Méthodes quantitatives avancées 360-301 • Sciences humaines au cégep à Montréal

Fiche de révision : les tests non paramétriques

Cette fiche traite la famille de tests qu'on emploie quand la distribution refuse de coopérer : petits effectifs, échelles ordinales, valeurs extrêmes. Elle ne redonne pas les formules, elle donne les huit endroits où un calcul de rangs juste débouche sur une conclusion fausse, à commencer par le sens du rejet, qui est inversé par rapport à tous les autres tests du cours.

Elle s'adresse aux étudiants de Sciences humaines du cégep qui suivent le cours 360-301. La série d'exercices corrigés du même chapitre reprend chaque test, de Mann-Whitney jusqu'à la lecture d'une section de méthodes.

Le fil du chapitre

Passer aux rangs, c'est échanger de l'information contre de la robustesse : on ne sait plus DE COMBIEN les valeurs diffèrent, seulement dans quel ordre elles arrivent. Tout le chapitre se juge à ce troc.

Ce chapitre fait partie de Méthodes quantitatives avancées 360-301 : tous les chapitres

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (7 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

1Concepts, variables et échelles de mesureMéthodes quantitatives (360-300)
2Échantillonnage et questionnaireMéthodes quantitatives (360-300)
3Tableaux de distribution et graphiquesMéthodes quantitatives (360-300)
4Cote Z, rang centile et cote RMéthodes quantitatives (360-300)
5Tableaux croisés, khi-deux et associationMéthodes quantitatives (360-300)
6La marge d'erreur d'un sondageMéthodes quantitatives (360-300)
7Comparer deux groupes : test t et taille d'effet

Notions couvertes

Statistique de rang
Rangs moyens des ex aequo
Test de Mann-Whitney
Probabilité de supériorité
Test de Wilcoxon
Test de Kruskal-Wallis
Coefficient de Spearman
Monotonie
Test des signes
Efficacité relative
Distributions à queues lourdes
Hypothèse d'indépendance

L'essentiel

Ce que les rangs conservent et ce qu'ils détruisent

• Les rangs sont insensibles à l'AMPLEUR des écarts : remplacer $40$ par $400$ ne change aucun rang, donc aucun résultat.
• C'est à la fois la force du procédé, une valeur extrême ne fausse plus rien, et sa limite, on ne peut plus estimer de combien les groupes diffèrent.
• EX AEQUO : rang MOYEN des positions occupées. Trois valeurs égales aux positions $5$ , $6$ et $7$ reçoivent chacune le rang $6$ .
• Contrôle universel : la somme de tous les rangs vaut $\dfrac{N(N+1)}{2}$ , ex aequo compris.

En haut les valeurs à leur place réelle, en bas les mêmes réparties à intervalles égaux : toute l'information de distance a disparu entre les deux droites.

Un test de rangs ne donne aucune estimation dans l'unité d'origine : il faut publier des médianes, des quartiles et une probabilité de supériorité.

Les quatre tests, et leurs statistiques

• MANN-WHITNEY, deux groupes indépendants : $U_{j}=R_{j}-\dfrac{n_{j}\left(n_{j}+1\right)}{2}$ , avec $U_{1}+U_{2}=n_{1}n_{2}$ . On rejette si le PLUS PETIT $U$ est INFÉRIEUR OU ÉGAL à la valeur critique.
• WILCOXON, échantillons appariés : ranger les $\left|d_{i}\right|$ , puis sommer les rangs des positives et des négatives; $W^{+}+W^{-}=\dfrac{n(n+1)}{2}$ .
• KRUSKAL-WALLIS, $k$ groupes : $H=\dfrac{12}{N(N+1)}\sum \dfrac{R_{j}^{2}}{n_{j}}-3\left(N+1\right)$ , comparé à un khi-deux à $k-1$ degrés de liberté. Test OMNIBUS.
• SPEARMAN : $r_{s}=1-\dfrac{6\sum d_{i}^{2}}{n\left(n^{2}-1\right)}$ où $d_{i}$ est la différence des DEUX RANGS. Il mesure la MONOTONIE, pas la linéarité.

Mann-Whitney est le seul test du cours où l'on rejette pour une statistique PETITE : c'est la faute mécanique la plus fréquente.

Ce qu'ils supposent quand même, et ce qu'ils coûtent

• Tous supposent l'INDÉPENDANCE des observations, et la plupart l'égalité des FORMES des distributions comparées.
• Sans formes égales, Mann-Whitney teste une différence de position générale, jamais spécifiquement les médianes.
• WILCOXON suppose en plus la SYMÉTRIE de la distribution des différences; sans elle, il reste le test des SIGNES.
• Efficacité de Mann-Whitney par rapport au test t : $\dfrac{3}{\pi}\approx 0{,}955$ sous la loi normale, soit $4{,}7$ % d'observations en plus; elle DÉPASSE $1$ sur les distributions à queues lourdes.

