Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : les séries entières (MTH1101, Polytechnique)

Q: Comment trouver le rayon de convergence d'une série entière ?

On fixe x, on applique le critère de d'Alembert, ou celui de Cauchy si tout le terme est à la puissance n, à la valeur absolue du terme général complet, puissance de x comprise. La limite dépend de x ; on résout l'inégalité limite plus petite que un, et la distance au centre qu'on obtient est le rayon. Si la limite vaut zéro pour tout x, le rayon est infini.

Q: Pourquoi faut-il tester les bornes de l'intervalle de convergence séparément ?

Parce qu'aux deux bornes la limite du critère de d'Alembert ou de Cauchy vaut exactement un, et que dans ce cas le critère ne dit rien. On remplace donc x par chaque borne : la série devient une série numérique, qu'on tranche avec Riemann, la comparaison, le critère des séries alternées ou le test de divergence. Les deux bornes peuvent se comporter différemment.

Q: Est-ce que dériver une série entière change son intervalle de convergence ?

Le rayon ne change jamais, ni en dérivant ni en intégrant terme à terme. Les bornes, elles, peuvent changer : dériver multiplie le terme général par n et peut faire perdre une borne, intégrer le divise par n plus un et peut en faire gagner une. Il faut donc toujours retester les deux bornes dans la nouvelle série.

Q: Comment calculer la somme exacte d'une série avec une série entière ?

On reconnaît dans la série numérique la valeur d'une série entière connue en un point : série géométrique, ses dérivées, celle de moins logarithme de un moins x ou celle de l'arctangente. On nomme la fonction et le point, on vérifie que le point est dans l'intervalle de convergence, on aligne les indices, puis on évalue la fonction en ce point. On contrôle avec les premiers termes.

Cette fiche de révision porte sur les séries entières, troisième chapitre de MTH1101 à Polytechnique Montréal, sections 2.1 et 2.2 de Stewart, « Calcul à plusieurs variables » (2e édition) : rayon et intervalle de convergence, représentation d'une fonction à partir de la série géométrique, dérivation et intégration terme à terme, sommes exactes. Elle ne refait pas le cours, elle dit ce qui coûte des points au contrôle périodique 1 et quel geste l'évite.

Un seul réflexe la traverse : après chaque opération, se demander ce qu'elle a fait au rayon, puis rejuger les bornes une par une. Sans calculatrice, chaque réponse est exacte, et chaque somme se contrôle par ses premiers termes. Seul document permis à l'examen : votre aide-mémoire d'une feuille recto verso ; le mémo de cette fiche est fait pour y être recopié.

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Le fil du chapitre

Le rayon se CALCULE, les bornes se DÉCIDENT : substituer, multiplier par une puissance, dériver ou intégrer garde le rayon, rien ne garde les bornes, et une formule de somme ne vaut que sur l'intervalle de convergence.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les séries et leur convergence Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Série entière
Rayon de convergence
Intervalle de convergence
Critère de d'Alembert
Critère de Cauchy
Série géométrique
Dérivation terme à terme
Intégration terme à terme
Développement en série entière
Convergence conditionnelle aux bornes
Somme d'une série numérique

L'essentiel

Trois zones, et deux points où rien n'est décidé

• Une série entière $\sum c_{n}(x-a)^{n}$ a un rayon $R\in[0\,;+\infty]$ : convergence ABSOLUE si $|x-a|<R$ , divergence si $|x-a|>R$ . L'ensemble de convergence est un intervalle centré en $a$ .
• Le rayon s'obtient par d'Alembert ou Cauchy appliqué à la valeur absolue du terme général COMPLET, $x$ fixé : la limite s'écrit $\frac{|x-a|}{R}$ , ou $\frac{|x-a|^{2}}{R^{2}}$ quand seules les puissances paires figurent.
• Aux bornes $x=a\pm R$ , la limite vaut $1$ et le critère se TAIT. Chaque borne se remplace dans la série et se décide avec les outils des séries numériques : Riemann, comparaison, Leibniz, test de divergence.
• Les deux bornes ont la même série des valeurs absolues : l'une converge absolument si et seulement si l'autre aussi. Seule la convergence conditionnelle peut les séparer.

