Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : l'erreur d'approximation de Taylor (MTH1101, Polytechnique)

Q: Comment choisir M dans l'inégalité de Taylor ?

M doit majorer la valeur absolue de la dérivée d'ordre n plus un sur tout l'intervalle entre le centre et le point, pas seulement au centre. On étudie le sens de variation de cette dérivée sur l'intervalle et on prend sa valeur au pire point, souvent une extrémité. Un M arrondi vers le haut reste juste ; un M trop petit rend la borne fausse.

Q: Quand peut-on borner l'erreur par le premier terme négligé ?

Seulement quand la série, évaluée au point demandé, est alternée et que ses termes décroissent vers zéro. C'est le cas du sinus et du cosinus, de l'exponentielle pour un x négatif ou du logarithme de un plus x pour x entre zéro et un. Si tous les termes ont le même signe, le reste dépasse le premier terme négligé et il faut l'inégalité de Taylor.

Q: Comment savoir si un polynôme de Taylor surestime ou sous-estime la fonction ?

On écrit le reste sous la forme de Lagrange : la dérivée d'ordre n plus un en un point c, divisée par la factorielle, fois x moins a à la puissance n plus un. On ne connaît pas c, mais on connaît souvent le signe de cette dérivée. Le signe du reste est ce signe multiplié par celui de la puissance : un reste positif veut dire une approximation par défaut.

Q: Combien de termes faut-il pour une précision donnée avec Taylor ?

On écrit la borne de l'erreur en fonction du degré n, puis on teste n égal un, deux, trois, jusqu'au premier degré dont la borne passe sous la tolérance. On répond avec ce degré en citant la borne du degré précédent, qui échoue. L'erreur réelle ne sert jamais à choisir : on ne la connaît pas.

Cette fiche de révision couvre l'erreur d'approximation de Taylor de MTH1101 (Calcul I) à Polytechnique Montréal : la section 2.4 de Stewart, *Calcul à plusieurs variables*, « Applications des polynômes de Taylor », complétée par les notes du cours sur l'analyse de l'erreur. C'est le dernier chapitre du contrôle périodique 1, et celui où une réponse juste sans justification ne vaut presque rien.

À l'examen, sans calculatrice, « approcher » veut dire deux choses : donner une valeur calculée à la main, en fractions, ET une borne de son erreur que l'on sait démontrer, avec son signe quand on peut l'obtenir. Une valeur seule, même exacte au millième, répond à la moitié de la question. Le seul document permis est votre aide-mémoire d'une feuille recto verso : l'inégalité de Taylor, la forme de Lagrange et la grille des majorants ci-dessous y ont leur place.

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Le fil du chapitre

Une approximation sans borne n'est qu'une estimation. La borne se GAGNE en justifiant $M$ sur TOUT l'intervalle entre $a$ et $x$ , jamais au seul centre, et c'est elle, pas l'erreur réelle que l'on ignore, qui décide du degré, du nombre de termes et de l'intervalle de validité ; le signe du reste dit en plus de quel côté tombe la valeur exacte.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les séries de Taylor et de Maclaurin Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Polynôme de Taylor
Reste de Taylor
Inégalité de Taylor
Reste de Lagrange
Estimation des séries alternées
Sous-estimation et surestimation
Précision d'une approximation
Intervalle de validité d'une approximation
Intégrale approchée par une série
Choix du centre d'un développement

L'essentiel

Une borne majore l'erreur sur TOUT l'intervalle, ou elle n'est rien

• $T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}$ et $R_n(x)=f(x)-T_n(x)$ : le reste est l'erreur commise en remplaçant $f(x)$ par $T_n(x)$ .
• INÉGALITÉ DE TAYLOR : si $|f^{(n+1)}(t)|\le M$ pour TOUT $t$ entre $a$ et $x$ , alors $|R_n(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ .
• Le $M$ se trouve par le SENS DE VARIATION de $|f^{(n+1)}|$ sur l'intervalle : son maximum est souvent à une extrémité, et ce n'est pas toujours le centre.
• FORME DE LAGRANGE : $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ pour un $c$ entre $a$ et $x$ . On ne connaît pas $c$ , mais on connaît souvent le SIGNE de $f^{(n+1)}(c)$ , donc celui du reste.
• $R_n>0$ : $T_n(x)$ est une valeur PAR DÉFAUT ; $R_n<0$ : PAR EXCÈS. Borne plus signe donnent un encadrement.

