Méthodes quantitatives avancées 360-301 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : séries chronologiques et prévision

Cette fiche traite le dernier chapitre de méthodes quantitatives avancées, celui qui sert ensuite à lire tous les communiqués économiques. Elle ne redonne pas la théorie de la décomposition, elle donne les huit endroits où un calcul juste produit une prévision fausse, et le contrôle exact qui rattrape chacun.

Elle s'adresse aux étudiants de Sciences humaines du cégep qui suivent le cours 360-301. La série d'exercices corrigés du même chapitre reprend chaque geste, du lissage jusqu'à la lecture d'un communiqué trimestriel.

Le fil du chapitre

Une série chronologique n'est pas un nuage de points : chaque observation dépend de la précédente. Toute la méthode consiste à SÉPARER ce qui vient de la tendance, de la saison et du hasard, avant d'oser une prévision.

Ce chapitre fait partie de Méthodes quantitatives avancées 360-301 : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Indices, taux et dollars constantsMéthodes quantitatives (360-300) Fiche

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Concepts, variables et échelles de mesureMéthodes quantitatives (360-300)
2Tableaux de distribution et graphiquesMéthodes quantitatives (360-300)
3Indices, taux et dollars constantsMéthodes quantitatives (360-300)

Notions couvertes

Tendance
Composante saisonnière
Composante cyclique
Modèle multiplicatif
Modèle additif
Moyenne mobile centrée
Indice saisonnier
Désaisonnalisation
Échelle logarithmique
Autocorrélation
Taille effective d'échantillon
Corrélation fallacieuse

L'essentiel

Quatre composantes, et deux modèles pour les assembler

• TENDANCE, mouvement de fond. CYCLE, de période variable. SAISONNALITÉ, de période FIXE et connue. IRRÉGULIER, le reste.
• Modèle MULTIPLICATIF $Y=T\times S\times C\times I$ quand l'écart saisonnier grandit avec le niveau.
• Modèle ADDITIF $Y=T+S+C+I$ quand cet écart reste constant en valeur absolue.
• Le choix se voit sur le graphique : des vagues qui s'élargissent appellent le multiplicatif, des vagues d'amplitude constante l'additif.

Les vagues s'élargissent à mesure que la tendance monte : c'est la signature d'un modèle MULTIPLICATIF, et le pointillé donne le niveau autour duquel elles oscillent.

Cycle et saison se distinguent par une seule chose : la période de la saison est connue d'avance, celle du cycle non.

Lisser sans tricher

• L'ordre d'une moyenne mobile doit être un MULTIPLE de la période saisonnière : $4$ pour du trimestriel, $12$ pour du mensuel.
• Ordre PAIR : la moyenne tombe entre deux périodes; il faut la CENTRER en moyennant deux moyennes mobiles consécutives.
• Une moyenne mobile d'ordre $p$ fait perdre $\dfrac{p}{2}$ valeurs à chaque extrémité, dont la PLUS RÉCENTE : elle décrit le passé, elle ne prévoit rien.
• Indice saisonnier : rapport de chaque valeur à la moyenne de son année, puis moyenne des rapports d'une même saison. La somme des $p$ indices doit valoir $p$ .

La colonne du milieu somme à

4{,}08

et la colonne de droite à

4{,}000

: sans cette correction, chaque prévision serait surestimée de deux pour cent.

Si la somme des indices ne tombe pas sur $p$ , on RENORMALISE : diviser chacun par la somme obtenue, puis multiplier par $p$ .

Prévoir, et les deux pièges du temps

• Prévision : ajuster la TENDANCE, la prolonger, puis MULTIPLIER par l'indice saisonnier de la période visée.
• Contrôle : la somme des $p$ prévisions d'une année doit redonner $p$ fois la valeur de tendance de cette année.
• AUTOCORRÉLATION : les observations voisines se ressemblent. Elle fait SOUS-ESTIMER les erreurs types, donc déclarer significatif ce qui ne l'est pas. Taille effective : $n_{eff}\approx n\dfrac{1-\rho}{1+\rho}$ .
• Corrélation FALLACIEUSE de tendance : deux séries croissantes sont corrélées parce qu'elles partagent le temps. On corrèle les VARIATIONS, jamais les niveaux.

