Les séries entières : exercices corrigés de MTH1101 (Polytechnique)

a) Avec $a_{n}=\frac{3^{n}x^{n}}{n^{2}}$ et $x\neq 0$ fixé, $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=3|x|\,\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\to 3|x|$. Le critère de d'Alembert donne la convergence absolue si $3|x|<1$, la divergence si $3|x|>1$ : $R=\frac{1}{3}$. Le piège est d'écrire $R=3$ par réflexe : la puissance $3^{n}$ est au NUMÉRATEUR, elle accélère la croissance des termes et rétrécit le rayon. Bornes : en $x=\frac{1}{3}$, la série devient $\sum\frac{1}{n^{2}}$, série de Riemann avec $p=2>1$, convergente ; en $x=-\frac{1}{3}$, elle devient $\sum\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$, dont la série des valeurs absolues est la même série de Riemann : convergence absolue. Intervalle : $\left[-\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\right]$.

b) Le centre est $5$. $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{|x-5|}{2}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{1/3}\to\frac{|x-5|}{2}$, inférieur à $1$ si et seulement si $|x-5|<2$ : $R=2$, et la série converge absolument sur $]3\,;7[$. En $x=7$, $(x-5)^{n}=2^{n}$ se simplifie et il reste $\sum\frac{1}{n^{1/3}}$ : Riemann avec $p=\frac{1}{3}\leq 1$, divergente. En $x=3$, il reste $\sum\frac{(-1)^{n}}{n^{1/3}}$ : la suite $\frac{1}{n^{1/3}}$ est décroissante et tend vers $0$, donc le critère des séries alternées (Leibniz) donne la convergence ; mais la série des valeurs absolues est celle de $x=7$, divergente. La convergence en $3$ est donc CONDITIONNELLE. Intervalle : $[3\,;7[$, dissymétrique, ce qui est normal : rien n'oblige les deux bornes à se comporter de la même façon. L'erreur qui coûte la question est de conclure en $x=3$ « diverge, car la valeur absolue diverge » : la divergence absolue ne dit rien de la convergence.

c) Le terme général est une puissance $n$-ième : le critère de Cauchy est le plus direct. $\sqrt[n]{|a_{n}|}=\left(1+\frac{1}{n}\right)|x|\to|x|$, donc $R=1$. D'Alembert marcherait aussi, au prix du quotient $\frac{(1+1/(n+1))^{n+1}}{(1+1/n)^{n}}$, qui tend vers $\frac{e}{e}=1$. Aux bornes, le terme général a pour valeur absolue $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$, suite croissante de limite $e\neq 0$ (chapitre des suites). En $x=1$ comme en $x=-1$, le terme général ne tend pas vers $0$ : le test de divergence suffit, les deux bornes sont exclues. Intervalle : $]-1\,;1[$. En $x=-1$, la série est alternée, et c'est le piège : invoquer Leibniz alors que ses hypothèses (termes décroissants de limite nulle) échouent. Une série alternée ne converge pas « parce qu'elle alterne ».

d) En résumé, chaque borne a eu son propre critère, et aucun n'était celui qui a donné le rayon. En $x=\pm\frac{1}{3}$ pour a) : convergence absolue, par comparaison à la série de Riemann $\sum\frac{1}{n^{2}}$. En $x=3$ pour b) : convergence conditionnelle, Leibniz pour la série, Riemann ($p=\frac{1}{3}$) pour la divergence de la valeur absolue. En $x=7$ pour b) : divergence, Riemann. Retenez le contraste entre a) et b) : quand les deux bornes ont la même série des valeurs absolues, ce qui est toujours le cas pour une série entière, la convergence ABSOLUE se décide pour les deux bornes à la fois ; seule la convergence conditionnelle peut les séparer.

a) On met $3$ en facteur dans la parenthèse : $(3x-2)^{n}=3^{n}\left(x-\frac{2}{3}\right)^{n}$. Le centre est donc $\frac{2}{3}$, pas $2$. Le critère de d'Alembert donne $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{|3x-2|}{4}\,\frac{n}{n+1}\to\frac{|3x-2|}{4}$, et $|3x-2|<4$ équivaut à $\left|x-\frac{2}{3}\right|<\frac{4}{3}$ : $R=\frac{4}{3}$, pas $4$. Les bornes sont les valeurs où $3x-2=\pm 4$. Si $3x-2=4$, soit $x=2$, il reste $\sum\frac{1}{n}$, série harmonique divergente. Si $3x-2=-4$, soit $x=-\frac{2}{3}$, il reste $\sum\frac{(-1)^{n}}{n}$, convergente par Leibniz (conditionnellement). Intervalle : $\left[-\frac{2}{3}\,;2\right[$, de longueur $\frac{8}{3}=2R$ et de milieu $\frac{2}{3}$ : c'est le contrôle à faire, le milieu de l'intervalle est le centre.