Pour

e^{x}\approx T_2(x)

sur

[0\,;1]

\frac{x^{3}}{2}

(

M=3

) reste au-dessus de l'erreur ;

\frac{x^{3}}{6}

(

M=1

, pris au centre) passe dessous, elle ne majore rien.

Le correcteur cherche la phrase qui justifie M (« f''' est décroissante sur [8 ; 9], donc son maximum est en 8 ») : sans elle, la borne est notée comme une estimation.

Les deux outils, et quand chacun s'applique

• ESTIMATION DES SÉRIES ALTERNÉES : si au point considéré la série s'écrit $\sum(-1)^{k}b_k$ avec $b_k>0$ décroissant vers $0$ , alors $|S-S_N|\le b_{N+1}$ , du signe du premier terme NÉGLIGÉ.
• Elle ne demande aucun $M$ , mais elle exige que la série ALTERNE au point : $e^{x}$ en $x>0$ , $\ln(1+x)$ en $x<0$ n'alternent pas.
• Si $T_n=T_{n+1}$ (fonction paire ou impaire en $0$ , comme $\cos$ , $\sin$ , $\arctan$ ), on applique l'inégalité avec $n+1$ : la borne passe en $|x-a|^{n+2}$ .
• L'erreur se comporte comme $|x-a|^{n+1}$ : excellente près du centre, désastreuse loin de lui. Hors de l'intervalle de convergence, monter en degré EMPIRE l'approximation.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Où prendre $M$ : le maximum de $|f^{(n+1)}|$ selon la fonction et le côté

On lit la fonction et le côté du centre où se trouve $x$ , et la ligne donne l'endroit du maximum. La ligne rouge est la règle que les copies inventent.

Fonction, intervalle	$\|f^{(n+1)}(t)\|$	$M$
$e^{x}$ , $[0\,;x]$	$e^{t}$	$e^{x}$ , au bout
Exemple : Pour $x=0{,}5$ : $M=e^{0{,}5}<e<3$ , et $M=2$ aussi car $e<4$ .
$e^{x}$ , $[x\,;0]$	$e^{t}$	$1$ , au centre
Exemple : Pour $x=-0{,}5$ : $e^{t}\le e^{0}=1$ , et $\|R_2\|\le\frac{(0{,}5)^{3}}{6}=\frac{1}{48}$ .
$\ln(1+x)$ , $[0\,;x]$	$\frac{n!}{(1+t)^{n+1}}$	$n!$ , au centre
Exemple : Pour $x=\frac12$ , $n=2$ : $M=2$ et $\|R_2\|\le\frac{2}{6}\times\frac18=\frac{1}{24}$ .
$\ln(1+x)$ , $[x\,;0]$	$\frac{n!}{(1+t)^{n+1}}$	$\frac{n!}{(1+x)^{n+1}}$ , au bout
Exemple : Pour $x=-\frac12$ , $n=1$ : $M=\frac{1}{(1/2)^{2}}=4$ , et $\|R_1\|\le\frac{4}{2}\times\frac14=\frac12$ .
$\sin$ , $\cos$ , partout	$\|\sin t\|$ ou $\|\cos t\|$	$1$
Exemple : Pour $\sin 0{,}2$ avec $n=4$ : $\|R_4\|\le\frac{(0{,}2)^{5}}{120}\approx 2{,}7\times 10^{-6}$ .
toute $f$	$\|f^{(n+1)}(a)\|$	toujours au centre règle inexistante
Exemple : $\ln(1+x)$ sur $[-0{,}2\,;0]$ , $n=3$ : $\|f^{(4)}(0)\|=6$ mais $\|f^{(4)}(-0{,}2)\|\approx 14{,}6$ . Ce qu'il faut faire : Étudier le sens de variation de $\|f^{(n+1)}\|$ sur l'intervalle et prendre sa valeur au pire point.

Un $M$ trop grand donne une borne vraie mais grossière ; un $M$ trop petit donne une borne fausse. Dans le doute, on arrondit $M$ vers le HAUT avec un nombre simple : $3$ pour $e$ , $2$ pour $\sqrt{e}$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre M au centre de l'intervalle

toute la borne, soit 3 points sur 5

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $\ln 0{,}5$ par $T_2$ de $\ln(1+x)$ : $M=|f'''(0)|=2$ , donc $|R_2|\le\frac{2}{6}\times\frac18=\frac{1}{24}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Sur $[-0{,}5\,;0]$ , $|f'''(t)|=\frac{2}{(1+t)^{3}}$ est maximal en $t=-0{,}5$ : $M=16$ , donc $|R_2(-0{,}5)|\le\frac{16}{6}\times\frac18=\frac13$ . »

Pourquoi : L'erreur réelle vaut $|\ln 0{,}5+0{,}625|\approx 0{,}068$ , plus que $\frac{1}{24}\approx 0{,}042$ : la « borne » au centre est fausse. $M$ majore sur tout l'intervalle, il se prend au pire point.

