Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : les séries et leur convergence (MTH1101, Polytechnique)

Cette fiche couvre les séries numériques du cours Calcul I MTH1101 de Polytechnique Montréal, sections 1.2 à 1.6 de Stewart, « Calcul à plusieurs variables » : sommes partielles, séries géométriques et télescopiques, test de divergence, test de l'intégrale, comparaisons, séries alternées, d'Alembert et Cauchy. Elle ne refait pas le cours : elle dit ce qui coûte des points et quel geste l'évite.

Le chapitre reprend le 201-NYB, mais l'examen de MTH1101 se passe sans calculatrice et demande « plus de réflexion que de calculs » : choisir le critère sur la forme du terme, dire pourquoi un autre échouerait, et chiffrer une précision garantie. Seul document permis : votre aide-mémoire d'une feuille recto verso, et cette fiche dit quoi y mettre.

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Le fil du chapitre

Une série est la LIMITE de ses sommes partielles, on ne l'additionne jamais. On DÉCIDE d'abord si cette limite existe, avec un critère dont on écrit les hypothèses, puis on la MESURE par une borne du reste garantie : presque toutes les pertes de points viennent d'un verdict tiré d'un test muet, ou d'une borne prise au mauvais rang.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les suites Exercices

Notions couvertes

Sommes partielles
Série géométrique
Série télescopique
Test de divergence
Test de l'intégrale
Séries de Riemann
Critère de comparaison
Comparaison par limite
Théorème des séries alternées
Convergence absolue et semi-convergence
Critère de d'Alembert
Estimation du reste d'une série

L'essentiel

Décider, puis mesurer

• $\sum a_n$ converge vers $S$ si et seulement si $s_N = a_1 + \cdots + a_N \to S$ . La somme est une LIMITE : toute manipulation se fait sur $s_N$ , somme finie, avant le passage à la limite.
• $a_n \to 0$ est NÉCESSAIRE (si $s_N \to S$ , alors $a_N = s_N - s_{N-1} \to 0$ ) mais jamais suffisant : $\frac{1}{n} \to 0$ et $\sum \frac{1}{n}$ diverge.
• Le reste $R_N = S - s_N$ mesure l'erreur commise en s'arrêtant à $N$ termes. Une réponse d'ingénieur donne $s_N$ ET une borne garantie de $|R_N|$ .

Les deux termes tendent vers

0

: les sommes de

\sum \frac{1}{n}

(points pleins) montent sans fin, celles de

\sum \frac{1}{n^{2}}

(points vides) se tassent sous

\frac{\pi^{2}}{6}

(pointillé).

Écrire « le test de divergence ne permet pas de conclure » quand $a_n \to 0$ rapporte le point ; écrire « donc la série converge » l'enlève.

Les séries de référence, à reconnaître sous tout déguisement

• GÉOMÉTRIQUE : $\sum a r^{n}$ converge si et seulement si $|r| < 1$ , de somme $\frac{\text{premier terme}}{1 - r}$ . Le premier terme est celui du PREMIER INDICE, la raison est $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ .
• RIEMANN : $\sum \frac{1}{n^{p}}$ converge si et seulement si $p > 1$ ; $p = 1$ (harmonique) diverge.
• TÉLESCOPIQUE : si $a_n = u_n - u_{n+k}$ , il reste les $k$ premiers $u$ et les $k$ derniers dans $s_N$ .

Les hypothèses de chaque critère

• Intégrale : $f$ CONTINUE, POSITIVE, DÉCROISSANTE et $a_n = f(n)$ . Conclut sur la NATURE, jamais sur la valeur : l'estimation d'une somme par une intégrale n'est pas au programme de MTH1101.
• Comparaison : termes POSITIFS. Plus petit qu'une convergente, ou plus grand qu'une divergente ; les deux autres sens ne disent rien.
• Comparaison par limite : $a_n, b_n > 0$ et $\frac{a_n}{b_n} \to c$ avec $0 < c < +\infty$ .
• Leibniz : $b_n > 0$ , DÉCROISSANTE, $b_n \to 0$ ; alors $|R_N| \le b_{N+1}$ et $R_N$ a le signe de $a_{N+1}$ .
• D'Alembert, Cauchy : la limite doit EXISTER ; $L < 1$ convergence absolue, $L > 1$ divergence, $L = 1$ rien.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Ce que dit chaque test, selon ce qu'il trouve

Une case rouge n'est pas une réponse : c'est l'ordre de changer d'outil. Chaque ligne porte un calcul qui l'illustre.

