Exercices corrigés : les séries chronologiques (360-301)

a) La TENDANCE est le mouvement de fond, à long terme, ici la croissance des inscriptions. Le CYCLE est une oscillation de plusieurs années, liée à la conjoncture, dont la période n'est pas fixe. La SAISONNALITÉ est un motif de période FIXE et connue, ici quatre trimestres. La composante IRRÉGULIÈRE est ce qui reste, imprévisible, tempête de neige, grève, changement de règlement.

b) La tendance se lit sur les moyennes annuelles : $\dfrac{2100+1500+2400+1800}{4}=1\,950$, puis 2 040, puis 2 140, soit une hausse régulière d'environ 95 inscriptions par an. La saisonnalité se lit sur la forme répétée à l'intérieur de chaque année : le troisième trimestre est toujours le plus fort, autour de 2 400 à 2 640, le deuxième toujours le plus faible, autour de 1 500 à 1 640, et le motif se reproduit à l'identique aux trois années.

c) Les deux sont des oscillations, mais la SAISONNALITÉ a une période FIXE, imposée par le calendrier, et son motif se répète à l'identique : rentrée d'automne, session d'hiver, session d'été. Le CYCLE a une période VARIABLE, de quelques années à une dizaine, et une amplitude irrégulière : une récession fait monter les inscriptions au collégial, une reprise les fait baisser, sans qu'on puisse dire à l'avance quand. C'est pourquoi on désaisonnalise couramment et qu'on ne « décycle » jamais : le cycle n'est pas prévisible.

d) Modèle MULTIPLICATIF : $Y_{t}=T_{t}\times S_{t}\times C_{t}\times I_{t}$, où la saisonnalité est un pourcentage de la tendance. Modèle ADDITIF : $Y_{t}=T_{t}+S_{t}+C_{t}+I_{t}$, où la saisonnalité est un écart en unités. Ici le multiplicatif convient : l'écart entre le trimestre fort et le trimestre faible passe de 900 la première année à 1 000 la troisième, il grandit avec le niveau de la série. Un écart saisonnier proportionnel appelle le modèle multiplicatif; un écart constant appellerait l'additif.

e) Parce que les deux trimestres n'ont pas le même poids saisonnier : le troisième est structurellement fort et le quatrième structurellement moyen, si bien qu'une baisse entre les deux est NORMALE et ne dit rien sur la santé de l'établissement. Comparer deux trimestres consécutifs n'a de sens qu'après désaisonnalisation. La solution de rechange, courante dans la presse économique, consiste à comparer un trimestre au MÊME trimestre de l'année précédente, ce qui neutralise la saison mais fait perdre douze mois de réactivité.

a) Premiers quatre trimestres : $\dfrac{2100+1500+2400+1800}{4}=\dfrac{7\,800}{4}=1\,950$. Trimestres 2 à 5 : $\dfrac{1500+2400+1800+2200}{4}=\dfrac{7\,900}{4}=1\,975$. La série lissée monte doucement, de 1 950 à 1 975, alors que la série brute passait de 1 500 à 2 200 sur les mêmes trimestres : tout le mouvement saisonnier a disparu.

b) Parce que chaque fenêtre de quatre trimestres contient exactement UNE FOIS chaque saison : un automne, un hiver, un été, une intersession. La somme des effets saisonniers y est donc constante d'une fenêtre à l'autre, et elle s'annule dans la comparaison. Avec un ordre différent, les fenêtres ne contiendraient pas les mêmes saisons et le lissage laisserait un résidu saisonnier. Pour des données mensuelles, on prendrait l'ordre 12.

c) On perd deux valeurs à chaque extrémité, soit quatre en tout sur douze : une moyenne mobile d'ordre $p$ pair fait perdre $\dfrac{p}{2}$ valeurs de chaque côté. Il reste donc huit points lissés. C'est un défaut majeur en pratique : la moyenne mobile est aveugle précisément à la période la plus récente, celle qui intéresse le décideur.

