Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : les séries de Taylor et de Maclaurin (MTH1101, Polytechnique)

Q: Comment trouver une série de Maclaurin sans calculer toutes les dérivées ?

On part d'une série connue du tableau, exponentielle, sinus, cosinus, logarithme de un plus u, arctangente ou série binomiale, et on la transforme : on remplace u par une expression en x, on multiplie par une puissance de x ou par une autre série, on dérive ou on intègre terme à terme. Le théorème d'unicité garantit que le résultat est bien la série de Taylor de la fonction.

Q: Comment calculer une dérivée d'ordre élevé en zéro avec une série de Taylor ?

On obtient d'abord la série de la fonction par la route la plus courte, puis on lit le coefficient c n de x puissance n. La dérivée n-ième en zéro vaut n factorielle fois ce coefficient. Si la puissance n'apparaît pas dans la série, la dérivée est nulle. L'oubli de la factorielle est l'erreur la plus fréquente.

Q: Pourquoi la série de Taylor ne converge-t-elle pas partout où la fonction est définie ?

Parce que l'intervalle de convergence d'une série entière est symétrique autour du centre et s'arrête à la distance de la première singularité. Le logarithme de un plus x est défini pour tout x plus grand que moins un, mais la singularité en moins un, à distance un du centre, interdit aussi tout x plus grand que un : la série diverge en x égal deux.

Q: Comment utiliser la série binomiale quand la constante n'est pas 1 ?

On factorise la constante avant de développer. Par exemple, la racine de neuf plus x s'écrit trois fois la racine de un plus x sur neuf, puis on applique la série binomiale avec u égal x sur neuf. La série obtenue est valable pour u entre moins un et un, donc pour x entre moins neuf et neuf.

Cette fiche de révision porte sur les séries de Taylor et de Maclaurin telles que MTH1101 (Calcul I, Polytechnique Montréal) les enseigne, section 2.3 de Stewart, *Calcul à plusieurs variables*, multiplication de séries comprise. Elle ne refait pas le cours : elle dit ce qui coûte des points au contrôle périodique 1 et à l'examen final, sans calculatrice, et quel geste l'évite. Le seul document permis est votre aide-mémoire d'une feuille recto verso : le bloc « À savoir par cœur » et le tableau des séries usuelles sont faits pour y être recopiés.

Un réflexe la traverse : avant de dériver, chercher dans le tableau une série à transformer. Dériver cinq fois un quotient est presque toujours la mauvaise route ; substituer, multiplier ou intégrer une série connue est presque toujours la bonne, et l'unicité dit que les deux routes mènent au même résultat.

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Le fil du chapitre

Une série de Taylor ne se calcule presque jamais, elle s'OBTIENT : on transforme une série du tableau en substituant, en multipliant, en dérivant ou en intégrant. L'unicité garantit que le résultat a pour coefficients $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ , donc on lit aussi $f^{(n)}(a)=n!\,c_{n}$ , et l'intervalle de validité suit la variable substituée, jamais le domaine de la fonction.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les séries entières Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Série de Taylor
Série de Maclaurin
Coefficients de Taylor
Unicité du développement
Séries de Maclaurin usuelles
Série binomiale
Rayon de convergence
Intervalle de convergence
Produit de séries entières
Intégration terme à terme
Calcul de limites par séries
Somme d'une série numérique

L'essentiel

Une seule série en un point, quelle que soit la route

• Si $f(x)=\sum_{n\ge 0}c_{n}(x-a)^{n}$ près de $a$ , alors $c_{n}=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ : c'est le théorème d'unicité. Toute route qui produit une série égale à $f$ près de $a$ produit LA série de Taylor.
• Dans un sens, il construit la série : dériver, évaluer AU CENTRE, diviser par $n!$ , garder les puissances de $(x-a)$ . Dans l'autre, il lit les dérivées : $f^{(n)}(a)=n!\,c_{n}$ .
• Le tableau à connaître : $e^{u}$ , $\sin u$ , $\cos u$ pour tout $u$ ; $\ln(1+u)$ pour $-1<u\le 1$ ; $\arctan u$ pour $-1\le u\le 1$ ; $\frac{1}{1-u}$ et $(1+u)^{k}$ pour $|u|<1$ .

