SNT Seconde • Programme français, lycées de Montréal

Fiche de révision : localisation, cartographie et mobilité en SNT

Le thème de la localisation est le plus calculatoire de la SNT, et les points s'y perdent presque toujours sur des conversions plutôt que sur les idées. Cette fiche liste les sept erreurs qui reviennent et donne, pour chacune, la phrase à écrire.

Le fil du chapitre

Un récepteur ne mesure jamais une position : il mesure des DURÉES, et toute la précision vient de l'horloge, ce qui explique le quatrième satellite.

Ce chapitre fait partie de SNT en Seconde

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les données structurées : tables, tri, fusion et agrégation Fiche

L'essentiel

Ce que le récepteur mesure vraiment

• Le récepteur ne reçoit que des messages DATÉS. Il compare l'heure d'émission à l'heure d'arrivée, et convertit la durée en distance par $d = c \times t$ .
• Trois distances suffiraient à la géométrie ; il faut un quatrième satellite pour déterminer le DÉCALAGE de l'horloge du récepteur, qui est une inconnue à part entière.
• Le récepteur n'ÉMET rien : le système est descendant, ce qui permet un nombre illimité d'utilisateurs.
• Une erreur d'horloge d'une microseconde vaut 300 mètres d'erreur de position.

Les trois cercles se coupent en un seul point, mais ce point n'est juste que si l'horloge du récepteur l'est : c'est la quatrième inconnue, et elle exige un quatrième satellite.

Retenir la phrase : le GPS est un problème d'horlogerie déguisé en problème de géométrie.

Coordonnées, cartes et itinéraires

• Latitude : de $-90°$ à $+90°$ depuis l'équateur. Longitude : de $-180°$ à $+180°$ depuis Greenwich. Nord et Est positifs.
• $1' = 1/60$ de degré et $1'' = 1/3600$ de degré : une notation en degrés et minutes n'est PAS un nombre décimal.
• Un degré de latitude vaut toujours environ $111{,}2$ km ; un degré de longitude vaut $111{,}2 \times \cos \varphi$ km.
• Le niveau de zoom $n$ d'une carte en tuiles compte $4^{n}$ tuiles : le nombre quadruple à chaque niveau.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. On convertit la latitude 45° 30' 18'' en degrés décimaux.

2 points, et une position fausse de 20 kilomètres

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Cela fait $45{,}3018$ degrés. »

Ce qu'il faut écrire

« $45 + 30/60 + 18/3600 = 45{,}5050$ degrés : trente minutes font un DEMI-degré, pas trois dixièmes. »

Pourquoi : La notation ressemble à un nombre décimal et n'en est pas un. Un contrôle immédiat : 30 minutes doivent toujours donner exactement $0{,}5$ degré.

2. On explique comment le système GPS localise un téléphone.

2 points, et souvent toute la question de vie privée qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le téléphone envoie sa position aux satellites, qui la renvoient. »

Ce qu'il faut écrire

« Les satellites émettent des messages datés ; le récepteur écoute et calcule sa position tout seul, sans rien émettre. »

Pourquoi : Le système est purement DESCENDANT. C'est ce qui permet un nombre illimité d'utilisateurs, et c'est aussi pourquoi le GPS seul ne permet à personne de vous suivre : c'est l'application qui transmet, pas le récepteur.

3. On demande pourquoi quatre satellites sont nécessaires.

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour plus de précision, trois suffiraient mais on en prend un de plus. »

Ce qu'il faut écrire

« Il y a quatre inconnues : trois coordonnées et le DÉCALAGE de l'horloge du récepteur, qu'aucune géométrie ne donne. »

Pourquoi : Le récepteur porte une horloge à quartz bon marché, dont le décalage est inconnu et vaudrait des centaines de mètres. C'est une inconnue, donc il faut une équation de plus.

4. On compare la distance entre deux points séparés d'un degré.

3 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Un degré vaut $111$ km, donc les deux couples sont à la même distance. »

Ce qu'il faut écrire

« Un degré de LATITUDE vaut toujours $111{,}2$ km, mais un degré de LONGITUDE vaut $111{,}2 \times \cos \varphi$ , soit $77{,}9$ km à Montréal. »

À l'équateur, un degré de longitude couvre 111 km ; à la latitude de Montréal, le parallèle est plus court et le même degré ne couvre que 78 km.

Pourquoi : Les méridiens sont tous des grands cercles, les parallèles rétrécissent vers les pôles. Appliquer Pythagore à des différences de degrés sans corriger la longitude est faux de 30 pour cent à nos latitudes.

5. On cherche le trajet le plus rapide dans un réseau routier pondéré.

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« A-B-G et A-C-G font tous les deux deux routes, donc c'est pareil. »

Ce qu'il faut écrire

« Dans un graphe pondéré, c'est la SOMME DES POIDS qui décide : A-B-G vaut 11 minutes et A-C-G en vaut 5. »

Les deux chemins comptent deux routes chacun ; celui du bas dure pourtant deux fois moins longtemps.

