutes les trois.

Ce chapitre fait partie de Méthodes quantitatives en sciences humaines : tous les chapitres du 360-300

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Tableaux de distribution et graphiques Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Tableau croisé
Sens de pourcentage
Effectif théorique
Test du khi-deux
Degrés de liberté
Contributions au khi-deux
Correction de Yates
V de Cramér
Conditions d'application
Relation fallacieuse
Élaboration d'un tableau
Puissance statistique

L'essentiel

Le tableau, ses marges, et les trois pourcentages possibles

• Une case peut se rapporter au total de sa LIGNE, au total de sa COLONNE ou au total GÉNÉRAL : trois nombres différents, trois questions différentes.
• Règle unique : on pourcentage DANS LE SENS de la variable indépendante, puis on compare ces pourcentages d'une catégorie de cette variable à l'autre.
• Les MARGES sont les totaux de lignes et de colonnes. Elles sont identiques dans le tableau observé et dans le tableau théorique.
• Un tableau croisé décrit une ASSOCIATION. Il ne dit rien du sens de la relation ni de sa cause.

Les marges

200

200

180

220

et le total

400

sont les seuls nombres que le tableau théorique conserve à l'identique.

En examen, écrire à côté du tableau « je pourcentage en ligne, parce que le cégep est la variable indépendante » vaut le point de méthode.

Le test, en quatre nombres

• Effectif théorique d'une case : $T_{ij}=\dfrac{L_{i}\times C_{j}}{n}$ , c'est-à-dire ce que contiendrait la case si les deux variables étaient indépendantes.
• $\chi^{2}=\sum \dfrac{\left(O-T\right)^{2}}{T}$ : on élève les écarts au carré parce que leur somme est toujours nulle.
• $ddl=\left(l-1\right)\left(c-1\right)$ . Seuils à 5 % : $3{,}841$ pour $1$ degré, $5{,}991$ pour $2$ , $7{,}815$ pour $3$ , $9{,}488$ pour $4$ .
• $V=\sqrt{\dfrac{\chi^{2}}{n\times \min\left(l-1\ ;\ c-1\right)}}$ , entre $0$ et $1$ : moins de $0{,}10$ négligeable, $0{,}10$ à $0{,}20$ faible, $0{,}20$ à $0{,}40$ modérée.

Le khi-deux répond à « y a-t-il un lien », les CONTRIBUTIONS case par case à « où », et le V à « quelle intensité ». Trois questions, trois outils.

Les conditions, et ce qu'on fait quand elles échouent

• Observations INDÉPENDANTES : chaque personne compte dans une seule case. Cette condition-là ne se négocie jamais.
• Effectifs THÉORIQUES supérieurs à $5$ , avec au plus 20 % des cases entre $1$ et $5$ . Ce sont les théoriques, jamais les observés.
• Calcul sur des EFFECTIFS, jamais sur des pourcentages : le khi-deux dépend de la taille de l'échantillon, donc partir de pourcentages revient à déclarer $n=100$ .
• Si les conditions échouent : regrouper des catégories voisines, ou passer au test exact de Fisher sur un tableau deux par deux.

La correction de Yates, sur un tableau deux par deux, retranche $0{,}5$ à chaque écart absolu avant de l'élever au carré. Elle diminue TOUJOURS le khi-deux.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Pourcentager dans le mauvais sens

2 points, et toute l'interprétation du tableau

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Parmi ceux qui ont répondu oui, $66{,}7$ % viennent du cégep A : le cégep A dit donc davantage oui. »

Ce qu'il faut écrire

« Au cégep A, $\dfrac{120}{200}=60$ % disent oui, contre $30$ % au cégep B : je pourcentage en LIGNE, parce que le cégep est la variable indépendante. »

Les deux paires de barres viennent du même tableau : à gauche la part de « oui » dans chaque cégep, à droite la part de chaque cégep parmi les « oui ». Seule celle de gauche répond à la question posée.

Pourquoi : Le pourcentage en colonne décrit la composition des répondants, qui dépend de la taille des deux cégeps. Seul le pourcentage dans le sens de la variable indépendante compare des groupes.