Une fonction paire n'a que des puissances paires, une fonction impaire que des impaires : c'est un contrôle gratuit sur toute série obtenue.

Le rayon vient de la singularité, pas du domaine

• Substituer $u=\varphi(x)$ déplace l'intervalle : on résout la condition sur $u$ en $x$ , bornes comprises ou exclues comme dans le tableau.
• Un produit de séries converge au moins là où les deux facteurs convergent. Dériver ou intégrer terme à terme conserve le rayon, mais les bornes se testent à nouveau.
• Le rayon est la distance du centre au premier point où la fonction cesse d'être régulière. $\ln(1+x)$ est définie sur $]-1\,;+\infty[$ , mais sa série ne converge que sur $]-1\,;1]$ : l'intervalle d'une série entière est symétrique autour du centre.

Sur

]-1\,;1]

T_{5}

T_{6}

suivent

\ln(1+x)

; après

x=1

, ils partent l'un vers le haut, l'autre vers le bas, alors que la fonction existe toujours.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Lire le coefficient comme si c'était la dérivée

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\cos(2x)=1-2x^{2}+\frac{2}{3}x^{4}-\cdots$ , donc $f^{(4)}(0)=\frac{2}{3}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $c_{4}=\frac{2}{3}$ , donc $f^{(4)}(0)=4!\,c_{4}=24\cdot\frac{2}{3}=16$ . »

Pourquoi : Le coefficient est la dérivée DIVISÉE par $n!$ . Contrôle direct : $f^{(4)}(x)=16\cos(2x)$ , qui vaut bien $16$ en $0$ .

2. Changer de centre en remplaçant x par x moins a

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En $\frac{\pi}{2}$ : $\sin x=\left(x-\frac{\pi}{2}\right)-\frac{1}{6}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{3}+\cdots$ »

Ce qu'il faut écrire

« Avec $u=x-\frac{\pi}{2}$ , $\sin x=\cos u$ , donc $\sin x=1-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{2}+\frac{1}{24}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^{4}-\cdots$ »

La bonne série (trait plein vert) passe par

\left(\frac{\pi}{2}\,;1\right)

et épouse le sommet ; la fausse (pointillé rouge) passe par

\left(\frac{\pi}{2}\,;0\right)

et ne suit rien.

Pourquoi : La copie a écrit la série de $\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x$ . Une série en $a$ vaut $f(a)$ en $a$ : la fausse vaut $0$ en $\frac{\pi}{2}$ , alors que $\sin\frac{\pi}{2}=1$ .

3. Substituer sans élever le coefficient

1 point par coefficient faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sin(2x)=2x-\frac{2x^{3}}{6}+\cdots$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\sin(2x)=2x-\frac{(2x)^{3}}{6}+\cdots=2x-\frac{4}{3}x^{3}+\cdots$ »

Pourquoi : C'est la variable entière $u=2x$ qui est substituée, donc le $2$ est élevé à la même puissance que $x$ . En $x=0{,}1$ , la bonne série donne $0{,}198667$ , et $\sin 0{,}2\approx 0{,}198669$ .

4. Recopier l'intervalle du tableau

1 point, souvent la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln(1+3x)=\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n-1}3^{n}x^{n}}{n}$ , valable sur $]-1\,;1]$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Avec $u=3x$ : $-1<3x\le 1$ , donc l'intervalle est $\left]-\frac{1}{3}\,;\frac{1}{3}\right]$ . »

Pourquoi : L'intervalle du tableau est une condition sur $u$ , pas sur $x$ . En $x=\frac{1}{2}$ , le terme général vaut $\frac{(3/2)^{n}}{n}$ en valeur absolue et explose.