2. Appliquer l'estimation des séries alternées à une série qui n'alterne pas

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $e^{0{,}3}\approx 1{,}3$ avec une erreur au plus égale au premier terme négligé, $\frac{0{,}3^{2}}{2}=0{,}045$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Tous les termes sont positifs : inégalité de Taylor avec $M=2$ ( $e^{0{,}3}<e^{1/2}<2$ ), donc $|R_1(0{,}3)|\le\frac{2}{2}\times 0{,}09=0{,}09$ , et $R_1>0$ . »

Pourquoi : Quand tous les termes ont le même signe, le reste est le premier terme négligé PLUS tous les suivants : ici $e^{0{,}3}-1{,}3\approx 0{,}0499>0{,}045$ .

3. Lire le signe du reste sur la dérivée seule

1 point, et l'encadrement qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln'''(x)=\frac{2}{x^{3}}>0$ , donc le reste est positif et $T_2$ sous-estime $\ln x$ partout. »

Ce qu'il faut écrire

« $R_2(x)=\frac{2}{6c^{3}}(x-1)^{3}$ a le signe de $(x-1)^{3}$ : $T_2$ sous-estime $\ln x$ pour $x>1$ et la surestime pour $0<x<1$ . »

Autour de

1

: la tangente

T_1

reste au-dessus de

\ln x

des deux côtés, car

(x-1)^{2}\ge 0

;

T_2

est au-dessus à gauche et au-dessous à droite, car

(x-1)^{3}

change de signe.

Pourquoi : Le signe du reste est celui de $f^{(n+1)}(c)$ MULTIPLIÉ par celui de $(x-a)^{n+1}$ : une puissance impaire change de signe au centre.

4. Croire l'erreur proportionnelle à x

la question de l'intervalle entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Avec $T_3$ , l'erreur garantie en $x=0{,}1$ est $10^{-5}$ ; en $x=0{,}3$ , elle est donc $3\times 10^{-5}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« La borne est en $|x|^{4}$ : tripler $x$ la multiplie par $3^{4}=81$ , soit $8{,}1\times 10^{-4}$ . »

Pourquoi : Tout le chapitre tient dans ce facteur $|x-a|^{n+1}$ : c'est lui qui rend Taylor excellent près du centre et inutilisable loin de lui.

5. Oublier que T_n et T_(n+1) peuvent être égaux

1 point, et un degré trop élevé dans toute la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En $x=0{,}3$ , $1-\frac{x^{2}}{2}$ n'approche pas $\cos x$ à $10^{-3}$ près : la borne avec $n=2$ vaut $\frac{0{,}3^{3}}{6}=0{,}0045$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $T_2=T_3$ pour le cosinus, donc on prend $n=3$ : $|R_3|\le\frac{0{,}3^{4}}{24}\approx 3{,}4\times 10^{-4}<10^{-3}$ . »

Pourquoi : La borne avec $n=2$ est vraie mais grossière ; refuser l'approximation sur cette base est une conclusion fausse.

6. Confondre la borne et l'erreur

1 point de rigueur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« L'erreur commise sur $\sqrt[3]{9}$ est $\frac{5}{20\,736}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« L'erreur est AU PLUS $\frac{5}{20\,736}$ , soit moins de $2{,}5\times 10^{-4}$ . »

Pourquoi : L'erreur réelle est inconnue, sinon on connaîtrait la valeur exacte ; seule la borne se démontre, et c'est elle que la question demande.

7. Prendre une précision pour des décimales exactes

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $T_n(x)=0{,}99996$ à $10^{-4}$ près, donc $f(x)=0{,}9999\ldots$ »

Ce qu'il faut écrire

« $0{,}99986\le f(x)\le 1{,}00006$ : on ne peut garantir aucune décimale, seulement l'encadrement. »

Pourquoi : Une précision de $10^{-4}$ donne un INTERVALLE ; quand il chevauche une retenue, aucune décimale n'est sûre.