2. Calculer le khi-deux sur des pourcentages

toute la question, le résultat n'ayant aucun rapport avec le vrai

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le tableau est déjà en pourcentages : j'applique la formule directement. »

Ce qu'il faut écrire

« Je reconstruis les EFFECTIFS à partir des pourcentages et des marges, puis je calcule. Le khi-deux dépend de $n$ , et un tableau de pourcentages fixerait $n=100$ . »

Pourquoi : Multiplier tous les effectifs par $k$ multiplie le khi-deux par $k$ . Repartir des pourcentages revient donc à jeter l'information sur la taille de l'échantillon, qui est précisément ce que le test mesure.

3. Prendre la significativité pour de l'intensité

2 points, et c'est la faute la plus fréquente de tout le cours

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\chi^{2}=36{,}36$ , très supérieur à $3{,}841$ : le lien entre les deux variables est donc très fort. »

Ce qu'il faut écrire

« Le lien est très significatif, ce qui veut dire qu'il n'est probablement pas dû au hasard. Son INTENSITÉ se lit sur le V de Cramér, ici $0{,}302$ , soit une association modérée. »

Pourquoi : Le khi-deux grandit avec l'effectif; le V de Cramér, non. Avec assez de monde, la plus petite différence devient significative sans devenir importante.

4. Conclure à l'indépendance parce qu'on ne rejette pas

1,5 point, systématiquement retiré

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\chi^{2}=2{,}1$ , inférieur à $3{,}841$ : les deux variables sont donc indépendantes. »

Ce qu'il faut écrire

« On ne rejette pas $H_{0}$ : les données ne permettent pas de conclure à un lien. Ce n'est pas la même chose que démontrer l'indépendance, surtout avec un petit échantillon. »

Pourquoi : Un test sans puissance ne détecte rien, même quand il y a quelque chose. L'absence de preuve n'est pas une preuve d'absence, et c'est exactement ce que le correcteur veut entendre.

5. Vérifier les conditions sur les effectifs observés

1 point, et la conclusion du test devient contestable

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Toutes les cases observées dépassent $5$ : les conditions sont remplies. »

Ce qu'il faut écrire

« Ce sont les effectifs THÉORIQUES qui doivent dépasser $5$ . Je les calcule tous avant de conclure sur les conditions. »

Pourquoi : Une case observée à $8$ peut avoir un théorique de $2{,}4$ si ses marges sont petites : c'est justement ce déséquilibre qui rend le khi-deux instable.

6. Compter les degrés de liberté en lignes fois colonnes

1 point, et souvent une décision inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le tableau est $3\times 4$ , donc $ddl=12$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $ddl=\left(3-1\right)\left(4-1\right)=6$ , et le seuil à 5 % vaut $12{,}592$ . »

Pourquoi : Les marges étant fixées, il suffit de connaître $(l-1)(c-1)$ cases pour reconstituer tout le tableau : c'est le nombre de cases réellement libres.

7. Croire que le V de Cramér bouge quand on change l'effectif

1,5 point, et la question sur la différence entre les deux indicateurs

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec quatre cents personnes au lieu de quarante, l'association est dix fois plus forte. »

Ce qu'il faut écrire

« Multiplier tous les effectifs par $10$ multiplie le khi-deux par $10$ et laisse le V INCHANGÉ à $0{,}302$ : les proportions n'ont pas bougé, donc l'association non plus. »

Trois tableaux de proportions identiques : le khi-deux est multiplié par dix d'une ligne à l'autre, la dernière colonne ne bouge pas d'un millième.

Pourquoi : Le V divise le khi-deux par $n$ : c'est exactement ce qui le rend comparable d'une enquête à l'autre. Le khi-deux mesure la PREUVE, le V mesure la RELATION.

8. Conclure à la causalité depuis un tableau croisé

toute la question de conclusion

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les étudiants qui travaillent plus de vingt heures réussissent moins : le travail rémunéré fait échouer. »

Ce qu'il faut écrire

« Le tableau établit une ASSOCIATION. Pour parler de cause, il faudrait aussi l'antériorité et l'élimination des variables confondantes, ici le milieu socio-économique. »

Pourquoi : Un tableau croisé remplit une seule des trois conditions de la causalité. L'élaboration, c'est-à-dire refaire le tableau dans chaque catégorie d'une troisième variable, est ce qui permet d'aller plus loin.

