Exercices corrigés de SNT : localisation, cartographie et mobilité

a) La latitude est l'angle entre le plan de l'équateur et la direction du lieu vu depuis le centre de la Terre : son origine est l'équateur et elle varie de $-90°$ au pôle Sud à $+90°$ au pôle Nord. La longitude est l'angle, mesuré dans le plan équatorial, entre le méridien du lieu et le méridien de référence de Greenwich : elle varie de $-180°$ à $+180°$. La latitude est de très loin la plus facile à mesurer, parce que la hauteur du Soleil à midi ou celle de l'étoile Polaire la donnent directement, avec un simple instrument de visée. La longitude, elle, exige de comparer l'heure locale à l'heure d'un méridien de référence, donc de transporter une horloge exacte : c'est le problème qui est resté ouvert jusqu'au XVIIIe siècle.

b) Une minute d'angle vaut un soixantième de degré et une seconde un trois-mille-six-centième. Donc $45° 30' 18'' = 45 + 30/60 + 18/3600 = 45 + 0{,}5 + 0{,}005 = 45{,}5050°$. Le contrôle immédiat : la partie décimale doit rester inférieure à 1, et 30 minutes doivent donner exactement un demi-degré. Une conversion qui produirait $45{,}3018$ trahit une lecture de la notation comme un nombre décimal, erreur qui coûte toute la question.

c) La latitude Nord est positive, donc $+45{,}50$. La longitude Ouest est négative, donc $-73{,}57$. Les coordonnées signées de Montréal sont $(45{,}50\ ;\ -73{,}57)$. Cette convention évite l'erreur classique du signe oublié, qui projette le point à la même latitude mais en Asie centrale, à plus de dix mille kilomètres. Toutes les bases de données géographiques stockent des valeurs signées, jamais des lettres N, S, E, O.

d) Non, ils ne sont pas à la même distance, sauf exactement à l'équateur. Un degré de latitude correspond toujours au même arc de méridien, puisque tous les méridiens sont des grands cercles de même rayon. Un degré de longitude, en revanche, correspond à un arc de PARALLÈLE, et les parallèles rétrécissent quand on s'éloigne de l'équateur : à Montréal, un degré de longitude vaut nettement moins qu'un degré de latitude. C'est la raison géométrique pour laquelle les cartes déforment autant les hautes latitudes.

e) L'ellipsoïde est une surface mathématique lisse qui approche la forme de la Terre ; le géoïde est la surface d'équilibre des mers, qui suit les irrégularités du champ de pesanteur et s'écarte de l'ellipsoïde de plusieurs dizaines de mètres. Un récepteur GPS calcule naturellement une altitude par rapport à l'ELLIPSOÏDE, alors que les cartes donnent des altitudes par rapport au géoïde : sans correction, l'écart affiché peut atteindre trente mètres et surprendre l'utilisateur, sans qu'aucune erreur de mesure soit en cause.

a) Avec un seul satellite, connaître la distance $d$ ne dit qu'une chose : le point cherché est sur le cercle de centre le satellite et de rayon $d$. Il reste une infinité de possibilités. Avec deux satellites, on intersecte deux cercles : dans le cas général, cette intersection contient DEUX points, pas un. Il faut donc une troisième mesure pour lever l'ambiguïté. La règle générale se retient bien : dans le plan, chaque distance retire une dimension d'incertitude, et il faut autant de mesures indépendantes que de coordonnées à trouver, plus une pour trancher entre les solutions symétriques.

b) Dans l'espace il faut trois satellites pour la géométrie pure. Deux sphères se coupent selon un cercle, et une troisième sphère coupe ce cercle en deux points. En pratique, l'un des deux points est absurde, situé à des milliers de kilomètres de la surface terrestre ou en mouvement à une vitesse impossible : le récepteur l'élimine sans hésiter, et il ne reste qu'un point.

c) L'inconnue supplémentaire est le DÉCALAGE de l'horloge du récepteur. Les satellites portent des horloges atomiques synchronisées ; le récepteur, lui, porte une horloge à quartz bon marché, dont le décalage par rapport au temps du système est inconnu. Il y a donc quatre inconnues, les trois coordonnées et ce décalage, ce qui exige quatre équations, donc quatre satellites. C'est la raison pour laquelle un récepteur affiche l'heure avec une exactitude extraordinaire : il l'a calculée en même temps que la position, et il ne pouvait pas faire autrement.

