Les séries et leur convergence : exercices corrigés de MTH1101 (Polytechnique)

a) On écrit les premiers termes avant toute formule. Pour $n = 1$ : $\frac{2^{3}}{7^{0}} = 8$ ; pour $n = 2$ : $\frac{2^{4}}{7} = \frac{16}{7}$. Le quotient de deux termes consécutifs vaut $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+3}}{7^{n}} \cdot \frac{7^{n-1}}{2^{n+2}} = \frac{2}{7}$, constant : la série est géométrique de raison $r = \frac{2}{7}$, et $|r| < 1$, donc elle converge. Sa somme est $\frac{\text{premier terme}}{1 - r} = \frac{8}{1 - \frac{2}{7}} = \frac{8}{\frac{5}{7}} = \frac{56}{5}$. Le piège est de prendre « $2$ » pour premier terme parce qu'il est devant l'exposant : le premier terme est $a_1$, la valeur au premier indice, ici $8$.

b) Ici l'indice commence à $2$ : le premier terme est $a_2 = \frac{(-3)^{2}}{5^{3}} = \frac{9}{125}$. La raison est $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{-3}{5}$, de valeur absolue $\frac{3}{5} < 1$ : la série converge et $S = \frac{\frac{9}{125}}{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)} = \frac{9}{125} \cdot \frac{5}{8} = \frac{9}{200}$. Deux pertes de points classiques : partir de $n = 0$ par habitude (on trouverait $\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{1}{8}$), et écrire $1 - r = 1 - \frac{3}{5}$ en oubliant le signe de la raison. Une raison négative fait OSCILLER les sommes partielles autour de $S$ : $s_2 = \frac{9}{125} = 0{,}072$, $s_3 = 0{,}072 - 0{,}0432 = 0{,}0288$, de part et d'autre de $0{,}045$.

c) On multiplie haut et bas par la quantité conjuguée $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$, après avoir mis $\sqrt{n}\sqrt{n+1}$ en facteur : $(n+1)\sqrt{n} + n\sqrt{n+1} = \sqrt{n}\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}\right)$. Donc $\frac{1}{(n+1)\sqrt{n} + n\sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}\left((n+1) - n\right)} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. La somme partielle se télescope : $s_N = \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{\sqrt{N}} - \frac{1}{\sqrt{N+1}}\right) = 1 - \frac{1}{\sqrt{N+1}}$. Comme $\frac{1}{\sqrt{N+1}} \to 0$, la série converge et sa somme vaut $1$. Enfin $s_3 = 1 - \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$. Le télescopage ne se VOIT pas sur la série telle qu'elle est écrite : c'est la réécriture en différence qui fait tout le travail, et on raisonne sur $s_N$, somme FINIE, avant de passer à la limite.

d) L'écart à la somme est connu exactement : $1 - s_N = \frac{1}{\sqrt{N+1}}$. On veut $\frac{1}{\sqrt{N+1}} < \frac{1}{10}$, c'est-à-dire $\sqrt{N+1} > 10$, soit $N + 1 > 100$ : il faut $N \ge 100$ termes ($N = 99$ donne exactement $\frac{1}{10}$, pas moins). Pour $\frac{1}{100}$, $N + 1 > 10\,000$, donc $N \ge 10\,000$. Diviser l'erreur par $10$ coûte cent fois plus de termes. La figure le montre déjà : après douze termes, $s_{12} = 1 - \frac{1}{\sqrt{13}} \approx 0{,}72$, encore loin de $1$. Savoir qu'une série converge ne dit RIEN de la précision obtenue avec un nombre donné de termes ; c'est la seconde question de ce chapitre, celle de la borne du reste.

a) Forme $\infty - \infty$ : on multiplie par la quantité conjuguée. $n - \sqrt{n^{2}+n} = \frac{n^{2} - (n^{2} + n)}{n + \sqrt{n^{2} + n}} = \frac{-n}{n + \sqrt{n^{2}+n}} = \frac{-1}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}} \to -\frac{1}{2}$. La limite existe et n'est pas nulle : la série DIVERGE, et l'étude s'arrête là. Les sommes partielles se comportent comme $-\frac{N}{2}$ : on ajoute indéfiniment des termes proches de $-\frac{1}{2}$. Un réflexe utile : un terme qui tend vers une constante non nulle ajoute à peu près cette constante à chaque pas, aucune somme finie ne peut en résulter.

b) On divise haut et bas par le terme dominant, $n!$, qui l'emporte sur toute exponentielle (croissances comparées : $\frac{3^{n}}{n!} \to 0$ et $\frac{2^{n}}{n!} \to 0$). $a_n = \frac{\frac{3^{n}}{n!} + 1}{1 + \frac{2^{n}}{n!}} \to \frac{0 + 1}{1 + 0} = 1$. La limite vaut $1 \ne 0$ : la série diverge. Diviser par $3^{n}$, plus visible mais pas dominant, laisse $\frac{n!}{3^{n}}$ qui tend vers l'infini en haut ET en bas, une forme indéterminée de plus. On divise toujours par le terme le plus FORT.