Quelle méthode choisir

Dans quel sens pourcentager ?

On identifie la variable INDÉPENDANTE, puis on regarde où elle se trouve dans le tableau.

Si la variable indépendante est en LIGNES → pourcentager EN LIGNE, chaque ligne totalisant $100$ %, puis comparer les colonnes entre elles

Exemple : cégeps en lignes, réponse en colonnes
Si la variable indépendante est en COLONNES → pourcentager EN COLONNE, chaque colonne totalisant $100$ %, puis comparer les lignes

Exemple : sexe en colonnes, choix de programme en lignes
Si aucune des deux variables n'est clairement indépendante → pourcentager sur le TOTAL général, et se limiter à décrire la répartition

Exemple : deux opinions croisées sans hypothèse de sens
Si la question demande la composition d'un groupe précis → pourcentager dans l'autre sens, en le DISANT : c'est alors un profil, pas une comparaison

Exemple : « qui sont les répondants favorables ? »

Contrôle immédiat : les pourcentages qu'on va COMPARER doivent appartenir à des groupes différents, jamais au même total.

Que faire après le khi-deux ?

On regarde la décision du test, puis ce que l'énoncé demande encore.

Si on rejette $H_{0}$ et l'énoncé demande OÙ est le lien → lire les CONTRIBUTIONS case par case et nommer les deux ou trois plus grosses

Exemple : une case qui apporte $10$ des $36{,}4$ du total
Si on rejette $H_{0}$ et l'énoncé demande la FORCE du lien → calculer le V de Cramér et le situer sur les repères usuels

Exemple : $V=0{,}302$ , association modérée
Si on ne rejette pas $H_{0}$ → conclure à l'absence de preuve, jamais à l'indépendance, et signaler la taille de l'échantillon

Exemple : $\chi^{2}=2{,}1$ avec $n=40$
Si l'énoncé fournit une troisième variable → ÉLABORATION : refaire le tableau dans chaque catégorie de cette variable et comparer les trois résultats

Exemple : le lien disparaît dans chaque sous-groupe, donc il était fallacieux

L'élaboration a trois issues : RÉPLICATION quand le lien tient partout, EXPLICATION quand il disparaît, SPÉCIFICATION quand il ne tient que dans certains sous-groupes.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un test du khi-deux complet

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé demande s'il existe un lien entre deux variables qualitatives.

1 Poser les hypothèses en mots : $H_{0}$ , les deux variables sont indépendantes; $H_{1}$ , elles ne le sont pas.
2 Construire le tableau des effectifs THÉORIQUES et vérifier que tous dépassent $5$ , en le disant.
3 Calculer le khi-deux case par case, en gardant les contributions visibles.
4 Donner les degrés de liberté $(l-1)(c-1)$ et le seuil critique lu au risque annoncé.
5 Décider, puis conclure DANS LE CONTEXTE de l'énoncé, avec le niveau de risque.

Phrase de conclusion

« Au seuil de 5 %, $\chi^{2}=36{,}36$ dépasse la valeur critique $3{,}841$ à $1$ degré de liberté : on rejette l'hypothèse d'indépendance. Le choix de cégep et la réponse sont liés, et le V de Cramér de $0{,}302$ situe cette association au niveau modéré. »

Le piège : Conclure « le khi-deux est significatif » sans nommer les deux variables : une conclusion hors contexte ne vaut aucun point.

Barème : 1 point pour les hypothèses, 1 point pour les théoriques et les conditions, 2 points pour le calcul, 1 point pour la décision, 1 point pour la conclusion contextualisée.

Interpréter les contributions case par case

Quand l'utiliser : Quand l'énoncé demande où se situe le lien, ou de commenter le tableau après un rejet.

