Examen ministériel de mathématique secondaire 4 : épreuve blanche n° 2 corrigée

Les trois questions reposent sur le même réflexe : factoriser d'abord, et lire les valeurs interdites sur l'expression de départ, jamais sur le résultat simplifié.

Étape 1. Lire le graphique.

Une marche par demi-heure et une hausse de $4$ dollars à chaque marche : $|a|=4$ et la longueur d'une marche vaut $0{,}5$ h, donc $|b|=\frac{1}{0{,}5}=2$.

Chaque marche est fermée à droite : à $t=1$ h pile, on paie $8$ dollars, la valeur de la marche du bas.

Étape 2. Choisir les signes.

$\lfloor x\rfloor$ descend : $4\lfloor 2t\rfloor$ ferait payer la tranche terminée. Pour la tranche commencée, on renverse l'axe, car $\lceil x\rceil=-\lfloor -x\rfloor$ :

$C(t)=-4\lfloor -2t\rfloor$, pour $t > 0$

Contrôle : $C(0{,}3)=-4\lfloor -0{,}6\rfloor=4$ ✓ et $C(1)=-4\lfloor -2\rfloor=8$ ✓, la marche du bas.

Même raisonnement pour le voisin, à l'heure commencée : $D(t)=-6\lfloor -t\rfloor$.

Piège : $C(t)=4\lfloor 2t\rfloor$ donne $C(0{,}3)=0$, une première demi-heure gratuite que le graphique ne montre pas.

Étape 3. Comparer marche par marche.

Les deux fonctions ne changent de valeur qu'aux demi-heures : on compare sur chaque intervalle.

$]0\,;0{,}5]$ : $C=4$ et $D=6$, le premier est moins cher.

$]0{,}5\,;1]$ : $C=8$ et $D=6$, le voisin est moins cher.

$]1\,;1{,}5]$ : $C=12$ et $D=12$, égalité.

$]1{,}5\,;2]$ : $16$ contre $12$ ; $]2\,;2{,}5]$ : $20$ contre $18$ ; $]2{,}5\,;3]$ : $24$ contre $18$ ; $]3\,;3{,}5]$ : $28$ contre $24$ ; $]3{,}5\,;4]$ : $32$ contre $24$.

Au-delà de $1{,}5$ h, l'écart ne se referme plus : $C$ augmente de $8$ dollars par heure, $D$ de $6$.

Exemple de contrôle : $2$ h $10$ min, soit $\frac{13}{6}$ h, coûte $C=-4\lfloor -\frac{13}{3}\rfloor=20$ dollars contre $D=18$ dollars ✓.

Piège : écrire $]0{,}5\,;4]$ d'un seul bloc. Sur $]1\,;1{,}5]$, les deux tarifs sont égaux, et l'énoncé demande strictement moins cher.

Conclusion. Le premier tarif suit $C(t)=-4\lfloor -2t\rfloor$. Le voisin est strictement moins cher pour une durée dans $]0{,}5\,;1]\cup]1{,}5\,;4]$.

L'infirmière choisit le premier stationnement pour 30 minutes ou moins, l'un ou l'autre entre 1 h et 1 h 30, et le voisin dans tous les autres cas.

Grille.

Cr2, concepts et processus : lire la longueur et la hauteur des marches, écrire la règle d'une fonction partie entière, renverser l'axe pour la tranche commencée.

Cr3, raisonnement : comparer les deux fonctions intervalle par intervalle, aux instants où l'une d'elles saute, plutôt que par un calcul algébrique qui ne mène nulle part.

Cr4, structuration : une liste ordonnée ou un tableau des intervalles, crochets ouverts à gauche et fermés à droite.

Cr5, justification : l'intervalle d'égalité est repéré, justifié par les deux valeurs, et exclu.

De A à C : la copie qui écrit $C(t)=4\lfloor 2t\rfloor+4$, juste partout sauf aux raccords, puis compare bien les marches, commet une erreur mineure : niveau B au critère 2. Celle qui conclut $]0{,}5\,;4]$ sans examiner les marches ne répond que partiellement : niveau C au critère 3.

Étape 1. Construire la règle.