À l'intérieur, convergence absolue garantie ; à l'extérieur, divergence garantie ; aux deux points

a\pm R

, un point d'interrogation que seul un calcul lève.

Écrire « le critère ne décide pas aux bornes » avant de les tester rapporte souvent le point de rigueur.

La boîte à outils : une série et deux opérations

• $\frac{1}{1-u}=\sum_{n\geq 0}u^{n}$ pour $|u|<1$ SEULEMENT. Tout le chapitre s'y ramène : mettre une constante en facteur pour faire apparaître $1-u$ , lire $u$ , écrire $|u|<1$ .
• Dériver ou intégrer terme à terme sur $]a-R\,;a+R[$ donne la dérivée ou la primitive de la somme, avec le MÊME rayon. Les bornes, elles, sont à rejuger dans la nouvelle série.
• Séries à connaître : $\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n\geq 0}(n+1)x^{n}$ , $-\ln(1-x)=\sum_{n\geq 1}\frac{x^{n}}{n}$ sur $[-1\,;1[$ , $\arctan x=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}$ sur $[-1\,;1]$ .
• Pour un centre $a\neq 0$ , écrire $x=a+(x-a)$ : $\frac{1}{x}=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-a}{a}}$ .

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Ce que chaque opération fait au rayon et aux bornes

Le rayon se suit à la trace, opération par opération. Les bornes, jamais : les deux cases rouges ne sont pas des réponses, elles sont l'ordre de remplacer chaque borne dans la NOUVELLE série.

Opération	Rayon	Bornes
multiplier par $x^{p}$	inchangé	mêmes natures
Exemple : $\frac{x^{3}}{1-x}=\sum x^{n+3}$ : $R=1$ , intervalle $]-1\,;1[$ , comme $\frac{1}{1-x}$ .
$x\to\frac{x}{k}$	$R\to\|k\|\,R$	aux points $\pm\|k\|R$
Exemple : $\frac{1}{1-x/3}=\sum\frac{x^{n}}{3^{n}}$ : $R=3$ , intervalle $]-3\,;3[$ .
$x\to x^{2}$	$R\to\sqrt{R}$	aux points $\pm\sqrt{R}$
Exemple : $\sum\frac{x^{2n}}{7^{n}}$ : $\frac{x^{2}}{7}<1$ , $R=\sqrt{7}\approx 2{,}65$ .
dériver	inchangé	à rejuger à rejuger
Exemple : $\sum\frac{x^{n}}{n\,2^{n}}$ converge sur $[-2\,;2[$ ; sa dérivée $\sum\frac{x^{n-1}}{2^{n}}$ sur $]-2\,;2[$ : la borne $-2$ est PERDUE. Même forme, autre résultat : $\sum\frac{x^{n}}{2^{n}}$ , sur $]-2\,;2[$ , a une dérivée sur $]-2\,;2[$ : rien de perdu. Ce qu'il faut faire : Remplacer $x=a\pm R$ dans la série dérivée et décider chaque borne.
intégrer	inchangé	à rejuger à rejuger
Exemple : $\sum x^{n}$ sur $]-1\,;1[$ donne $\sum\frac{x^{n+1}}{n+1}$ sur $[-1\,;1[$ : la borne $-1$ est GAGNÉE. Même forme, autre résultat : $\sum\frac{x^{n}}{n^{2}}$ , sur $[-1\,;1]$ , s'intègre en une série sur $[-1\,;1]$ : rien de gagné. Ce qu'il faut faire : Remplacer $x=a\pm R$ dans la série intégrée et décider chaque borne.