Test	Ce qu'on trouve	Conclusion
Divergence	$\lim a_n \ne 0$	diverge
Exemple : $\sum \frac{n}{3n + 1}$ : $a_n \to \frac{1}{3} \ne 0$ , la série diverge.
Divergence	$\lim a_n = 0$	rien test muet
Exemple : $\sum \frac{1}{n^{2}}$ converge, de somme $\frac{\pi^{2}}{6} \approx 1{,}645$ . Même forme, autre résultat : $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ : même $a_n \to 0$ , et la série diverge ( $p = \frac{1}{2}$ ). Ce qu'il faut faire : Passer à un critère qui mesure la VITESSE de décroissance : comparaison, intégrale, d'Alembert.
D'Alembert	$L < 1$	converge absolument
Exemple : $\sum \frac{n^{2}}{2^{n}}$ : $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{2}}{2n^{2}} \to \frac{1}{2}$ , convergence.
D'Alembert	$L > 1$	diverge
Exemple : $\sum \frac{3^{n}}{n^{2}}$ : $L = 3$ , le terme tend même vers $+\infty$ .
D'Alembert ou Cauchy	$L = 1$	rien test muet
Exemple : $\sum \frac{1}{n^{2}}$ : $\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} \to 1$ , et la série converge. Même forme, autre résultat : $\sum \frac{1}{n}$ : $\frac{n}{n+1} \to 1$ aussi, et la série diverge. Ce qu'il faut faire : Pour un terme rationnel ou algébrique, ne jamais commencer par d'Alembert : comparer à $\frac{1}{n^{p}}$ .
Comparaison par limite	$\frac{a_n}{b_n} \to c > 0$ fini	même nature que $\sum b_n$
Exemple : $\sum \frac{2n + 1}{n^{3} + 4}$ avec $b_n = \frac{1}{n^{2}}$ : $c = 2$ , convergence.

Un seul test conclut TOUJOURS quand il est applicable sans rien de muet : la série géométrique, par la valeur de $|r|$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Conclure à la convergence parce que le terme tend vers zéro

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\lim \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ , donc $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ converge. »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ : le test de divergence ne conclut pas. C'est une série de Riemann avec $p = \frac{1}{2} \le 1$ : elle diverge. »

Pourquoi : Le test de divergence n'a qu'un verdict possible. Un terme qui tend vers $0$ trop lentement laisse les sommes partielles monter sans fin.

2. Appliquer le test de l'intégrale sans la décroissance

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x) = \frac{\sin^{2}(\pi x)}{x}$ est continue et positive, et $\int_{1}^{\infty} f$ diverge, donc $\sum_{n \ge 1} \frac{\sin^{2}(\pi n)}{n}$ diverge. »

Ce qu'il faut écrire

« $f$ n'est pas décroissante : le test de l'intégrale ne s'applique pas. Ici $\sin(\pi n) = 0$ , chaque terme est nul et la série converge, de somme $0$ . »

La courbe remonte entre deux entiers : l'aire sous elle est infinie, alors que

f(n) = 0

à chaque entier (points). Sans décroissance, le test de l'intégrale ne dit rien.

Pourquoi : La décroissance est l'hypothèse qui relie les valeurs aux entiers à l'aire sous la courbe. Sans elle, $f$ peut valoir $0$ à chaque entier et porter une aire infinie entre deux.

3. Comparer dans le mauvais sens

toute la justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{1}{n^{2} - 3} \ge \frac{1}{n^{2}}$ et $\sum \frac{1}{n^{2}}$ converge, donc $\sum_{n \ge 2} \frac{1}{n^{2} - 3}$ converge. »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{a_n}{1/n^{2}} = \frac{n^{2}}{n^{2} - 3} \to 1$ : par comparaison par limite avec $\sum \frac{1}{n^{2}}$ , la série converge. »

Pourquoi : Être plus grand qu'une série convergente ne prouve rien. La comparaison par limite ignore le sens de l'inégalité, c'est pour cela qu'elle sauve la copie.

4. Lire L égale 1 comme un verdict

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n^{2} + 1}{(n+1)^{2} + 1} \to 1$ , donc la série $\sum \frac{1}{n^{2} + 1}$ diverge. »

Ce qu'il faut écrire

« $L = 1$ : le critère de d'Alembert ne conclut pas. Par comparaison, $\frac{1}{n^{2} + 1} \le \frac{1}{n^{2}}$ : la série converge. »

Pourquoi : $L = 1$ arrive aussi bien pour $\sum \frac{1}{n}$ (divergente) que pour $\sum \frac{1}{n^{2}}$ (convergente). Sur un terme rationnel, le rapport tend toujours vers $1$ .