Le sommet $(4\,;5{,}5)$ est connu : $h(x)=a(x-4)^{2}+5{,}5$, où $x$ est la distance horizontale à la buse, en mètres.

La buse donne $h(0)=1{,}5$ : $16a+5{,}5=1{,}5$, donc $a=-0{,}25$.

Contrôle : le terme constant $1{,}5$ est bien la hauteur de la buse ✓, et $a < 0$ donne une parabole ouverte vers le bas.

Étape 2. La sculpture.

Le jet est au-dessus de $4$ m quand $-0{,}25(x-4)^{2}+5{,}5 > 4$, soit $(x-4)^{2} < 6$ : diviser par $-0{,}25$ renverse le sens.

$4-\sqrt{6} < x < 4+\sqrt{6}$, soit environ $]1{,}55\,;6{,}45[$

La sculpture occupe $[2\,;6]$, contenu dans cet intervalle : le jet passe au-dessus sur toute sa largeur ✓. Aux bords, $h(2)=h(6)=4{,}5$ m, soit $50$ cm de marge.

Étape 3. Le point de chute.

$h(x)=0$ donne $(x-4)^{2}=22$, donc $x=4+\sqrt{22}\approx 8{,}69$ m ; l'autre racine, $4-\sqrt{22}$, est négative, derrière la buse, et se rejette.

Au bord du bassin, $h(8)=-0{,}25\times 16+5{,}5=1{,}5$ m : l'eau y est encore à $1{,}5$ m de haut, et elle retombe environ $0{,}69$ m après le bord.

Étape 4. Corriger.

Il faut reculer le bord du bassin à au moins $8{,}69$ m de la buse, soit d'au moins $70$ cm.

Piège : proposer de « resserrer » la parabole en passant $a$ à $-0{,}5$ sans déplacer le sommet. On aurait alors $h(0)=-0{,}5\times 16+5{,}5=-2{,}5$ m : la buse serait sous le sol. Le sommet et la buse déterminent déjà la parabole ; on ne peut pas imposer en plus la valeur de $a$.

Conclusion. Le jet passe au-dessus de la sculpture, avec au moins $50$ cm de marge, mais il retombe à environ $8{,}69$ m de la buse, hors du bassin.

La première exigence est respectée, la seconde ne l'est pas : il faut reculer le bord du bassin d'au moins $70$ cm.

Grille.

Cr2, concepts et processus : règle sous forme canonique à partir du sommet et d'un point, inéquation du second degré avec renversement du sens, zéros par extraction de la racine.

Cr3, raisonnement : traduire « passer au-dessus de la sculpture » en une condition sur toute la largeur $[2\,;6]$, pas en un seul point.

Cr4, structuration : la règle établie avant toute exploitation, une étape par exigence.

Cr5, justification : vérifier seulement $h(2)$ et $h(6)$ suffit, à condition de dire que le sommet est entre les deux et que la parabole est ouverte vers le bas ; la racine négative est rejetée en le disant.

De A à C : la copie qui vérifie seulement $h(4)=5{,}5 > 4$ conclut juste pour la sculpture, mais sans preuve : une exigence à moitié traitée, niveau C au critère 3. Celle qui trouve la portée sans proposer de correction perd au critère 5.

Étape 1. Le volume du cône actuel.

$V=\dfrac{\pi r^{2}h}{3}=\dfrac{\pi\times 36\times 15}{3}=180\pi\approx 565{,}49$ cm³

On garde $180\pi$ : le $\pi$ va se simplifier.

Étape 2. Le contenant cylindrique équivalent.

Même volume et même hauteur : $\pi R^{2}\times 15=180\pi$, donc $R^{2}=12$ et $R=2\sqrt{3}\approx 3{,}46$ cm.

Contrôle : à hauteur égale, un cylindre doit être plus étroit qu'un cône effilé, et $3{,}46 < 6$ ✓.

Piège : diviser le rayon par $3$, ce qui donne $2$ cm, au lieu de diviser le carré du rayon : $R^{2}=\frac{36}{3}$.

Étape 3. Le cône agrandi.

Les volumes de deux solides semblables sont dans le rapport $k^{3}$ : $k^{3}=2$, donc $k=\sqrt[3]{2}\approx 1{,}26$.

