Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : approximation quadratique et Taylor à deux variables (MTH1101)

Cette fiche de révision porte sur l'approximation quadratique et le polynôme de Taylor d'ordre 2 d'une fonction de deux variables, section 4.5 de Stewart, *Calcul à plusieurs variables* (2e édition), « Approximations linéaire et quadratique d'une fonction à deux variables, analyse des erreurs », qui prolonge l'approximation linéaire de la section 4.2. En MTH1101, ce chapitre vient après le contrôle périodique 2 et n'est évalué qu'à l'examen final. Elle ne refait pas le cours : elle dit ce qui coûte des points et quel geste l'évite.

À l'examen, pas de calculatrice, et un seul document permis : votre aide-mémoire d'une feuille recto verso. La grille des coefficients, la borne d'erreur et la complétion du carré de cette fiche sont exactement ce qui mérite d'y figurer.

Un seul réflexe la traverse : avant d'écrire un coefficient, demandez-vous s'il vient d'un carré, qui porte un $\frac{1}{2}$ , ou du terme croisé, qui n'en porte pas. Tout le reste, l'estimation, la borne d'erreur et le signe de la forme, se construit sur ces trois coefficients.

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Le fil du chapitre

La partie quadratique de $T_{2}$ est $\frac{1}{2}\vec h^{\,T}H\vec h$ : le $\frac{1}{2}$ divise les carrés, mais pas le terme croisé, dont le coefficient est $f_{xy}$ ENTIER. Et $T_{2}$ est local : son erreur est d'ordre $3$ près du point, et rien n'est garanti loin de lui.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Remonter plus loin : la chaîne complète (8 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Polynôme de Taylor d'ordre 2
Approximation quadratique
Matrice hessienne
Dérivées partielles secondes
Théorème de Clairaut
Forme quadratique
Complétion du carré
Inégalité de Taylor
Série de Maclaurin
Approximation linéaire

L'essentiel

La formule, et où vont les facteurs

• Autour de $(a,b)$ , avec $h=x-a$ et $k=y-b$ : $T_{2}=f+f_{x}h+f_{y}k+\frac{1}{2}\left[f_{xx}h^{2}+2f_{xy}hk+f_{yy}k^{2}\right]$ , toutes les dérivées prises en $(a,b)$ .
• Développée : $\frac{1}{2}f_{xx}$ devant $h^{2}$ , $f_{xy}$ ENTIER devant $hk$ , $\frac{1}{2}f_{yy}$ devant $k^{2}$ . Le $2$ du terme croisé vient des deux dérivées croisées $f_{xy}=f_{yx}$ , égales par Clairaut.
• En matrice : $\frac{1}{2}\vec h^{\,T}H\vec h$ avec $H=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}$ , la hessienne, que l'on écrit sans aucun facteur.
• $L$ donne la pente dans chaque direction, $T_{2}$ y ajoute la courbure. Le long d'une droite passant par $(a,b)$ , $T_{2}$ est une parabole et $L$ sa tangente.

La distance

d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

près de

(3,4)

, en avançant de

s

perpendiculairement au rayon :

L

reste à

5

, seule la parabole

T_{2}=5+\frac{s^{2}}{10}

suit

d=\sqrt{25+s^{2}}

Contrôle immédiat : $T_{2}(a,b)=f(a,b)$ , et les dérivées premières et secondes de $T_{2}$ en $(a,b)$ sont celles de $f$ .

Unicité, et la borne de l'erreur

• UNICITÉ : un polynôme de degré au plus $2$ qui approche $f$ à des termes de degré $\geq 3$ près est $T_{2}$ . On peut donc l'obtenir par les séries à une variable, en tronquant au degré TOTAL $2$ .
• INÉGALITÉ DE TAYLOR : si toutes les dérivées d'ordre $3$ sont bornées par $M$ sur un carré centré en $(a,b)$ , alors $|f-T_{2}|\leq\frac{M}{6}\left(|h|+|k|\right)^{3}$ sur ce carré.
• Sur le carré de demi-côté $\delta$ , le pire point est un coin : $|h|+|k|=2\delta$ , et la borne vaut $\frac{4M\delta^{3}}{3}$ .
• SIGNE d'une forme $Ah^{2}+2Bhk+Ck^{2}$ : compléter le carré. Si $A\neq 0$ , elle vaut $A\left(h+\frac{B}{A}k\right)^{2}+\frac{AC-B^{2}}{A}k^{2}$ .