Pourquoi : Le nombre d'arêtes ne mesure rien quand les arêtes ont des durées différentes. C'est exactement pourquoi un calculateur d'itinéraire propose parfois un détour apparent.

6. On explique pourquoi la position est mauvaise dans une rue étroite.

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le récepteur est moins bon en ville, il capte mal. »

Ce qu'il faut écrire

« Les satellites visibles sont tous dans la même bande de ciel : les sphères se coupent sous un angle très aigu, et la DILUTION DE LA PRÉCISION explose. »

Pourquoi : La qualité d'une position ne dépend pas seulement de celle des mesures mais de la GÉOMÉTRIE de la configuration. Un indicateur de 6,5 au lieu de 0,9 multiplie l'erreur par sept, à mesures identiques.

7. On demande combien de tuiles compte le niveau de zoom 12.

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Chaque niveau ajoute des tuiles, donc à peu près 12 fois plus qu'au niveau 1. »

Ce qu'il faut écrire

« Chaque niveau divise chaque côté par deux : le niveau $n$ compte $4^{n}$ tuiles, soit $4^{12} = 16\ 777\ 216$ . »

Pourquoi : Le nombre QUADRUPLE à chaque niveau. C'est ce qui explique qu'aucun service ne pré-calcule les niveaux profonds sur toute la Terre.

Quelle méthode choisir

Quelle formule pour quelle distance ?

Regarder si les deux points partagent leur latitude, leur longitude, ou ni l'une ni l'autre.

Si Même longitude, latitudes différentes → distance $= \Delta\varphi \times 111{,}2$ km, sans correction

Exemple : De $45{,}50°$ à $48{,}85°$ : $3{,}35 \times 111{,}2 \approx 372$ km.

Les méridiens sont des grands cercles : un degré y vaut toujours la même chose.
Si Même latitude, longitudes différentes → distance $= \Delta\lambda \times 111{,}2 \times \cos \varphi$ km

Exemple : $0{,}25°$ à Montréal : $0{,}25 \times 111{,}2 \times 0{,}70 \approx 19{,}5$ km.

Le cosinus est la seule difficulté, et c'est celle qu'on oublie.
Si Les deux diffèrent → il faut la formule sphérique complète, hors programme : donner un encadrement

Exemple : Encadrer entre la distance en latitude seule et la somme des deux.

Ne jamais appliquer Pythagore à des degrés bruts.

En SNT, seuls les deux premiers cas sont exigibles. Reconnaître lequel s'applique prend cinq secondes et vaut la moitié des points.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Rédiger un calcul de distance ou de durée GPS

Quand l'utiliser : Dès qu'une question mêle une célérité, une durée et une distance, ou un degré et un cosinus.

1 Écrire la relation littérale avant tout chiffre : $d = c \times t$ , ou distance $= \Delta\lambda \times 111{,}2 \times \cos\varphi$ .
2 Convertir toutes les unités dans le système international, en écrivant la conversion.
3 Faire le calcul numérique en une seule ligne, avec la puissance de dix.
4 Conclure avec l'unité, puis vérifier l'ordre de grandeur par un repère connu.

Phrase de conclusion

« La relation est $d = c \times t$ . Avec $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s et $t = 30 \times 10^{-9}$ s, on obtient $d = 3{,}00 \times 10^{8} \times 30 \times 10^{-9} = 9{,}0$ m. »

Le piège : Sauter la relation littérale. Sans elle, une erreur de conversion devient invisible et le correcteur ne peut accorder aucun point de méthode.

Barème : 1 point pour la relation, 1 pour les conversions, 1 pour le calcul, 1 pour l'unité et l'ordre de grandeur.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Les minutes ont-elles été divisées par 60 ?

Vérifier que 30 minutes donnent exactement un demi-degré dans le résultat.

$45° 30'$ doit donner $45{,}50$ , jamais $45{,}30$ .
Le cosinus a-t-il été appliqué à la longitude ?

Se demander si le déplacement est vers le nord ou vers l'est. Vers l'est, le cosinus est obligatoire.

$0{,}25°$ vaut 27,8 km en latitude et 19,5 km en longitude à Montréal.
L'ordre de grandeur de la durée est-il plausible ?

Comparer aux repères : 67 ms pour descendre d'un satellite, quelques nanosecondes pour un mètre.

Une durée de 3 s pour un signal GPS trahit une erreur de puissance de dix.
Le chemin le plus court est-il celui de moindre POIDS ?

Recompter la somme des durées, et non le nombre de routes.

A-C-G vaut 5 minutes contre 11 pour A-B-G, à nombre de routes égal.

L'exercice type décortiqué

Du temps mesuré à la position, puis à la carte

Un récepteur mesure une durée de propagation de 67,3 ms depuis un satellite. Sa position calculée est 45° 30' 18'' Nord et 73° 34' 12'' Ouest. On veut la distance au satellite, les coordonnées décimales signées, et la distance à un point situé 0,25 degré plus à l'est.