Rayon $6k\approx 7{,}56$ cm et hauteur $15k\approx 18{,}90$ cm.

Contrôle : $\frac{\pi(6k)^{2}(15k)}{3}=180\pi k^{3}=360\pi\approx 1\,130{,}97$ cm³, le double de $565{,}49$ cm³ ✓.

Étape 4. La tôle de la paroi.

La paroi d'un cône est son aire latérale $\pi r a$, où l'apothème $a$ se calcule par Pythagore : $a=\sqrt{6^{2}+15^{2}}=\sqrt{261}\approx 16{,}16$ cm.

$\mathcal{A}=\pi\times 6\times\sqrt{261}\approx 304{,}52$ cm²

Les aires de solides semblables sont dans le rapport $k^{2}=\sqrt[3]{4}\approx 1{,}59$ :

$\mathcal{A}'\approx 304{,}52\times 1{,}5874\approx 483{,}40$ cm²

La tôle augmente d'environ $59$ %, et non de $100$ %.

Conclusion. Le contenant cylindrique doit avoir un rayon de $2\sqrt{3}\approx 3{,}46$ cm.

L'affirmation du fabricant est fausse : doubler le volume multiplie la tôle par $\sqrt[3]{4}\approx 1{,}59$, soit environ $59$ % de plus, $483{,}40$ cm² au lieu de $304{,}52$ cm². C'est l'intérêt des grands contenants : ils demandent proportionnellement moins de matériau.

Grille. Situation de catégorie II : invalider une affirmation par un argument mathématique.

Cr2, concepts et processus : volumes du cône et du cylindre, rapport $k^{3}$ des volumes et $k^{2}$ des aires, apothème par Pythagore.

Cr3, raisonnement : distinguer équivalent, même volume et forme nouvelle, donc une équation à résoudre, et semblable, même forme et rapport $k$.

Cr4, structuration : la grandeur de chaque ligne nommée, volume ou aire, avec son unité.

Cr5, justification : la prise de position s'appuie sur le rapport $k^{2}\approx 1{,}59$ ou sur les deux aires calculées ; écrire « l'aire ne double pas » sans chiffre ne suffit pas.

De A à C : la copie qui prend $k=\sqrt{2}$, en appliquant aux volumes le rapport des aires, trouve que la tôle double et donne raison au fabricant. C'est une erreur conceptuelle, pas une erreur mineure : niveau C au critère 2, même si le cylindre est juste.

Étape 1. Poser la variable.

On note $x$ la largeur du cadre, en centimètres, avec $x > 0$. Le cadre déborde de $x$ de chaque côté : l'ensemble mesure $60+2x$ sur $40+2x$.

Piège : écrire $60+x$, comme si le cadre n'était posé que d'un seul côté.

Étape 2. La contrainte d'aire.

Le miroir couvre $60\times 40=2\,400$ cm², l'ensemble doit donc couvrir $4\,800$ cm² :

$4x^{2}+200x+2\,400=4\,800$, soit, après division par $4$, $x^{2}+50x-600=0$

Étape 3. Résoudre.

$\Delta=50^{2}+4\times 600=4\,900$ et $\sqrt{\Delta}=70$

$x=\dfrac{-50+70}{2}=10$ ou $x=\dfrac{-50-70}{2}=-60$, rejetée car une largeur est positive.

Contrôle : l'ensemble mesure $80$ cm sur $60$ cm, soit $4\,800$ cm² ✓.

Étape 4. Le coût de la moulure.

La moulure fait le tour extérieur : $2\times(80+60)=280$ cm, soit $2{,}80$ m.

Coût : $2{,}80\times 18=50{,}40$ dollars, plus que les $40$ dollars disponibles : il manque $10{,}40$ dollars, environ $26$ % du budget.

Piège : le périmètre du miroir, $200$ cm, sous-estime le coût de $14{,}40$ dollars.

Étape 5. Ce que 40 dollars permettent.

$\frac{40}{18}\approx 2{,}2222$ m, soit environ $222{,}22$ cm de moulure.