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Du polynôme aux dérivées : quel facteur pour quel terme

On lit cette grille dans les deux sens : pour écrire $T_{2}$ à partir des dérivées, et pour retrouver les dérivées sur un $T_{2}$ donné ou obtenu par les séries. La case rouge est la règle que les copies inventent : elle n'est pas une réponse, elle est l'ordre de redévelopper le crochet.

Terme de $T_{2}$	Son coefficient	Dérivée qu'on en tire
$h^{2}$	$\frac{1}{2}f_{xx}$	$f_{xx}=2\times$ coef.
Exemple : $5h^{2}$ dans $T_{2}$ donne $f_{xx}=10$ .
$hk$	$f_{xy}$	$f_{xy}=$ coef.
Exemple : $-3hk$ dans $T_{2}$ donne $f_{xy}=-3$ .
$k^{2}$	$\frac{1}{2}f_{yy}$	$f_{yy}=2\times$ coef.
Exemple : $\frac{1}{4}k^{2}$ dans $T_{2}$ donne $f_{yy}=\frac{1}{2}$ .
$hk$	$\frac{1}{2}f_{xy}$	n'existe pas règle inexistante
Exemple : Pour $f=xy$ en $(0,0)$ , $f_{xy}=1$ et $T_{2}=xy$ ; la règle inventée donnerait $\frac{1}{2}xy$ , faux en $(1,1)$ où $f=1$ . Ce qu'il faut faire : Redévelopper le crochet : $\frac{1}{2}\times 2f_{xy}hk=f_{xy}hk$ .

Ce qu'il faut écrire

« $q=\left(h+\frac{3}{2}k\right)^{2}-\frac{5}{4}k^{2}$ , différence de carrés : $q(1,-1)=-1<0$ , la forme change de signe. »

Mêmes coefficients diagonaux,

1

1

. À gauche,

h^{2}+hk+k^{2}

: des ellipses, la forme reste positive. À droite,

h^{2}+3hk+k^{2}

: des hyperboles séparées par deux droites où elle s'annule.

Pourquoi : Le terme croisé peut l'emporter sur la diagonale. Seule la complétion du carré tranche, et la carte le montre : des ellipses quand la forme garde un signe, des hyperboles quand elle en change.

7. Croire que l'ordre 2 est meilleur partout

1 point de justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $f=\frac{1}{1+x+y}$ , $T_{2}$ est plus précis que $L$ , donc je l'utilise en $(2,0)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« En $(2,0)$ , $f=\frac{1}{3}$ , $L=-1$ et $T_{2}=3$ : $T_{2}$ se trompe de $\frac{8}{3}$ , $L$ de $\frac{4}{3}$ . L'ordre $2$ n'est meilleur que près du point. »

Le long de l'axe des

x

: près de

0

, la parabole

T_{2}

colle à

f

mieux que la droite

L

; en

x=2

, elle s'en éloigne deux fois plus.

Pourquoi : L'erreur de $T_{2}$ est petite parce qu'elle est d'ordre $3$ en $(h,k)$ ; dès que $|h|+|k|$ n'est plus petit, $(|h|+|k|)^{3}$ n'est plus petit non plus.