b) $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{x^{2}}{5}\,\frac{n}{n+1}\to\frac{x^{2}}{5}$, inférieur à $1$ si et seulement si $|x|<\sqrt{5}$ : $R=\sqrt{5}\approx 2{,}236$. En $x=\pm\sqrt{5}$, $x^{2n}=5^{n}$ et il reste $\sum\frac{1}{n}$, divergente aux deux bornes : intervalle $\left]-\sqrt{5}\,;\sqrt{5}\right[$. L'erreur du camarade : la formule $R=\lim\left|\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right|$ suppose une série $\sum c_{n}x^{n}$ où $c_{n}$ est le coefficient de $x^{n}$. Ici les puissances impaires manquent et $\frac{1}{n\,5^{n}}$ est le coefficient de $x^{2n}$ : la formule mesure le rayon en la variable $x^{2}$, d'où $x^{2}<5$, et il faut encore prendre la racine. Appliquer le critère au terme général complet évite ce piège sans avoir à y penser.

c) L'ensemble de convergence d'une série entière est un intervalle centré en $2$, de rayon $R$ : convergence absolue si $|x-2|<R$, divergence si $|x-2|>R$. La série converge en $x=5$, à distance $3$ du centre : si l'on avait $R<3$, elle y divergerait, donc $R\geq 3$. Elle diverge en $x=-1$, à distance $3$ aussi : si l'on avait $R>3$, elle y convergerait, donc $R\leq 3$. D'où $R=3$, sans connaître un seul coefficient. Puis on mesure les distances au centre : $x=4$ est à distance $2<3$, convergence absolue ; $x=-2$ est à distance $4>3$, divergence ; $x=-0{,}5$ est à distance $2{,}5<3$, convergence absolue. L'intervalle de convergence est $]-1\,;5]$.

d) Supposons la convergence absolue en $x=5$ : la série $\sum|c_{n}|\,3^{n}$ converge. Mais en $x=-1$, le terme général $c_{n}(-3)^{n}$ a exactement la même valeur absolue $|c_{n}|\,3^{n}$, et la série convergerait absolument en $-1$ aussi, ce qui contredit l'énoncé. La convergence en $x=5$ est donc CONDITIONNELLE. C'est le même fait qu'à l'exercice 1 lu à l'envers : les deux bornes d'une série entière ont la même série des valeurs absolues, si bien qu'une borne absolument convergente entraîne l'autre. Une série qui converge à une borne et diverge à l'autre converge forcément de façon conditionnelle là où elle converge.

a) On fait apparaître $1$ au dénominateur en mettant $2$ en facteur : $f(x)=\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^{2}}{2}}=\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{1-u}$ avec $u=-\frac{x^{2}}{2}$. Donc $f(x)=\frac{x}{2}\sum_{n\geq 0}\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2^{n+1}}=\frac{x}{2}-\frac{x^{3}}{4}+\frac{x^{5}}{8}-\cdots$, valable si $\frac{x^{2}}{2}<1$, c'est-à-dire $|x|<\sqrt{2}$ : $R=\sqrt{2}$. Aux bornes $x=\pm\sqrt{2}$, $|u|=1$ et le terme général garde la valeur absolue $\frac{\sqrt{2}}{2}$ : il ne tend pas vers $0$, divergence. Intervalle $\left]-\sqrt{2}\,;\sqrt{2}\right[$. L'erreur classique est d'écrire $\frac{1}{2+x^{2}}=\sum(-x^{2})^{n}$ sans mettre $2$ en facteur : on obtient un développement de $\frac{1}{1+x^{2}}$, faux d'un facteur et de rayon $1$.

b) $g(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{2x}{3}}=\frac{1}{3}\sum_{n\geq 0}\left(\frac{2x}{3}\right)^{n}=\sum_{n\geq 0}\frac{2^{n}x^{n}}{3^{n+1}}$, pour $\left|\frac{2x}{3}\right|<1$, soit $|x|<\frac{3}{2}$. Aux bornes, $u=\pm 1$ : la série géométrique de raison $\pm 1$ diverge. Intervalle $\left]-\frac{3}{2}\,;\frac{3}{2}\right[$. Contrôle en $x=0$ : la série vaut $\frac{1}{3}=g(0)$. Contrôle du rayon : $g$ explose en $x=\frac{3}{2}$, exactement au bord.