Étape 1

$d = c \times t = 3{,}00 \times 10^{8} \times 67{,}3 \times 10^{-3} \approx 2{,}02 \times 10^{7}$ m, soit environ 20 200 km.

Pourquoi

On écrit la relation littérale d'abord. L'ordre de grandeur retrouve l'altitude annoncée des satellites, ce qui valide le calcul sans autre vérification.

Étape 2

Latitude : $45 + 30/60 + 18/3600 = 45{,}5050°$ , positive car Nord.

Pourquoi

Chaque minute vaut un soixantième, chaque seconde un trois-mille-six-centième. Le contrôle des trente minutes valant un demi-degré se fait ici.

Étape 3

Longitude : $73 + 34/60 + 12/3600 = 73{,}5700°$ , négative car Ouest, soit $-73{,}5700$ .

Pourquoi

Le signe se pose au moment de la conversion, jamais après : c'est l'oubli du signe qui projette le point en Asie centrale.

Étape 4

$\cos(45{,}5050°) \approx 0{,}7009$ , donc un degré de longitude vaut $111{,}2 \times 0{,}7009 \approx 77{,}9$ km.

Pourquoi

Le cosinus se calcule une fois pour toutes, avec la latitude en degrés décimaux : c'est la raison pour laquelle on convertit avant.

Étape 5

Distance vers l'est : $0{,}25 \times 77{,}9 \approx 19{,}5$ km, contre $0{,}25 \times 111{,}2 \approx 27{,}8$ km si le déplacement était vers le nord.

Pourquoi

Donner les deux valeurs montre que la différence est comprise, et c'est ce que le barème attend.

Conclusion rédigée

Le satellite est à environ 20 200 km, le point se situe à $(45{,}5050\ ;\ -73{,}5700)$ , et un quart de degré vers l'est vaut 19,5 km contre 27,8 km vers le nord.

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $45{,}3018$ au lieu de $45{,}5050$ , puis appliquer 111 km au déplacement en longitude : les deux erreurs se cumulent et donnent une distance fausse de 45 pour cent.

À savoir par cœur

• $1' = 1/60$ de degré, $1'' = 1/3600$ . Trente minutes font un DEMI-degré.
• Nord et Est positifs, Sud et Ouest négatifs. Le signe se pose à la conversion.
• $d = c \times t$ avec $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s. Une microseconde vaut 300 mètres.
• Quatre satellites : trois coordonnées plus le décalage d'horloge.
• Le récepteur n'émet rien. Le système est descendant.
• Un degré de latitude : $111{,}2$ km. Un degré de longitude : $111{,}2 \cos \varphi$ .
• Une minute d'arc de méridien est le mille marin, $1\ 852$ m.
• Niveau de zoom $n$ : $4^{n}$ tuiles. Le nombre quadruple à chaque niveau.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il quatre satellites pour un GPS ?

Parce qu'il y a quatre inconnues et non trois. Les trois coordonnées de la position en sont trois, et la quatrième est le décalage de l'horloge du récepteur, un simple quartz dont l'écart avec le temps du système est inconnu. Comme une erreur d'une microseconde vaut trois cents mètres, ce décalage doit être calculé, ce qui demande une équation de plus donc un satellite de plus.

Comment convertir 45 degrés 30 minutes 18 secondes en degrés décimaux ?

On divise les minutes par soixante et les secondes par trois mille six cents, puis on additionne. Cela donne quarante-cinq plus zéro virgule cinq plus zéro virgule zéro zéro cinq, soit quarante-cinq virgule cinq cent cinquante degrés. Le contrôle immédiat est que trente minutes doivent toujours donner exactement un demi-degré.

Pourquoi un degré de longitude ne vaut-il pas 111 kilomètres partout ?

Parce qu'un degré de longitude se mesure sur un parallèle, et que les parallèles rétrécissent en s'approchant des pôles. Sa longueur vaut cent onze kilomètres multipliés par le cosinus de la latitude, soit environ soixante-dix-huit kilomètres à Montréal. Un degré de latitude, lui, se mesure sur un méridien, qui est toujours un grand cercle : il vaut cent onze kilomètres partout.

Le GPS permet-il de me suivre à la trace ?

Pas par lui-même. Le récepteur ne fait qu'écouter les satellites et calculer sa position localement : il n'émet rien, et le système ne sait pas combien d'appareils existent. Ce qui permet un suivi, c'est l'application installée sur le téléphone, qui transmet cette position à un serveur. La distinction est essentielle et souvent demandée en contrôle.

Pourquoi la position est-elle mauvaise entre des immeubles hauts ?

Parce que seuls quelques satellites restent visibles, tous dans la même bande de ciel. Les sphères de position se coupent alors sous un angle très aigu, si bien qu'une petite erreur de mesure déplace beaucoup le point d'intersection. Ce n'est pas le récepteur qui se dégrade, c'est la géométrie de la configuration, ce qu'on appelle la dilution de la précision.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Localisation, cartographie et mobilité

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
120 minutes

Faire les exercices

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