Croissance à taux constant : c'est le LOGARITHME de la série qui est linéaire, et la pente en échelle logarithmique vaut le taux.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Choisir un ordre de moyenne mobile étranger à la période

2 points, et la tendance obtenue reste saisonnière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Données trimestrielles : je lisse par une moyenne mobile d'ordre $3$ , c'est plus réactif. »

Ce qu'il faut écrire

« L'ordre doit être un MULTIPLE de la période, donc $4$ pour du trimestriel. Un ordre $3$ laisse une partie de la saison dans le lissage. »

Pourquoi : Une moyenne sur exactement une période contient chaque saison une fois et une seule : c'est ce qui annule la composante saisonnière. Sur trois trimestres, une saison est comptée deux fois.

2. Utiliser une moyenne mobile d'ordre pair sans la centrer

1,5 point, et un décalage d'un demi-trimestre dans toute la série

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Moyenne mobile d'ordre $4$ : la première valeur lissée se place au deuxième trimestre. »

Ce qu'il faut écrire

« Avec un ordre PAIR, la moyenne tombe ENTRE deux trimestres. Je moyenne deux moyennes mobiles consécutives pour la recentrer sur une période. »

Pourquoi : Quatre valeurs ont leur centre de gravité entre la deuxième et la troisième. Le centrage revient à faire une moyenne mobile d'ordre $5$ à poids inégaux, $\dfrac{1}{8}$ aux extrémités.

3. Prendre une moyenne mobile pour une prévision

1,5 point, et une prévision impossible à produire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La moyenne mobile donne la tendance, donc je la prolonge pour prévoir le trimestre prochain. »

Ce qu'il faut écrire

« Une moyenne mobile d'ordre $4$ perd DEUX valeurs à chaque bout, dont la plus récente : elle s'arrête deux trimestres avant aujourd'hui. Pour prévoir, il faut AJUSTER une droite de tendance. »

Pourquoi : Le lissage est une opération rétrospective : chaque point lissé a besoin de valeurs situées après lui. C'est exactement ce qui manque à l'extrémité de la série.

4. Ne pas renormaliser les indices saisonniers

1,5 point, et une surestimation de 2 % sur chaque prévision

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les quatre rapports moyens valent $1{,}28$ , $0{,}92$ , $0{,}76$ et $1{,}12$ : ce sont mes indices. »

Ce qu'il faut écrire

« Leur somme vaut $4{,}08$ et non $4$ . Je divise chacun par $4{,}08$ puis je multiplie par $4$ , ce qui donne $1{,}255$ , $0{,}902$ , $0{,}745$ et $1{,}098$ . »

Pourquoi : Les indices doivent se compenser sur une année complète, sinon la saison ajoute une tendance parasite : ici $2$ % de hausse annuelle purement artificielle.

5. Désaisonnaliser en soustrayant dans un modèle multiplicatif

2 points, et toute la série désaisonnalisée est fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Indice de $1{,}25$ au premier trimestre : je retranche $25$ % de la valeur observée. »

Ce qu'il faut écrire

« Modèle multiplicatif : on DIVISE par l'indice. $\dfrac{130}{1{,}25}=104$ , et non $130\times 0{,}75=97{,}5$ . »

Pourquoi : Diviser par $1{,}25$ et retirer $25$ % ne sont pas la même opération : $\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}80$ et non $0{,}75$ . L'écart de cinq points se retrouve sur chaque trimestre.

6. Comparer un trimestre au trimestre précédent

toute la question de commentaire

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les ventes passent de $130$ au premier trimestre à $94$ au deuxième : effondrement de $28$ %. »

Ce qu'il faut écrire

« La baisse est SAISONNIÈRE. On compare au même trimestre de l'année précédente, $94$ contre $83$ , soit une hausse de $13{,}3$ %, ou bien on compare les séries DÉSAISONNALISÉES. »

Pourquoi : Sur une série saisonnière, la variation d'un trimestre à l'autre mélange la tendance et la saison. Les deux seules comparaisons honnêtes sont l'année sur année et le désaisonnalisé.

7. Corréler deux séries en niveau

toute la conclusion, et c'est la question de critique du chapitre

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le nombre d'inscriptions et le prix du café augmentent tous deux depuis dix ans : $r=0{,}98$ , la relation est très forte. »

Ce qu'il faut écrire

« Les deux séries partagent une tendance, donc le temps. Je corrèle les VARIATIONS d'une période à l'autre : le coefficient tombe à $0{,}08$ . »

À gauche, deux courbes qui montent ensemble; à droite, leurs variations période par période, qui ne se suivent plus du tout.