8. Prendre M au centre, ou additionner h et k sans valeur absolue

toute la borne

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f=\sin x\,\mathrm{e}^{y}$ sur le carré de demi-côté $0{,}2$ : $M=1$ , et en $(0{,}2\,;-0{,}2)$ , $|h+k|=0$ , donc l'erreur est nulle. »

Ce qu'il faut écrire

« Les dérivées d'ordre $3$ sont $\pm\sin x\,\mathrm{e}^{y}$ ou $\pm\cos x\,\mathrm{e}^{y}$ , bornées par $\mathrm{e}^{0{,}2}<1{,}23=M$ sur le carré ; $|h|+|k|=0{,}4$ , donc $|f-T_{2}|\leq\frac{1{,}23}{6}(0{,}4)^{3}\approx 0{,}0131$ . »

Pourquoi : $M$ doit majorer sur TOUT le carré, où $\mathrm{e}^{y}$ dépasse $1$ ; et les valeurs absolues empêchent deux erreurs de signes contraires de se compenser sur le papier, ce qu'elles ne font pas dans la réalité.

Quelle méthode choisir

Comment obtenir T2 selon la forme de la fonction

Regardez de quoi la fonction est faite, et où est le centre.

Si produit de deux fonctions d'une variable, centre $(0,0)$ → multiplier les deux séries de Maclaurin et garder le degré total au plus 2

Exemple : $\mathrm{e}^{y}\ln(1+x)$ donne $x-\frac{x^{2}}{2}+xy$
Si composée $\varphi(u)$ avec $u(0,0)=0$ → série de $\varphi$ en $u$ , puis développer $u$ et $u^{2}$ , et tronquer

Exemple : $\cos(x+y)$ donne $1-\frac{(x+y)^{2}}{2}=1-\frac{x^{2}}{2}-xy-\frac{y^{2}}{2}$
Si polynôme en $x$ et $y$ , centre $(a,b)$ quelconque → remplacer $x=a+h$ , $y=b+k$ , développer et garder le degré au plus 2 en $(h,k)$

Exemple : $x^{2}y$ en $(1,2)$ : $(1+h)^{2}(2+k)$ donne $2+4h+k+2h^{2}+2hk$
Si centre $(a,b)\neq(0,0)$ et aucune série commode → calculer les cinq dérivées au point, puis la formule

Exemple : $\sqrt{x}\,\mathrm{e}^{y}$ en $(4,0)$ , décortiqué plus bas

Les deux premières branches donnent aussi les dérivées secondes, par la grille de lecture ; c'est souvent le chemin le plus court vers $f_{xy}(0,0)$ .

Quel signe pour la forme quadratique

Écrivez la forme $q=Ah^{2}+2Bhk+Ck^{2}$ , puis complétez le carré.

Si somme de deux carrés à coefficients positifs → $q>0$ hors de l'origine

Exemple : $2h^{2}-2hk+k^{2}=(h-k)^{2}+h^{2}$
Si différence de deux carrés → q change de signe, nulle sur deux droites

Exemple : $h^{2}-4hk+k^{2}=(h-2k)^{2}-3k^{2}$ vaut $-2$ en $(1,1)$
Si un seul carré, à un facteur près → q garde un signe mais s'annule sur une droite

Exemple : $h^{2}+6hk+9k^{2}=(h+3k)^{2}$ , nulle sur $h=-3k$

Le signe de la forme est une information sur l'écart entre $f$ et son approximation linéaire. Ce qu'il dit d'un point où le gradient est nul est l'objet du chapitre sur les extrema.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Écrire T2 et estimer une valeur

Quand l'utiliser : L'énoncé demande une approximation quadratique, ou d'estimer f en un point voisin.

1 Écrire le centre et poser $h=x-a$ , $k=y-b$ , avec leurs signes.
2 Calculer $f$ , $f_{x}$ , $f_{y}$ , $f_{xx}$ , $f_{xy}$ , $f_{yy}$ AU POINT, et contrôler $f_{xy}=f_{yx}$ par Clairaut.
3 Écrire la formule avec son crochet, puis le développer : $\frac{1}{2}f_{xx}$ , $f_{xy}$ , $\frac{1}{2}f_{yy}$ .
4 Remplacer $h$ et $k$ par leurs valeurs, et donner $L$ puis $T_{2}$ si l'énoncé compare.
5 Dire ce que la correction quadratique a changé, en signe et en ordre de grandeur.