Les rangs se posent sur les ÉCARTS ABSOLUS et le signe se retrouve après : le rang

5

va au plus grand écart,

\left|+8\right|

, quel que soit son sens.

« Non paramétrique » ne veut pas dire « sans hypothèse » : l'expression signifie seulement que la forme de la distribution n'a pas de paramètre à estimer.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Classer les ex aequo par ordre d'arrivée

1,5 point, et le résultat dépend alors de l'ordre de saisie

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Trois valeurs égales : je leur donne les rangs $5$ , $6$ et $7$ dans l'ordre du tableau. »

Ce qu'il faut écrire

« Elles reçoivent chacune le rang MOYEN des positions occupées, soit $\dfrac{5+6+7}{3}=6$ . La somme totale des rangs reste $\dfrac{N(N+1)}{2}$ . »

Pourquoi : Deux valeurs identiques doivent recevoir le même rang, sinon le classement encode l'ordre du fichier au lieu des données. Le contrôle par la somme attrape l'erreur immédiatement.

2. Comparer le grand U à la valeur critique

toute la question, la décision étant inversée

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $U_{A}=26$ et la valeur critique vaut $5$ : $26$ dépasse $5$ , donc je rejette. »

Ce qu'il faut écrire

« On compare le PLUS PETIT des deux, ici $U_{B}=10$ , et on rejette seulement s'il est INFÉRIEUR OU ÉGAL à la valeur critique. $10>5$ : on ne rejette pas. »

Pourquoi : Un $U$ petit signifie qu'un groupe domine largement l'autre. C'est l'inverse de tous les autres tests du cours, et c'est exactement pour cela que la faute est si fréquente.

3. Annoncer un test des médianes sans vérifier les formes

1,5 point, et une conclusion plus forte que le test

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Mann-Whitney est significatif : les médianes des deux groupes diffèrent. »

Ce qu'il faut écrire

« Mann-Whitney teste une différence de POSITION GÉNÉRALE. Il ne porte sur les médianes que si les deux distributions ont la même FORME, ce que je dois vérifier avant de le dire. »

Pourquoi : Deux distributions de formes différentes peuvent avoir la même médiane et donner un test très significatif, parce que la probabilité de supériorité, elle, s'écarte de un demi.

4. Appliquer Wilcoxon à des différences asymétriques

1 point, et un seuil réel différent de celui annoncé

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les différences sont très étalées d'un côté, mais Wilcoxon est non paramétrique, donc il s'applique. »

Ce qu'il faut écrire

« Wilcoxon suppose la SYMÉTRIE de la distribution des différences. Sans elle, je passe au test des SIGNES, qui ne suppose que l'indépendance. »

Pourquoi : Wilcoxon utilise l'AMPLEUR des écarts par leurs rangs : si les grands écarts sont tous du même côté, la statistique est biaisée alors même que la médiane des différences est nulle.

5. Confondre Spearman et Pearson

1,5 point, et la question sur la forme de la relation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $r_{s}=1{,}00$ : la relation est parfaitement linéaire. »

Ce qu'il faut écrire

« $r_{s}=1{,}00$ dit que la relation est parfaitement MONOTONE : chaque fois que $x$ monte, $y$ monte. La courbe peut être une exponentielle, et $r$ de Pearson ne vaut alors que $0{,}91$ . »

Les huit points montent sans exception, donc les rangs coïncident et Spearman vaut

1

; la courbure, elle, coûte près de dix centièmes à Pearson.

Pourquoi : Spearman est le Pearson calculé SUR LES RANGS : il ne voit que l'ordre. Une courbure monotone lui est parfaitement invisible, alors qu'elle fait chuter le coefficient de Pearson.

6. Publier des moyennes après un test de rangs

1 point de cohérence, et le correcteur le repère toujours

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le test de Mann-Whitney rejette : la moyenne du groupe A, $3{,}67$ , dépasse celle du groupe B, $2{,}67$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le test a travaillé sur les rangs : je rapporte des MÉDIANES, $3{,}5$ contre $2{,}5$ , les quartiles, et la probabilité de supériorité, $0{,}72$ . »

Pourquoi : On a choisi les rangs précisément parce que la moyenne n'était pas fiable ici. La rapporter dans la conclusion annule la raison du choix.