Dériver multiplie le terme général par $n$ : on peut perdre une borne. Intégrer le divise par $n+1$ : on peut en gagner une.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Inverser le rayon quand la puissance est au numérateur

toute la question, intervalle compris

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum\frac{5^{n}x^{n}}{n}$ : d'Alembert donne $5$ , donc $R=5$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\to 5|x|<1$ si $|x|<\frac{1}{5}$ : $R=\frac{1}{5}$ . »

Pourquoi : Le nombre que rend le critère est une limite en $|x|$ , pas le rayon : c'est l'inégalité « limite $<1$ » qu'il faut résoudre. Un $5^{n}$ au numérateur fait grossir les termes, donc rétrécit le rayon.

2. Lire le centre sans mettre le coefficient de x en facteur

1 point, et l'intervalle entier faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum\frac{(2x+1)^{n}}{n\,3^{n}}$ : centre $-1$ , rayon $3$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $(2x+1)^{n}=2^{n}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{n}$ : centre $-\frac{1}{2}$ , et $|2x+1|<3$ donne $R=\frac{3}{2}$ . »

Pourquoi : Le centre est le nombre $a$ de $(x-a)^{n}$ , et le rayon se mesure en $x$ , pas en $2x+1$ . Contrôle : l'intervalle $\left[-2\,;1\right[$ a bien pour milieu $-\frac{1}{2}$ et pour demi-longueur $\frac{3}{2}$ .

3. Appliquer la formule des coefficients quand des puissances manquent

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum\frac{x^{2n}}{7^{n}}$ : $c_{n}=\frac{1}{7^{n}}$ et $\lim\left|\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right|=7$ , donc $R=7$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le terme général donne $\frac{x^{2}}{7}<1$ , donc $|x|<\sqrt{7}$ : $R=\sqrt{7}$ . »

Pourquoi : La formule suppose que $c_{n}$ est le coefficient de $x^{n}$ ; ici c'est celui de $x^{2n}$ , et elle mesure le rayon en $x^{2}$ . Le critère appliqué au terme COMPLET n'a jamais ce défaut.

4. Déclarer une borne convergente parce que la série y alterne

1 point par borne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En $x=-1$ , la série devient $\sum(-1)^{n}\frac{n}{n+1}$ , alternée, donc convergente par Leibniz. »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{n}{n+1}\to 1\neq 0$ : le terme général ne tend pas vers $0$ , la série diverge (test de divergence). »

Ronds pleins : les sommes de

\sum\frac{(-1)^{n}}{n}

se resserrent vers

-\ln 2

(pointillé). Ronds vides : celles de

\sum(-1)^{n}\frac{n}{n+1}

sautent sans fin, écart d'environ

1

Pourquoi : Leibniz exige des termes DÉCROISSANTS de LIMITE NULLE. Ici les sommes partielles sautent sans fin entre deux valeurs : elles ne se rapprochent de rien.

5. Supposer la convergence absolue au bord

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum\frac{x^{n}}{n\,4^{n}}$ converge en $x=-4$ , donc absolument, comme à l'intérieur. »

Ce qu'il faut écrire

« En $x=-4$ , c'est $\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$ : convergence CONDITIONNELLE, la série des valeurs absolues étant harmonique. »

Pourquoi : La convergence absolue n'est garantie que pour $|x-a|<R$ . À une borne, il faut tester la série ET sa valeur absolue, et dire laquelle des trois issues on obtient.

6. Recopier les bornes après une dérivation

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum\frac{x^{n}}{n\,2^{n}}$ converge sur $[-2\,;2[$ , donc sa dérivée aussi. »

Ce qu'il faut écrire

« La dérivée $\sum\frac{x^{n-1}}{2^{n}}$ a pour terme $\pm\frac{1}{2}$ en $x=\pm 2$ : divergence aux deux bornes, intervalle $]-2\,;2[$ . »

Pourquoi : Le théorème de dérivation terme à terme garantit le RAYON, et rien d'autre. Dériver multiplie le terme par $n$ , ce qui peut détruire la convergence à une borne.