Pourquoi : Deux séries croissantes sont mécaniquement corrélées, quelle que soit leur relation réelle. Passer aux variations retire la tendance commune et ne laisse que le mouvement conjoint.

8. Traiter une série autocorrélée comme un échantillon ordinaire

1,5 point, et des tests qui déclarent significatif n'importe quoi

Ce qu'il ne faut pas écrire

« J'ai $40$ trimestres, donc $40$ observations pour mon test. »

Ce qu'il faut écrire

« Les trimestres voisins se ressemblent. Avec $\rho=0{,}6$ , la taille effective vaut $40\times\dfrac{1-0{,}6}{1+0{,}6}=10$ : c'est ce nombre qui entre dans les erreurs types. »

Pourquoi : Chaque observation nouvelle apporte moins d'information nouvelle quand elle ressemble à la précédente. C'est le même phénomène que l'effet de plan dans un sondage en grappes.

Quelle méthode choisir

Modèle additif ou multiplicatif ?

On regarde le GRAPHIQUE de la série et l'amplitude des vagues saisonnières au fil du temps.

Si les vagues gardent la même hauteur en unités, quel que soit le niveau → modèle ADDITIF : les indices s'ajoutent et somment à ZÉRO

Exemple : un écart saisonnier de 10 unités, hier comme aujourd'hui
Si les vagues s'élargissent à mesure que la série monte → modèle MULTIPLICATIF : les indices se multiplient et somment à $p$

Exemple : un écart de 20 % du niveau, toujours
Si on hésite → tracer le logarithme de la série : si les vagues y deviennent d'amplitude constante, c'est multiplicatif

Exemple : des ventes qui doublent en cinq ans
Si la série contient des valeurs nulles ou négatives → modèle ADDITIF obligatoirement : la division n'a plus de sens

Exemple : un solde migratoire trimestriel

Le multiplicatif est de loin le plus fréquent en sciences humaines : ventes, fréquentation, inscriptions varient presque toujours en proportion du niveau.

Quelle comparaison l'énoncé attend-il ?

On regarde ce qui est comparé et si la série est saisonnière.

Si on compare deux périodes CONSÉCUTIVES d'une série saisonnière → comparer plutôt d'une ANNÉE sur l'autre, ou passer au désaisonnalisé, et le dire

Exemple : T1 contre T2 de la même année
Si on compare le même trimestre de deux années → comparaison licite, la saison étant identique des deux côtés

Exemple : T2 de l'an 2 contre T2 de l'an 3
Si l'énoncé fournit une série désaisonnalisée → comparer directement d'une période à l'autre : la saison a déjà été retirée

Exemple : un taux de chômage désaisonnalisé mensuel
Si on compare deux SÉRIES entre elles → corréler les VARIATIONS, jamais les niveaux

Exemple : inscriptions et dépenses publicitaires

Une variation annoncée « par rapport au trimestre précédent » sans mention du désaisonnalisé est presque toujours une variation saisonnière déguisée.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer les indices saisonniers et désaisonnaliser

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé fournit plusieurs années d'une série périodique.

1 Identifier la PÉRIODE et annoncer le modèle retenu, additif ou multiplicatif, avec sa justification.
2 Calculer la moyenne de chaque ANNÉE, puis le rapport de chaque valeur à la moyenne de son année.
3 Moyenner les rapports d'une même saison entre les années.
4 Vérifier que la somme des indices vaut $p$ ; sinon, RENORMALISER.
5 Désaisonnaliser en DIVISANT chaque valeur par l'indice de sa saison.

Phrase de conclusion

« Les indices saisonniers valent $1{,}250$ , $0{,}902$ , $0{,}750$ et $1{,}098$ , de somme $4{,}000$ : aucune renormalisation n'est nécessaire. La série désaisonnalisée de la troisième année oscille autour de $104$ , ce qui confirme la décomposition. »

Le piège : Moyenner les rapports d'une même ANNÉE au lieu d'une même SAISON : le tableau se remplit dans l'autre sens et tous les indices tombent à $1$ .

