Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : les suites (MTH1101, Polytechnique)

Cette fiche de révision porte sur les suites, premier chapitre de MTH1101, Calcul I à Polytechnique Montréal, section 1.1 de Stewart, « Calcul à plusieurs variables », avec la démonstration par récurrence. Le chapitre reprend le 201-NYB ; ce qui change, c'est l'exigence : le contrôle périodique 1 se passe sans calculatrice, le seul document permis étant votre aide-mémoire d'une feuille recto verso, et il demande « plus de réflexion que de calculs », donc des existences prouvées et des bornes justifiées.

Elle ne refait pas le cours. Elle dit où les copies perdent des points, quelle phrase écrire à la place, et comment décider en quelques secondes de la méthode d'après la forme de la suite. Le même réflexe la traverse de bout en bout : l'existence d'abord, la valeur ensuite.

Marque ici la fiche comme lue ou mets-la en favori : un compte gratuit, sans mot de passe, retient tes fiches lues et tes favoris d'une visite à l'autre, te dit quel chapitre attaquer ensuite et te permet de demander la méthode ou l'exercice qui te manque. Crée ton espace, un courriel suffit.

Le fil du chapitre

Une limite de suite se PROUVE avant de se calculer : tant que l'existence n'est pas établie (monotone et bornée, encadrement, fonction associée), l'équation $L=f(L)$ et la règle de L'Hospital ne donnent qu'un candidat ; et quand une suite sert à approcher un nombre, elle ne vaut que par sa borne d'erreur GARANTIE.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Notions couvertes

Limite d'une suite
Fonction associée à une suite
Règle de L'Hospital
Théorème du sandwich
Suite géométrique
Croissances comparées
Suite monotone bornée
Suite définie par récurrence
Démonstration par récurrence
Point fixe
Sous-suites
Borne d'erreur garantie

L'essentiel

Prouver qu'une limite existe : quatre outils, pas un de plus

• FONCTION ASSOCIÉE : si $a_n=f(n)$ et $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ , alors $a_n\to L$ . C'est le seul pont vers la règle de L'Hospital, et il ne marche que dans ce sens.
• SANDWICH : $b_n\le a_n\le c_n$ avec $b_n\to L$ et $c_n\to L$ , la MÊME limite. Version courte : $|a_n|\le c_n\to 0$ donne $a_n\to 0$ .
• MONOTONE ET BORNÉE : croissante et majorée, ou décroissante et minorée, entraîne convergente. Le théorème prouve l'existence SANS donner la valeur.
• CONTRACTION : $|a_{n+1}-L|\le k\,|a_n-L|$ avec $k<1$ fixe donne $|a_n-L|\le k^n|a_0-L|\to 0$ , l'existence ET une borne d'erreur.

u_n=2-\frac1n

monte sous le plafond

2

et converge ;

v_n

est tout aussi bornée mais saute entre

\frac12

\frac32

et diverge : c'est la monotonie qui manque.

Bornée ne suffit pas, monotone ne suffit pas : il faut les deux. Et la monotonie peut ne commencer qu'à un certain rang, la limite ne regardant que la queue de la suite.

Ce qui se reconnaît d'un coup d'œil

• $r^n\to 0$ si $|r|<1$ ; $r^n=1$ si $r=1$ ; $r^n\to+\infty$ si $r>1$ ; DIVERGE sans limite si $r\le -1$ .
• Échelle, pour $p,k>0$ et $a>1$ : $(\ln n)^p\ll n^k\ll a^n\ll n!\ll n^n$ , où $u_n\ll v_n$ veut dire $\frac{u_n}{v_n}\to 0$ .
• $\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\to e^x$ pour tout réel $x$ ; sans calculatrice, $2<e<3$ et $3<\pi<4$ .
• Suite récurrente $a_{n+1}=f(a_n)$ avec $f$ continue : SI $a_n\to L$ , alors $L=f(L)$ . L'équation filtre des candidats, elle ne prouve rien.