7. Croire qu'un test non paramétrique est sans hypothèse

1 point de méthode, davantage si les données sont appariées

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les données ne sont pas normales, donc je prends un test de rangs : il n'y a plus aucune condition à vérifier. »

Ce qu'il faut écrire

« L'INDÉPENDANCE reste obligatoire, et la plupart de ces tests supposent l'égalité des formes. « Non paramétrique » veut dire que la distribution n'a pas de paramètre à estimer, pas qu'elle est quelconque. »

Pourquoi : Une hypothèse d'indépendance violée fausse tous les tests de la même façon, paramétriques ou non : c'est le plan de l'étude qui la garantit, jamais le choix de la statistique.

8. Passer aux rangs par précaution alors que le test t s'appliquait

1 point, et de la puissance perdue pour rien

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans le doute, je fais toujours un test de rangs : c'est plus prudent. »

Ce qu'il faut écrire

« Sous la loi normale, Mann-Whitney a une efficacité de $\dfrac{3}{\pi}\approx 95{,}5$ % : il faut environ $4{,}7$ % d'observations en plus pour la même puissance. Ce n'est gratuit que si les conditions du test t échouent vraiment. »

Pourquoi : Le prix est faible mais réel, et surtout un test de rangs ne produit ni différence de moyennes ni intervalle de confiance dans l'unité d'origine, ce que la conclusion réclame souvent.

Quelle méthode choisir

Quel test de rangs ?

On compte les groupes, on regarde si ce sont les mêmes individus, et ce que l'énoncé cherche à établir.

Si deux groupes INDÉPENDANTS → MANN-WHITNEY : on rejette si le plus petit $U$ est inférieur ou égal à la valeur critique

Exemple : deux classes de six, réponses sur une Likert
Si les mêmes individus mesurés deux fois, différences SYMÉTRIQUES → WILCOXON des rangs signés, $ddl$ non requis, table propre

Exemple : avant et après, quinze participants
Si les mêmes individus, différences ASYMÉTRIQUES ou seulement le sens connu → TEST DES SIGNES, loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}5$

Exemple : chaque juge préfère A ou B
Si trois groupes ou plus, indépendants → KRUSKAL-WALLIS, comparé à un khi-deux à $k-1$ degrés de liberté, puis comparaisons deux à deux corrigées

Exemple : trois programmes d'études
Si on cherche un lien entre deux variables ordinales → SPEARMAN, qui mesure la monotonie

Exemple : rang au secondaire et rang au cégep

Si aucun de ces cas ne s'applique et que les conditions du test t sont réunies, c'est le test t qu'il faut faire : il est plus puissant et il donne un intervalle interprétable.

Que rapporter après un test de rangs ?

On regarde ce que l'énoncé demande, puis on choisit des mesures COHÉRENTES avec les rangs.

Si il faut décrire les groupes → MÉDIANES et QUARTILES, jamais moyennes et écarts-types

Exemple : $3{,}5$ contre $2{,}5$ sur une Likert
Si il faut chiffrer l'ampleur après Mann-Whitney → PROBABILITÉ DE SUPÉRIORITÉ $\dfrac{U}{n_{1}n_{2}}$ , entre $0$ et $1$

Exemple : $\dfrac{26}{36}\approx 0{,}72$
Si il faut chiffrer l'ampleur après Spearman → $r_{s}$ lui-même, en précisant qu'il mesure la MONOTONIE

Exemple : $r_{s}=0{,}84$
Si le test ne rejette pas et les effectifs sont petits → signaler le MANQUE DE PUISSANCE, et donner tout de même l'ampleur observée

Exemple : probabilité de supériorité de $0{,}72$ sans significativité

Une ampleur importante sans significativité, sur de petits groupes, est un résultat qui se rapporte : il justifie une étude plus grande.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un test de Mann-Whitney

Quand l'utiliser : Dès que l'énoncé compare deux groupes indépendants sur une variable ordinale, ou sur de très petits effectifs.

1 Justifier le choix : échelle ordinale, effectifs petits ou distribution très asymétrique.
2 Classer TOUTES les observations ensemble, attribuer les rangs moyens aux ex aequo, et vérifier que la somme vaut $\dfrac{N(N+1)}{2}$ .
3 Calculer $R_{1}$ et $R_{2}$ , puis les deux $U$ , et vérifier $U_{1}+U_{2}=n_{1}n_{2}$ .
4 Comparer le PLUS PETIT $U$ à la valeur critique, et rejeter s'il lui est inférieur ou égal.
5 Conclure avec les MÉDIANES et la probabilité de supériorité.