d) Le signal se propage à la vitesse de la lumière $c$. Le satellite date son message ; le récepteur note l'instant d'arrivée ; la différence donne une durée $t$, et la distance vaut $d = c \times t$. Le mot trilatération est plus juste que triangulation parce qu'on mesure des LATÉRALES, c'est-à-dire des longueurs, et non des angles. Une triangulation, comme celle des géomètres du XIXe siècle, part d'angles visés depuis des sommets connus ; le GPS ne mesure aucun angle.

e) Si les trois satellites sont vus dans la même direction, les trois cercles se coupent sous un angle très aigu : une petite erreur sur l'une des distances déplace énormément le point d'intersection le long de la direction commune. Si les satellites sont bien répartis, les cercles se coupent presque perpendiculairement, et la même erreur de distance ne déplace le point que d'autant. La qualité d'une position ne dépend donc pas seulement de la qualité des mesures, mais de la GÉOMÉTRIE de la configuration : c'est pourquoi un récepteur au fond d'une rue étroite, qui ne voit que la bande de ciel au-dessus de lui, se trompe bien plus qu'en terrain découvert.

a) La distance vaut $20\ 200$ km, soit $2{,}02 \times 10^{7}$ m. La durée vaut $t = d / c = 2{,}02 \times 10^{7} / 3{,}00 \times 10^{8} \approx 6{,}73 \times 10^{-2}$ s, soit environ $67{,}3$ millisecondes. Un ordre de grandeur à retenir : le signal met environ un quinzième de seconde à descendre, et c'est déjà bien plus que le temps de réaction d'un être humain.

b) Une microseconde vaut $10^{-6}$ s. L'erreur de distance vaut $3{,}00 \times 10^{8} \times 10^{-6} = 300$ m. Une erreur d'horloge d'un millionième de seconde décale donc la position de trois cents mètres, ce qui rendrait le système inutilisable pour la navigation. C'est exactement pour cela que le décalage d'horloge du récepteur est traité comme une inconnue à part entière, et non comme une petite imperfection à négliger.

c) Il faut $t = d / c = 5 / (3{,}00 \times 10^{8}) \approx 1{,}67 \times 10^{-8}$ s, soit environ $16{,}7$ nanosecondes. Autrement dit, pour savoir où l'on est à cinq mètres près, il faut savoir quelle heure il est à seize milliardièmes de seconde près. C'est la phrase qui résume le chapitre : le GPS est un problème d'horlogerie déguisé en problème de géométrie.

d) L'écart vaut $38$ microsecondes, soit $3{,}8 \times 10^{-5}$ s. L'erreur de distance correspondante vaut $3{,}00 \times 10^{8} \times 3{,}8 \times 10^{-5} = 1{,}14 \times 10^{4}$ m, soit environ $11{,}4$ km par jour. Sans correction relativiste, le système deviendrait inutilisable en quelques minutes et absurde au bout d'une journée. C'est l'application pratique de la relativité la plus utilisée au monde.

e) L'erreur de distance vaut $3{,}00 \times 10^{8} \times 30 \times 10^{-9} = 9$ m. La durée mesurée étant trop GRANDE, la distance calculée est trop grande elle aussi : le récepteur se croit plus loin du satellite qu'il ne l'est réellement. La correction se fait en comparant deux fréquences porteuses, car le retard ionosphérique dépend de la fréquence, ce qui permet de le mesurer au lieu de l'estimer.

a) La latitude est écrite en degrés et minutes accolés : 4530.3000 se lit $45°$ et $30{,}3000'$, soit $45 + 30{,}3/60 = 45{,}5050°$. Le N donne un signe positif : $+45{,}5050$. La longitude 07334.2000 se lit $73°$ et $34{,}2000'$, soit $73 + 34{,}2/60 = 73{,}5700°$, et le W donne un signe négatif : $-73{,}5700$. Le piège de ce format est le découpage : ce ne sont pas des degrés décimaux, et les deux ou trois premiers chiffres seulement forment le nombre de degrés.

b) L'heure UTC est 14 h 23 min 17 s. En retirant cinq heures on obtient 9 h 23 min 17 s, heure locale à Montréal en hiver. Le récepteur ne transmet jamais l'heure locale parce qu'il ne connaît pas le fuseau : celui-ci dépend de frontières politiques et de règles de changement d'heure qui ne se déduisent d'aucune mesure physique. Le temps universel coordonné est la seule référence sans ambiguïté, et la conversion est laissée au logiciel qui, lui, dispose d'une base de données des fuseaux.