d) La moyenne des trimestres 1 à 4 se rapporte au milieu de la fenêtre, c'est-à-dire à la position 2,5, qui ne correspond à aucun trimestre. On la CENTRE en moyennant deux moyennes mobiles consécutives : $\dfrac{1\,950+1\,975}{2}=1\,962{,}5$ se rapporte alors au trimestre 3. C'est la moyenne mobile centrée d'ordre 4, celle qu'utilisent tous les organismes statistiques sur données trimestrielles.

e) Une moyenne mobile d'ordre 3 mélangerait trois saisons sur quatre et laisserait subsister une bonne partie du motif saisonnier : la série lissée oscillerait encore. Sur nos données, la fenêtre 1 à 3 vaut $\dfrac{2100+1500+2400}{3}=2\,000$ et la fenêtre 2 à 4 vaut $\dfrac{1500+2400+1800}{3}=1\,900$, soit un écart de 100 qui n'a rien d'une tendance : c'est un reste de saison. La règle est sans exception : l'ordre du lissage doit être un MULTIPLE de la période saisonnière.

a) Moyenne de l'année 1 : 1 950. Rapports : $\dfrac{2100}{1950}\approx 1{,}0769$; $\dfrac{1500}{1950}\approx 0{,}7692$; $\dfrac{2400}{1950}\approx 1{,}2308$; $\dfrac{1800}{1950}\approx 0{,}9231$. Leur somme vaut 4 exactement, ce qui est automatique puisqu'on divise chaque valeur par la moyenne des quatre.

b) Premier trimestre : $\dfrac{1{,}0769+1{,}0784+1{,}0841}{3}\approx 1{,}0798$. En reprenant les mêmes calculs sur les autres trimestres : deuxième, $\approx 0{,}7668$; troisième, $\approx 1{,}2332$; quatrième, $\approx 0{,}9202$. Moyenner sur les trois années fait disparaître l'essentiel de la composante irrégulière : c'est l'objet de cette seconde étape.

c) $1{,}0798+0{,}7668+1{,}2332+0{,}9202=4{,}0000$. Elle doit valoir 4 parce que les indices sont des rapports à la moyenne : si leur somme dépassait 4, la saison ajouterait du niveau à la série, ce qui serait absurde. Quand la somme s'écarte de 4 à cause des arrondis ou de l'irrégulier, on RENORMALISE en multipliant chaque indice par $\dfrac{4}{\text{somme obtenue}}$.

d) L'indice de 0,7668 signifie que le deuxième trimestre se situe structurellement 23,3 % SOUS le niveau moyen de son année. Ce n'est pas une baisse, c'est une caractéristique permanente du calendrier scolaire, et elle se reproduira l'an prochain. Un communiqué qui annoncerait « chute de 29 % des inscriptions au deuxième trimestre » décrirait le calendrier et non l'établissement.

e) Deuxième trimestre de l'année 1 : $\dfrac{1\,500}{0{,}7668}\approx 1\,956$. Troisième trimestre de l'année 3 : $\dfrac{2\,640}{1{,}2332}\approx 2\,141$. Les valeurs désaisonnalisées sont donc proches des moyennes annuelles respectives, 1 950 et 2 140, ce qui est le contrôle à faire : une fois la saison retirée, il ne doit plus rester que la tendance et un peu d'irrégulier.

a) $\overline{x}=2$ et $\overline{y}=\dfrac{1950+2040+2140}{3}=\dfrac{6\,130}{3}\approx 2\,043{,}33$. Covariance : $\left(-1\right)\left(1950-2043{,}33\right)+0+\left(1\right)\left(2140-2043{,}33\right)=93{,}33+96{,}67=190$. Variance des $x$ : $1+0+1=2$. Pente : $\dfrac{190}{2}=95$. Ordonnée à l'origine : $2\,043{,}33-95\times 2=1\,853{,}33$. Droite : $\hat{y}=1\,853{,}33+95x$.

b) Année 4 : $\hat{y}=1\,853{,}33+95\times 4=1\,853{,}33+380=2\,233{,}33$ inscriptions par trimestre en moyenne.

c) On multiplie la tendance par chaque indice saisonnier. Premier trimestre : $2\,233{,}33\times 1{,}0798\approx 2\,412$. Deuxième : $2\,233{,}33\times 0{,}7668\approx 1\,713$. Troisième : $2\,233{,}33\times 1{,}2332\approx 2\,754$. Quatrième : $2\,233{,}33\times 0{,}9202\approx 2\,055$.