Phrase de conclusion

« Avec $h=…$ et $k=…$ , $L=…$ et $T_{2}=L+\frac{1}{2}\left[f_{xx}h^{2}+2f_{xy}hk+f_{yy}k^{2}\right]=…$ ; la courbure corrige l'estimation linéaire de … »

Le piège : La troisième étape : développer le crochet par écrit, au lieu de recopier les dérivées comme coefficients.

Barème : Dérivées 2 points, polynôme 1 point, estimation 1 point, en général sur 4.

Majorer l'erreur de T2 sur un carré

Quand l'utiliser : L'énoncé demande une borne garantie, ou une précision sur toute une région.

1 Calculer les quatre dérivées d'ordre $3$ , $f_{xxx}$ , $f_{xxy}$ , $f_{xyy}$ , $f_{yyy}$ .
2 Les majorer sur TOUT le carré, en nommant la raison : $|\sin|\leq 1$ , l'exponentielle croissante, etc. Fixer $M$ .
3 Écrire $|f-T_{2}|\leq\frac{M}{6}\left(|h|+|k|\right)^{3}$ et remplacer, avec les valeurs absolues.
4 Comparer à la précision demandée, et dire si la borne la garantit.

Phrase de conclusion

« Sur le carré, toutes les dérivées d'ordre $3$ sont bornées par $M=…$ car … ; donc $|f-T_{2}|\leq\frac{M}{6}(|h|+|k|)^{3}\leq …$ »

Le piège : Prendre $M$ au centre du carré, où il est souvent plus petit qu'ailleurs.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Recalculer T2 au centre

Remplacer $h=k=0$ : on doit retrouver $f(a,b)$ , et les coefficients de $h$ et $k$ doivent être les dérivées premières.

Un $T_{2}$ de $\sqrt{x}\,\mathrm{e}^{y}$ en $(4,0)$ qui ne commence pas par $2$ a perdu le terme constant.
Recouper par les séries

Quand la fonction est un produit ou une composée de fonctions usuelles, refaire T2 par les séries en une ligne.

$\sqrt{4+h}\approx 2+\frac{h}{4}-\frac{h^{2}}{64}$ et $\mathrm{e}^{k}\approx 1+k+\frac{k^{2}}{2}$ : leur produit tronqué doit redonner le $T_{2}$ calculé par les dérivées.
L'ordre de grandeur des erreurs

Pour un déplacement de taille $0{,}1$ , l'erreur de $L$ est de l'ordre de $10^{-2}$ , celle de $T_{2}$ de l'ordre de $10^{-3}$ .

Une estimation par $T_{2}$ qui diffère de $L$ de $0{,}5$ pour $h=k=0{,}1$ trahit un coefficient faux, souvent un $f_{xx}$ non divisé par $2$ .
La borne doit majorer l'erreur réelle

Si l'on connaît la valeur exacte, l'erreur réelle doit être sous la borne.

Une erreur réelle de $0{,}0005$ pour une borne de $0{,}0001$ dit que $M$ a été pris trop petit, ou $|h|+|k|$ mal calculé.

L'exercice type décortiqué

Estimer $\sqrt{4{,}1}\,\mathrm{e}^{0{,}1}$ par l'approximation quadratique

Soit $f(x,y)=\sqrt{x}\,\mathrm{e}^{y}$ . Écrire le polynôme de Taylor d'ordre 2 de $f$ en $(4,0)$ , puis estimer $\sqrt{4{,}1}\,\mathrm{e}^{0{,}1}$ par $L$ et par $T_{2}$ . On donne la valeur exacte $\sqrt{4{,}1}\,\mathrm{e}^{0{,}1}\approx 2{,}237\,80$ .

Étape 1

Centre $(4,0)$ : $h=x-4$ , $k=y$ . $f=2$ , $f_{x}=\frac{\mathrm{e}^{y}}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{4}$ , $f_{y}=\sqrt{x}\,\mathrm{e}^{y}=2$ .

Pourquoi

Les dérivées premières donnent L ; on les évalue tout de suite au point pour ne pas traîner des expressions.