5. Développer une binomiale sans mettre la constante à 1

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sqrt{9+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}+\cdots$ »

Ce qu'il faut écrire

« $\sqrt{9+x}=3\left(1+\frac{x}{9}\right)^{1/2}=3+\frac{x}{6}-\frac{x^{2}}{216}+\cdots$ , pour $|x|<9$ . »

Pourquoi : La série binomiale est celle de $(1+u)^{k}$ . Le contrôle au centre suffit : la fausse vaut $1$ en $0$ , alors que $\sqrt{9}=3$ .

6. Multiplier deux séries rang par rang

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\cos x\cdot\ln(1+x)=1\cdot 0+0\cdot x+\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)x^{2}+\cdots=\frac{x^{2}}{4}+\cdots$ »

Ce qu'il faut écrire

« Degré $1$ : $1\cdot x$ ; degré $2$ : $1\cdot\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)+\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)\cdot 0$ ; donc $\cos x\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\cdots$ »

Pourquoi : Le coefficient de $x^{n}$ d'un produit rassemble TOUS les couples de degrés de somme $n$ . La fausse réponse donne même une pente nulle en $0$ , alors que la fonction a pour dérivée $1$ en $0$ .

7. Tronquer une limite avant le degré du dénominateur

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\tan x\approx x$ , donc $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x^{3}}=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\tan x=x+\frac{x^{3}}{3}+\cdots$ , donc $\frac{\tan x-x}{x^{3}}=\frac{1}{3}+\cdots\to\frac{1}{3}$ . »

La courbe ne descend jamais vers

0

: elle a un trou à la hauteur

\frac{1}{3}

, que seul le terme en

x^{3}

\tan x

fait apparaître.

Pourquoi : Le dénominateur est d'ordre $3$ : il faut développer le numérateur jusqu'à $x^{3}$ . « $\frac{0}{x^{3}}$ » veut seulement dire qu'on s'est arrêté trop tôt.

8. Croire que la série converge partout où la fonction existe

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln(1+x)$ est définie sur $]-1\,;+\infty[$ , donc sa série de Maclaurin y converge, et $\ln 3=2-2+\frac{8}{3}-4+\cdots$ »

Ce qu'il faut écrire

« La série de $\ln(1+x)$ converge sur $]-1\,;1]$ seulement : en $x=2$ , le terme général $\frac{2^{n}}{n}$ ne tend pas vers $0$ , la série diverge. »

Pourquoi : L'intervalle d'une série entière est symétrique autour du centre : la singularité en $-1$ , à distance $1$ du centre, interdit aussi tout point au-delà de $1$ . Voir la figure de l'essentiel.

Quelle méthode choisir

Quelle route pour obtenir un développement, selon la forme de la fonction

Regardez ce qui compose la fonction avant de dériver quoi que ce soit.

Si une fonction du tableau appliquée à $kx^{m}$ → substituer $u=kx^{m}$ , puis déduire l'intervalle en $x$

Exemple : $e^{-x^{3}}=\sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^{n}x^{3n}}{n!}$ , pour tout $x$
Si une puissance $(c+x)^{k}$ avec $c\ne 1$ → factoriser $c$ : $c^{k}\left(1+\frac{x}{c}\right)^{k}$ , puis la série binomiale

Exemple : $\frac{1}{(2+x)^{2}}=\frac{1}{4}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{-2}=\frac{1}{4}-\frac{x}{4}+\frac{3x^{2}}{16}-\cdots$ , pour $|x|<2$
Si un produit de deux fonctions du tableau → multiplier les séries tronquées au degré demandé, en rassemblant les couples de degrés

Exemple : $(1+x)e^{-x}=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots$
Si une primitive ou une dérivée d'une fonction qui se développe → développer, puis intégrer ou dériver terme à terme ; rayon conservé, bornes à retester

Exemple : $\int_{0}^{x}\cos\left(t^{2}\right)dt=x-\frac{x^{5}}{10}+\frac{x^{9}}{216}-\cdots$
Si rien de tout cela, ou l'énoncé dit « par la définition » → dériver, évaluer au centre, diviser par $n!$

Exemple : $\sqrt{x}$ en $9$ : $3+\frac{x-9}{6}-\frac{(x-9)^{2}}{216}+\cdots$

Quand deux routes sont possibles, la plus courte est la bonne, et l'unicité garantit qu'elles donnent le même résultat : refaire un seul coefficient par l'autre route est la meilleure vérification.