d) Somme des quatre prévisions : $2\,412+1\,713+2\,754+2\,055=8\,934$, et $4\times 2\,233{,}33=8\,933{,}33$. L'accord, à un arrondi près, est automatique puisque la somme des indices vaut 4. C'est le contrôle final de toute prévision saisonnalisée, et il attrape les erreurs d'indice.

e) Trois réserves. Premièrement, la droite est ajustée sur TROIS points seulement : la tendance est très mal estimée, et il n'y a aucun degré de liberté pour juger de l'ajustement. Deuxièmement, prolonger une tendance suppose que rien ne change, ce qui exclut par construction toute rupture, réforme, fermeture de programme ou choc démographique; or ce sont précisément ces ruptures qui intéressent le décideur. Troisièmement, aucune incertitude n'est chiffrée ici : une prévision sérieuse s'accompagne d'un intervalle, et cet intervalle s'élargit rapidement à mesure qu'on s'éloigne des données. Une prévision à un an est raisonnable, à cinq ans elle est décorative.

a) Deux intervalles séparent la première et la troisième année. $\left(1+t\right)^{2}=\dfrac{2\,140}{1\,950}\approx 1{,}09744$, donc $1+t=\sqrt{1{,}09744}\approx 1{,}04759$ et $t\approx 4{,}76\%$ par an. On remarquera que la hausse totale de 9,74 % divisée par 2 donnerait 4,87 %, un peu trop : la moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique.

b) Modèle LINÉAIRE : $1\,853{,}33+95\times 10=2\,803{,}33$. Modèle EXPONENTIEL : en partant de 1 950 à l'année 1, $1\,950\times 1{,}04759^{9}\approx 1\,950\times 1{,}5203\approx 2\,965$. L'écart atteint donc 162 inscriptions à la dixième année, alors que les deux modèles étaient indiscernables sur les trois années observées. C'est le problème fondamental de l'extrapolation : deux modèles qui ajustent également bien le passé divergent dans le futur, et rien dans les données ne permet de trancher.

c) À une DROITE. Un taux constant signifie que le rapport d'une valeur à la suivante est constant, donc que la DIFFÉRENCE des logarithmes l'est aussi : $\ln\left(y_{t+1}\right)-\ln\left(y_{t}\right)=\ln\left(1+t\right)$. Sur une échelle logarithmique, la série devient donc rectiligne, et la pente de la droite mesure directement le taux de croissance. C'est pourquoi les séries économiques longues, produit intérieur brut, population, sont presque toujours publiées ainsi.

d) La série à taux constant finit toujours par dépasser, quel que soit son taux et quelle que soit la pente de l'autre. En partant toutes deux de 100 : après 10 ans, $100+100=200$ contre $100\times 1{,}03^{10}\approx 134$; après 40 ans, $500$ contre $100\times 1{,}03^{40}\approx 326$; après 80 ans, $900$ contre $100\times 1{,}03^{80}\approx 1\,064$. Le croisement se produit vers la soixante-quinzième année. Une croissance exponentielle est lente au début et sans limite ensuite, ce qui est exactement pourquoi l'intuition humaine la sous-estime toujours.

e) À la courbure : les écarts successifs augmentent au lieu de rester constants. Le test rapide consiste à calculer les DIFFÉRENCES d'une valeur à la suivante; si elles sont à peu près constantes, la croissance est linéaire, si ce sont les RAPPORTS qui sont constants, elle est exponentielle. Sur nos moyennes annuelles, les différences valent 90 puis 100, les rapports 1,0462 puis 1,0490 : les deux sont presque constants, ce qui confirme qu'avec trois points on ne peut pas trancher.

a) De 1 560 à 2 520 : $\dfrac{2\,520-1\,560}{1\,560}\approx 0{,}6154$, soit une hausse de 61,5 %. Ce nombre est exact et il ne mesure presque rien d'autre que le passage de l'hiver à l'automne.