Barème : 1 point pour le modèle justifié, 2 points pour les rapports, 1 point pour les indices moyens, 1 point pour la vérification de la somme.

Produire une prévision trimestrielle

Quand l'utiliser : Quand l'énoncé demande les valeurs prévues d'une année à venir.

1 Ajuster la tendance sur les moyennes annuelles, ou par moindres carrés sur la série désaisonnalisée.
2 Prolonger la tendance jusqu'à l'année visée et écrire cette valeur.
3 MULTIPLIER la tendance par l'indice saisonnier de chaque période.
4 Vérifier que la somme des prévisions d'une année vaut $p$ fois la tendance.
5 Assortir la prévision de ses limites : le modèle suppose que la tendance et la saison se prolongent à l'identique.

Phrase de conclusion

« La tendance de la quatrième année vaut $116$ ; les prévisions trimestrielles sont $145{,}0$ , $104{,}6$ , $87{,}0$ et $127{,}4$ , de somme $464=4\times 116$ . »

Le piège : Oublier de multiplier par l'indice : on obtient alors quatre fois la même valeur, et la question de prévision saisonnière n'a pas été traitée.

Barème : 1 point pour la tendance prolongée, 2 points pour les quatre prévisions, 1 point pour le contrôle de la somme, 1 point pour les limites annoncées.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme des indices vaut la période

Additionner les indices saisonniers : $4$ pour du trimestriel, $12$ pour du mensuel, ou $0$ en modèle additif.

Une somme de $4{,}08$ signale une renormalisation oubliée, et une surestimation de $2$ % sur chaque prévision.
La somme des prévisions d'une année

Additionner les $p$ prévisions : on doit retrouver $p$ fois la valeur de tendance de cette année.

$145+104{,}6+87+127{,}4=464$ , soit $4\times 116$ : les indices et la tendance sont cohérents.
La série désaisonnalisée est lisse

Après désaisonnalisation, les valeurs d'une même année doivent se ressembler. Une série encore ondulée signale des indices faux ou une période mal identifiée.

$104$ , $104{,}2$ , $104$ , $103{,}8$ : la saison a bien été retirée.
La comparaison est-elle année sur année ?

Avant de commenter une variation, vérifier que les deux périodes comparées portent la même saison, ou que la série est désaisonnalisée.

Une chute de $28$ % entre le premier et le deuxième trimestre qui devient une hausse de $13$ % d'une année sur l'autre.

L'exercice type décortiqué

Trois ans de ventes trimestrielles, jusqu'à la prévision

Année 1 : $100$ , $72$ , $60$ , $88$ . Année 2 : $115$ , $83$ , $69$ , $101$ . Année 3 : $130$ , $94$ , $78$ , $114$ .

On demande les indices saisonniers, la série désaisonnalisée de la troisième année, et les quatre prévisions de la quatrième année.

Étape 1

Période $4$ . Les écarts saisonniers grandissent avec le niveau, $40$ unités d'amplitude la première année contre $52$ la troisième : modèle MULTIPLICATIF.

Pourquoi

Le choix du modèle se justifie sur les DONNÉES et non par habitude. C'est un point de barème, et il détermine si l'on divisera ou si l'on soustraira ensuite.

Étape 2

Moyennes annuelles : $80$ , $92$ , $104$ . Rapports du premier trimestre : $\dfrac{100}{80}=1{,}25$ , $\dfrac{115}{92}=1{,}25$ , $\dfrac{130}{104}=1{,}25$ .

Pourquoi

On rapporte chaque valeur à la moyenne de SON année, ce qui retire la tendance sans avoir à l'estimer. La constance des trois rapports confirme que la saison est stable.

Étape 3

Indices moyens : $1{,}250$ , $0{,}902$ , $0{,}750$ , $1{,}098$ . Somme : $4{,}000$ , donc aucune renormalisation.

Pourquoi

Le contrôle de la somme se fait avant toute suite : ici il tombe juste, mais il faut l'écrire, parce que c'est lui qui vaut le point.

Étape 4

Désaisonnalisation de l'année 3 : $\dfrac{130}{1{,}250}=104{,}0$ , $\dfrac{94}{0{,}902}=104{,}2$ , $\dfrac{78}{0{,}750}=104{,}0$ , $\dfrac{114}{1{,}098}=103{,}8$ .