c) Première raison, la GÉOMÉTRIE : plus il y a de satellites, plus on a de chances d'en avoir de bien répartis, ce qui abaisse la dilution de la précision. Seconde raison, la REDONDANCE : avec plus d'équations que d'inconnues, le récepteur ajuste au mieux et détecte les mesures aberrantes, par exemple un signal ayant rebondi sur une façade. Une troisième raison compte en ville : les satellites disparaissent et réapparaissent derrière les immeubles, et une réserve permet de ne jamais tomber sous le seuil de quatre.

d) Erreur estimée : $0{,}9 \times 3 = 2{,}7$ m, ce qui est excellent. Avec un indicateur de $6{,}5$, l'erreur passerait à $6{,}5 \times 3 = 19{,}5$ m, soit sept fois plus, alors que la qualité des mesures n'a pas changé d'un iota. C'est la démonstration chiffrée de la question e de l'exercice 2 : en ville, ce n'est pas le récepteur qui se dégrade, c'est le ciel qui se rétrécit.

e) Avec 3 satellites il ne peut plus résoudre les quatre inconnues. Il peut encore calculer une position s'il accepte de FIXER l'une d'elles : l'astuce courante consiste à supposer l'altitude connue, par exemple celle du dernier point calculé ou celle du sol donnée par une carte. Il obtient alors une position à deux dimensions, dite calage 2D, dont la latitude et la longitude restent utilisables mais dont l'altitude n'est plus une mesure. Ce qu'il perd, c'est donc l'altitude et une part de la fiabilité, puisqu'une hypothèse fausse sur l'altitude contamine les deux autres coordonnées.

a) Le niveau $n$ découpe chaque côté en $2^{n}$ parts, donc il compte $2^{n} \times 2^{n} = 4^{n}$ tuiles. Au niveau 3 : $4^{3} = 64$ tuiles. Au niveau 19 : $4^{19} = 274\ 877\ 906\ 944$ tuiles, soit près de 275 milliards. Le nombre quadruple à chaque niveau, ce qui explique qu'aucun service ne pré-calcule les niveaux profonds sur toute la Terre : ils sont produits à la demande, et seulement là où quelqu'un regarde.

b) Le niveau 12 compte $4^{12} = 16\ 777\ 216$ tuiles. À 18 kio chacune, cela pèse $16\ 777\ 216 \times 18 = 301\ 989\ 888$ kio, soit $301\ 989\ 888 / 1\ 048\ 576 \approx 288$ Gio. Un seul niveau de zoom, à mi-parcours, pèse donc déjà près de trois cents gibioctets.

c) Parce que l'on ne transmet et ne dessine que ce qui est visible. Une image unique du niveau 12 obligerait à télécharger 288 Gio pour afficher un écran de téléphone. Avec des tuiles, l'écran demande une vingtaine d'images de 18 kio, soit moins d'un demi-mébioctet, et le reste n'est jamais lu. Le découpage permet en outre de mettre les tuiles en cache, de les servir depuis un serveur proche et de ne recalculer que les tuiles modifiées lors d'une mise à jour.

d) Une projection est une règle qui associe à chaque point de la sphère un point du plan. Le théorème qui rend toute carte fausse est le theorema egregium de Gauss : une sphère et un plan n'ont pas la même courbure, donc aucune application de l'une sur l'autre ne peut conserver toutes les distances. Une projection doit donc choisir ce qu'elle sacrifie. Celle qu'emploient la plupart des cartes en ligne conserve les ANGLES, donc les formes locales, ce qui est ce que l'on veut pour naviguer ; en contrepartie elle dilate énormément les surfaces vers les pôles, au point que le Groenland y paraît aussi grand que l'Afrique alors qu'il est quatorze fois plus petit.

e) L'échelle $1 : 25\ 000$ signifie qu'un centimètre sur la carte vaut $25\ 000$ cm sur le terrain. Donc $7{,}2$ cm valent $7{,}2 \times 25\ 000 = 180\ 000$ cm, soit $1\ 800$ m, c'est-à-dire $1{,}8$ km. Sur une carte numérique, l'échelle affichée est approximative pour deux raisons : la projection dilate différemment selon la latitude, si bien qu'une même barre d'échelle ne vaut pas la même chose à Montréal et à l'équateur ; et la taille réelle d'un pixel dépend de l'écran, si bien que la même carte n'a pas la même échelle sur un téléphone et sur un moniteur.