b) Valeurs désaisonnalisées : $\dfrac{1\,560}{0{,}7668}\approx 2\,034{,}4$ et $\dfrac{2\,520}{1{,}2332}\approx 2\,043{,}5$. Variation : $\dfrac{2\,043{,}5-2\,034{,}4}{2\,034{,}4}\approx 0{,}0045$, soit 0,45 %. Le mouvement réel est donc de moins d'un demi pour cent, contre 61,5 % en apparence : tout le reste était du calendrier.

c) Que le chiffre décrit la saison et non l'établissement. Un « bond de 61 % » se reproduira l'an prochain et l'année d'après, quoi qu'il arrive, et il serait tout aussi vrai dans un cégep en déclin. Le communiqué correct dirait : « après correction des variations saisonnières, les inscriptions progressent de 0,4 % par rapport au trimestre précédent », ou à défaut comparerait au même trimestre de l'année précédente.

d) Troisième trimestre de l'année 2 contre troisième trimestre de l'année 1 : $\dfrac{2\,520-2\,400}{2\,400}=0{,}05$, soit 5,0 %. La méthode est simple et robuste, et elle ne demande aucun indice saisonnier. Elle coûte deux choses : la RÉACTIVITÉ, puisqu'un retournement survenu il y a trois mois reste invisible pendant neuf mois, et la SENSIBILITÉ aux accidents, puisqu'un trimestre exceptionnel il y a un an fausse la comparaison d'aujourd'hui.

e) Sa principale limite est que la désaisonnalisation est une ESTIMATION, révisée à chaque nouvelle donnée : les indices saisonniers sont recalculés, et la valeur publiée pour un trimestre passé change rétroactivement. Les organismes statistiques publient d'ailleurs ces révisions, souvent de quelques dixièmes de point, ce qui suffit à faire disparaître ou apparaître une « récession technique » définie par deux trimestres consécutifs de baisse. S'y ajoute le fait qu'une série désaisonnalisée est plus BRUYANTE qu'il n'y paraît : en retirant la composante la plus régulière, on laisse au premier plan l'irrégulier, dont un seul mois peut suffire à créer une fausse inflexion.

a) L'AUTOCORRÉLATION est la corrélation d'une série avec elle-même décalée dans le temps : les inscriptions de ce trimestre ressemblent à celles du trimestre précédent, et davantage encore à celles du même trimestre de l'année dernière. Exemple : sur nos données, l'autocorrélation d'ordre 4, celle qui relie chaque trimestre au même trimestre de l'année précédente, est proche de 1, puisque le motif saisonnier se répète presque à l'identique.

b) Les tests fondés sur l'INDÉPENDANCE des observations, à commencer par les erreurs types de la régression et tous les tests de significativité qui en découlent. Ils se trompent presque toujours dans le même sens : ils SOUS-ESTIMENT les erreurs types, donc surestiment les statistiques $t$, donc déclarent significatifs des liens qui ne le sont pas. Le mécanisme est simple à comprendre : quarante trimestres fortement corrélés entre eux contiennent bien moins d'information que quarante observations indépendantes, et la formule fait comme si elles en contenaient autant.

c) C'est une CORRÉLATION FALLACIEUSE de tendance, ou régression fallacieuse : deux séries qui montent, quelles qu'elles soient, sont corrélées, parce qu'elles partagent le temps comme facteur commun. Le remède est de travailler sur les VARIATIONS plutôt que sur les niveaux : on calcule les différences d'une période à l'autre, ou les taux de croissance, et l'on corrèle celles-ci. Le plus souvent, une corrélation de 0,97 sur les niveaux tombe à presque zéro sur les variations, ce qui règle la question.

d) Il faut vérifier si les deux séries partagent simplement la même SAISON. Deux séries mensuelles dont l'une culmine en juillet et l'autre aussi seront très corrélées sans lien aucun : les ventes de crème glacée et les noyades, la consommation d'électricité et les rhumes. On désaisonnalise donc les deux avant de calculer le moindre coefficient. Douze points annuels ne permettent d'ailleurs aucune conclusion, quelle que soit la valeur obtenue.

e) Beaucoup plus faible que 40. La taille effective se calcule par $n_{eff}\approx n\dfrac{1-\rho}{1+\rho}$, où $\rho$ est l'autocorrélation d'ordre 1 : avec $\rho=0{,}8$, on obtient $40\times \dfrac{0{,}2}{1{,}8}\approx 4{,}4$ observations effectives. Quarante trimestres fortement autocorrélés valent donc, en information, moins de cinq observations indépendantes. C'est le même raisonnement que l'effet de plan des sondages en grappes, et il explique pourquoi les séries économiques exigent des méthodes propres.