$2\left((60+2x)+(40+2x)\right)=200+8x=222{,}22$, donc $x\approx 2{,}78$ cm

L'ensemble couvrirait alors environ $2\,986{,}42$ cm², soit $1{,}24$ fois l'aire du miroir : loin du double.

Conclusion. Le cadre demandé mesure $10$ cm de large et demande $50{,}40$ dollars de moulure : le budget de $40$ dollars est insuffisant de $10{,}40$ dollars.

Avec ce budget, le cadre ne mesurerait qu'environ $2{,}78$ cm et l'aire n'augmenterait que d'environ $24$ %. L'ébéniste doit augmenter son budget d'un peu plus du quart, ou renoncer à doubler l'aire.

Grille.

Cr2, concepts et processus : aire d'un rectangle, équation du second degré résolue par le discriminant, périmètre, équation du premier degré.

Cr3, raisonnement : séparer les deux grandeurs, l'aire pour l'exigence et la longueur pour le budget, et traiter le cas où le budget ne suffit pas.

Cr4, structuration : la variable définie avec son unité, l'équation écrite avant d'être développée.

Cr5, justification : le rejet de $-60$ expliqué, la comparaison $50{,}40 > 40$ écrite, une réponse chiffrée à la troisième exigence.

De A à C : avec $60+x$ et $40+x$, la copie trouve $x=20$ cm sur un modèle faux dès la première ligne ; la suite peut être bien menée, mais elle ne répond qu'à certaines exigences : niveau C au critère 3.

Étape 1. Choisir les outils.

On nomme $A$ le sommet de l'angle de $78^{\circ}$, avec $AB=82$ m et $AC=64$ m.

Le triangle n'est pas rectangle : Pythagore donnerait $\sqrt{82^{2}+64^{2}}\approx 104{,}02$ m, une erreur de plus de $11$ m.

Deux côtés et l'angle compris : loi des cosinus pour le troisième côté, formule $\mathcal{A}=\frac{1}{2}bc\sin\widehat{A}$ pour l'aire.

Étape 2. Le troisième côté.

$BC^{2}=82^{2}+64^{2}-2\times 82\times 64\times\cos 78^{\circ}\approx 8\,637{,}76$, donc $BC\approx 92{,}94$ m

Cohérent : l'angle est un peu inférieur à $90^{\circ}$, donc $BC$ est un peu inférieur aux $104{,}02$ m de l'angle droit ✓.

Étape 3. La clôture.

$P\approx 82+64+92{,}94=238{,}94$ m, et la clôture coûte $238{,}94\times 24\approx 5\,734{,}55$ dollars.

Étape 4. L'aire et le gazon.

$\mathcal{A}=\frac{1}{2}\times 82\times 64\times\sin 78^{\circ}\approx 2\,566{,}66$ m²

Le gazon coûte $2\,566{,}66\times 3{,}50\approx 8\,983{,}31$ dollars.

Contrôle par la formule de Héron, qui n'utilise que les trois côtés : avec $p\approx 119{,}47$, $\sqrt{p(p-82)(p-64)(p-92{,}94)}\approx 2\,566{,}66$ m² ✓.

Étape 5. Le budget et le permis.

Total : $5\,734{,}55+8\,983{,}31=14\,717{,}86$ dollars, sous les $15\,000$ dollars : le budget suffit, avec une marge de $282{,}14$ dollars, environ $1{,}9$ %.

$2\,566{,}66\geq 2\,500$ : le terrain est constructible, avec une marge de $66{,}66$ m², environ $2{,}7$ %.

Ces marges sont faibles : avec un angle de $72^{\circ}$ au lieu de $78^{\circ}$, l'aire tomberait à $2\,495{,}57$ m² et le terrain ne serait plus constructible.

Conclusion. Le projet coûte environ $14\,717{,}86$ dollars et tient dans le budget de $15\,000$ dollars. Le terrain, d'environ $2\,566{,}66$ m², est constructible, mais de justesse : le propriétaire devrait faire confirmer l'angle par un arpenteur avant d'engager les travaux.

Grille.

Cr2, concepts et processus : loi des cosinus, aire par le sinus, périmètre, calcul de coûts.