8. Travailler en degrés

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sin 5^{\circ}\approx 5-\frac{5^{3}}{6}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $5^{\circ}=\frac{\pi}{36}\approx 0{,}0873$ rad, donc $\sin 5^{\circ}\approx\frac{\pi}{36}$ avec une erreur au plus $\frac{1}{6}\left(\frac{\pi}{36}\right)^{3}\approx 1{,}1\times 10^{-4}$ . »

Pourquoi : Les séries de $\sin$ et $\cos$ supposent des radians : $\sin'=\cos$ n'est vrai qu'en radians.

Quelle méthode choisir

Quel outil pour borner l'erreur ?

On regarde la série AU POINT demandé, puis la distance au centre.

Si la série évaluée au point alterne et ses termes décroissent vers 0 → estimation des séries alternées : le premier terme négligé, avec son signe

Exemple : $\cos 0{,}3\approx 1-0{,}045$ , erreur $\le\frac{0{,}3^{4}}{24}\approx 3{,}4\times 10^{-4}$ , par excès

c'est le cas de $\sin$ et $\cos$ , de $e^{x}$ pour $x<0$ , de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$ pour $0<x\le 1$
Si tous les termes ont le même signe → inégalité de Taylor, avec $M$ pris au pire point de l'intervalle

Exemple : $e^{0{,}3}$ : $M=2$ , $|R_1|\le 0{,}09$
Si le point est loin du centre naturel → recentrer sur le point le plus proche où tout se calcule exactement

Exemple : $\sqrt[3]{9}$ en $a=8$ ; $\sin 10=-\sin(10-3\pi)$
Si on demande un degré, un nombre de termes ou un intervalle → écrire la BORNE en fonction de $n$ ou de $x$ , puis résoudre l'inégalité « borne $<$ tolérance »

Exemple : $e^{0{,}5}$ à $10^{-3}$ : $\frac{2(0{,}5)^{n+1}}{(n+1)!}<10^{-3}$ dès $n=4$
Si le point est hors de l'intervalle de convergence → aucun degré ne convient : changer de centre ou de formule

Exemple : $\ln(1+x)$ en $x=2$ : le terme $\frac{2^{k}}{k}$ ne tend pas vers $0$

Si la série alterne, les deux outils sont permis ; on prend le plus simple, et on vérifie que la décroissance des termes est vraie au point demandé.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Approcher une valeur avec une erreur garantie

Quand l'utiliser : « Approchez ... à l'aide d'un polynôme de Taylor et bornez l'erreur commise. »

1 Choisir le centre $a$ : le point le plus proche où $f$ et ses dérivées se calculent exactement.
2 Écrire $T_n$ et calculer $T_n(x)$ en fractions.
3 Étudier le sens de variation de $|f^{(n+1)}|$ entre $a$ et $x$ , et en déduire $M$ avec sa justification.
4 Appliquer $|R_n(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ .
5 Donner le signe du reste par la forme de Lagrange, puis l'encadrement.

Phrase de conclusion

« $f'''$ est positive et décroissante sur $[8\,;9]$ , donc $M=f'''(8)=\frac{5}{3456}$ et, par l'inégalité de Taylor, $|R_2(9)|\le\frac{5}{20\,736}$ ; comme $f'''>0$ , $R_2(9)>0$ , d'où $\frac{599}{288}<\sqrt[3]{9}<\frac{43\,133}{20\,736}$ . »

Le piège : La justification de M est l'étape sautée : sans elle, la borne n'est pas démontrée.

Barème : Valeur 1 point, M justifié 1 point, borne 1 point, signe et encadrement 1 point.

Trouver le degré pour une précision donnée

Quand l'utiliser : « Quel degré faut-il pour garantir une erreur inférieure à ... ? »

1 Trouver un $M$ valable pour TOUS les degrés envisagés (pour $e^{x}$ sur $[0\,;0{,}5]$ : $M=2$ ).
2 Écrire la borne en fonction de $n$ : $\frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ .
3 Tester $n=1$ , puis $n=2$ , puis $n=3$ , et s'arrêter au premier $n$ dont la BORNE passe sous la tolérance.
4 Conclure par le plus petit degré, en citant la borne du degré précédent qui échoue.

Phrase de conclusion

« Pour $n=3$ , la borne vaut $\frac{2(0{,}5)^{4}}{24}\approx 5{,}2\times 10^{-3}$ ; pour $n=4$ , $\frac{2(0{,}5)^{5}}{120}\approx 5{,}2\times 10^{-4}<10^{-3}$ . Le degré $4$ garantit $e^{0{,}5}$ à $10^{-3}$ près. »

Le piège : Répondre avec l'erreur réelle, qu'on ne connaît pas, au lieu de la borne.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La borne contre une valeur connue

Quand une puissance se calcule à la main, élever la valeur approchée à cette puissance.