1) FAUX. La hausse de 61 % est un effet de CALENDRIER, structurel et répété chaque année : l'indice saisonnier de l'hiver vaut 0,767 et celui de l'automne 1,233. Après correction, le mouvement réel est de 0,45 %. Énoncé correct : à variations saisonnières corrigées, les inscriptions progressent de 0,4 % par rapport au trimestre précédent, ce qui est trop faible pour être attribué à quoi que ce soit.

2) FAUX. L'ordre du lissage doit être un MULTIPLE de la période saisonnière, ici 4, faute de quoi chaque fenêtre contient une combinaison différente de saisons et le lissage laisse subsister le motif. Sur nos données, une moyenne mobile d'ordre 3 oscille encore de 100 unités d'une fenêtre à l'autre. Énoncé correct : il faut l'ordre 4 sur des données trimestrielles, l'ordre 12 sur des données mensuelles, quitte à perdre des points aux extrémités.

3) FAUX. Deux séries croissantes quelconques sont fortement corrélées parce qu'elles partagent le temps : c'est la corrélation fallacieuse de tendance, et elle produit des coefficients supérieurs à 0,9 entre des grandeurs sans le moindre rapport. Énoncé correct : il faut corréler les VARIATIONS d'une période à l'autre, et non les niveaux; la corrélation ainsi calculée est presque toujours proche de zéro.

4) FAUX. La droite a été ajustée sur trois points et sur trois années : la prolonger de trente ans multiplie par dix l'horizon des données, sans aucune raison de croire que la tendance se maintienne. S'y ajoute que l'incertitude d'une prévision croît avec la distance, et qu'aucun intervalle n'est fourni. Énoncé correct : la tendance observée est d'environ 95 inscriptions par an; une prévision à un ou deux ans est défendable, au-delà elle relève du scénario et non de la statistique.

5) FAUX, il faut RENORMALISER. Une somme de 4,08 signifie que les indices ajoutent 2 % de niveau à la série, ce qui gonflerait toutes les prévisions et ferait échouer le contrôle final. Énoncé correct : on multiplie chaque indice par $\dfrac{4}{4{,}08}\approx 0{,}9804$, de sorte que la somme redevienne exactement 4.

a) Année 1 : $\dfrac{840+610+960+730}{4}=\dfrac{3\,140}{4}=785$. Année 2 : $\dfrac{900+640+1\,020+780}{4}=\dfrac{3\,340}{4}=835$. Année 3 : $\dfrac{950+690+1\,090+830}{4}=\dfrac{3\,560}{4}=890$.

b) Rapports année 1 : $1{,}0701$; $0{,}7771$; $1{,}2229$; $0{,}9299$. Année 2 : $1{,}0778$; $0{,}7665$; $1{,}2216$; $0{,}9341$. Année 3 : $1{,}0674$; $0{,}7753$; $1{,}2247$; $0{,}9326$. Moyennes par trimestre : $1{,}0718$; $0{,}7730$; $1{,}2231$; $0{,}9322$. Somme : $4{,}0001$, soit 4 aux arrondis près, ce qui valide le calcul.

c) $\overline{x}=2$, $\overline{y}=\dfrac{785+835+890}{3}=\dfrac{2\,510}{3}\approx 836{,}67$. Covariance : $\left(-1\right)\left(785-836{,}67\right)+\left(1\right)\left(890-836{,}67\right)=51{,}67+53{,}33=105$. Variance : 2. Pente : $52{,}5$. Ordonnée : $836{,}67-105=731{,}67$. Droite : $\hat{y}=731{,}67+52{,}5x$.