Reconnaître la somme d'une série numérique, selon son dénominateur

Écrivez le terme général sous la forme $c_{n}x_{0}^{n}$ : le dénominateur nomme la fonction, la puissance donne le point.

Si $n!$ seul, sans alternance → $e^{x_{0}}$

Exemple : $\sum_{n\ge 0}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}$
Si $(2n)!$ et l'alternance $(-1)^{n}$ → $\cos x_{0}$

Exemple : $\sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}=\cos 1$
Si $(2n+1)!$ et l'alternance → $\sin x_{0}$

Exemple : $\sum_{n\ge 0}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\left(\frac{\pi}{3}\right)^{2n+1}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Si $n$ au dénominateur, sans factorielle, alterné → $\ln(1+x_{0})$ , avec $-1<x_{0}\le 1$

Exemple : $\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n\,2^{n}}=\ln\frac{3}{2}$

Vérifiez toujours que le point est dans l'intervalle de validité : hors de l'intervalle, la série diverge et la « somme » n'existe pas.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Obtenir un développement et son intervalle de validité

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « la série de Maclaurin de f » ou « le développement jusqu'au terme en x puissance n ».

1 Nommer la série du tableau utilisée et la substitution, par exemple « $u=-\frac{x^{2}}{4}$ dans la série de $\ln(1+u)$ ».
2 Mettre la constante à $1$ si la série est binomiale ou logarithmique, en factorisant d'abord.
3 Écrire le terme général en $x$ , puissances et coefficients développés.
4 Traduire la condition sur $u$ en condition sur $x$ , et dire ce que deviennent les bornes.
5 Contrôler la valeur au centre et la parité.

Phrase de conclusion

« Pour tout $x$ tel que … , on a $f(x)=\sum_{n\ge 0}\ldots$ ; par unicité, c'est la série de Maclaurin de $f$ , valable sur … »

Le piège : La quatrième étape : l'intervalle se recalcule à chaque substitution, il ne se recopie jamais.

Barème : Série juste 2 points, terme général 1 point, intervalle 1 point, en général.

Calculer une limite par développements

Quand l'utiliser : Forme $\frac{0}{0}$ en $0$ avec des fonctions du tableau.

1 Trouver l'ordre du dénominateur en le développant le premier.
2 Développer chaque morceau du numérateur jusqu'à ce même ordre, en écrivant les termes nuls (« $\sin x=x+0\cdot x^{2}-\frac{x^{3}}{6}$ »).
3 Simplifier : les premiers termes s'annulent, c'est pour cela que la forme était indéterminée.
4 Diviser et lire le premier terme qui survit.

Phrase de conclusion

« Au voisinage de $0$ , numérateur $=\alpha x^{k}+\cdots$ et dénominateur $=\beta x^{k}+\cdots$ avec $\beta\ne 0$ , donc la limite vaut $\frac{\alpha}{\beta}$ . »

Le piège : La première étape : sans l'ordre du dénominateur, on ne sait pas jusqu'où développer.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La valeur au centre

Remplacer $x$ par $a$ dans la série : on doit retrouver $f(a)$ .

Une série de $\sqrt{9+x}$ qui commence par $1$ est fausse, car $\sqrt{9}=3$ ; une série de $\sin x$ en $\frac{\pi}{2}$ qui commence par $0$ aussi.
La parité

Fonction paire : seulement des puissances paires. Impaire : seulement des impaires.

Un terme en $x^{3}$ dans la série de $\cos(2x)$ trahit une erreur de substitution.
La pente au centre

Le coefficient de $(x-a)$ vaut $f'(a)$ , qui se calcule de tête.