Repères de calcul mental qui servent aux rangs garantis : $2^{10}=1024$ , $2^{20}\approx 1{,}05\times 10^6$ , $4^{10}=2^{20}$ .

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

La suite géométrique $r^n$ : la position de $r$ décide

On place d'abord $r$ par rapport à $-1$ et $1$ , avec un encadrement exact si $r$ contient $e$ , $\pi$ ou une racine. Les deux cases rouges ne sont pas des limites : ce sont des divergences à NOMMER.

position de $r$	exemple	$\lim r^n$
$\|r\|<1$	$\left(-\frac{\pi}{4}\right)^n$	$0$
Exemple : $\frac{\pi}{4}<1$ car $\pi<4$ , donc $\left(-\frac{\pi}{4}\right)^n\to 0$ en alternant de signe.
$r=1$	$1^n$	$1$
Exemple : $1^n=1$ pour tout $n$ : suite constante, limite $1$ .
$r>1$	$\left(\frac{e}{2}\right)^n$	$+\infty$
Exemple : $e>2$ , donc $\frac{e}{2}>1$ et $\left(\frac{e}{2}\right)^n\to+\infty$ , lentement : la raison vaut environ $1{,}36$ .
$r=-1$	$(-1)^n$	aucune diverge, bornée
Exemple : $1$ , $-1$ , $1$ , $-1$ , et ainsi de suite : deux sous-suites de limites $1$ et $-1$ . Ce qu'il faut faire : Écrire « diverge » et le PROUVER par deux sous-suites de limites différentes.
$r<-1$	$(-1{,}2)^n$	aucune diverge, sans limite infinie
Exemple : $(-1{,}2)^2=1{,}44$ puis $(-1{,}2)^3=-1{,}728$ : les termes pairs tendent vers $+\infty$ , les impairs vers $-\infty$ . Ce qu'il faut faire : Écrire « diverge sans limite, ni finie ni infinie », jamais « tend vers $\infty$ ».

Le geste vaut pour toute suite de la forme $C\,r^n$ , et pour un quotient d'exponentielles après division par la plus forte.

Puissances où $n$ est dans la base ET dans l'exposant

Quand base et exposant bougent ensemble, on ne passe pas à la limite séparément : on prend le logarithme, $a_n=e^{b_n\ln c_n}$ , et l'exponentielle étant continue, tout se joue sur $b_n\ln c_n$ .

base	exposant	puissance
$c$ fixe, $0<c<1$	$\to+\infty$	$0$
Exemple : $\left(\frac{2}{3}\right)^{n^2}\to 0$ : base fixe plus petite que $1$ .
$\to 1$	$\to+\infty$	$1^{\infty}$ forme indéterminée
Exemple : $\left(1+\frac{3}{n}\right)^n$ : $n\ln\left(1+\frac3n\right)\to 3$ , donc la limite est $e^3$ . Même forme, autre résultat : $\left(1+\frac{3}{n^2}\right)^n$ : $n\ln\left(1+\frac{3}{n^2}\right)\to 0$ , limite $1$ . Même forme, autre réponse. Ce qu'il faut faire : Passer au logarithme et calculer la limite de $b_n\ln c_n$ par la fonction associée.
$\to+\infty$	$\to 0$	$\infty^{0}$ forme indéterminée
Exemple : $n^{1/n}$ : $\frac{\ln n}{n}\to 0$ , limite $e^0=1$ . Même forme, autre résultat : $\left(e^{3n}\right)^{1/n}=e^3$ pour tout $n$ : même forme, limite $e^3$ . Ce qu'il faut faire : Passer au logarithme : $\frac{\ln c_n}{1/b_n}$ se traite en forme $\frac{\infty}{\infty}$ .