5. Borner le reste par le dernier terme gardé

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^{3}}$ à $10^{-3}$ près, $\frac{1}{N^{3}} \le 10^{-3}$ donne $N = 10$ , donc il faut $10$ termes. »

Ce qu'il faut écrire

« $|R_N| \le b_{N+1} = \frac{1}{(N+1)^{3}} \le 10^{-3}$ dès $N + 1 = 10$ : $9$ termes suffisent. »

Pourquoi : L'erreur de $s_N$ est majorée par le premier terme NÉGLIGÉ. L'écart d'un rang paraît mineur, mais il change la réponse numérique.

6. Lire le premier terme d'une géométrique sur la formule

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum_{n=3}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^{n} = \frac{1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{5}{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Premier terme $\left(\frac{2}{5}\right)^{3} = \frac{8}{125}$ , raison $\frac{2}{5}$ : $S = \frac{8/125}{3/5} = \frac{8}{75}$ . »

Pourquoi : La formule $\frac{1}{1 - r}$ vaut pour une série qui commence à $r^{0} = 1$ . Écrire d'abord le premier terme réellement sommé évite la confusion.

7. Télescoper de tête un écart de plusieurs rangs

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n(n+3)} = \sum \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+3}\right) = 1$ , il ne reste que le premier terme. »

Ce qu'il faut écrire

« $s_N = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+3} \to \frac{11}{6}$ . »

Pourquoi : Avec un écart de trois rangs, trois termes positifs survivent au début. Écrire $s_N$ sur une ligne, avec les premiers et les derniers termes, le montre.

8. Confondre les deux sens de la convergence absolue

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum \left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right|$ diverge, donc $\sum \frac{(-1)^{n}}{n}$ diverge. »

Ce qu'il faut écrire

« $\sum \left|a_n\right|$ diverge : pas de convergence absolue. Par Leibniz, $\sum \frac{(-1)^{n}}{n}$ converge : elle est semi-convergente. »

Pourquoi : Convergence absolue entraîne convergence, jamais l'inverse. Quand la valeur absolue échoue, il reste à étudier la série elle-même.

Quelle méthode choisir

Quel critère selon la forme du terme

On lit le terme $a_n$ AVANT de calculer quoi que ce soit, dans cet ordre.

Si $a_n$ ne tend pas vers $0$ → test de divergence, et c'est fini

Exemple : $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \to \mathrm{e}$ : divergence
Si forme $a\,r^{n}$ , quotient constant → géométrique : $|r| < 1$ , somme par la formule

Exemple : $\sum_{n \ge 1} \frac{3}{4^{n}} = \frac{3/4}{1 - 1/4} = 1$
Si différence $u_n - u_{n+k}$ (souvent après fractions partielles) → télescopage sur $s_N$

Exemple : $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ , somme $1$
Si factorielles, $c^{n}$ , produits → d'Alembert

Exemple : $\frac{n^{2}}{2^{n}}$ : $L = \frac{1}{2}$
Si une expression entière à la puissance $n$ → Cauchy

Exemple : $\left(\frac{n}{3n + 1}\right)^{n}$ : $L = \frac{1}{3}$
Si rationnel ou algébrique en $n$ → comparaison par limite avec $\frac{1}{n^{p}}$

Exemple : $\frac{2n + 1}{n^{3} + 4}$ comme $\frac{2}{n^{2}}$ : convergence
Si $\ln n$ et une primitive visible → test de l'intégrale, hypothèses écrites

Exemple : $\frac{1}{n(1 + \ln n)^{2}}$ : intégrale $1$ , convergence

le logarithme se règle aussi par comparaison : $\ln n \le n^{\varepsilon}$ pour $n$ grand
Si signes alternés → valeur absolue D'ABORD, puis Leibniz si elle échoue

Exemple : $\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ : semi-convergente

Si aucune branche ne s'applique, comparer à la main avec une constante. Sans calculatrice, un critère qui exige un calcul décimal est le mauvais critère.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Classer une série à signes alternés

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « absolument convergente, semi-convergente ou divergente ».