$\cos x\ln(1+x)$ a pour dérivée $1$ en $0$ : une série sans terme en $x$ est fausse.
Un coefficient par l'autre route

Recalculer UN coefficient par la définition ou par une autre transformation.

Pour $\sqrt{9+x}$ : $f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}$ , conforme à la série binomiale ; un $\frac{1}{2}$ dénoncerait la constante oubliée.

L'exercice type décortiqué

Développer $g(x)=\frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}$ et lire $g^{(4)}(0)$

Donner la série de Maclaurin de $g(x)=\frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}$ jusqu'au terme en $x^{4}$ , son intervalle de validité, puis $g'''(0)$ et $g^{(4)}(0)$ , sans calculatrice.

Étape 1

$9+x^{2}=9\left(1+\frac{x^{2}}{9}\right)$ , donc $g(x)=9^{-1/2}\left(1+u\right)^{-1/2}=\frac{1}{3}(1+u)^{-1/2}$ avec $u=\frac{x^{2}}{9}$ .

Pourquoi

La série binomiale est celle de (1 + u) à la puissance k : on met la constante à 1 AVANT de développer, et le facteur sorti est 9 à la puissance moins un demi, pas 9.

Étape 2

$\binom{-1/2}{0}=1$ , $\binom{-1/2}{1}=-\frac{1}{2}$ , $\binom{-1/2}{2}=\frac{(-1/2)(-3/2)}{2}=\frac{3}{8}$ , donc $(1+u)^{-1/2}=1-\frac{u}{2}+\frac{3u^{2}}{8}-\cdots$

Pourquoi

Deux facteurs au numérateur pour $n=2$ , tous deux négatifs : le signe se lit sur le nombre de facteurs.

Étape 3

Avec $u=\frac{x^{2}}{9}$ : $g(x)=\frac{1}{3}-\frac{x^{2}}{54}+\frac{x^{4}}{648}-\cdots$

Pourquoi

$\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{81}=\frac{1}{648}$ : la substitution élève tout $u$ , le $\frac{1}{9}$ compris.

Étape 4

$|u|<1\iff x^{2}<9\iff x\in\,]-3\,;3[$ .

Pourquoi

La condition porte sur $u$ ; on la traduit en $x$ . Le rayon $3$ n'est pas lisible sur le domaine de $g$ , qui est $\mathbb{R}$ tout entier.

Étape 5

$g'''(0)=3!\cdot 0=0$ et $g^{(4)}(0)=4!\cdot\frac{1}{648}=\frac{24}{648}=\frac{1}{27}$ .

Pourquoi

On lit les dérivées par l'unicité, sans dériver quatre fois un quotient avec racine. La dérivée d'ordre impair est nulle parce que g est paire.

Étape 6

Contrôles : $g(0)=\frac{1}{3}$ , série paire ; en $x=1$ , $\frac{1}{3}-\frac{1}{54}+\frac{1}{648}\approx 0{,}3164$ , contre $\frac{1}{\sqrt{10}}\approx 0{,}3162$ .

Pourquoi

La valeur au centre et la parité coûtent cinq secondes ; le contrôle numérique confirme les coefficients.

Conclusion rédigée

« Pour $|x|<3$ , $g(x)=\frac{1}{3}-\frac{x^{2}}{54}+\frac{x^{4}}{648}-\cdots$ ; par unicité, $g'''(0)=0$ et $g^{(4)}(0)=\frac{1}{27}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Sortir $9$ au lieu de $\frac{1}{3}$ , ou oublier d'élever le $\frac{1}{9}$ au carré dans $u^{2}$ , ce qui donne $\frac{x^{4}}{8}$ au lieu de $\frac{x^{4}}{648}$ .