c) $\ln\left(1 + \frac{2}{n}\right) \to \ln 1 = 0$ : le test ne conclut PAS, ni dans un sens ni dans l'autre. On passe aux sommes partielles : $\ln\left(1 + \frac{2}{n}\right) = \ln(n+2) - \ln n$, différence de deux termes distants de DEUX rangs. Dans $s_N = \sum_{n=1}^{N}\left(\ln(n+2) - \ln n\right)$, tout se simplifie sauf les deux premiers termes négatifs, $-\ln 1 - \ln 2$, et les deux derniers positifs, $\ln(N+1) + \ln(N+2)$ : $s_N = \ln\frac{(N+1)(N+2)}{2}$. Vérification : $s_1 = \ln 3$ et la formule donne $\ln\frac{6}{2} = \ln 3$. $s_N = \ln 15$ demande $(N+1)(N+2) = 30 = 5 \times 6$, donc $N = 4$. $s_N > \ln 1000$ demande $(N+1)(N+2) > 2000$ ; or $44 \times 45 = 1980$ et $45 \times 46 = 2070$, donc $N = 44$. Comme $s_N \to +\infty$, la série diverge, alors que son terme tend vers $0$.

d) Si la série converge vers $S$, alors $s_n \to S$ et $s_{n-1} \to S$, donc $a_n = s_n - s_{n-1} \to S - S = 0$. Par contraposée, un terme qui ne tend pas vers $0$ interdit la convergence. La réciproque, « $a_n \to 0$ donc la série converge », est fausse : c) en est un contre-exemple, comme la série harmonique. Tendre vers $0$ est NÉCESSAIRE, pas suffisant ; ce qui décide, c'est la VITESSE à laquelle $a_n$ tend vers $0$, et c'est ce que mesurent les critères des exercices suivants. Ici $\ln\left(1 + \frac{2}{n}\right)$ se comporte comme $\frac{2}{n}$, trop lent.

a) Sur $[1\,;+\infty[$, $\ln x \ge 0$, donc $x(1 + \ln x)^{2} \ge 1 > 0$ : $f$ est continue (quotient de fonctions continues, dénominateur non nul) et positive. Elle est DÉCROISSANTE car son dénominateur est un produit de deux fonctions positives croissantes, $x$ et $(1 + \ln x)^{2}$. Avec $u = 1 + \ln x$, $du = \frac{dx}{x}$ : $\int_{1}^{t} \frac{dx}{x(1 + \ln x)^{2}} = \left[-\frac{1}{1 + \ln x}\right]_{1}^{t} = 1 - \frac{1}{1 + \ln t} \to 1$. L'intégrale converge, donc la série converge. Attention : le test dit « même NATURE », jamais « même valeur ». La somme n'est pas $1$ : son premier terme vaut déjà $f(1) = 1$ et tous les autres sont positifs, donc $S > 1$.

b) Mêmes vérifications : $f(x) = \frac{1}{x(1 + \ln x)}$ est continue, positive, et décroissante pour la même raison. Avec la même substitution, $\int_{1}^{t} \frac{dx}{x(1 + \ln x)} = \left[\ln(1 + \ln x)\right]_{1}^{t} = \ln(1 + \ln t) \to +\infty$. L'intégrale diverge, donc la série diverge. La comparaison des deux questions est instructive : un simple carré sur le facteur $(1 + \ln n)$, qui croît pourtant très lentement, fait basculer la nature. Aucune série de Riemann $\frac{1}{n^{p}}$ ne sépare ces deux-là : elles sont toutes deux « juste après » $\frac{1}{n}$, et seule l'intégrale tranche.

c) Pour tout entier $n$, $\sin(n\pi) = 0$, donc $f(n) = 0$ : toutes les sommes partielles valent $0$ et $\sum f(n) = 0$, la série converge. Mais $\sin^{2}(\pi x) = \frac{1 - \cos(2\pi x)}{2}$, donc $\int_{0}^{10} \sin^{2}(\pi x)\,dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{\sin(2\pi x)}{4\pi}\right]_{0}^{10} = 5$, et plus généralement l'intégrale sur $[1\,;t]$ croît comme $\frac{t}{2}$ : elle DIVERGE. Série convergente, intégrale divergente : le test se tromperait. L'hypothèse qui manque est la DÉCROISSANCE, $f$ remontant entre deux entiers. C'est elle qui force la courbe à rester coincée entre les rectangles de hauteur $f(n)$ et $f(n+1)$ ; sans elle, les valeurs aux entiers ne disent rien de l'aire. D'où la règle de rédaction : écrire les trois hypothèses, et prouver la décroissance (dérivée ou monotonie).