Une case rouge n'est pas un résultat : c'est l'ordre de réécrire. « $1^{\infty}=1$ » coûte toute la question.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Appliquer la règle de L'Hospital à la suite elle-même

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim\frac{\ln n}{\sqrt[3]{n}}$ : je dérive par rapport à $n$ . »

Ce qu'il faut écrire

« On pose $f(x)=\frac{\ln x}{x^{1/3}}$ , forme $\frac{\infty}{\infty}$ ; par L'Hospital, $\frac{1/x}{\frac13x^{-2/3}}=\frac{3}{x^{1/3}}\to 0$ . Comme $a_n=f(n)$ , $a_n\to 0$ . »

Pourquoi : Une suite n'est définie qu'aux entiers et n'a pas de dérivée. La rédaction doit passer par une fonction d'une variable réelle, puis revenir à la suite par le théorème.

2. Résoudre L = f(L) sans avoir prouvé la convergence

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a_0=3$ , $a_{n+1}=3a_n-4$ : $L=3L-4$ , donc $L=2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Par récurrence $a_n\ge 3$ , et $a_{n+1}-a_n=2a_n-4>0$ : la suite croît. Si elle convergeait, sa limite vérifierait $L\ge 3$ et $L=2$ : absurde. Elle est croissante non majorée, donc $a_n\to+\infty$ . »

La droite

y=3x-4

coupe

y=x

(2\,;2)

, mais l'escalier parti de

2{,}2

s'en ÉLOIGNE :

2{,}6

3{,}8

7{,}4

. Un point fixe n'est pas une limite.

Pourquoi : $L=f(L)$ suppose que la limite existe. Calculée trop tôt, l'équation donne la limite d'une suite qui n'en a pas ; utilisée par l'absurde, elle PROUVE la divergence.

3. Garder une inégalité stricte à la limite

2 points, et souvent la limite elle-même

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a_n<3$ pour tout $n$ , donc $L<3$ , et j'écarte le candidat $3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $a_n<3$ pour tout $n$ , donc $L\le 3$ : le candidat $3$ reste possible. »

Pourquoi : Le passage à la limite conserve les inégalités LARGES seulement : $\frac1n>0$ et pourtant $\frac1n\to 0$ . Écarter un candidat sur une inégalité stricte élimine régulièrement la bonne réponse.

4. Passer à la limite terme à terme dans une somme de n termes

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Chaque terme $\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$ tend vers $0$ , donc $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\to 0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Pour $1\le k\le n$ , $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\le\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\le\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$ ; en sommant les $n$ termes, $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le S_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$ , et le sandwich donne $S_n\to 1$ . »

Pourquoi : La règle « somme des limites » ne vaut que pour un nombre FIXE de termes. Ici $n$ termes voisins de $\frac1n$ font environ $1$ .

5. Prendre la forme 1 puissance infini pour 1

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $1+\frac3n\to 1$ et $1^n=1$ , donc $\left(1+\frac3n\right)^n\to 1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln a_n=n\ln\left(1+\frac3n\right)$ ; par la fonction associée et L'Hospital, $\frac{\ln(1+3t)}{t}\to 3$ quand $t\to 0^+$ , donc $a_n\to e^3$ . »

Pourquoi : Base et exposant bougent en même temps : passer à la limite dans la base seule revient à figer $n$ dans l'un et pas dans l'autre. La grille des puissances le dit en rouge.

6. Dire qu'une suite géométrique de raison négative tend vers l'infini

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $|-1{,}2|>1$ , donc $(-1{,}2)^n\to\infty$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $-1{,}2<-1$ : la suite alterne de signe et sa valeur absolue tend vers $+\infty$ ; elle diverge sans limite, ni finie ni infinie. »

Pourquoi : $\infty$ sans signe n'est pas une limite de suite réelle. Les termes pairs tendent vers $+\infty$ , les impairs vers $-\infty$ : deux sous-suites, deux limites, divergence.

7. Renoncer parce que la suite n'est pas monotone

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a_n=\frac{n+(-1)^n}{n}$ n'est pas monotone, donc on ne peut pas conclure. »

Ce qu'il faut écrire

« $|a_n-1|=\frac{1}{n}\to 0$ , donc $a_n\to 1$ par le sandwich. »

Pourquoi : La monotonie est UN outil d'existence parmi quatre, pas une condition de convergence. Une suite qui oscille autour de sa limite se traite par l'encadrement de l'écart.