1 Tester le terme : « $a_n \to 0$ », sinon divergence et fin.
2 Étudier $\sum |a_n|$ , série à termes POSITIFS, avec un critère nommé : « $|a_n| = \frac{1}{\sqrt{n}}$ , Riemann avec $p = \frac{1}{2} \le 1$ : $\sum |a_n|$ diverge. »
3 Si elle diverge, poser $b_n = |a_n|$ et vérifier les trois hypothèses de Leibniz, chacune avec SA raison : « $b_n > 0$ ; $b_n$ décroît car $\sqrt{n}$ croît ; $b_n \to 0$ . »
4 Conclure par la phrase type, qui nomme les deux études.

Phrase de conclusion

« La série $\sum \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ converge par le théorème des séries alternées, mais $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge : elle est semi-convergente. »

Le piège : Sauter l'étude de la valeur absolue et conclure « converge » par Leibniz : la moitié de la réponse manque.

Barème : Un tiers pour la valeur absolue, un tiers pour les trois hypothèses, un tiers pour la conclusion nommée.

Donner une précision garantie

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « combien de termes pour une erreur d'au plus $\varepsilon$ ».

1 Nommer la borne utilisée : $|R_N| \le b_{N+1}$ (série alternée), ou une série géométrique qui domine $|a_n|$ (comparaison).
2 Résoudre l'inégalité « borne $\le \varepsilon$ » en entiers, et vérifier le rang précédent : il doit ÉCHOUER.
3 Dire le nombre de termes de $s_N$ , en tenant compte de l'indice de départ.

Phrase de conclusion

« Comme $|S - s_N| \le b_{N+1}$ et $b_{N+1} \le \varepsilon$ dès $N = N_0$ , la somme partielle $s_{N_0}$ approche $S$ à $\varepsilon$ près. »

Le piège : Donner une estimation au lieu d'une borne : « l'erreur semble petite » ne vaut rien.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le terme tend-il vers zéro ?

Avant tout critère, calculez la limite du terme. Une limite non nulle termine l'étude en une ligne.

Une copie qui applique d'Alembert à $\left(1 + \frac{2}{n}\right)^{n}$ trouve $L = 1$ et s'enlise ; la limite $\mathrm{e}^{2}$ réglait tout.
La somme partielle redonne les premiers termes

Une formule de $s_N$ (géométrique, télescopique) se vérifie sur $N = 1$ et $N = 2$ en additionnant à la main.

Pour $\frac{3}{n(n+3)}$ , $s_1 = \frac{3}{4}$ et la formule donne $\frac{11}{6} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ : juste.
Une somme à termes positifs dépasse son premier terme

La somme trouvée doit être plus grande que $a_1$ et plus grande que $s_2$ ; pour une série alternée, elle est entre $s_1$ et $s_2$ .

Annoncer $\sum \frac{1}{n^{2}} = 1$ alors que $s_2 = \frac{5}{4}$ : l'erreur se voit en cinq secondes.
Le rang de la borne est le premier terme négligé

Relisez : la borne du reste de $s_N$ porte sur l'indice $N + 1$ , et le rang $N - 1$ doit donner une borne trop grande.

Pour $b_n = \frac{1}{n^{3}}$ et $10^{-3}$ : $b_{10} = 10^{-3}$ , donc $N = 9$ ; si votre $N - 1 = 8$ marche aussi, votre $N$ n'était pas le plus petit.

L'exercice type décortiqué

Classer une série alternée, puis garantir deux décimales

On considère $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n + 1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \cdots$

a) Est-elle absolument convergente, semi-convergente ou divergente ? b) Combien de termes garantissent une erreur d'au plus $10^{-2}$ , et la somme partielle obtenue est-elle une sur- ou une sous-estimation ?

Les sommes d'indice impair sont au-dessus de

S

, celles d'indice pair en dessous, et l'écart se resserre :

S

est toujours coincée entre deux sommes consécutives.

Étape 1

$|a_n| = \frac{1}{2n + 1}$ et $\frac{1/(2n+1)}{1/n} = \frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2}$ : par comparaison par limite avec la série harmonique, $\sum |a_n|$ diverge.

Pourquoi

On commence par la valeur absolue : si elle convergeait, Leibniz serait inutile pour la nature. Ici elle échoue, donc la question reste ouverte.

Étape 2

$b_n = \frac{1}{2n + 1} > 0$ , décroissante car $2n + 1$ croît, et $b_n \to 0$ : par le théorème des séries alternées, la série converge. Elle est SEMI-CONVERGENTE.