$599^{3}=214\,921\,799<9\times 288^{3}=214\,990\,848$ confirme $\frac{599}{288}<\sqrt[3]{9}$ ; un cube plus grand que $9$ trahirait un signe faux.
Le signe sur la figure

Comparer le signe annoncé du reste au dessin de $f$ et de $T_n$ , de part et d'autre du centre.

Une tangente à une courbe concave est AU-DESSUS : un $T_1$ « par défaut » pour $\ln$ dénonce un signe oublié.
L'ordre de grandeur de la borne

Estimer $M\,\frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$ de tête avant de calculer.

$|x-a|=0{,}1$ et $n=2$ donnent environ $\frac{10^{-3}}{6}M$ : une borne de $0{,}05$ signale une faute de puissance.
Le mode radian

Tout angle qui entre dans une série de $\sin$ ou $\cos$ est d'abord converti en radians.

$\sin 5^{\circ}$ se calcule en $x=\frac{\pi}{36}\approx 0{,}087$ , jamais en $x=5$ .

L'exercice type décortiqué

Encadrer $\sqrt[3]{9}$ par deux fractions

À l'aide du polynôme de Taylor d'ordre $2$ de $f(x)=\sqrt[3]{x}$ centré en $a=8$ , approchez $\sqrt[3]{9}$ par une fraction, bornez l'erreur commise et déduisez-en un encadrement de $\sqrt[3]{9}$ . Sans calculatrice.

Le centre

a=8

est le cube parfait le plus proche de

9

;

T_2

colle à

\sqrt[3]{x}

autour de

8

et passe sous la courbe à droite, ce que le signe du reste devra confirmer.

Étape 1

$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}$ , $f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-5/3}$ , $f'''(x)=\frac{10}{27}x^{-8/3}$ ; en $8$ : $f(8)=2$ , $f'(8)=\frac{1}{12}$ , $f''(8)=-\frac{1}{144}$ .

Pourquoi

Le centre $8$ rend chaque puissance exacte : $8^{1/3}=2$ , donc $8^{2/3}=4$ , $8^{5/3}=32$ et $8^{8/3}=256$ .

Étape 2

$T_2(x)=2+\frac{x-8}{12}-\frac{(x-8)^{2}}{288}$ , donc $T_2(9)=2+\frac{1}{12}-\frac{1}{288}=\frac{599}{288}$ .

Pourquoi

Le coefficient d'ordre $2$ est $\frac{f''(8)}{2!}$ : le $2!$ oublié donne $\frac{1}{144}$ au lieu de $\frac{1}{288}$ .

Étape 3

$f'''(t)=\frac{10}{27\,t^{8/3}}$ est positive et décroissante sur $[8\,;9]$ , donc $M=f'''(8)=\frac{10}{27\times 256}=\frac{5}{3456}$ .

Pourquoi

C'est l'étape qui rapporte le point de rigueur : le maximum est justifié par le sens de variation, pas supposé.

Étape 4

$|R_2(9)|\le\frac{M}{3!}\times 1^{3}=\frac{5}{20\,736}\approx 2{,}4\times 10^{-4}$ .

Pourquoi

$|x-a|=1$ : la borne ne vient que de $M$ et de $3!$ , d'où l'intérêt d'un centre à distance $1$ .

Étape 5

Lagrange : $R_2(9)=\frac{f'''(c)}{6}$ avec $8<c<9$ , donc $R_2(9)>0$ et $\frac{599}{288}<\sqrt[3]{9}<\frac{599}{288}+\frac{5}{20\,736}=\frac{43\,133}{20\,736}$ .

Pourquoi

Le signe coupe l'intervalle d'incertitude en deux : on passe d'une borne à un encadrement.

Étape 6

Contrôle : $599^{3}=214\,921\,799$ et $9\times 288^{3}=214\,990\,848$ , donc $\left(\frac{599}{288}\right)^{3}<9$ .

Pourquoi

Un cube se calcule à la main : il confirme le côté sans aucune calculatrice.

Conclusion rédigée

« $\sqrt[3]{9}\approx\frac{599}{288}$ , valeur par défaut, avec une erreur au plus $\frac{5}{20\,736}$ : $\frac{599}{288}<\sqrt[3]{9}<\frac{43\,133}{20\,736}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $M=f'''(9)$ , la plus petite valeur de $f'''$ sur $[8\,;9]$ , qui ne majore rien.

