Fiche de révision : rédiger une preuve mathématique (201-N11)

Si l'hypothèse se traduit tout de suite en une égalité ($n=2k$, $b=ak$) → preuve directe : on part de $P$ et on calcule jusqu'à la DÉFINITION de $Q$

Exemple : si $a \mid b$ et $a \mid c$, alors $a \mid (bu+cv)$, car $bu+cv=a(ku+lv)$

une lettre FRAÎCHE par objet dont on ne sait rien : $b=ak$ et $c=al$, jamais deux fois $k$

Si la conclusion est une négation, un OU, ou porte sur $n$ alors que l'hypothèse porte sur $3n+2$ → contraposée : on suppose $\lnot Q$ et on vise $\lnot P$

Exemple : si $3n+2$ est impair alors $n$ est impair : on part de $n=2k$

le critère est la RICHESSE : on démontre en partant de la plus riche des deux, l'hypothèse ou la négation de la conclusion

Si l'énoncé contient il n'existe pas, aucun, au plus un, est unique, est irrationnel, est impossible → absurde : on suppose $P$ ET $\lnot Q$, et on cherche n'importe quelle contradiction

Exemple : $\sqrt{2}$ est irrationnel ; $\log_{2} 3$ est irrationnel ; il existe une infinité de nombres premiers

ces mots désignent une proposition dont la NÉGATION est une existence, donc une hypothèse riche : on peut nommer l'objet et calculer avec lui

Si l'énoncé est indexé par un entier $n$, et le rang $n+1$ se déduit du rang $n$ par un petit calcul → récurrence : initialisation, hérédité, conclusion

Exemple : pour tout $n \geq 0$, $7^{n}-1$ est divisible par 6, car $7^{n+1}-1=7(7^{n}-1)+6$

la récurrence n'est pas obligatoire dès qu'un énoncé porte sur tous les entiers : $1+3+\cdots+(2n-1)=n^{2}$ se démontre en une ligne par regroupement

Si l'énoncé affirme que deux objets coïncident, ou qu'une valeur se répète, sans demander lesquels → principe des tiroirs : on nomme les objets, on nomme les tiroirs, on compte les deux

Exemple : parmi 13 entiers, deux ont le même reste modulo 12

forme simple si l'on veut deux objets, forme généralisée avec $\lceil m/n \rceil$ si l'on veut davantage

Si l'énoncé est universel et vous le soupçonnez FAUX → contre-exemple : une seule valeur, vérifiée sur l'hypothèse ET sur la conclusion

Exemple : $F_{5}=4\,294\,967\,297=641\times 6\,700\,417$ réfute « tout nombre de Fermat est premier »

c'est le seul cas où une valeur numérique constitue à elle seule une démonstration complète

Si le domaine se découpe naturellement : pair ou impair, restes modulo $n$, signe → disjonction de cas, posée À L'INTÉRIEUR d'une des structures précédentes

Exemple : $n^{2} \equiv 0$ ou $1 \pmod 4$, donc aucun $4k+3$ n'est un carré parfait

la liste doit être EXHAUSTIVE ; elle n'a pas besoin d'être disjointe, un chevauchement ne coûte rien

Si la conclusion est « $A$ ou $B$ » → nier en « $\lnot A$ ET $\lnot B$ »

Exemple : la négation de « $x>31$ ou $y>31$ » est « $x \leq 31$ et $y \leq 31$ »

Si la conclusion est « $A$ et $B$ » → nier en « $\lnot A$ OU $\lnot B$ »

Exemple : la négation de « $n$ pair et $n>4$ » est « $n$ impair ou $n \leq 4$ »

Si la conclusion est une implication « si $A$ alors $B$ » → nier en « $A$ ET $\lnot B$ », qui n'est plus une implication

Exemple : $\lnot(P \Rightarrow Q) = P \land \lnot Q$, et jamais $P \Rightarrow \lnot Q$

une copie qui écrit « supposons par l'absurde que $P$ entraîne non $Q$ » a déjà perdu la question

Si la conclusion est « pour tout $x$, $P(x)$ » → nier en « il existe $x$ tel que $\lnot P(x)$ » : c'est exactement un contre-exemple

Exemple : nier « tout $F_{k}$ est premier » donne « un $F_{k}$ est composé », et $F_{5}$ l'est

Si la conclusion est « il existe $x$ tel que $P(x)$ » → nier en « pour tout $x$, $\lnot P(x)$ », ce qui donne une MAJORATION uniforme

Exemple : nier « un tiroir contient 2 objets » donne « chaque tiroir en contient au plus 1 », d'où un total $\leq n$