a) La circonférence d'un grand cercle vaut $2 \pi R = 2 \pi \times 6\ 371 \approx 40\ 030$ km. Un degré en est la trois-cent-soixantième partie, soit $40\ 030 / 360 \approx 111{,}2$ km. Une minute d'angle vaut le soixantième de ce nombre, soit $111{,}2 / 60 \approx 1{,}853$ km. Ce nombre porte un nom : c'est le MILLE MARIN, défini précisément comme la longueur d'une minute d'arc de méridien. Toute la navigation maritime repose sur cette coïncidence commode, qui n'en est pas une puisque le mille a été défini ainsi.

b) Les deux villes étant sur le même méridien, la distance est un arc de grand cercle. L'écart de latitude vaut $48{,}85 - 45{,}50 = 3{,}35°$. La distance vaut donc $3{,}35 \times 111{,}2 \approx 372{,}5$ km. C'est le seul cas où le calcul est immédiat : dès que les longitudes diffèrent aussi, il faut la formule complète des distances sphériques.

c) Le parallèle de latitude $\varphi$ est un cercle dont le rayon n'est pas $R$ mais $R \cos \varphi$, puisque le point du globe se trouve à la distance $R \cos \varphi$ de l'axe des pôles. Un degré de longitude est un degré d'arc sur ce cercle plus petit : sa longueur vaut donc $2 \pi R \cos \varphi / 360$, c'est-à-dire la longueur d'un degré de latitude multipliée par $\cos \varphi$. À Montréal, $\cos(45{,}50°) \approx 0{,}7009$, donc un degré de longitude vaut $111{,}2 \times 0{,}7009 \approx 77{,}9$ km, soit trente pour cent de moins qu'un degré de latitude.

d) La distance vaut $0{,}25 \times 77{,}9 \approx 19{,}5$ km. À titre de comparaison, $0{,}25°$ de latitude vaudrait $0{,}25 \times 111{,}2 \approx 27{,}8$ km : le même écart de coordonnée donne des distances qui diffèrent de plus de huit kilomètres selon l'axe. C'est exactement pourquoi on ne peut pas calculer une distance en appliquant Pythagore à des différences de degrés sans corriger la longitude par le cosinus de la latitude.

e) Rien d'anormal : la distance affichée est bien la plus courte, mesurée le long du grand cercle qui joint les deux villes. Or sur une carte en projection conforme, un grand cercle ne se dessine PAS comme une droite ; il apparaît comme un arc qui remonte vers le nord. La trajectoire qui semble faire un détour par le Groenland est en réalité la plus courte, et la ligne droite tracée sur la carte serait plus longue. La carte ment sur ce point précis, et l'avion a raison.

a) Les chemins simples de A à G sont : A-B-C-G, soit $4+5+2 = 11$ min ; A-B-E-G, soit $4+4+5 = 13$ min ; A-B-E-C-G, soit $4+4+3+2 = 13$ min ; A-B-C-E-G, soit $4+5+3+5 = 17$ min ; A-D-E-G, soit $3+6+5 = 14$ min ; A-D-E-C-G, soit $3+6+3+2 = 14$ min ; A-D-E-B-C-G, soit $3+6+4+5+2 = 20$ min. Il faut être systématique : on fixe le premier pas, B ou D, puis on développe. Sauter un chemin est l'erreur la plus fréquente, et c'est aussi ce qui rend la méthode inutilisable en vrai.

b) Le trajet le plus rapide est A-B-C-G, en 11 minutes. Ce n'est pas le trajet comportant le moins de routes : A-B-C-G en compte trois, tout comme A-B-E-G et A-D-E-G, mais ces deux derniers durent 13 et 14 minutes. La leçon est que dans un graphe PONDÉRÉ, le plus court n'est plus celui qui a le moins d'arêtes : c'est la somme des poids qui décide, et il arrive régulièrement qu'un chemin plus long en nombre d'étapes soit plus rapide.

c) Avec B-C à 12 minutes, le chemin A-B-C-G passe à $4+12+2 = 18$ min. Les autres ne changent pas : A-B-E-G reste à 13, A-B-E-C-G reste à 13, A-D-E-G reste à 14. Le meilleur devient donc A-B-E-G, ou A-B-E-C-G, en 13 minutes. Conclusion : la modification d'UNE seule arête a changé l'itinéraire optimal de bout en bout. C'est pourquoi un service de navigation recalcule en continu à partir des temps observés, et non une fois pour toutes au départ.

