Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : limite et continuité à plusieurs variables (MTH1101, Polytechnique)

Cette fiche de révision porte sur la limite et la continuité des fonctions de plusieurs variables, section 3.2 de Stewart, *Calcul à plusieurs variables*, telle que le cours MTH1101 de Polytechnique la traite, juste avant les dérivées partielles, au programme du contrôle périodique 2. Elle ne refait pas le cours : elle dit ce qui coûte des points et quel geste l'évite. Aux contrôles périodiques comme à l'examen final, pas de calculatrice, et le seul document permis est votre aide-mémoire d'une feuille recto verso : les outils de majoration et les deux rédactions de cette fiche y ont leur place.

Un seul réflexe la traverse : avant d'écrire un mot, décidez si vous cherchez à RÉFUTER la limite, avec deux chemins, ou à la PROUVER, avec une majoration. Les deux tâches n'ont rien en commun, et presque toutes les copies fausses mélangent les deux.

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Le fil du chapitre

Une limite à deux variables doit être la même le long de TOUS les chemins à la fois : deux chemins qui donnent deux valeurs suffisent à prouver qu'elle n'existe pas, mais aucune liste de chemins, même toutes les droites, ne prouve qu'elle existe. Pour cela, il faut une majoration $|f(x,y)-L|\le g(x,y)$ qui ne dépend que de la distance au point et tend vers $0$ .

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Fonctions de plusieurs variables et courbes de niveau Exercices

Notions couvertes

Limite à deux variables
Non-existence par deux chemins
Théorème d'encadrement
Coordonnées polaires
Continuité en un point
Domaine de continuité
Continuité d'une composée
Prolongement par continuité
Fraction rationnelle homogène
Limite à trois variables

L'essentiel

Une limite ne regarde pas un chemin, elle les regarde tous

• $\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$ : $f(x,y)$ est aussi proche de $L$ qu'on veut pour TOUS les points du domaine assez proches de $(a,b)$ , $(x,y)\neq(a,b)$ . Seule la distance au point compte.
• À une variable, on n'arrive en $a$ que par deux côtés. À deux variables, on y arrive par une infinité de chemins : droites, paraboles, spirales, courbes qui longent une zone exclue.
• Conséquence 1 : si deux chemins donnent deux limites différentes, la limite N'EXISTE PAS.
• Conséquence 2 : si tous les chemins essayés donnent $L$ , on n'a RIEN prouvé. On prouve par une majoration $|f(x,y)-L|\le g(x,y)$ avec $g(x,y)\to 0$ , valable pour tous les points à la fois.

\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

est constante sur chaque droite issue de l'origine :

1

\frac{3}{5}

0

-\frac{3}{5}

-1

. Toutes ces courbes de niveau se rejoignent en l'origine, donc pas de limite.

Sur une copie, la première ligne doit annoncer l'intention : « montrons que la limite n'existe pas » ou « montrons que la limite vaut L ». Un correcteur qui lit deux chemins concordants suivis de « donc la limite vaut 0 » retire toute la question.

Les outils de majoration, avec r la distance à l'origine

• $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ; $|x|\le r$ et $|y|\le r$ ; $0\le\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1$ .
• $2|xy|\le x^{2}+y^{2}$ , qui vient de $\left(|x|-|y|\right)^{2}\ge 0$ .
• $|\sin u|\le|u|$ pour tout réel $u$ .
• Polaires : $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ ; la majoration finale doit dépendre de $r$ SEULEMENT.
• Trois variables : $\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ , et $|x|,|y|,|z|\le\rho$ .

Continuité : trois théorèmes et une définition

• $f$ est continue en $(a,b)$ si $(a,b)$ est dans son domaine et $\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)$ .
• Polynômes : continus sur $\mathbb{R}^{2}$ . Fractions rationnelles : continues là où le dénominateur ne s'annule pas.
• Sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continus.
• Composée $g\circ h$ : continue là où $h$ est continue ET prend ses valeurs là où $g$ est continue.
• Prolongement : si la limite en $(a,b)$ existe et vaut $L$ finie, poser $f(a,b)=L$ rend $f$ continue en ce point.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Conclure parce que toutes les droites donnent la même valeur

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le long de $y=mx$ , $\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}=\frac{m^{2}x}{1+m^{4}x^{2}}\to 0$ pour tout $m$ , et l'axe des $y$ donne $0$ . Donc la limite vaut $0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le long de $x=y^{2}$ , $f=\frac{y^{4}}{2y^{4}}=\frac{1}{2}$ ; le long de l'axe des $x$ , $f=0$ . Deux chemins, deux limites : la limite n'existe pas. »

Chaque parabole

x=ky^{2}

porte sa propre valeur,

\frac{k}{k^{2}+1}

; la droite pointillée les traverse toutes et ne voit que la valeur

0

Pourquoi : Le dénominateur mélange $x^{2}$ et $y^{4}$ : l'équilibre se produit quand $x$ est de l'ordre de $y^{2}$ , donc sur des paraboles, que les droites ne suivent jamais.