À savoir par cœur

• $|R_n(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ , avec $|f^{(n+1)}(t)|\le M$ pour TOUT $t$ entre $a$ et $x$ .
• $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ : $R_n>0$ par défaut, $R_n<0$ par excès.
• Série ALTERNÉE au point, termes décroissant vers $0$ : erreur $\le$ premier terme négligé, de son signe.
• Termes de même signe : JAMAIS le premier terme négligé seul ; inégalité de Taylor.
• $T_n=T_{n+1}$ pour une fonction paire ou impaire en $0$ : borner avec $n+1$ .
• Un degré se trouve sur la BORNE, jamais sur l'erreur réelle, qu'on ignore.
• Angles en radians ; centre au point exact le plus proche ; hors de l'intervalle de convergence, aucun degré ne convient.

Questions fréquentes

Comment choisir M dans l'inégalité de Taylor ?

M doit majorer la valeur absolue de la dérivée d'ordre n plus un sur tout l'intervalle entre le centre et le point, pas seulement au centre. On étudie le sens de variation de cette dérivée sur l'intervalle et on prend sa valeur au pire point, souvent une extrémité. Un M arrondi vers le haut reste juste ; un M trop petit rend la borne fausse.

Quand peut-on borner l'erreur par le premier terme négligé ?

Seulement quand la série, évaluée au point demandé, est alternée et que ses termes décroissent vers zéro. C'est le cas du sinus et du cosinus, de l'exponentielle pour un x négatif ou du logarithme de un plus x pour x entre zéro et un. Si tous les termes ont le même signe, le reste dépasse le premier terme négligé et il faut l'inégalité de Taylor.

Comment savoir si un polynôme de Taylor surestime ou sous-estime la fonction ?

On écrit le reste sous la forme de Lagrange : la dérivée d'ordre n plus un en un point c, divisée par la factorielle, fois x moins a à la puissance n plus un. On ne connaît pas c, mais on connaît souvent le signe de cette dérivée. Le signe du reste est ce signe multiplié par celui de la puissance : un reste positif veut dire une approximation par défaut.

Combien de termes faut-il pour une précision donnée avec Taylor ?

On écrit la borne de l'erreur en fonction du degré n, puis on teste n égal un, deux, trois, jusqu'au premier degré dont la borne passe sous la tolérance. On répond avec ce degré en citant la borne du degré précédent, qui échoue. L'erreur réelle ne sert jamais à choisir : on ne la connaît pas.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : L'erreur d'approximation de Taylor

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Approximation quadratique et Taylor à deux variables

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-erreur-approximation-taylor. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

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L'erreur de Taylor bloque en MTH1101 ?

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Fiche de révision : l'erreur d'approximation de Taylor (MTH1101, Polytechnique)

L'essentiel

Une borne majore l'erreur sur TOUT l'intervalle, ou elle n'est rien

Les deux outils, et quand chacun s'applique

Les règles de calcul en tableau

Où prendre MMM : le maximum de ∣f(n+1)∣|f^{(n+1)}|∣f(n+1)∣ selon la fonction et le côté

Les pièges qui coûtent des points

1. Prendre M au centre de l'intervalle

2. Appliquer l'estimation des séries alternées à une série qui n'alterne pas

3. Lire le signe du reste sur la dérivée seule

4. Croire l'erreur proportionnelle à x

5. Oublier que T_n et T_(n+1) peuvent être égaux

6. Confondre la borne et l'erreur

7. Prendre une précision pour des décimales exactes

8. Travailler en degrés

Quelle méthode choisir

Quel outil pour borner l'erreur ?

La rédaction attendue

Approcher une valeur avec une erreur garantie

Trouver le degré pour une précision donnée

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Encadrer 93\sqrt[3]{9}39​ par deux fractions

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment choisir M dans l'inégalité de Taylor ?

Quand peut-on borner l'erreur par le premier terme négligé ?

Comment savoir si un polynôme de Taylor surestime ou sous-estime la fonction ?

Combien de termes faut-il pour une précision donnée avec Taylor ?

Exercices corrigés : L'erreur d'approximation de Taylor

Ce chapitre resservira dans

Voir aussi

L'erreur de Taylor bloque en MTH1101 ?

Où prendre $M$ : le maximum de $|f^{(n+1)}|$ selon la fonction et le côté

Encadrer $\sqrt[3]{9}$ par deux fractions