1 Écrire les quatre ou six contributions $\dfrac{(O-T)^{2}}{T}$ et leur somme.
2 Repérer celles qui pèsent le plus dans le total, en pourcentage du khi-deux.
3 Regarder le SIGNE de $O-T$ pour ces cases : au-dessus ou au-dessous de l'indépendance.
4 Formuler chaque case forte en une phrase de contenu, pas en une phrase de calcul.

Phrase de conclusion

« Les deux cases du cégep A pèsent $18{,}2$ des $36{,}4$ du khi-deux : on y observe $120$ réponses favorables contre $90$ attendues, soit un excédent net par rapport à l'indépendance. »

Le piège : Commenter une case sans regarder le signe de l'écart : une grosse contribution peut venir d'un DÉFICIT autant que d'un excédent.

Barème : 1 point pour les contributions calculées, 1 point pour le repérage, 1 point pour la phrase de contenu.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Les marges du tableau théorique sont celles de l'observé

Additionner les lignes et les colonnes du tableau théorique : on doit retrouver exactement les mêmes totaux.

$90+110=200$ et $90+90=180$ : les marges sont conservées, donc les théoriques sont bons.
La somme des écarts est nulle

Additionner les $O-T$ de toutes les cases : le total vaut toujours zéro. C'est la vérification la plus rapide d'un tableau théorique.

$+30-30-30+30=0$ : les quatre écarts d'un tableau deux par deux sont égaux en valeur absolue.
Le V de Cramér reste entre 0 et 1

Un V supérieur à $1$ vient d'un oubli du $\min(l-1\ ;c-1)$ au dénominateur, ou d'un khi-deux calculé sur des pourcentages.

Un V annoncé à $1{,}9$ signale toujours une erreur de dénominateur, jamais une association exceptionnelle.
L'ordre de grandeur du seuil

Les seuils à 5 % sont $3{,}8$ , $6{,}0$ , $7{,}8$ et $9{,}5$ pour $1$ à $4$ degrés de liberté : les retenir évite de chercher dans la table et attrape une erreur de degrés de liberté.

Un seuil lu à $18{,}3$ sur un tableau deux par deux signale que l'on a compté $10$ degrés de liberté au lieu de $1$ .

L'exercice type décortiqué

Un tableau deux par deux, du khi-deux au V de Cramér

Quatre cents étudiants de deux cégeps répondent à une question par oui ou par non. Au cégep A, $120$ oui et $80$ non; au cégep B, $60$ oui et $140$ non.

On demande s'il existe un lien entre le cégep et la réponse, où il se situe, et quelle est son intensité.

Étape 1

Pourcentages en ligne : $60$ % de oui au cégep A, $30$ % au cégep B.

Pourquoi

Le cégep est la variable indépendante, donc on pourcentage en ligne. Cette étape n'est pas décorative : elle donne déjà la réponse, le test ne fera que la valider.

Étape 2

Théoriques : $T_{11}=\dfrac{200\times 180}{400}=90$ , $T_{12}=110$ , $T_{21}=90$ , $T_{22}=110$ . Tous dépassent largement $5$ .

Pourquoi

Le tableau théorique est celui de l'indépendance parfaite. Ses marges sont les mêmes que celles de l'observé, ce qui sert de contrôle immédiat.

Étape 3

$\chi^{2}=\dfrac{30^{2}}{90}+\dfrac{30^{2}}{110}+\dfrac{30^{2}}{90}+\dfrac{30^{2}}{110}=10+8{,}18+10+8{,}18=36{,}36$ .

Pourquoi

Les quatre écarts d'un tableau deux par deux sont toujours égaux en valeur absolue : c'est pourquoi la somme des $O-T$ vaut zéro et pourquoi on les élève au carré.

Étape 4

$ddl=(2-1)(2-1)=1$ , seuil à 5 % : $3{,}841$ . On rejette $H_{0}$ .

Pourquoi

Un seul degré de liberté : dès qu'une case est connue, les marges donnent les trois autres. Écrire le seuil lu, pas seulement la décision.

Étape 5

Contributions : les deux cases du cégep A pèsent $18{,}18$ sur $36{,}36$ , soit la moitié exacte du khi-deux.