Pourquoi

On DIVISE, parce que le modèle est multiplicatif. La série obtenue est presque plate, ce qui valide la décomposition sans aucun calcul supplémentaire.

Étape 5

Tendance : les moyennes annuelles progressent de $12$ par an, donc l'année 4 est prévue à $116$ .

Pourquoi

La progression est parfaitement linéaire ici, ce qui rend l'ajustement immédiat. Sur des données réelles, on ajusterait une droite par moindres carrés.

Étape 6

Prévisions : $116\times 1{,}250=145{,}0$ ; $116\times 0{,}902=104{,}6$ ; $116\times 0{,}750=87{,}0$ ; $116\times 1{,}098=127{,}4$ . Somme : $464=4\times 116$ .

Pourquoi

Le contrôle final ferme le problème : si la somme ne redonnait pas quatre fois la tendance, c'est que les indices ne sommaient pas à $4$ .

Conclusion rédigée

« Les indices saisonniers valent $1{,}250$ , $0{,}902$ , $0{,}750$ et $1{,}098$ , de somme exacte $4$ . La série désaisonnalisée de la troisième année tourne autour de $104$ , et les ventes prévues pour la quatrième année sont $145$ , $105$ , $87$ et $127$ , sous l'hypothèse que la tendance et la saison se prolongent. »

L'erreur classique sur cet exercice : Comparer les $130$ du premier trimestre aux $94$ du deuxième et annoncer une chute de $28$ % : sur la série désaisonnalisée, le niveau n'a pas bougé d'un dixième de point.

À savoir par cœur

• SAISON de période fixe et connue, CYCLE de période variable : c'est la seule chose qui les distingue.
• Vagues d'amplitude constante, modèle ADDITIF; vagues qui s'élargissent, modèle MULTIPLICATIF.
• L'ordre d'une moyenne mobile est un MULTIPLE de la période, et un ordre PAIR se CENTRE.
• La somme des $p$ indices saisonniers vaut $p$ en multiplicatif, $0$ en additif. Sinon, on renormalise.
• Désaisonnaliser en multiplicatif, c'est DIVISER par l'indice, jamais retrancher un pourcentage.
• Prévision : tendance prolongée MULTIPLIÉE par l'indice, et la somme d'une année vaut $p$ fois la tendance.
• On corrèle les VARIATIONS de deux séries, jamais leurs niveaux : deux tendances communes suffisent à fabriquer $r=0{,}98$ .

Questions fréquentes

Comment calculer les indices saisonniers d'une série trimestrielle ?

On calcule la moyenne de chaque année, puis le rapport de chaque trimestre à la moyenne de son année. On moyenne ensuite les rapports d'un même trimestre entre les années. La somme des quatre indices doit valoir quatre : sinon, on divise chacun par la somme obtenue et on multiplie par quatre.

Pourquoi centrer une moyenne mobile d'ordre pair ?

Parce que la moyenne de quatre valeurs consécutives tombe entre la deuxième et la troisième, donc entre deux trimestres et non sur l'un d'eux. On moyenne alors deux moyennes mobiles consécutives pour ramener le résultat sur une période, ce qui revient à donner un demi-poids aux deux valeurs extrêmes.

Comment désaisonnaliser une série ?

Dans un modèle multiplicatif, on divise chaque valeur par l'indice saisonnier de sa période. Une valeur de 130 au premier trimestre, d'indice 1,25, donne 104. On ne retranche jamais un pourcentage : diviser par 1,25 revient à multiplier par 0,80, et non par 0,75. En modèle additif, on soustrait l'indice.

Pourquoi deux séries qui montent sont-elles toujours corrélées ?

Parce qu'elles partagent le temps. Deux grandeurs qui augmentent chacune de leur côté, sans aucun lien, affichent un coefficient de corrélation très élevé simplement parce que toutes deux progressent avec les années. On corrèle donc les variations d'une période à l'autre, ce qui retire la tendance commune.

Peut-on comparer un trimestre au trimestre précédent ?

Pas sur une série saisonnière brute : la variation observée mélange la tendance et la saison, et une baisse de vingt-huit pour cent peut cacher une hausse réelle. On compare soit au même trimestre de l'année précédente, soit sur la série désaisonnalisée, et on précise laquelle des deux méthodes on emploie.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Séries chronologiques et prévision

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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