8. Prendre un rang observé pour un rang garanti

toute la question d'approximation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $a_n=1+\frac{\sin n}{n}$ : $|a_{22}-1|<10^{-3}$ , donc la précision $10^{-3}$ est atteinte à partir du rang $22$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $|a_n-1|\le\frac1n$ , et $\frac1n\le 10^{-3}$ dès $n\ge 1000$ : la précision est GARANTIE à partir du rang $1000$ . »

Pourquoi : Un terme chanceux ne dit rien des suivants : $|a_{23}-1|$ dépasse $0{,}03$ . Un rang se prouve par une borne valable pour TOUS les $n$ au-delà.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, d'après la forme de la suite

On regarde l'ÉCRITURE de $a_n$ , pas le thème de l'exercice.

Si $a_n=f(n)$ avec $f$ dérivable, forme $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\frac00$ → fonction associée, puis règle de L'Hospital sur f(x)

Exemple : $\frac{\ln n}{\sqrt[3]{n}}\to 0$ via $f(x)=\frac{\ln x}{x^{1/3}}$
Si un facteur borné qui oscille : $\cos n$ , $\sin(n^2)$ , $(-1)^n$ → sandwich, ou valeur absolue majorée par une suite qui tend vers 0

Exemple : $\left|\frac{(-1)^n n}{n^2+5}\right|\le\frac1n\to 0$
Si $n$ dans la base ET dans l'exposant → passer au logarithme

Exemple : $\left(1+\frac3n\right)^n\to e^3$
Si quotient de puissances, exponentielles, factorielles → diviser par le terme du plus haut échelon, ou étudier $\frac{a_{n+1}}{a_n}$

Exemple : $\frac{n!+4^n}{n!+n^5}\to 1$

un rapport $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ qui tend vers $1$ ne décide rien
Si somme dont le nombre de termes dépend de $n$ → encadrer chaque terme par le plus petit et le plus grand, puis sommer

Exemple : $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}\to 1$
Si $a_{n+1}=f(a_n)$ → monotone et bornée par récurrence, PUIS $L=f(L)$

Exemple : $a_{n+1}=4-\frac{3}{a_n}$ , $a_0=2$ : limite $3$

si la suite alterne, chercher une contraction

Si aucune branche ne s'applique, calculer quelques termes pour CONJECTURER, jamais pour conclure.

Quel théorème, d'après le verbe de l'énoncé

Le verbe de la question dit ce qu'il faut prouver.

Si « montrer que la suite converge » → monotone et bornée, sandwich ou contraction : l'existence, pas la valeur
Si « déterminer la limite » d'une récurrence → existence d'abord, puis $L=f(L)$ et tri des candidats par les bornes prouvées
Si « montrer qu'elle diverge » → deux sous-suites de limites différentes, ou l'absurde : une limite devrait vérifier $L=f(L)$ et les bornes, impossible
Si « à partir de quel rang la précision est-elle garantie » → une borne $|a_n-L|\le\varepsilon_n$ valable pour tout $n$ , puis résoudre $\varepsilon_n\le$ la précision

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Limite d'une suite définie par récurrence

Quand l'utiliser : L'énoncé donne $a_0$ et $a_{n+1}=f(a_n)$ et demande la limite.

1 Calculer deux ou trois termes pour CONJECTURER le sens de variation et la limite, sans rien en conclure.
2 Étudier $f$ : intervalle $I$ stable ( $f(I)\subset I$ , vérifié avec les variations de $f$ ) et signe de $f(x)-x$ sur $I$ .
3 Démonstration par récurrence de $P(n)$ : « $a_n\in I$ », en trois temps nommés : INITIALISATION ( $P(0)$ vraie), HÉRÉDITÉ (si $P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ l'est), CONCLUSION (donc $P(n)$ pour tout $n$ ).
4 Monotonie : $a_{n+1}-a_n=f(a_n)-a_n$ , dont le signe est celui établi à l'étape 2.
5 Conclure : « croissante et majorée, donc convergente », en nommant le théorème.
6 Seulement alors : $f$ continue en $L$ , donc $L=f(L)$ ; trier les candidats avec les bornes de l'étape 3.