Cr3, raisonnement : reconnaître la configuration côté, angle, côté sans que l'énoncé nomme l'outil, puis répondre aux deux questions, budget et permis.

Cr4, structuration : une étape par grandeur, les arrondis repoussés à la fin.

Cr5, justification : deux comparaisons chiffrées, $14\,717{,}86\le 15\,000$ et $2\,566{,}66\geq 2\,500$, et la faiblesse des marges signalée.

De A à C : la copie qui applique Pythagore obtient un troisième côté trop long de $11{,}08$ m et une aire de triangle rectangle, $2\,624$ m² : un concept inapproprié, niveau C au critère 2, même si la suite est cohérente.

Étape 1. Décrire le nuage.

Le nuage s'aligne le long d'une droite croissante, sans courbure ni point aberrant. La calculatrice donne $r\approx 0{,}996$ : la corrélation linéaire est très forte et positive, une droite est légitime.

Cette corrélation ne prouve pas à elle seule que la masse cause la consommation, même si la physique le rend plausible.

Étape 2. Les trois points médians.

Données ordonnées selon la masse, trois groupes de trois. On prend la médiane des abscisses et celle des ordonnées séparément :

$M_{1}(1\,100\,;6{,}6)$, $M_{2}(1\,500\,;8{,}5)$ et $M_{3}(1\,900\,;9{,}8)$

Étape 3. La droite médiane-médiane.

La pente vient des deux points extrêmes : $a=\dfrac{9{,}8-6{,}6}{1\,900-1\,100}=\dfrac{3{,}2}{800}=0{,}004$

La droite passe par le point moyen des trois points médians, $(1\,500\,;8{,}3)$ : $b=8{,}3-0{,}004\times 1\,500=2{,}3$.

Étape 4. Les trois prises de position.

Première affirmation : $1\,000\times 0{,}004=4$ L aux 100 km. Elle est vraie dans la plage étudiée, de $950$ à $2\,150$ kg.

Deuxième affirmation : $0{,}004\times 800+2{,}3=5{,}5$ L, le nombre annoncé. Mais $800$ kg est hors de la plage observée : c'est une extrapolation, que rien ne justifie. Le modèle prédirait d'ailleurs $2{,}3$ L pour une masse nulle, ce qui est absurde.

Consommation annoncée : le modèle prévoit $0{,}004\times 1\,750+2{,}3=9{,}3$ L, contre $8{,}6$ L annoncés. L'écart de $0{,}7$ L dépasse trois fois le plus grand écart observé entre un véhicule et le modèle, $0{,}2$ L : l'annonce est douteuse.

Piège : valider la deuxième affirmation parce que le calcul tombe juste. Un calcul exact ne rend pas une extrapolation valide.

Conclusion. Le lien est linéaire, positif et très fort, modélisé par $y=0{,}004x+2{,}3$.

La première affirmation est vraie dans la plage étudiée ; la seconde donne le bon nombre mais repose sur une extrapolation, elle ne peut pas être validée ; la consommation annoncée pour le modèle de $1\,750$ kg est nettement sous le modèle, au-delà de la dispersion observée : le gestionnaire devrait exiger un essai routier.

Grille. Situation de catégorie II : prendre position sur trois énoncés à l'aide d'arguments mathématiques.

Cr2, concepts et processus : coefficient de corrélation, méthode médiane-médiane, avec trois groupes, trois points médians, une pente par $M_{1}$ et $M_{3}$ et le passage par le point moyen.

Cr3, raisonnement : examiner, pour chaque énoncé, le domaine de validité du modèle et l'écart à la dispersion du nuage.

Cr4, structuration : les trois énoncés traités dans l'ordre, chacun avec son calcul et sa phrase.

Cr5, justification : chaque position appuyée, la plage $[950\,;2\,150]$ pour l'extrapolation, l'écart de $0{,}7$ L contre $0{,}2$ L pour l'annonce.

De A à C : la copie qui calcule bien la droite, valide la deuxième affirmation sur la foi du calcul et ne compare pas l'écart de $0{,}7$ L à la dispersion ne justifie qu'une de ses trois positions : niveau C au critère 5, même avec un critère 2 au niveau A.