Étape 2

$f_{xx}=-\frac{\mathrm{e}^{y}}{4x^{3/2}}=-\frac{1}{32}$ , $f_{xy}=\frac{\mathrm{e}^{y}}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{4}$ , $f_{yy}=\sqrt{x}\,\mathrm{e}^{y}=2$ . Contrôle : $f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\sqrt{x}\,\mathrm{e}^{y}\right)=\frac{1}{4}$ aussi.

Pourquoi

Clairaut sert de vérification gratuite : si les deux dérivées croisées diffèrent, l'une est fausse.

Étape 3

$T_{2}=2+\frac{h}{4}+2k+\frac{1}{2}\left[-\frac{h^{2}}{32}+2\cdot\frac{1}{4}hk+2k^{2}\right]=2+\frac{h}{4}+2k-\frac{h^{2}}{64}+\frac{hk}{4}+k^{2}$ .

Pourquoi

Le crochet est développé par écrit : $-\frac{1}{64}$ et $1$ pour les carrés, $\frac{1}{4}$ entier pour le terme croisé. C'est l'étape qui porte le point.

Étape 4

Avec $h=k=0{,}1$ : $L=2+0{,}025+0{,}2=2{,}225$ et $T_{2}=2{,}225-\frac{0{,}01}{64}+0{,}0025+0{,}01\approx 2{,}237\,34$ .

Pourquoi

On garde L comme étape intermédiaire : la comparaison est presque toujours demandée, et elle se lit ici sans recalcul.

Étape 5

Erreurs : $2{,}237\,80-2{,}225\approx 0{,}0128$ pour $L$ , $2{,}237\,80-2{,}237\,34\approx 0{,}000\,46$ pour $T_{2}$ , près de trente fois moins.

Pourquoi

Les ordres de grandeur attendus, $10^{-2}$ puis $10^{-3}$ ou moins, sont au rendez-vous : c'est la vérification de cohérence.

Étape 6

Recoupement par les séries : $\sqrt{4+h}=2\sqrt{1+\frac{h}{4}}\approx 2+\frac{h}{4}-\frac{h^{2}}{64}$ et $\mathrm{e}^{k}\approx 1+k+\frac{k^{2}}{2}$ ; le produit tronqué au degré $2$ redonne exactement $T_{2}$ .

Pourquoi

Deux méthodes indépendantes qui donnent le même polynôme : aucun coefficient ne peut plus être faux.

Conclusion rédigée

« En $(4,0)$ , $T_{2}=2+\frac{h}{4}+2k-\frac{h^{2}}{64}+\frac{hk}{4}+k^{2}$ ; en $(4{,}1\,;0{,}1)$ , $L=2{,}225$ et $T_{2}\approx 2{,}2373$ , contre $2{,}2378$ : la courbure corrige l'estimation linéaire d'environ $0{,}0123$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $\frac{1}{8}hk$ au lieu de $\frac{1}{4}hk$ en divisant le terme croisé par deux, ou $-\frac{h^{2}}{32}$ en oubliant le $\frac{1}{2}$ du carré.

À savoir par cœur

• $T_{2}=f+f_{x}h+f_{y}k+\frac{1}{2}\left[f_{xx}h^{2}+2f_{xy}hk+f_{yy}k^{2}\right]$ , dérivées au point, $h=x-a$ , $k=y-b$ .
• Coefficients : $\frac{1}{2}f_{xx}$ devant $h^{2}$ , $f_{xy}$ ENTIER devant $hk$ , $\frac{1}{2}f_{yy}$ devant $k^{2}$ .
• Partie quadratique $=\frac{1}{2}\vec h^{\,T}H\vec h$ , hessienne $H$ symétrique et SANS facteur.
• Par les séries : tronquer au degré TOTAL $2$ ; le résultat est $T_{2}$ par unicité.
• $|f-T_{2}|\leq\frac{M}{6}(|h|+|k|)^{3}$ , $M$ majorant les dérivées d'ordre $3$ sur TOUT le carré.
• Erreur de $L$ d'ordre $2$ , de $T_{2}$ d'ordre $3$ , près du point SEULEMENT.
• Signe d'une forme : compléter le carré, jamais conclure sur la diagonale seule.