d) Parce que traiter les carrefours par durée croissante garantit qu'au moment où l'on sort un carrefour de la file, la durée qu'on lui a attribuée est DÉFINITIVE : aucun chemin découvert plus tard ne pourra faire mieux, puisque tous les chemins restants passent par des carrefours déjà plus lointains, et que les poids sont positifs. Cette garantie est ce qui permet de ne jamais revenir en arrière, donc de traiter chaque carrefour une seule fois. Elle tombe si un poids est négatif, cas qui n'existe pas pour des temps de trajet.

e) Le nombre de chemins simples dans un graphe croît de façon combinatoire avec le nombre de sommets : sur 40 000 carrefours il dépasse tout ce qui est calculable, et de très loin. L'algorithme de la question d, lui, examine chaque route au plus une fois depuis chacune de ses extrémités et fait un travail proportionnel à environ $90\ 000$ routes, plus le coût de la gestion de la file, soit de l'ordre de $90\ 000 + 40\ 000 \times \log_{2}(40\ 000) \approx 90\ 000 + 611\ 000$, c'est-à-dire moins d'un million d'opérations élémentaires. Un ordinateur fait cela en quelques millisecondes. L'écart entre les deux méthodes n'est pas une question de puissance de machine, c'est une question d'algorithme.

1) FAUX, et l'erreur est structurante. Le système GPS est purement DESCENDANT : les satellites émettent, le récepteur écoute et calcule tout seul. Il n'émet rien. Énoncé correct : un récepteur GPS reçoit les signaux datés des satellites et calcule sa position localement ; le système ne sait pas combien de récepteurs existent ni où ils sont. C'est ce qui permet un nombre illimité d'utilisateurs simultanés.

2) FAUX. La géométrie n'en demande que trois, mais le récepteur a quatre inconnues, les trois coordonnées et le décalage de sa propre horloge, donc il lui faut quatre satellites. Énoncé correct : quatre satellites sont nécessaires pour un calage complet ; avec trois, le récepteur ne peut donner une position qu'en supposant l'altitude connue, et cette position est dégradée.

3) FAUX, sauf exactement à l'équateur. Un degré de latitude vaut toujours environ $111{,}2$ km, alors qu'un degré de longitude vaut $111{,}2 \times \cos \varphi$ km, donc environ $77{,}9$ km à Montréal. Énoncé correct : un degré de longitude rétrécit avec la latitude, en $\cos \varphi$, parce que les parallèles sont des cercles plus petits que les méridiens.

4) FAUX dans un graphe pondéré. Sur le réseau de l'exercice 7, trois chemins comptent trois routes et durent 11, 13 et 14 minutes. Énoncé correct : le trajet le plus rapide minimise la SOMME DES POIDS des arêtes, pas leur nombre ; les deux ne coïncident que si toutes les arêtes ont le même poids.

5) FAUX. Couper le récepteur satellitaire supprime une source de position, pas toutes. Le téléphone reste localisable par l'opérateur grâce aux antennes auxquelles il se rattache, par recoupement des réseaux sans fil visibles, et par les adresses réseau qu'il utilise. Énoncé correct : désactiver la localisation empêche les applications d'obtenir une position précise ; elle ne rend le téléphone ni invisible ni indétectable, et seule l'extinction complète supprime le rattachement au réseau.

a) En une heure il y a $60 / 5 = 12$ positions, donc $12 \times 24 = 288$ par jour et $288 \times 365 = 105\ 120$ par an. Cent mille points par personne et par an, c'est déjà un journal de bord extrêmement détaillé.

b) Le volume annuel vaut $105\ 120 \times 24 = 2\ 522\ 880$ octets, soit $2\ 522\ 880 / 1\ 048\ 576 \approx 2{,}41$ Mio. Une seule photographie de 4 Mio pèse donc plus lourd qu'une année entière de trace. Conclusion : le coût de stockage n'est jamais un frein à la collecte de position. Rien, techniquement, ne pousse à limiter cette collecte ; seule une règle juridique ou une décision de conception le fait.

c) Trois étapes. Un, REGROUPER les points par proximité géographique, ce qui fait apparaître quelques dizaines de lieux fréquentés au lieu de cent mille points. Deux, CROISER avec l'heure : le lieu où le téléphone passe la plupart des nuits, entre minuit et six heures, est le domicile ; celui où il passe les matinées des jours ouvrés, hors vacances scolaires, est l'établissement. Trois, GÉOCODER ces deux lieux, c'est-à-dire convertir les coordonnées en adresse postale à l'aide d'une base publique. Aucune de ces trois étapes ne demande de renseignement extérieur à la trace.