d) Tendance de l'année 4 : $731{,}67+52{,}5\times 4=731{,}67+210=941{,}67$ visites par trimestre en moyenne. Prévisions : $941{,}67\times 1{,}0718\approx 1\,009$; $941{,}67\times 0{,}7730\approx 728$; $941{,}67\times 1{,}2231\approx 1\,152$; $941{,}67\times 0{,}9322\approx 878$. Contrôle : leur somme vaut environ 3 767, soit $4\times 941{,}67$.

e) Il faut d'abord dire que le deuxième trimestre est structurellement le plus CREUX, avec un indice de 0,773, soit 23 % sous la moyenne annuelle : embaucher pour ce trimestre-là serait embaucher pour la période la moins chargée. Ensuite, la question réelle est celle du trimestre le plus chargé, le troisième, dont la prévision passe de 1 090 à environ 1 152 visites, soit 62 de plus. Enfin il faut assortir la réponse de ses limites : la droite repose sur trois points, aucun intervalle n'est calculé, et l'ouverture d'un programme ou un changement d'horaire suffirait à invalider la prévision. La recommandation raisonnable est d'ajuster les ressources au trimestre trois, et de suivre la série désaisonnalisée trimestre après trimestre plutôt que de figer un plan sur une extrapolation.

a) À peine. Avec une marge de 0,2 point, un recul de 0,3 point laisse un intervalle allant de $-0{,}5$ à $-0{,}1$ point : il ne contient pas zéro, donc le recul est distinguable, mais de très peu. Et la comparaison avec le trimestre précédent, lui-même entaché de la même incertitude, est encore plus fragile : la variation entre les deux, $0{,}1$ puis $-0{,}3$, soit 0,4 point d'écart, a une marge d'environ $0{,}2\sqrt{2}\approx 0{,}28$ point, ce qui la rend tout juste significative. Un mouvement de cet ordre ne devrait jamais faire un titre.

b) La variation TRIMESTRIELLE est réactive mais bruyante : elle capte un retournement dès qu'il se produit, au prix d'un rapport signal sur bruit médiocre. La variation sur DOUZE MOIS est stable mais lente : ici, 1,4 %, elle décrit l'année écoulée et ne dira rien d'un retournement survenu il y a trois mois avant plusieurs trimestres. Un lecteur averti regarde les deux, et se méfie du cas où elles disent le contraire l'une de l'autre, ce qui est précisément le cas ici : l'emploi progresse sur un an et recule sur un trimestre, ce qui signale au mieux un ralentissement récent.

c) Parce que sans désaisonnalisation, comparer un deuxième trimestre à un premier trimestre n'aurait aucun sens : l'emploi suit un calendrier très marqué, avec l'embauche étudiante, les travaux saisonniers et les fins de contrats scolaires. Les écarts saisonniers bruts se comptent en points de pourcentage, soit dix fois la variation commentée. Sans correction, le communiqué décrirait le printemps.

d) Elle exploite une comparaison à SEUIL : dire qu'un recul est le premier depuis deux ans suggère un événement remarquable, alors que sur huit trimestres dont sept en hausse minuscule, il suffit qu'une variation passe de $+0{,}1$ à $-0{,}3$ pour produire cette phrase. C'est un habillage narratif d'un mouvement compatible avec le bruit. Il faudrait, pour juger, la série complète des huit variations avec leurs marges, et non le seul qualificatif « premier ».

e) « L'emploi désaisonnalisé recule de 0,3 % au deuxième trimestre, après une hausse de 0,1 % au premier. Compte tenu de la marge d'erreur de l'enquête, plus ou moins 0,2 point, ce recul est faiblement établi et l'écart entre les deux trimestres est à la limite de ce que l'enquête permet de distinguer. Sur douze mois, l'emploi progresse de 1,4 %. Ces chiffres sont donc compatibles avec un ralentissement récent, sans qu'un retournement soit démontré; il faudra un ou deux trimestres supplémentaires pour trancher. » Le paragraphe conserve les faits, ajoute l'incertitude à chaque nombre, oppose les deux horizons de comparaison, et remplace l'annonce d'un événement par une hypothèse à confirmer.