Questions fréquentes

Que mettre sur l'aide-mémoire de MTH1101 pour Taylor à deux variables ?

La formule du polynôme de Taylor d'ordre 2 avec son crochet, puis la règle des coefficients : un demi de la dérivée seconde devant chaque carré, la dérivée croisée entière devant h fois k. Ajoutez la borne d'erreur, M sur six fois le cube de la somme des valeurs absolues des écarts, et la complétion du carré pour le signe d'une forme. Pas de calculatrice : prévoyez des exemples en valeurs exactes.

Comment écrire le polynôme de Taylor d'ordre 2 d'une fonction de deux variables ?

On calcule au point la valeur de la fonction, ses deux dérivées premières et ses trois dérivées secondes. On ajoute à l'approximation linéaire la moitié de la dérivée seconde en x fois h au carré, la dérivée croisée entière fois h fois k, et la moitié de la dérivée seconde en y fois k au carré, où h et k sont les écarts au point.

Pourquoi le terme croisé n'a-t-il pas de un demi dans le polynôme de Taylor ?

Parce que le crochet de la formule contient deux fois la dérivée croisée, une pour la dérivée en x puis en y, une pour la dérivée en y puis en x, égales par le théorème de Clairaut. Le un demi devant le crochet annule ce deux. Le coefficient de h fois k est donc la dérivée croisée telle quelle, alors que les carrés gardent leur un demi.

Peut-on obtenir le polynôme de Taylor à deux variables sans calculer de dérivées ?

Oui, quand la fonction est un produit ou une composée de fonctions usuelles autour de l'origine. On multiplie ou on compose leurs séries de Maclaurin, puis on ne garde que les termes de degré total au plus deux. Le polynôme obtenu est le bon, parce que le polynôme de Taylor d'ordre 2 est unique. Ses coefficients donnent même les dérivées secondes.

Comment borner l'erreur d'une approximation quadratique à deux variables ?

On majore toutes les dérivées d'ordre trois par une constante M sur tout le carré étudié, pas seulement au centre. L'erreur est alors au plus M sur six fois le cube de la somme des valeurs absolues des écarts h et k. Sur un carré de demi-côté delta, le pire point est un coin, où cette somme vaut deux delta.

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Exercices corrigés : Approximation quadratique et Taylor à deux variables

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-taylor-plusieurs-variables. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : approximation quadratique et Taylor à deux variables (MTH1101)

L'essentiel

La formule, et où vont les facteurs

Unicité, et la borne de l'erreur

Les règles de calcul en tableau

Du polynôme aux dérivées : quel facteur pour quel terme

Les pièges qui coûtent des points

1. Diviser le terme croisé par deux

2. Oublier le un demi devant les carrés

3. Lire une dérivée seconde sans doubler

4. Recopier un centre négatif avec le mauvais signe

5. Garder un terme de degré 3 dans un produit de séries

6. Juger le signe d'une forme sur sa diagonale

7. Croire que l'ordre 2 est meilleur partout

8. Prendre M au centre, ou additionner h et k sans valeur absolue

Quelle méthode choisir

Comment obtenir T2 selon la forme de la fonction

Quel signe pour la forme quadratique

La rédaction attendue

Écrire T2 et estimer une valeur

Majorer l'erreur de T2 sur un carré

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Estimer 4,1 e0,1\sqrt{4{,}1}\,\mathrm{e}^{0{,}1}4,1​e0,1 par l'approximation quadratique

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Que mettre sur l'aide-mémoire de MTH1101 pour Taylor à deux variables ?

Comment écrire le polynôme de Taylor d'ordre 2 d'une fonction de deux variables ?

Pourquoi le terme croisé n'a-t-il pas de un demi dans le polynôme de Taylor ?

Peut-on obtenir le polynôme de Taylor à deux variables sans calculer de dérivées ?

Comment borner l'erreur d'une approximation quadratique à deux variables ?

Exercices corrigés : Approximation quadratique et Taylor à deux variables

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