Phrase de conclusion

« Le plus petit $U$ vaut $10$ , supérieur à la valeur critique $5$ pour deux groupes de six au seuil de 5 % : on ne rejette pas l'hypothèse d'égalité des distributions. La probabilité de supériorité vaut tout de même $0{,}72$ , ce qui justifierait une étude sur de plus grands effectifs. »

Le piège : Retrancher $\dfrac{n(n+1)}{2}$ avec le mauvais $n$ : c'est l'effectif DU GROUPE dont on somme les rangs, pas l'effectif total.

Barème : 1 point pour le choix justifié, 2 points pour les rangs, 1 point pour les $U$ et leur contrôle, 1 point pour la décision, 1 point pour l'ampleur.

Calculer un coefficient de Spearman

Quand l'utiliser : Quand l'énoncé donne deux classements, ou deux variables ordinales.

1 Ranger séparément chaque variable, avec des rangs moyens pour les ex aequo.
2 Calculer les différences de rangs $d_{i}$ , puis leurs carrés, et vérifier que $\sum d_{i}=0$ .
3 Appliquer $r_{s}=1-\dfrac{6\sum d_{i}^{2}}{n\left(n^{2}-1\right)}$ .
4 Interpréter en parlant de MONOTONIE, et non de linéarité ni de proportionnalité.

Phrase de conclusion

« Le coefficient de Spearman vaut $0{,}84$ : le classement au cégep suit fortement celui du secondaire, ce qui décrit une relation monotone et non nécessairement linéaire. »

Le piège : Utiliser la formule courte quand il y a beaucoup d'ex aequo : elle n'est exacte que sans ex aequo, sinon il faut passer par la formule de Pearson appliquée aux rangs.

Barème : 1 point pour les deux classements, 1 point pour les $d_{i}^{2}$ , 1 point pour le calcul, 1 point pour l'interprétation en monotonie.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La somme de tous les rangs

Additionner tous les rangs attribués : le total doit valoir $\dfrac{N(N+1)}{2}$ , ex aequo compris.

Pour $N=12$ , on attend $78$ : un total de $76$ signale un rang moyen mal calculé.
La somme des deux U

$U_{1}+U_{2}$ doit valoir exactement $n_{1}n_{2}$ . C'est le contrôle instantané des deux sommes de rangs.

$26+10=36=6\times 6$ : les deux $U$ sont bons.
Le sens du rejet

Sur Mann-Whitney et Wilcoxon, on rejette pour une statistique PETITE. Se le redire avant de conclure évite la faute la plus coûteuse du chapitre.

Un $U$ de $30$ sur deux groupes de six est proche du maximum $36$ : les groupes se ressemblent, on ne rejette pas.
La probabilité de supériorité reste entre 0 et 1

$\dfrac{U}{n_{1}n_{2}}$ est une proportion de paires : au-delà de $1$ , on a divisé par le mauvais produit.

$\dfrac{26}{36}=0{,}72$ : dans 72 % des paires, un membre du groupe A dépasse un membre du groupe B.

L'exercice type décortiqué

Une échelle de Likert sur deux petits groupes, de bout en bout

Groupe A, six étudiants, réponses sur une échelle de $1$ à $5$ : $2$ , $3$ , $3$ , $4$ , $5$ , $5$ .

Groupe B, six étudiants : $1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $4$ , $4$ .

On demande si les deux groupes diffèrent, et de quelle ampleur.

Étape 1

Échelle ORDINALE et six observations par groupe : ni la moyenne ni la normalité ne sont défendables. Test de MANN-WHITNEY.

Pourquoi

La justification du test précède le calcul et vaut son point. Ce sont les deux mêmes raisons dans presque tous les énoncés du chapitre : échelle ordinale et petit effectif.

Étape 2

Rangs sur les douze valeurs réunies : le $1$ prend le rang $1$ ; les trois $2$ prennent le rang moyen $3$ ; les trois $3$ le rang $6$ ; les trois $4$ le rang $9$ ; les deux $5$ le rang $11{,}5$ . Somme : $78=\dfrac{12\times 13}{2}$ .

Pourquoi

Le contrôle par la somme se fait AVANT de séparer les groupes : une erreur de rang moyen se voit là et nulle part ailleurs.

Étape 3

$R_{A}=3+6+6+9+11{,}5+11{,}5=47$ et $R_{B}=1+3+3+6+9+9=31$ , de somme $78$ .

Pourquoi

On recompte la somme des deux : si elle ne redonne pas $78$ , une observation a été rangée deux fois ou pas du tout.

Étape 4

$U_{A}=47-\dfrac{6\times 7}{2}=26$ et $U_{B}=31-21=10$ ; contrôle : $26+10=36=6\times 6$ .