7. Sommer sans aligner la puissance

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum_{n\geq 1}\frac{n}{5^{n}}$ : c'est $\frac{1}{(1-x)^{2}}$ en $x=\frac{1}{5}$ , soit $\frac{25}{16}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sum_{n\geq 1}n\,x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}$ , donc en $x=\frac{1}{5}$ la somme vaut $\frac{1/5}{16/25}=\frac{5}{16}$ . »

Pourquoi : La série dérivée est $\sum n\,x^{n-1}$ : pour obtenir $\sum n\,x^{n}$ , il faut multiplier par $x$ . Contrôle : $\frac{1}{5}+\frac{2}{25}+\frac{3}{125}\approx 0{,}304$ , déjà proche de $\frac{5}{16}\approx 0{,}3125$ et loin de $1{,}56$ .

8. Évaluer une formule de somme hors de l'intervalle

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sum_{n\geq 0}(-x)^{n}=\frac{1}{1+x}$ , donc $\sum_{n\geq 0}(-2)^{n}=\frac{1}{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'égalité ne vaut que pour $|x|<1$ . En $x=2$ , le terme $(-2)^{n}$ ne tend pas vers $0$ : la série diverge. »

Pour

x<1

S_{3}

S_{4}

épousent

\frac{1}{1+x}

; au-delà de

x=1

, elles s'en écartent de part et d'autre : la fonction continue, la série non.

Pourquoi : La fonction $\frac{1}{1+x}$ existe en $x=2$ , la série non. Une somme de série ne s'obtient par une formule qu'en un point de l'intervalle de convergence, vérifié par écrit.

Quelle méthode choisir

Quel critère, pour le rayon puis pour chaque borne

Regardez la forme du terme général, puis, à chaque borne, ce que devient ce terme.

Si terme avec $n!$ , des produits ou des puissances $k^{n}$ → rayon par d'Alembert, quotient de deux termes consécutifs

Exemple : $\sum\frac{x^{n}}{n\,4^{n}}$ : $\frac{|x|}{4}\cdot\frac{n}{n+1}\to\frac{|x|}{4}$ , $R=4$
Si terme entièrement à la puissance $n$ , $(b_{n})^{n}$ → rayon par Cauchy, racine n-ième

Exemple : $\sum\left(\frac{n+2}{3n}\right)^{n}x^{n}$ : $\frac{n+2}{3n}|x|\to\frac{|x|}{3}$ , $R=3$
Si à une borne, le terme ne tend pas vers 0 → divergence par le test de divergence, sans autre calcul

Exemple : $\sum(n+1)x^{n}$ en $x=-1$ : $|(n+1)(-1)^{n}|=n+1$
Si à une borne, termes positifs comparables à $\frac{1}{n^{p}}$ → série de Riemann ou comparaison par limite : convergence si $p>1$

Exemple : $\sum\frac{x^{n}}{\sqrt{n}\,2^{n}}$ en $x=2$ : $p=\frac{1}{2}$ , divergence
Si à une borne, série alternée → Leibniz après avoir vérifié termes décroissants de limite nulle, puis la valeur absolue pour trancher absolue ou conditionnelle

Exemple : $\sum\frac{x^{n}}{\sqrt{n}\,2^{n}}$ en $x=-2$ : $\frac{1}{\sqrt{n}}\searrow 0$ , convergence conditionnelle

Le critère du rayon ne se réutilise JAMAIS à une borne : sa limite y vaut $1$ par construction, il n'en sortira rien.

Comment représenter une fonction donnée

Regardez la forme de la fonction avant d'écrire la moindre somme.