Phrase de conclusion

« La suite $(a_n)$ est croissante et majorée par $M$ , donc elle converge vers un réel $L\le M$ ; $f$ étant continue, $L=f(L)$ , et le seul candidat compatible avec $a_0\le L\le M$ est $L=\dots$ »

Le piège : L'étape 5 est celle que tout le monde saute : sans elle, les étapes 6 calculent la limite d'une suite qui n'en a peut-être pas.

Barème : Typiquement un quart des points pour la récurrence, un quart pour la monotonie, un quart pour le théorème cité, un quart pour la limite et le tri des candidats.

Prouver une divergence par l'absurde

Quand l'utiliser : La suite récurrente semble partir à l'infini, ou l'équation $L=f(L)$ n'a aucune solution compatible.

1 Établir par récurrence une borne qui ÉCARTE tous les points fixes, par exemple $a_n\ge 3$ quand les points fixes sont plus petits.
2 Supposer que $a_n\to L$ ; par passage à la limite (inégalité large), $L$ respecte la même borne.
3 $f$ continue donne $L=f(L)$ : aucune solution ne respecte la borne, contradiction.
4 Si de plus la suite est croissante, elle tend vers $+\infty$ (croissante non majorée).

Phrase de conclusion

« Si $(a_n)$ convergeait vers $L$ , on aurait $L=f(L)$ et $L\ge 3$ , ce qui est impossible ; la suite diverge, et comme elle est croissante, $a_n\to+\infty$ . »

Le piège : Oublier que « diverge » et « tend vers $+\infty$ » sont deux affirmations : la seconde demande en plus la monotonie.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Les premiers termes contre le candidat

Calculer $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ en fractions et vérifier qu'ils se rapprochent de la limite trouvée, du bon côté.

Limite annoncée $2$ alors que $a_3=3{,}8$ et que les termes grandissent : la convergence n'a pas été prouvée, l'équation a été résolue trop tôt.
La limite dans l'intervalle prouvé

La limite doit respecter les bornes établies par récurrence, au sens large : si $2\le a_n<3$ , alors $L\in[2\,;3]$ .

Un candidat $L=1$ pour une suite minorée par $2$ est faux, quel que soit le calcul qui l'a produit.
La substitution dans L = f(L)

Remplacer $L$ dans la relation de récurrence : l'égalité doit tomber juste, exactement.

$L=3$ pour $f(x)=4-\frac3x$ : $4-1=3$ , juste. $L=\frac52$ donnerait $4-\frac65=\frac{14}{5}\ne\frac52$ .
Le rang garanti par les puissances de 2

Pour un rang du type $2^n\ge N$ ou $4^n\ge N$ , encadrer avec $2^{10}=1024$ sans calculatrice, et vérifier que le rang précédent ÉCHOUE.

$\frac{1}{2^n}<10^{-6}$ : $2^{19}=524\,288$ échoue, $2^{20}=1\,048\,576$ passe, donc $n=20$ .

L'exercice type décortiqué

Une suite récurrente à deux candidats

Soit $a_0=2$ et $a_{n+1}=4-\frac{3}{a_n}$ . Montrer que la suite converge et déterminer sa limite.

La figure montre la courbe de $f(x)=4-\frac3x$ et la droite $y=x$ , qui se coupent en deux points.

Deux points fixes,

1

3

: l'équation

L=f(L)

ne choisira pas seule. Ce sont les bornes prouvées,

a_n\ge 2

, qui écartent

1

Étape 1

$a_1=4-\frac32=\frac52$ , $a_2=4-\frac65=\frac{14}{5}$ , $a_3=4-\frac{15}{14}=\frac{41}{14}\approx 2{,}93$ .