Pourquoi

Le terme retranché est celui du GROUPE dont on somme les rangs, pas du total. Le contrôle $U_{1}+U_{2}=n_{1}n_{2}$ attrape immédiatement l'erreur.

Étape 5

Le plus petit $U$ vaut $10$ . Valeur critique pour $n_{1}=n_{2}=6$ au seuil bilatéral de 5 % : $5$ . Comme $10>5$ , on NE rejette PAS.

Pourquoi

C'est ici que la moitié des copies se trompe : on rejette pour un $U$ PETIT. Écrire la règle à côté du calcul évite l'inversion.

Étape 6

Ampleur : $\dfrac{U_{A}}{n_{1}n_{2}}=\dfrac{26}{36}\approx 0{,}72$ ; médianes $3{,}5$ pour A et $2{,}5$ pour B.

Pourquoi

L'ampleur est notable et le test ne rejette pas : avec six observations par groupe, la puissance est très faible. Rapporter les deux est la conclusion honnête.

Conclusion rédigée

« Le plus petit $U$ vaut $10$ , au-dessus de la valeur critique $5$ : au seuil de 5 %, les données ne permettent pas de conclure à une différence entre les deux groupes. La médiane est pourtant de $3{,}5$ contre $2{,}5$ et la probabilité de supériorité atteint $0{,}72$ , ce qui justifie de reprendre l'étude sur de plus grands effectifs. »

L'erreur classique sur cet exercice : Comparer $U_{A}=26$ à la valeur critique $5$ et conclure au rejet : c'est le plus PETIT des deux $U$ qui décide, et le rejet demande qu'il soit sous le seuil.

À savoir par cœur

• Les rangs ignorent l'AMPLEUR : remplacer $40$ par $400$ ne change rien.
• EX AEQUO : rang MOYEN des positions occupées, et la somme de tous les rangs vaut $\dfrac{N(N+1)}{2}$ .
• Mann-Whitney : $U_{j}=R_{j}-\dfrac{n_{j}(n_{j}+1)}{2}$ , $U_{1}+U_{2}=n_{1}n_{2}$ , et on rejette pour le PLUS PETIT $U$ .
• Wilcoxon range les ÉCARTS ABSOLUS et suppose la SYMÉTRIE des différences; sans elle, test des signes.
• Spearman mesure la MONOTONIE, pas la linéarité : une exponentielle croissante lui donne $1$ .
• Après un test de rangs, on publie des MÉDIANES et une probabilité de supériorité, jamais des moyennes.
• Efficacité $\dfrac{3}{\pi}\approx 95{,}5$ % sous la loi normale, et supérieure à $1$ sur les distributions à queues lourdes.

Questions fréquentes

Quand faut-il utiliser un test non paramétrique ?

Quand la variable est ordinale, quand les effectifs sont très petits, ou quand la distribution est fortement asymétrique ou contient des valeurs extrêmes. Dans les autres cas, le test t reste préférable : il est un peu plus puissant et il fournit une différence de moyennes avec son intervalle de confiance, ce qu'un test de rangs ne donne jamais.

Comment attribuer les rangs quand il y a des ex aequo ?

Chaque valeur répétée reçoit la moyenne des positions qu'elle occupe. Trois valeurs identiques placées aux positions cinq, six et sept reçoivent donc toutes le rang six. Le contrôle est immédiat : la somme de tous les rangs attribués doit valoir le nombre d'observations multiplié par ce nombre plus un, le tout divisé par deux.

Dans quel sens rejette-t-on avec le test de Mann-Whitney ?

On compare le plus petit des deux U à la valeur critique et on rejette s'il lui est inférieur ou égal. C'est l'inverse de la plupart des tests, où l'on rejette pour une statistique grande. Un U petit signifie qu'un groupe domine largement l'autre dans les comparaisons deux à deux.

Quelle différence entre Spearman et Pearson ?

Pearson mesure la force d'une relation linéaire sur les valeurs elles-mêmes, Spearman fait le même calcul sur les rangs et mesure donc la monotonie. Une courbe croissante sans être droite donne un Spearman de un et un Pearson nettement inférieur. Spearman est aussi beaucoup moins sensible aux valeurs extrêmes.

Comment mesurer l'ampleur après un test de rangs ?

Par la probabilité de supériorité, c'est-à-dire le U divisé par le produit des deux effectifs. Elle donne la proportion de paires dans lesquelles un membre du premier groupe dépasse un membre du second, et elle vaut un demi quand les deux groupes se valent. On l'accompagne des médianes et des quartiles, jamais des moyennes.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les tests non paramétriques

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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