Si forme $\frac{k}{b-cx}$ → mettre $b$ en facteur : $u=\frac{cx}{b}$ , puis $|u|<1$

Exemple : $\frac{1}{4+x}=\frac{1}{4}\sum\left(-\frac{x}{4}\right)^{n}$ , $R=4$
Si une puissance $x^{p}$ en facteur → développer le reste, puis multiplier : le rayon ne bouge pas

Exemple : $\frac{x^{2}}{1-x^{3}}=\sum x^{3n+2}$ , $R=1$
Si $\frac{1}{(b-x)^{2}}$ ou $\frac{1}{(b-x)^{3}}$ → dériver la série de $\frac{1}{b-x}$ une ou deux fois

Exemple : $\frac{1}{(2-x)^{2}}=\sum\frac{(n+1)x^{n}}{2^{n+2}}$ , $R=2$
Si $\ln(\dots)$ ou $\arctan(\dots)$ → dériver la fonction, développer la dérivée, intégrer de a à x et fixer la constante par la valeur en a

Exemple : $\ln(1+3x)=\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}3^{n}x^{n}}{n}$ , $R=\frac{1}{3}$
Si centre $a\neq 0$ imposé → écrire $x=a+(x-a)$ et faire apparaître $1-u$ avec $u$ en $(x-a)$

Exemple : $\frac{1}{x}$ autour de $2$ : $\sum\frac{(-1)^{n}(x-2)^{n}}{2^{n+1}}$ sur $]0\,;4[$

La formule $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ n'est pas un outil de ce chapitre : elle arrive avec les séries de Taylor, et elle est presque toujours plus longue que ces manipulations.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Déterminer l'intervalle de convergence

Quand l'utiliser : L'énoncé demande le rayon ET l'intervalle de convergence d'une série entière.

1 Fixer $x\neq a$ et appliquer d'Alembert ou Cauchy à $|a_{n}|$ , terme général COMPLET.
2 Écrire la limite en fonction de $|x-a|$ et résoudre « limite $<1$ » : on lit $R$ .
3 Conclure : convergence absolue pour $|x-a|<R$ , divergence pour $|x-a|>R$ .
4 Remplacer $x=a+R$ dans la série, nommer le critère utilisé et conclure.
5 Remplacer $x=a-R$ de même, en distinguant convergence absolue et conditionnelle.
6 Écrire l'intervalle avec ses crochets, et contrôler que son milieu est $a$ .

Phrase de conclusion

« Par le critère de d'Alembert, la série converge absolument si $|x-a|<R$ et diverge si $|x-a|>R$ ; en $x=a+R$ … ; en $x=a-R$ … ; l'intervalle de convergence est donc … »

Le piège : Les étapes 4 et 5 : une borne non testée est une borne fausse une fois sur deux.

Barème : Rayon 2 points, chaque borne 1 point, intervalle écrit 1 point, sur 5 en général.

Calculer la somme exacte d'une série numérique

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « la valeur exacte » ou « la somme » d'une série qui contient une puissance.

1 Faire apparaître une puissance $x^{n}$ unique, en regroupant les constantes.
2 Nommer la série entière reconnue, sa fonction somme, et le point $x_{0}$ .
3 Vérifier par écrit que $x_{0}$ appartient à l'intervalle de convergence.
4 Aligner indices et puissances (premier terme manquant, facteur $x$ à ajouter), puis évaluer.
5 Contrôler par la somme des trois ou quatre premiers termes.

Phrase de conclusion

« On reconnaît la série de $f(x)=…$ au point $x_{0}=…$ , qui appartient à l'intervalle de convergence $…$ ; la somme vaut donc $f(x_{0})=…$ . »

Le piège : La troisième étape : hors de l'intervalle, la formule donne un nombre que la série ne vaut pas.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le milieu de l'intervalle est le centre

Calculer le milieu et la demi-longueur de l'intervalle trouvé : ils doivent valoir $a$ et $R$ .

Pour $\sum\frac{(2x+1)^{n}}{n\,3^{n}}$ , $[-2\,;1[$ a pour milieu $-\frac{1}{2}$ et pour demi-longueur $\frac{3}{2}$ ; un intervalle $[-4\,;2[$ trahirait un centre lu trop vite.
La valeur au centre

Une série entière vaut $c_{0}$ en son centre : comparer à la fonction en $a$ .