Pourquoi

Conjecture seulement : la suite semble croître vers $3$ . Trois termes ne prouvent rien, mais ils disent quoi prouver.

Étape 2

$f$ est croissante sur $]0\,;+\infty[$ ( $f'(x)=\frac{3}{x^2}>0$ ), $f(2)=\frac52$ et $f(3)=3$ , donc $f([2\,;3[)\subset[2\,;3[$ .

Pourquoi

C'est l'intervalle stable qui rend la récurrence possible ; le dire avec les variations de $f$ rapporte le point de justification.

Étape 3

Récurrence sur $P(n)$ : « $2\le a_n<3$ ». Initialisation : $a_0=2$ , $P(0)$ vraie. Hérédité : si $2\le a_n<3$ , alors $a_{n+1}=f(a_n)\in[f(2)\,;f(3)[=[\frac52\,;3[\subset[2\,;3[$ . Conclusion : $2\le a_n<3$ pour tout $n$ .

Pourquoi

Initialisation et hérédité écrites : c'est la moitié de la note de la question.

Étape 4

$a_{n+1}-a_n=4-\frac{3}{a_n}-a_n=-\frac{a_n^2-4a_n+3}{a_n}=-\frac{(a_n-1)(a_n-3)}{a_n}>0$ pour $2\le a_n<3$ .

Pourquoi

Factoriser par les points fixes rend le signe lisible : $a_n-1>0$ , $a_n-3<0$ , $a_n>0$ .

Étape 5

$(a_n)$ est croissante et majorée par $3$ : elle CONVERGE vers un $L\in[2\,;3]$ .

Pourquoi

La phrase qui autorise l'étape suivante. L'inégalité stricte $a_n<3$ ne donne que $L\le 3$ .

Étape 6

$f$ est continue en $L>0$ , donc $L=4-\frac3L$ , soit $L^2-4L+3=0$ , $L=1$ ou $L=3$ ; $L\ge 2$ écarte $1$ , donc $L=3$ .

Pourquoi

L'équation donne deux candidats, la borne de l'étape 3 en garde un : c'est exactement ce que montre la figure.

Étape 7

Vérification : $f(3)=4-1=3$ , et $a_3\approx 2{,}93$ est bien sous $3$ , en montant.

Pourquoi

Substitution et cohérence avec la conjecture, en cinq secondes.

Conclusion rédigée

« La suite $(a_n)$ est croissante et majorée par $3$ , donc convergente ; sa limite vérifie $L=4-\frac{3}{L}$ et $L\ge 2$ , donc $\lim a_n=3$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Résoudre $L^2-4L+3=0$ dès la première ligne et répondre « $1$ ou $3$ », ou choisir $3$ « parce que les termes s'en approchent » : la note va à la preuve d'existence et au tri par les bornes.

À savoir par cœur

• Si $a_n=f(n)$ et $f(x)\to L$ , alors $a_n\to L$ ; la RÉCIPROQUE est fausse, et L'Hospital ne s'applique qu'à $f$ .
• Monotone ET bornée entraîne convergente ; bornée seule, non ; convergente entraîne bornée.
• $L=f(L)$ ne vaut que si la limite EXISTE : existence d'abord, candidats ensuite, tri par les bornes.
• Le passage à la limite conserve $\le$ , jamais $<$ .
• $r^n$ : $0$ si $|r|<1$ , $1$ si $r=1$ , $+\infty$ si $r>1$ , pas de limite si $r\le -1$ .
• $(\ln n)^p\ll n^k\ll a^n\ll n!\ll n^n$ ; $1^{\infty}$ et $\infty^0$ sont indéterminées : logarithme.
• Une précision se GARANTIT par une borne valable pour tous les rangs au-delà, jamais par un terme observé.

Questions fréquentes

Peut-on utiliser la règle de L'Hospital pour calculer la limite d'une suite ?