2. Une borne polaire qui dépend encore de l'angle

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En polaires, $\frac{x^{2}}{y}=\frac{r\cos^{2}\theta}{\sin\theta}\to 0$ quand $r\to 0$ . Donc la limite vaut $0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le facteur $\frac{\cos^{2}\theta}{\sin\theta}$ n'est pas borné quand $\theta\to 0$ ; le long de $y=\frac{x^{2}}{2}$ , $\frac{x^{2}}{y}=2$ , et le long de $y=x$ , il tend vers $0$ : pas de limite. »

Pour

\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}=r\cos\theta\sin^{2}\theta

, le facteur d'angle reste sous

1

: preuve valable. Pour

\frac{x^{2}}{y}

, il explose près de

\theta=0

\theta=\pi

: aucune preuve.

Pourquoi : Faire tendre $r$ vers $0$ à $\theta$ fixé, c'est suivre UNE demi-droite. La preuve polaire exige $|f-L|\le g(r)$ pour tous les angles à la fois.

3. Prendre une borne constante pour un encadrement

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $0\le\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1$ , donc par encadrement la limite en $(0,0)$ existe. »

Ce qu'il faut écrire

« Les bornes $0$ et $1$ ne tendent pas vers la même valeur : l'encadrement ne conclut pas. L'axe des $x$ donne $0$ , l'axe des $y$ donne $1$ : pas de limite. »

Pourquoi : Le théorème d'encadrement demande deux bornes qui tendent vers la MÊME limite. Une fonction bornée peut osciller sans jamais se fixer.

4. Prendre une forme zéro sur zéro pour une absence de limite

2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« En $(2,1)$ , $\frac{x^{2}-4y^{2}}{x-2y}$ donne $\frac{0}{0}$ : la limite n'existe pas. »

Ce qu'il faut écrire

« Sur le domaine $x\neq 2y$ , $\frac{x^{2}-4y^{2}}{x-2y}=x+2y$ , polynôme continu ; la limite en $(2,1)$ vaut $4$ . »

Pourquoi : Une limite ne regarde jamais le point lui-même : la simplification n'est valable que sur le domaine, et c'est exactement là que la limite regarde.

5. Prendre la continuité par rapport à chaque variable pour la continuité

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x,y)=\frac{5xy}{x^{2}+4y^{2}}$ , $f(0,0)=0$ : $f(x,0)=0$ et $f(0,y)=0$ sont continues, donc $f$ est continue en $(0,0)$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Le long de $y=x$ , $f(x,x)=\frac{5x^{2}}{5x^{2}}=1\to 1\neq f(0,0)$ : $f$ n'est pas continue en $(0,0)$ . »

Pourquoi : Les deux fonctions partielles ne testent que deux chemins, les deux axes. La continuité demande la limite selon tous les chemins.

6. Oublier l'hypothèse du théorème de composition

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\ln\left(1-x^{2}-y^{2}\right)$ est continue sur $\mathbb{R}^{2}$ comme composée de fonctions continues. »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln$ est continue sur $]0\,;+\infty[$ ; la composée est continue là où $1-x^{2}-y^{2}>0$ , c'est-à-dire sur le disque ouvert $x^{2}+y^{2}<1$ . »

Pourquoi : La fonction intérieure doit prendre ses valeurs là où l'extérieure est continue. Une inégalité stricte donne une frontière exclue.

7. Calculer la limite et oublier de la comparer à la valeur

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{\sin(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}\to 1$ , donc la fonction qui vaut $0$ en l'origine est continue. »

Ce qu'il faut écrire

« La limite vaut $1$ mais $f(0,0)=0$ : $f$ n'est pas continue en $(0,0)$ . Elle le deviendrait en posant $f(0,0)=1$ . »

Pourquoi : La continuité est une ÉGALITÉ entre la limite et la valeur. Une limite qui existe ne suffit pas.

8. Appeler la règle de L'Hospital sur deux variables

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $\left(x^{2}+y^{2}\right)\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)$ , j'applique L'Hospital en $x$ puis en $y$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Posons $u=x^{2}+y^{2}\to 0^{+}$ ; à une variable, $u\ln u=\frac{\ln u}{1/u}$ et L'Hospital donne $-u\to 0$ . La limite vaut $0$ . »

Pourquoi : Il n'existe pas de règle de L'Hospital à plusieurs variables. On réduit d'abord à une variable, ce qui n'est possible que si l'expression ne dépend que de la distance.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de la fonction

On regarde la fonction au point visé, AVANT de calculer quoi que ce soit.