d) $\left(\sqrt{n}\right)^{p} = n^{p/2}$, donc $\frac{(\sqrt{n})^{p}}{n^{2}} = \frac{1}{n^{2 - p/2}}$ : série de Riemann d'exposant $q = 2 - \frac{p}{2}$. Elle converge si et seulement si $q > 1$, soit $\frac{p}{2} < 1$, $p < 2$. Le cas $p = 2$ donne la série harmonique, divergente : la borne est exclue. Pour $p \ge 4$, l'exposant est négatif ou nul, le terme ne tend même pas vers $0$, et c'est alors le test de divergence qui tranche, pas l'intégrale, car $f$ n'est plus décroissante.

a) Les termes dominants sont $n$ en haut et $2n^{3}$ en bas : $a_n$ se comporte comme $\frac{n}{2n^{3}} = \frac{1}{2n^{2}}$. On prend $b_n = \frac{1}{n^{2}}$, sans la constante qui ne change pas la nature. $\frac{a_n}{b_n} = \frac{n^{3} + n^{2}\sqrt{n}}{2n^{3} - 1} = \frac{1 + n^{-1/2}}{2 - n^{-3}} \to \frac{1}{2}$. Comme $0 < \frac{1}{2} < +\infty$ et que $\sum \frac{1}{n^{2}}$ converge (Riemann, $p = 2 > 1$), la série converge. Vérifier d'abord que les termes sont positifs : $2n^{3} - 1 \ge 1 > 0$ dès $n = 1$. Le $\sqrt{n}$ du numérateur et le $-1$ du dénominateur ne pèsent rien à l'infini, et c'est exactement ce que la limite permet de dire sans fabriquer d'inégalité.

b) En haut $\sqrt{n+1}$ se comporte comme $\sqrt{n}$, en bas $n + 5$ comme $n$ : $a_n$ ressemble à $\frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}$. Avec $b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$, $\frac{a_n}{b_n} = \frac{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}{n + 5} = \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{1 + \frac{5}{n}} \to 1$. $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge (Riemann, $p = \frac{1}{2} \le 1$), donc la série diverge. Une comparaison directe marcherait aussi, mais il faudrait l'inégalité dans le bon sens, $\frac{\sqrt{n+1}}{n + 5} \ge \frac{\sqrt{n}}{6n} = \frac{1}{6\sqrt{n}}$ pour $n \ge 1$ : la limite épargne ce travail.

c) Le numérateur est plus grand que $2^{n}$ et le dénominateur plus petit que $3^{n}$, donc $a_n > \frac{2^{n}}{3^{n}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n}$. Être PLUS GRAND qu'une série convergente ne prouve rien : la comparaison directe tombe du mauvais côté. La limite, elle, ignore le sens : $\frac{a_n}{(2/3)^{n}} = \frac{2^{n} + 5}{2^{n}} \cdot \frac{3^{n}}{3^{n} - 1} = \left(1 + \frac{5}{2^{n}}\right)\frac{1}{1 - 3^{-n}} \to 1$. La série géométrique de raison $\frac{2}{3}$ converge, donc $\sum a_n$ converge. Si l'on tient à la comparaison directe, il faut une constante : $2^{n} + 5 \le \frac{7}{2}\,2^{n}$ et $3^{n} - 1 \ge \frac{2}{3}\,3^{n}$ pour $n \ge 1$, d'où $a_n \le \frac{21}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$. Les deux rédactions sont justes ; celle qui écrit $a_n > \left(\frac{2}{3}\right)^{n}$ puis « donc converge » vaut zéro.

d) $\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}$, et la limite de référence du chapitre sur les suites donne $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \to \mathrm{e}$. Avec $b_n = \frac{1}{n}$, $\frac{a_n}{b_n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} \to \frac{1}{\mathrm{e}}$, qui est fini et strictement positif. La série harmonique diverge, donc la série diverge. Le facteur $\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}$ ressemble à une puissance $n$-ième qui « écrase » le terme ; il n'en est rien, il tend vers une constante. Toute la question est de savoir si la correction tend vers $0$ ou vers une constante non nulle : seule la seconde laisse la nature de $\frac{1}{n}$ intacte.

a) On commence TOUJOURS par la valeur absolue. $|a_n| = \frac{n}{n^{3} + 1} \le \frac{n}{n^{3}} = \frac{1}{n^{2}}$, et $\sum \frac{1}{n^{2}}$ converge (Riemann, $p = 2$). Par comparaison, $\sum |a_n|$ converge : la série est ABSOLUMENT convergente, donc convergente, et Leibniz est inutile. Le réflexe inverse, vérifier d'abord les hypothèses de Leibniz, conduit à démontrer une décroissance pénible (celle de $\frac{x}{x^{3}+1}$ demande une dérivée) pour obtenir une conclusion PLUS FAIBLE que celle de la comparaison.