c) On écrit $x$ comme le centre plus un écart : $x=3+(x-3)$, donc $h(x)=\frac{1}{3+(x-3)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-3}{3}}=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^{n}(x-3)^{n}}{3^{n+1}}$, pour $|x-3|<3$, c'est-à-dire $0<x<6$. En $x=0$ et en $x=6$, $u=\pm 1$ et la série diverge : intervalle $]0\,;6[$. Sur la figure, $S_{2}$ et $S_{5}$ épousent la courbe autour de $3$, et $S_{5}$ plus longtemps que $S_{2}$ : chaque terme ajouté prolonge l'accord. Au-delà de $x=6$, les sommes partielles s'écartent au lieu de s'améliorer, parce que la série n'y converge plus. Le rayon ne peut pas dépasser $3$ : la somme d'une série entière est continue sur tout l'intervalle ouvert de convergence, donc bornée près de $0$ si cet intervalle contenait $0$ ; or $\frac{1}{x}$ n'est pas bornée près de $0$. Le rayon est la distance du centre au point où la fonction cesse d'être sage.

d) On lit les coefficients sur la série, sans formule de dérivées. Dans celle de $f$, l'exposant $2n+1=7$ donne $n=3$ et le coefficient $\frac{(-1)^{3}}{2^{4}}=-\frac{1}{16}$. Aucune puissance paire n'apparaît, donc le coefficient de $x^{6}$ est $0$ ; c'est cohérent avec l'imparité de $f$, puisque $f(-x)=-f(x)$. Dans celle de $h$, $n=2$ donne $\frac{(-1)^{2}}{3^{3}}=\frac{1}{27}$. Le piège est de répondre avec $n=7$ pour $x^{7}$ : le rang $n$ n'est pas l'exposant quand la série ne porte que des puissances impaires.

a) Sur $]-1\,;1[$, la série géométrique a pour rayon $1$, et le théorème autorise à dériver terme à terme : $\frac{1}{(1-x)^{2}}=\sum_{n\geq 1}n\,x^{n-1}$. Pour écrire des puissances $x^{n}$, on pose $m=n-1$ : $\sum_{m\geq 0}(m+1)x^{m}=1+2x+3x^{2}+\cdots$. Le rayon reste $1$. Aux bornes, le terme général $(n+1)x^{n}$ a pour valeur absolue $n+1$, qui ne tend pas vers $0$ : divergence en $1$ et en $-1$. Intervalle $]-1\,;1[$, celui de la série géométrique. Le décalage d'indice est le geste qui coûte des points : en remplaçant seulement $n-1$ par $n$ dans l'exposant, on écrit $\sum n\,x^{n}$, qui est $\frac{x}{(1-x)^{2}}$ et non $\frac{1}{(1-x)^{2}}$. Contrôle en $x=0$ : la série vaut $1$, la fonction aussi.

b) On dérive encore : $\frac{2}{(1-x)^{3}}=\sum_{n\geq 2}n(n-1)x^{n-2}$, puis on décale de deux crans : $\sum_{n\geq 0}(n+2)(n+1)x^{n}=2+6x+12x^{2}+20x^{3}+30x^{4}+\cdots$. Donc $d_{4}=6\times 5=30$. Contrôle en $x=0$ : $d_{0}=2=\frac{2}{1^{3}}$. Rayon $1$ toujours, et intervalle $]-1\,;1[$ pour la même raison qu'en a). Cette série permettra de sommer toute série numérique dont le terme général porte un facteur du second degré en $n$.

c) On reconnaît $\sum_{n\geq 2}n(n-1)x^{n}$ en $x=\frac{1}{4}$. Pour faire apparaître la série de b), il faut aligner les puissances : $\sum_{n\geq 2}n(n-1)x^{n}=x^{2}\sum_{n\geq 2}n(n-1)x^{n-2}=\frac{2x^{2}}{(1-x)^{3}}$. Le point $\frac{1}{4}$ est dans $]-1\,;1[$, donc l'égalité y vaut : $\sum_{n\geq 2}\frac{n(n-1)}{4^{n}}=\frac{2\cdot\frac{1}{16}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{3}}=\frac{1}{8}\cdot\frac{64}{27}=\frac{8}{27}\approx 0{,}2963$. Vérification par les premiers termes : $\frac{2}{16}+\frac{6}{64}+\frac{12}{256}+\frac{20}{1024}+\frac{30}{4096}\approx 0{,}2925$, et la suite est petite. L'oubli du facteur $x^{2}$ donne $\frac{2}{(3/4)^{3}}=\frac{128}{27}$, seize fois trop : c'est la somme de $\sum n(n-1)x^{n-2}$, pas de la série demandée.