À savoir par cœur

• Unicité : $c_{n}=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ quelle que soit la route, donc $f^{(n)}(a)=n!\,c_{n}$ .
• $e^{u}$ , $\sin u$ , $\cos u$ : tout $u$ ; $\ln(1+u)$ : $-1<u\le 1$ ; $\arctan u$ : $-1\le u\le 1$ ; $(1+u)^{k}$ : $|u|<1$ .
• $\binom{k}{n}=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}$ , exactement $n$ facteurs, et la constante dans la parenthèse vaut $1$ .
• Changer de centre : RÉÉCRIRE $f$ dans la variable $x-a$ , jamais remplacer $x$ par $x-a$ .
• Substituer élève TOUT : $(kx)^{n}=k^{n}x^{n}$ , et l'intervalle se recalcule en $x$ .
• Produit : le coefficient de $x^{n}$ rassemble tous les couples de degrés de somme $n$ .
• Limite : développer jusqu'au degré du dénominateur, jamais moins.

Questions fréquentes

Comment trouver une série de Maclaurin sans calculer toutes les dérivées ?

On part d'une série connue du tableau, exponentielle, sinus, cosinus, logarithme de un plus u, arctangente ou série binomiale, et on la transforme : on remplace u par une expression en x, on multiplie par une puissance de x ou par une autre série, on dérive ou on intègre terme à terme. Le théorème d'unicité garantit que le résultat est bien la série de Taylor de la fonction.

Comment calculer une dérivée d'ordre élevé en zéro avec une série de Taylor ?

On obtient d'abord la série de la fonction par la route la plus courte, puis on lit le coefficient c n de x puissance n. La dérivée n-ième en zéro vaut n factorielle fois ce coefficient. Si la puissance n'apparaît pas dans la série, la dérivée est nulle. L'oubli de la factorielle est l'erreur la plus fréquente.

Pourquoi la série de Taylor ne converge-t-elle pas partout où la fonction est définie ?

Parce que l'intervalle de convergence d'une série entière est symétrique autour du centre et s'arrête à la distance de la première singularité. Le logarithme de un plus x est défini pour tout x plus grand que moins un, mais la singularité en moins un, à distance un du centre, interdit aussi tout x plus grand que un : la série diverge en x égal deux.

Comment utiliser la série binomiale quand la constante n'est pas 1 ?

On factorise la constante avant de développer. Par exemple, la racine de neuf plus x s'écrit trois fois la racine de un plus x sur neuf, puis on applique la série binomiale avec u égal x sur neuf. La série obtenue est valable pour u entre moins un et un, donc pour x entre moins neuf et neuf.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les séries de Taylor et de Maclaurin

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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L'erreur d'approximation de Taylor Les nombres complexes

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-series-taylor. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : les séries de Taylor et de Maclaurin (MTH1101, Polytechnique)

L'essentiel

Une seule série en un point, quelle que soit la route

Le rayon vient de la singularité, pas du domaine

Les pièges qui coûtent des points

1. Lire le coefficient comme si c'était la dérivée

2. Changer de centre en remplaçant x par x moins a

3. Substituer sans élever le coefficient

4. Recopier l'intervalle du tableau

5. Développer une binomiale sans mettre la constante à 1

6. Multiplier deux séries rang par rang

7. Tronquer une limite avant le degré du dénominateur

8. Croire que la série converge partout où la fonction existe

Quelle méthode choisir

Quelle route pour obtenir un développement, selon la forme de la fonction

Reconnaître la somme d'une série numérique, selon son dénominateur

La rédaction attendue

Obtenir un développement et son intervalle de validité

Calculer une limite par développements

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Développer g(x)=19+x2g(x)=\frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}g(x)=9+x2​1​ et lire g(4)(0)g^{(4)}(0)g(4)(0)

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment trouver une série de Maclaurin sans calculer toutes les dérivées ?

Comment calculer une dérivée d'ordre élevé en zéro avec une série de Taylor ?

Pourquoi la série de Taylor ne converge-t-elle pas partout où la fonction est définie ?

Comment utiliser la série binomiale quand la constante n'est pas 1 ?

Exercices corrigés : Les séries de Taylor et de Maclaurin

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Développer $g(x)=\frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}$ et lire $g^{(4)}(0)$