d) Le mécanisme est identique à celui de la ré-identification par quasi-identifiants : aucun point pris isolément ne désigne quelqu'un, mais la COMBINAISON de plusieurs attributs banals réduit très vite le nombre de personnes compatibles. Ici, chaque point ajouté multiplie le pouvoir discriminant, parce que la probabilité que deux personnes se trouvent aux quatre mêmes endroits aux quatre mêmes moments est infime. Une trajectoire est en réalité une signature, au même titre qu'une empreinte, et l'appeler anonyme parce qu'elle ne porte pas de nom est une erreur de raisonnement, pas un abus de langage.

e) Trois usages légitimes : mesurer les flux de circulation pour dimensionner les transports en commun ; détecter en temps réel un embouteillage ou un accident à partir du ralentissement d'un groupe de véhicules ; évaluer la fréquentation d'un quartier commerçant pour décider d'un aménagement. La condition pour que l'agrégation protège réellement est un SEUIL : ne publier une valeur agrégée que si elle porte sur un nombre suffisant de personnes, faute de quoi une case peu fréquentée désigne à nouveau un individu. Une agrégation sans seuil n'est qu'un déguisement.

a) Total : $940 + 1\ 620 + 1\ 180 + 640 + 220 = 4\ 600$ trajets, ce qui confirme l'énoncé. Tranche 2-5 km : $1\ 620 / 4\ 600 \approx 0{,}3522$, soit $35{,}2$ pour cent. Tranche 5-10 km : $1\ 180 / 4\ 600 \approx 0{,}2565$, soit $25{,}7$ pour cent. À elles deux, ces tranches portent près de 61 pour cent des trajets : la demande est nettement urbaine et courte.

b) Distances représentatives : 1, 3,5, 7,5, 15 et 25 km. La distance totale vaut $940 \times 1 + 1\ 620 \times 3{,}5 + 1\ 180 \times 7{,}5 + 640 \times 15 + 220 \times 25 = 940 + 5\ 670 + 8\ 850 + 9\ 600 + 5\ 500 = 30\ 560$ km. Le choix de 25 km pour la tranche ouverte est une hypothèse, qu'il faut écrire : c'est elle qui porte l'essentiel de l'incertitude, puisque la tranche n'a pas de borne supérieure.

c) Un véhicule parcourt au plus $22 \times 14 = 308$ km par jour. Il faut donc au moins $30\ 560 / 308 \approx 99{,}2$ véhicules, soit 100 véhicules. Ce nombre est un minimum et non une réponse pour trois raisons : il suppose les véhicules occupés 100 pour cent du temps, alors qu'ils roulent à vide entre deux courses ; il ignore la répartition dans la journée, or les deux tiers de la demande arrivent aux heures de pointe et il en faudrait bien davantage à ces moments-là ; et il ignore l'entretien et la recharge. Un dimensionnement réaliste part de la demande au pic, jamais de la moyenne journalière.

d) Dans l'ordre. Un, SÉLECTIONNER les trajets dont l'heure de départ tombe dans la plage du matin. Deux, PROJETER sur les seules coordonnées du point de départ. Trois, CALCULER pour chaque point la case de la grille à laquelle il appartient, ce qui ajoute une colonne dérivée, exactement comme les tuiles de l'exercice 5. Quatre, GROUPER par case et AGRÉGER par un comptage. Cinq, FILTRER les cases dont l'effectif est inférieur au seuil de publication, pour ne pas exposer un point de départ unique, c'est-à-dire un domicile. C'est encore la chaîne sélection, projection, calcul, regroupement, agrégation, avec le seuil de l'exercice 9 en plus.

e) Un trajet de 16 minutes fait $16 \times 60 / 10 = 96$ positions, soit $96 \times 24 = 2\ 304$ octets. Pour 4 600 trajets par jour : $4\ 600 \times 2\ 304 = 10\ 598\ 400$ octets par jour. Sur cinq ans de 365 jours : $10\ 598\ 400 \times 365 \times 5 = 19\ 342\ 080\ 000$ octets, soit $19\ 342\ 080\ 000 / 1\ 073\ 741\ 824 \approx 18{,}0$ Gio. Le volume est dérisoire, et c'est précisément l'objection à formuler : puisque le coût de stockage ne limite rien, seule la FINALITÉ peut limiter la conservation. Or dimensionner une flotte ne demande que des agrégats par case et par heure, pas la trajectoire complète de chaque personne pendant cinq ans. Le responsable doit donc opposer le principe de minimisation et celui de limitation de la durée : conserver les agrégats longtemps, les traces brutes quelques semaines.