$\frac{1}{4+x}$ vaut $\frac{1}{4}$ en $0$ , et la série $\frac{1}{4}\sum\left(-\frac{x}{4}\right)^{n}$ aussi ; une série qui commencerait par $1$ serait fausse.
Les premiers termes d'une somme

Additionner trois ou quatre termes : une série à termes positifs dépasse toujours ses sommes partielles.

Pour $\sum\frac{n+1}{4^{n}}$ , $1+\frac{2}{4}+\frac{3}{16}+\frac{4}{64}\approx 1{,}75$ : la réponse $\frac{16}{9}\approx 1{,}78$ est plausible, $\frac{4}{9}$ ne l'est pas.
Le rayon et le point où la fonction s'arrête

Pour une fraction rationnelle, le rayon est la distance du centre au zéro du dénominateur le plus proche.

$\frac{1}{4+x}$ centrée en $0$ : le dénominateur s'annule en $-4$ , donc $R=4$ ; un rayon $\frac{1}{4}$ serait faux.

L'exercice type décortiqué

Représenter $\frac{1}{(2-x)^{2}}$ et en tirer $\sum\frac{n+1}{4^{n}}$

Représentez $f(x)=\frac{1}{(2-x)^{2}}$ par une série entière centrée en $0$ , donnez son intervalle de convergence, puis calculez la valeur exacte de $\sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{4^{n}}$ .

Étape 1

$\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\sum_{n\geq 0}\frac{x^{n}}{2^{n+1}}$ , pour $\left|\frac{x}{2}\right|<1$ , soit $|x|<2$ .

Pourquoi

On se ramène à la seule série connue en mettant $2$ en facteur ; c'est la condition $|u|<1$ qui donne le rayon, sans critère.

Étape 2

$f(x)$ est la dérivée de $\frac{1}{2-x}$ . Terme à terme : $f(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{n\,x^{n-1}}{2^{n+1}}=\sum_{n\geq 0}\frac{(n+1)x^{n}}{2^{n+2}}$ , rayon $2$ .

Pourquoi

Le théorème garantit la dérivée et le rayon ; le décalage d'indice remet des puissances x^n, ce que la suite exige.

Étape 3

En $x=\pm 2$ , le terme vaut $\frac{(n+1)(\pm 2)^{n}}{2^{n+2}}$ , de valeur absolue $\frac{n+1}{4}\to+\infty$ : divergence aux deux bornes. Intervalle $]-2\,;2[$ .

Pourquoi

Le théorème ne dit rien des bornes : on les teste dans la série DÉRIVÉE, et le test de divergence suffit.

Étape 4

$\frac{n+1}{4^{n}}=4\cdot\frac{(n+1)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{2^{n+2}}$ : c'est $4$ fois le terme de la série en $x=\frac{1}{2}$ , point de $]-2\,;2[$ .

Pourquoi

On aligne la puissance et le dénominateur avant d'évaluer, et l'on écrit que le point est dans l'intervalle.

Étape 5

$\sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{4^{n}}=4f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{4}{(3/2)^{2}}=\frac{16}{9}$ .

Pourquoi

La somme est exacte : aucune calculatrice, aucune approximation.

Étape 6

Contrôle : $1+\frac{2}{4}+\frac{3}{16}+\frac{4}{64}+\frac{5}{256}\approx 1{,}770$ , sous $\frac{16}{9}\approx 1{,}778$ .

Pourquoi

Les termes sont positifs : les sommes partielles doivent rester sous la somme et s'en approcher.

Conclusion rédigée

« $\frac{1}{(2-x)^{2}}=\sum_{n\geq 0}\frac{(n+1)x^{n}}{2^{n+2}}$ sur $]-2\,;2[$ , et $\sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{4^{n}}=4f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{16}{9}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Évaluer en $x=\frac{1}{4}$ parce que l'on voit $4^{n}$ : on obtient $\frac{1}{(7/4)^{2}}=\frac{16}{49}$ , la somme d'une autre série.