Si le dénominateur ne s'annule pas au point → la fonction y est continue : remplacer, en citant le théorème

Exemple : $\lim\limits_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{4}{2}=2$
Si forme $\frac{0}{0}$ avec un facteur commun → factoriser, simplifier sur le domaine, remplacer

Exemple : $\frac{x^{2}-4y^{2}}{x-2y}=x+2y\to 4$ en $(2,1)$
Si expression qui ne dépend que de $x^{2}+y^{2}$ → poser $u=x^{2}+y^{2}$ et calculer une limite à UNE variable

Exemple : $\frac{\sin(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}\to 1$
Si même degré en haut et en bas, dénominateur nul seulement en l'origine → la fraction est constante sur chaque droite : deux droites, pas de limite (sauf si elle est constante)

Exemple : $\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ : $1$ sur l'axe des $x$ , $-1$ sur l'axe des $y$
Si degré du haut plus grand, dénominateur nul seulement en l'origine → majorer avec $|x|\le r$ , $|y|\le r$ , $2|xy|\le r^{2}$ : limite $0$

Exemple : $\left|\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le|x|\to 0$
Si dénominateur qui mélange des puissances, comme $x^{2}+y^{4}$ → chemin qui égalise les ordres : ici x = k y²

Exemple : $\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}=\frac{1}{2}$ sur $x=y^{2}$
Si dénominateur nul sur toute une courbe qui passe par le point → chemin qui longe cette courbe au plus près

Exemple : $\frac{x^{2}}{y}=2$ sur $y=\frac{x^{2}}{2}$ , qui longe l'axe exclu

Le décompte des degrés guide, il ne prouve pas : la conclusion s'écrit toujours avec deux chemins explicites ou avec une majoration explicite.

Quel geste selon le verbe de l'énoncé

On lit la question, pas la fonction.

Si « montrer que la limite n'existe pas » → deux chemins nommés, deux limites calculées, la phrase de conclusion
Si « calculer la limite » ou « montrer qu'elle vaut L » → une majoration de la distance à L par une quantité qui tend vers 0
Si « f est-elle continue en (a, b) ? » → la limite existe ET égale f(a, b) : deux vérifications
Si « peut-on prolonger f par continuité ? » → la limite existe et est finie ; la valeur du prolongement est cette limite
Si « où f est-elle continue ? » → le domaine des formules, frontière incluse ou non, puis les points de raccord

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Prouver qu'une limite n'existe pas

Quand l'utiliser : La fonction prend des valeurs différentes selon la direction d'approche.

1 Nommer le premier chemin, avec sa paramétrisation : « le long de l'axe des $x$ , $y=0$ ».
2 Calculer la limite le long de ce chemin, en vérifiant que le chemin reste dans le domaine.
3 Nommer un second chemin et calculer sa limite de la même façon.
4 Constater que les deux limites sont différentes, et conclure.

Phrase de conclusion

« Le long de $C_{1}$ , $f\to L_{1}$ ; le long de $C_{2}$ , $f\to L_{2}$ , avec $L_{1}\neq L_{2}$ . Deux chemins menant à deux limites différentes, la limite de $f$ en $(a,b)$ n'existe pas. »

Le piège : Un chemin qui sort du domaine, comme la droite y = 0 pour x²/y, ne compte pas : vérifier que le dénominateur ne s'annule pas le long du chemin.

Barème : Un chemin juste 1 point, le second 1 point, la conclusion rédigée 1 point.

Prouver qu'une limite existe par encadrement

Quand l'utiliser : On a une valeur candidate L, souvent donnée par quelques chemins concordants.

1 Écrire $|f(x,y)-L|$ et le majorer par une quantité $g(x,y)$ , en citant l'inégalité utilisée ( $|x|\le r$ , $2|xy|\le r^{2}$ , $|\sin u|\le|u|$ ).
2 Vérifier que $g$ ne dépend que de la distance au point, ou d'une coordonnée qui tend vers $0$ , jamais de l'angle seul.
3 Justifier que $g(x,y)\to 0$ .
4 Conclure par le théorème d'encadrement.

Phrase de conclusion

« Pour $(x,y)\neq(a,b)$ , $|f(x,y)-L|\le g(x,y)$ , et $g(x,y)\to 0$ quand $(x,y)\to(a,b)$ . Par le théorème d'encadrement, $\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$ . »

Le piège : La deuxième étape : en polaires, une borne qui contient encore 1 / sin θ ne prouve rien.