Pourquoi

Le khi-deux global ne dit pas où est le lien. Ici, l'excédent de oui au cégep A, $120$ observés contre $90$ attendus, en porte la moitié.

Étape 6

$V=\sqrt{\dfrac{36{,}36}{400\times 1}}\approx 0{,}302$ . Avec $n=40$ et les mêmes proportions, $\chi^{2}=3{,}64$ et $V=0{,}302$ toujours.

Pourquoi

Le même jeu de proportions serait NON significatif à quarante personnes et très significatif à quatre cents, alors que l'association est identique. C'est toute la différence entre preuve et relation.

Conclusion rédigée

« Au seuil de 5 %, $\chi^{2}=36{,}36$ pour $1$ degré de liberté dépasse $3{,}841$ : le cégep fréquenté et la réponse sont liés. L'écart tient surtout à l'excédent de réponses favorables au cégep A, $120$ contre $90$ attendues, et le V de Cramér de $0{,}302$ situe cette association au niveau modéré. »

L'erreur classique sur cet exercice : S'arrêter à « le khi-deux est significatif » : l'énoncé posait trois questions, et deux tiers des points sont dans les contributions et dans le V.

À savoir par cœur

• On pourcentage DANS LE SENS de la variable indépendante, puis on compare d'une catégorie à l'autre.
• $T_{ij}=\dfrac{L_{i}\times C_{j}}{n}$ , et le tableau théorique a exactement les mêmes marges que l'observé.
• $ddl=\left(l-1\right)\left(c-1\right)$ , jamais $l\times c$ . Seuils à 5 % : $3{,}841$ , $5{,}991$ , $7{,}815$ , $9{,}488$ .
• Le khi-deux se calcule sur des EFFECTIFS. Multiplier tous les effectifs par $k$ multiplie le khi-deux par $k$ .
• Le khi-deux mesure la PREUVE, le V de Cramér mesure la RELATION. Le V ne dépend pas de $n$ .
• Ne pas rejeter n'est jamais démontrer l'indépendance : c'est un manque de preuve, souvent un manque de puissance.
• ÉLABORATION : réplication, explication ou spécification selon ce que devient le lien dans chaque sous-groupe.

Questions fréquentes

Dans quel sens faut-il calculer les pourcentages d'un tableau croisé ?

Dans le sens de la variable indépendante, celle dont on suppose l'action. Si les groupes comparés sont en lignes, on pourcentage en ligne, chaque ligne totalisant cent, puis on compare les colonnes entre elles. Le pourcentage dans l'autre sens décrit la composition des répondants, ce qui dépend surtout de la taille des groupes.

Comment calculer les effectifs théoriques du khi-deux ?

Pour chaque case, on multiplie le total de sa ligne par le total de sa colonne, puis on divise par l'effectif total. Une case dont la ligne fait 200 et la colonne 180 dans un tableau de 400 personnes a un théorique de 90. Contrôle immédiat : les totaux du tableau théorique doivent être identiques à ceux du tableau observé.

Quelle différence entre le khi-deux et le V de Cramér ?

Le khi-deux dit si un lien existe, le V de Cramér dit à quel point il est fort. Le premier grandit avec le nombre de personnes interrogées, si bien qu'avec un très grand échantillon la moindre différence devient significative. Le second divise par l'effectif et reste entre zéro et un, ce qui le rend comparable d'une enquête à l'autre.

Combien de degrés de liberté a un tableau croisé ?

Le nombre de lignes moins un, multiplié par le nombre de colonnes moins un. Un tableau deux par deux a donc un seul degré de liberté, et un tableau trois par quatre en a six. L'idée est simple : les totaux étant fixés, il suffit de connaître ce nombre de cases pour reconstruire tout le tableau.

Un khi-deux non significatif prouve-t-il l'indépendance ?

Non. Ne pas rejeter l'hypothèse d'indépendance veut dire que les données ne suffisent pas à conclure, ce qui arrive très souvent avec de petits échantillons. Le même jeu de proportions peut être non significatif à quarante personnes et très significatif à quatre cents. On conclut donc à un manque de preuve, jamais à une absence de lien.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Tableaux croisés, khi-deux et association

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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