Le cours de statistiques avancées 201-337 a une place à part parmi les mathématiques du cégep : après des cours où l’on cherche la réponse exacte, il demande de décider sous incertitude. Dans les écoles françaises de Montréal, c’est aussi l’un des compléments québécois, ouvert en Première aux élèves qui ne suivent pas la spécialité mathématiques et poursuivi en Terminale. Cette situation crée un malentendu fréquent. Beaucoup l’abordent en pensant qu’il sera facile parce qu’il ressemble peu aux autres cours de mathématiques, et découvrent qu’il exige une rigueur de raisonnement inhabituelle.

À ne pas confondre avec le cours de statistiques des Sciences humaines, le 360-300, méthodes quantitatives, qui a sa propre page de chapitres.

Ce que le cours demande vraiment

La difficulté du cours n’est pas calculatoire. Les formules sont fournies, la calculatrice fait le travail arithmétique. Ce qui est évalué, c’est la capacité à choisir le bon outil, à formuler correctement une conclusion et à ne pas dire plus que ce que les données permettent.

C’est un renversement pour beaucoup d’étudiants habitués aux mathématiques du secondaire, où l’on cherchait une réponse unique. En statistiques, la réponse est presque toujours une phrase nuancée, et cette phrase est notée.

Les quatre blocs du cours

Statistiques descriptives

Moyenne, médiane, mode, quartiles, écart-type, cote z, données groupées en classes. La série corrigée est les statistiques descriptives. Elle ouvre sur une situation qui résume tout le chapitre : huit salaires où sept employés sur huit gagnent moins que la moyenne, et ce que cela révèle sur la forme de la distribution.

Probabilités et lois de distribution

Règles des probabilités, distinction entre incompatibles et indépendants, probabilité conditionnelle et théorème de Bayes, dénombrement, loi binomiale, loi normale et approximation normale. La série est probabilités et lois de distribution. L’exercice de dépistage y produit le résultat le plus contre-intuitif du cours : un test qui détecte 99 % des malades ne donne, en cas de résultat positif, qu’une probabilité de 9 % d’être réellement malade. Le passage au continu a sa propre série, la variable aléatoire continue et sa densité, où la probabilité cesse d’être une hauteur pour devenir une aire.

Estimation et tests d’hypothèse

Théorème central limite, erreur type, intervalles de confiance, taille d’échantillon, puis la logique complète d’un test d’hypothèse avec les erreurs de type I et II. C’est le bloc le plus abstrait et celui qui décide de la note finale. La série est estimation et tests d’hypothèse, et sa fiche tient en une page ce qu’un intervalle à 95 pour cent dit vraiment, pourquoi la valeur-p n’est pas la probabilité que l’hypothèse nulle soit vraie, et pourquoi quadrupler l’échantillon ne divise la marge que par deux.

Corrélation et régression linéaire

Coefficient de corrélation, droite des moindres carrés, coefficient de détermination, analyse des résidus, et surtout la distinction entre corrélation et causalité. La série est corrélation et régression linéaire, qui se termine sur la lecture critique de cinq affirmations de presse.

Les cinq confusions qui coûtent le plus cher

  • Confondre l’écart-type des données et celui de la moyenne. L’erreur type diminue quand l’échantillon grandit, l’écart-type des données non. Toute la théorie de l’estimation repose sur cette distinction.
  • Mal formuler l’interprétation d’un intervalle de confiance. Ce n’est pas le paramètre qui est aléatoire, c’est l’intervalle. Une formulation fautive est sanctionnée même quand le calcul est juste.
  • Conclure qu’une hypothèse est vraie. Un test ne démontre jamais l’hypothèse nulle : il la rejette ou ne la rejette pas. Écrire « le test prouve que la moyenne vaut 500 g » est faux.
  • Confondre significatif et important. Avec un échantillon très grand, un écart minuscule devient statistiquement significatif sans avoir la moindre portée pratique. Savoir le dire fait partie du cours.
  • Lire une corrélation comme une causalité. C’est la compétence la plus transférable du cours, et celle que les examens testent le plus volontiers.

Une méthode adaptée à ce cours

Rédigez vos tests d’hypothèse toujours dans le même ordre, en cinq étapes écrites : hypothèses, seuil, statistique, valeur critique ou valeur-p, conclusion en français. Cette discipline de rédaction vaut plusieurs points par examen, et elle évite les conclusions inversées sous la pression du temps.

Constituez ensuite une fiche de décision d’une page : devant quel type de données et quelle question utilise-t-on quel outil. C’est ce document, et non la liste des formules, qui sert vraiment pendant l’examen.

Enfin, entraînez-vous à commenter des statistiques réelles, celles que l’on trouve dans la presse. Le cours prend tout son sens quand on s’aperçoit qu’il apprend à ne pas se faire tromper par un chiffre exact. Avant l’examen final, l’examen blanc de synthèse du 201-337, douze exercices en trois heures, mélange les blocs sans annoncer la méthode, ce qui est précisément la difficulté du vrai.

Pour aller plus loin