Pourquoi

Trois hypothèses, trois raisons écrites. Le correcteur enlève le point d'une hypothèse affirmée sans raison.

Étape 3

$|S - s_N| \le b_{N+1} = \frac{1}{2N + 3}$ . On veut $2N + 3 \ge 100$ , soit $N \ge 48{,}5$ : $N = 49$ . Contrôle : $N = 48$ donne $\frac{1}{99} > \frac{1}{100}$ .

Pourquoi

La borne porte sur le premier terme NÉGLIGÉ, et le rang précédent doit échouer : c'est ce qui prouve que $49$ est le plus petit $N$ garanti.

Étape 4

Le premier terme négligé est $a_{50} = \frac{(-1)^{51}}{101} < 0$ : $S$ est entre $s_{50} = s_{49} - \frac{1}{101}$ et $s_{49}$ , donc $s_{49}$ est une SURESTIMATION.

Pourquoi

Le signe du reste est celui du premier terme négligé : on dit de quel côté est l'erreur, pas seulement sa taille.

Étape 5

Vérification sur la figure : $s_1 = \frac{1}{3}$ (indice impair) est au-dessus de $S$ et $s_2 = \frac{2}{15}$ en dessous, comme annoncé pour $s_{49}$ .

Pourquoi

Contrôle en cinq secondes du sens de l'erreur, sans calculer $s_{49}$ .

Conclusion rédigée

La série est semi-convergente ; $49$ termes garantissent $|S - s_{49}| \le \frac{1}{101} < 10^{-2}$ , et $s_{49}$ surestime $S$ .

L'erreur classique sur cet exercice : Résoudre $\frac{1}{2N + 1} \le \frac{1}{100}$ et répondre $N = 50$ : c'est le dernier terme gardé, pas le premier négligé.

À savoir par cœur

• $a_n \to 0$ est nécessaire, jamais suffisant : $\sum \frac{1}{n}$ diverge.
• Géométrique : converge si et seulement si $|r| < 1$ , somme $\frac{\text{premier terme}}{1 - r}$ .
• Riemann : $\sum \frac{1}{n^{p}}$ converge si et seulement si $p > 1$ .
• Test de l'intégrale : continue, positive, DÉCROISSANTE ; même NATURE, jamais même valeur.
• Comparaison : termes positifs, et l'inégalité dans le BON sens ; par limite, $0 < c < +\infty$ .
• Leibniz : $|S - s_N| \le b_{N+1}$ , le premier terme NÉGLIGÉ, et l'erreur a son signe.
• D'Alembert, Cauchy : $L < 1$ converge absolument, $L > 1$ diverge, $L = 1$ ne dit RIEN.

Questions fréquentes

Comment savoir quel critère de convergence utiliser pour une série ?

On lit la forme du terme avant de calculer. Si le terme ne tend pas vers zéro, la série diverge. Une puissance constante à la puissance n, c'est une série géométrique. Des factorielles ou des exponentielles appellent le critère de d'Alembert, une expression entière à la puissance n celui de Cauchy, une fraction de polynômes la comparaison avec une série de Riemann, et des signes alternés l'étude de la valeur absolue puis le critère des séries alternées.

Que faire quand le critère de d'Alembert donne une limite égale à 1 ?

Écrire que le critère ne permet pas de conclure, puis changer d'outil. Une limite égale à un apparaît pour des séries convergentes comme la somme des un sur n carré et pour des séries divergentes comme la série harmonique. Pour un terme rationnel ou algébrique, on compare à un sur n puissance p ; sinon on essaie le test de l'intégrale ou le test de divergence.

Quelle est la différence entre convergence absolue et semi-convergence ?

Une série converge absolument quand la série des valeurs absolues converge ; elle converge alors aussi. Elle est semi-convergente quand elle converge mais que la série des valeurs absolues diverge, comme la série harmonique alternée. On étudie donc toujours la valeur absolue en premier, puis la série elle-même, souvent par le critère des séries alternées.

Combien de termes faut-il pour approcher la somme d'une série alternée ?

L'erreur commise en s'arrêtant à N termes est au plus égale à la valeur absolue du premier terme négligé, celui de rang N plus un. On cherche donc le plus petit N pour lequel ce terme est sous la précision voulue, et on vérifie que le rang précédent échoue. Le signe de ce premier terme négligé dit si la somme partielle surestime ou sous-estime la somme.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les séries et leur convergence

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Les séries entières

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-series-convergence. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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