d) On remplace $x$ par $-x$ dans a) : $\frac{1}{(1+x)^{2}}=\sum_{n\geq 0}(n+1)(-x)^{n}=\sum_{n\geq 0}(-1)^{n}(n+1)x^{n}$, pour $|-x|<1$. Puis on multiplie par $x^{3}$, ce qui décale les exposants sans toucher à la convergence : $k(x)=\sum_{n\geq 0}(-1)^{n}(n+1)x^{n+3}=x^{3}-2x^{4}+3x^{5}-\cdots$. Le coefficient de $x^{10}$ correspond à $n+3=10$, soit $n=7$ : $(-1)^{7}\times 8=-8$. Le rayon est $1$ : multiplier par une puissance de $x$ ne change ni le rayon ni même les bornes, puisque le facteur $x^{3}$ vaut $\pm 1$ en $x=\pm 1$. Le signe $(-1)^{n}$ est l'oubli classique de la substitution $x\to -x$ : sans lui, on représente $\frac{x^{3}}{(1-x)^{2}}$.

a) Avec $u=-x^{2}$ : $\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n\geq 0}(-1)^{n}x^{2n}$ pour $x^{2}<1$, puis on multiplie par $2x$ : $\frac{2x}{1+x^{2}}=\sum_{n\geq 0}2(-1)^{n}x^{2n+1}=2x-2x^{3}+2x^{5}-\cdots$, de rayon $1$. En $x=1$, la série est $2-2+2-\cdots$ ; en $x=-1$, c'est $-2+2-2+\cdots$ : le terme général garde la valeur absolue $2$, divergence aux deux bornes. Intervalle $]-1\,;1[$.

b) Pour $|x|<1$, le théorème permet d'intégrer terme à terme de $0$ à $x$ : $\int_{0}^{x}\frac{2t}{1+t^{2}}\,dt=\sum_{n\geq 0}2(-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{2n+2}=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^{n}x^{2n+2}}{n+1}$. Le membre de gauche vaut $\ln\left(1+x^{2}\right)-\ln 1=\ln\left(1+x^{2}\right)$ : la constante est nulle parce que l'intégrale part de $0$, où les deux membres s'annulent. Donc $\ln\left(1+x^{2}\right)=x^{2}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{3}-\cdots$, de rayon $1$. Aux bornes, $x^{2n+2}=1$ et il reste $\sum\frac{(-1)^{n}}{n+1}$, convergente par Leibniz. L'intervalle devient $[-1\,;1]$ : le RAYON est celui de a), mais les deux bornes, perdues en a), sont GAGNÉES par l'intégration, qui divise le terme général par $n+1$. Que la somme vaille encore $\ln 2$ en $x=\pm 1$ demande un argument de plus (théorème d'Abel), que le seul calcul ne donne pas. Au-delà de $x=1$, la figure montre $S_{3}$ qui file vers le haut et $S_{2}$ vers le bas : les sommes partielles s'écartent de la courbe de part et d'autre, de plus en plus, au lieu de s'en approcher. C'est le visage de la divergence pour $|x|>1$.

c) La série cherchée s'écrit $\sum_{m\geq 1}\frac{(-1)^{m+1}}{m}\left(\frac{1}{3}\right)^{m}$. Dans b), avec $m=n+1$, le terme est $\frac{(-1)^{m+1}}{m}\left(x^{2}\right)^{m}$ : c'est $x^{2}$ qui doit valoir $\frac{1}{3}$, soit $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$, point de $]-1\,;1[$. Donc la somme vaut $\ln\left(1+\frac{1}{3}\right)=\ln\frac{4}{3}\approx 0{,}2877$. Contrôle : $\frac{1}{3}-\frac{1}{18}+\frac{1}{81}-\frac{1}{324}\approx 0{,}2870$, et le terme suivant vaut $\frac{1}{1215}$. Le piège est de poser $x=\frac{1}{3}$ : on obtient $\ln\frac{10}{9}$, la valeur de la série en $\frac{1}{9}$.