À savoir par cœur

• Convergence ABSOLUE pour $|x-a|<R$ , divergence pour $|x-a|>R$ , bornes à tester UNE PAR UNE.
• Le rayon se lit dans « limite du critère $<1$ », jamais directement sur la limite.
• $\frac{1}{1-u}=\sum u^{n}$ pour $|u|<1$ SEULEMENT : mettre la constante en facteur d'abord.
• Dériver ou intégrer garde le RAYON ; dériver peut perdre une borne, intégrer peut en gagner une.
• $\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n\geq 0}(n+1)x^{n}$ ; $-\ln(1-x)=\sum_{n\geq 1}\frac{x^{n}}{n}$ ; $\arctan x=\sum\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}$ .
• Une somme exacte : la série, la fonction, le point, le point DANS l'intervalle, puis l'évaluation.

Questions fréquentes

Comment trouver le rayon de convergence d'une série entière ?

On fixe x, on applique le critère de d'Alembert, ou celui de Cauchy si tout le terme est à la puissance n, à la valeur absolue du terme général complet, puissance de x comprise. La limite dépend de x ; on résout l'inégalité limite plus petite que un, et la distance au centre qu'on obtient est le rayon. Si la limite vaut zéro pour tout x, le rayon est infini.

Pourquoi faut-il tester les bornes de l'intervalle de convergence séparément ?

Parce qu'aux deux bornes la limite du critère de d'Alembert ou de Cauchy vaut exactement un, et que dans ce cas le critère ne dit rien. On remplace donc x par chaque borne : la série devient une série numérique, qu'on tranche avec Riemann, la comparaison, le critère des séries alternées ou le test de divergence. Les deux bornes peuvent se comporter différemment.

Est-ce que dériver une série entière change son intervalle de convergence ?

Le rayon ne change jamais, ni en dérivant ni en intégrant terme à terme. Les bornes, elles, peuvent changer : dériver multiplie le terme général par n et peut faire perdre une borne, intégrer le divise par n plus un et peut en faire gagner une. Il faut donc toujours retester les deux bornes dans la nouvelle série.

Comment calculer la somme exacte d'une série avec une série entière ?

On reconnaît dans la série numérique la valeur d'une série entière connue en un point : série géométrique, ses dérivées, celle de moins logarithme de un moins x ou celle de l'arctangente. On nomme la fonction et le point, on vérifie que le point est dans l'intervalle de convergence, on aligne les indices, puis on évalue la fonction en ce point. On contrôle avec les premiers termes.

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Exercices corrigés : Les séries entières

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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Fiche de révision : les séries entières (MTH1101, Polytechnique)

L'essentiel

Trois zones, et deux points où rien n'est décidé

La boîte à outils : une série et deux opérations

Les règles de calcul en tableau

Ce que chaque opération fait au rayon et aux bornes

Les pièges qui coûtent des points

1. Inverser le rayon quand la puissance est au numérateur

2. Lire le centre sans mettre le coefficient de x en facteur

3. Appliquer la formule des coefficients quand des puissances manquent

4. Déclarer une borne convergente parce que la série y alterne

5. Supposer la convergence absolue au bord

6. Recopier les bornes après une dérivation

7. Sommer sans aligner la puissance

8. Évaluer une formule de somme hors de l'intervalle

Quelle méthode choisir

Quel critère, pour le rayon puis pour chaque borne

Comment représenter une fonction donnée

La rédaction attendue

Déterminer l'intervalle de convergence

Calculer la somme exacte d'une série numérique

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Représenter 1(2−x)2\frac{1}{(2-x)^{2}}(2−x)21​ et en tirer ∑n+14n\sum\frac{n+1}{4^{n}}∑4nn+1​

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver le rayon de convergence d'une série entière ?

Pourquoi faut-il tester les bornes de l'intervalle de convergence séparément ?

Est-ce que dériver une série entière change son intervalle de convergence ?

Comment calculer la somme exacte d'une série avec une série entière ?

Exercices corrigés : Les séries entières

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