b) $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = b_n$. Hypothèses de Leibniz : $b_n > 0$ ; $(b_n)$ est décroissante car son dénominateur $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ est croissant ; $b_n \to 0$ car ce dénominateur tend vers $+\infty$. La série converge. Valeur absolue : $\sum_{n=1}^{N} b_n = \sum_{n=1}^{N}\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) = \sqrt{N+1} - 1 \to +\infty$ par télescopage ; $\sum |a_n|$ diverge (on le voit aussi par $b_n \ge \frac{1}{2\sqrt{n+1}}$). La série est SEMI-CONVERGENTE. Elle ne converge que grâce aux compensations entre termes positifs et négatifs.

c) La convergence absolue est immédiate ($|a_n| \le \frac{1}{2^{n}}$), mais elle ne dit pas À QUELLE DISTANCE de $S$ se trouve $s_N$. Leibniz, lui, donne une borne GARANTIE : $b_n = \frac{1}{n^{2}2^{n}}$ est positive, décroissante (dénominateur produit de deux suites croissantes) et tend vers $0$, donc $|S - s_N| \le b_{N+1}$. On cherche le plus petit $N$ avec $b_{N+1} \le 10^{-3}$ : $b_5 = \frac{1}{25 \times 32} = \frac{1}{800} > \frac{1}{1000}$, mais $b_6 = \frac{1}{36 \times 64} = \frac{1}{2304} \le \frac{1}{1000}$. Donc $N + 1 = 6$ : $s_5$, cinq termes, suffit. L'erreur classique est de résoudre $b_N \le 10^{-3}$ et de répondre $6$ : le reste de $s_N$ est majoré par le premier terme NÉGLIGÉ, $b_{N+1}$, pas par le dernier gardé.

d) $s_5 = \frac{1}{2} - \frac{1}{16} + \frac{1}{72} - \frac{1}{256} + \frac{1}{800}$ ; au dénominateur commun $57\,600$ : $s_5 = \frac{28800 - 3600 + 800 - 225 + 72}{57600} = \frac{25847}{57600}$. Le premier terme négligé, $-\frac{1}{2304}$, est NÉGATIF : $S$ est entre $s_5$ et $s_6 = s_5 - \frac{1}{2304}$, donc $s_5$ est une SURESTIMATION. Comme $\frac{57600}{2304} = 25$, $s_6 = \frac{25847 - 25}{57600} = \frac{12911}{28800}$ et $\frac{12911}{28800} \le S \le \frac{25847}{57600}$, soit environ $0{,}4483 \le S \le 0{,}4487$. Sur la figure, les points d'indice impair sont au-dessus de la droite $S$, ceux d'indice pair en dessous, et les écarts se resserrent : c'est le théorème rendu visible. On n'a pas la valeur exacte de $S$, et on n'en a pas besoin pour une précision garantie.

a) On simplifie le quotient AVANT de passer à la limite, avec $(2n+2)! = (2n+2)(2n+1)\,(2n)!$ et $\left((n+1)!\right)^{2} = (n+1)^{2}(n!)^{2}$ : $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{5\,(n+1)^{2}} = \frac{2(2n+1)}{5(n+1)} \to \frac{4}{5}$. Comme $L = \frac{4}{5} < 1$, la série converge (absolument). Avec $3^{n}$, le même calcul donne $\frac{2(2n+1)}{3(n+1)} \to \frac{4}{3} > 1$ : divergence. La factorielle double $(2n)!$ croît comme $4^{n}$ fois $(n!)^{2}$ à un facteur lent près, et c'est la comparaison de $4$ avec la base de l'exponentielle qui décide. Pour la base $4$ exactement, le critère se tairait, et ce cas demande un autre outil.

b) Le terme contient une expression élevée à la puissance $n$ : la racine $n$-ième l'enlève d'un coup. $\sqrt[n]{a_n} = \left(\sqrt[n]{n}\right)^{5} \cdot \frac{n+1}{2n} \to 1^{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. $L = \frac{1}{2} < 1$ : la série converge. Le facteur $n^{5}$, qui semble énorme, ne pèse rien : sa racine $n$-ième tend vers $1$, c'est la limite $\sqrt[n]{n} \to 1$ du chapitre sur les suites. D'Alembert marcherait, mais le quotient $\frac{(n+2)^{n+1}}{(2n+2)^{n+1}} \cdot \frac{(2n)^{n}}{(n+1)^{n}}$ est pénible à simplifier ; on choisit le critère sur la FORME du terme.