Pas sur la suite elle-même, qui n'est définie qu'aux entiers et n'a pas de dérivée. On écrit la suite comme les valeurs d'une fonction de la variable réelle x, on applique la règle de L'Hospital à cette fonction, puis on revient à la suite par le théorème : si la fonction tend vers L à l'infini, la suite aussi. Le correcteur attend ce passage écrit.

Pourquoi faut-il prouver qu'une suite récurrente converge avant de calculer sa limite ?

Parce que l'équation L égale f de L n'est vraie que si la limite existe. Pour une suite qui diverge, elle donne quand même des solutions, qui ne sont la limite de rien. On montre donc d'abord que la suite est monotone et bornée, par récurrence, puis on résout l'équation et on garde le candidat compatible avec les bornes prouvées.

Une suite bornée est-elle toujours convergente ?

Non. La suite qui vaut alternativement un et moins un est bornée et diverge, car ses termes pairs et impairs ont des limites différentes. Il faut une hypothèse de plus : une suite bornée ET monotone converge. Dans l'autre sens, toute suite convergente est bornée, ce qui permet de prouver qu'une suite non bornée diverge.

Comment trouver la limite de 1 plus 3 sur n, le tout à la puissance n ?

On ne passe pas à la limite dans la base seule : la forme un puissance infini est indéterminée. On prend le logarithme, n fois le logarithme de 1 plus 3 sur n, dont la limite vaut 3 par la fonction associée et la règle de L'Hospital. L'exponentielle étant continue, la suite tend vers e puissance 3, et non vers 1.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les suites

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

Il manque quelque chose dans cette fiche ? Une méthode, un piège, un exercice pour l'appliquer, une erreur repérée : dis-le-moi, je lis chaque demande.

L'envoi passe par ton espace gratuit : c'est ce qui me permet de te répondre et de te prévenir quand l'exercice est ajouté. Un courriel suffit, pas de mot de passe. Crée ton espace. Pas envie de créer un compte ? Écris-moi directement.

Fiche suivante Les séries et leur convergence

Ce chapitre resservira dans

Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

Les séries et leur convergence

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-suites. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Tuteur de mathématiques

Vous cherchez un tuteur à Montréal pour ce chapitre ?

Contactez-moi pour une première séance. On reprend les points de méthode qui font perdre des points en évaluation, puis on les met à l'épreuve sur des exercices du niveau réel de l'examen.

Me contacter WhatsApp

Site par Studio Squalli

Fiche de révision : les suites (MTH1101, Polytechnique)

L'essentiel

Prouver qu'une limite existe : quatre outils, pas un de plus

Ce qui se reconnaît d'un coup d'œil

Les règles de calcul en tableau

La suite géométrique rnr^nrn : la position de rrr décide

Puissances où nnn est dans la base ET dans l'exposant

Les pièges qui coûtent des points

1. Appliquer la règle de L'Hospital à la suite elle-même

2. Résoudre L = f(L) sans avoir prouvé la convergence

3. Garder une inégalité stricte à la limite

4. Passer à la limite terme à terme dans une somme de n termes

5. Prendre la forme 1 puissance infini pour 1

6. Dire qu'une suite géométrique de raison négative tend vers l'infini

7. Renoncer parce que la suite n'est pas monotone

8. Prendre un rang observé pour un rang garanti

Quelle méthode choisir

Quelle méthode, d'après la forme de la suite

Quel théorème, d'après le verbe de l'énoncé

La rédaction attendue

Limite d'une suite définie par récurrence

Prouver une divergence par l'absurde

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Une suite récurrente à deux candidats

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Peut-on utiliser la règle de L'Hospital pour calculer la limite d'une suite ?

Pourquoi faut-il prouver qu'une suite récurrente converge avant de calculer sa limite ?

Une suite bornée est-elle toujours convergente ?

Comment trouver la limite de 1 plus 3 sur n, le tout à la puissance n ?

Exercices corrigés : Les suites

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

Vous cherchez un tuteur à Montréal pour ce chapitre ?

La suite géométrique $r^n$ : la position de $r$ décide

Puissances où $n$ est dans la base ET dans l'exposant