Barème : Majoration 2 points, limite de la borne 1 point, conclusion 1 point.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

La borne finale ne contient plus d'angle

Relire la dernière majoration : elle doit s'écrire avec $r$ seul, ou avec $|x|$ , $|y|$ .

$\left|r\cos\theta\sin^{2}\theta\right|\le r$ conclut ; $\frac{r\cos^{2}\theta}{|\sin\theta|}$ ne conclut pas, il reste un $\theta$ au dénominateur.
Le chemin passe par le point et reste dans le domaine

Remplacer x = 0 dans la paramétrisation : on doit retrouver le point visé. Puis vérifier que le dénominateur ne s'annule pas le long du chemin.

$y=x^{2}-x$ passe par l'origine et $x+y=x^{2}\neq 0$ pour $x\neq 0$ : chemin valable pour $\frac{xy}{x+y}$ .
Un chemin de contrôle contre la limite trouvée

Après une preuve d'existence, calculer la fonction le long de $y=x$ : elle doit tendre vers la même valeur.

Pour $\frac{x^{2}\sin y}{x^{2}+y^{2}}$ , le long de $y=x$ on trouve $\frac{\sin x}{2}\to 0$ : cohérent avec la limite $0$ . Une valeur différente dénonce une majoration fausse.
Le compte des degrés

Degré du haut moins degré du bas, quand le dénominateur ne s'annule qu'au point : positif, la limite est souvent 0 ; nul, elle n'existe presque jamais.

$\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ : $3-2=1>0$ , chercher une majoration. $\frac{5xy}{x^{2}+4y^{2}}$ : $2-2=0$ , chercher deux droites.

L'exercice type décortiqué

Continuité de $\frac{x^{2}\sin y}{x^{2}+y^{2}}$ prolongée par $0$

Soit $f(x,y)=\dfrac{x^{2}\sin y}{x^{2}+y^{2}}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ , et $f(0,0)=0$ . La fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}^{2}$ ?

Étape 1

Hors de l'origine, $f$ est le quotient de $x^{2}\sin y$ , produit de fonctions continues, par $x^{2}+y^{2}$ , qui ne s'annule pas : $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}$ .

Pourquoi

On règle d'un coup tous les points ordinaires par les théorèmes généraux ; la seule vraie question est le point de raccord.

Étape 2

Chemins de repérage : sur les axes $f=0$ ; sur $y=x$ , $f=\frac{\sin x}{2}\to 0$ . Valeur candidate : $0$ .

Pourquoi

Les chemins donnent une CANDIDATE, pas une preuve. S'ils avaient divergé, on aurait conclu tout de suite à la discontinuité.

Étape 3

Majoration : $|\sin y|\le|y|$ et $0\le\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1$ , donc $|f(x,y)-0|\le|y|$ .

Pourquoi

Deux inégalités de la boîte à outils, citées. La borne $|y|$ ne dépend d'aucun chemin : elle vaut pour tous les points à la fois.

Étape 4

$|y|\to 0$ quand $(x,y)\to(0,0)$ ; par encadrement, $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0$ .

Pourquoi

C'est l'étape qui rapporte la moitié des points : le nom du théorème et la limite de la borne.

Étape 5

La limite vaut $0=f(0,0)$ : $f$ est continue en $(0,0)$ .

Pourquoi

La continuité est une égalité entre limite et valeur ; on l'écrit, on ne la suppose pas.

Étape 6

Vérification : $f(0{,}01\,;0{,}01)=\frac{\sin 0{,}01}{2}\approx 0{,}005$ , bien inférieur à la borne $|y|=0{,}01$ .

Pourquoi

Un point numérique contrôle le sens de l'inégalité ; il ne remplace pas la preuve.

Conclusion rédigée

« $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}$ par les théorèmes généraux, et en $(0,0)$ car $|f(x,y)|\le|y|\to 0=f(0,0)$ . Donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{2}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : S'arrêter à l'étape 2 et conclure « la limite vaut $0$ » parce que trois chemins ont donné $0$ : c'est la copie qui perd toute la question.

À savoir par cœur

• Deux chemins, deux limites différentes : la limite N'EXISTE PAS.
• Tous les chemins essayés d'accord : RIEN n'est prouvé.
• Prouver : $|f-L|\le g$ avec $g\to 0$ , une borne qui ne dépend que de la DISTANCE au point.
• Outils : $|x|\le r$ , $|y|\le r$ , $2|xy|\le x^{2}+y^{2}$ , $|\sin u|\le|u|$ .
• Polaires : la borne finale ne contient PLUS $\theta$ .
• Continue en $(a,b)$ : la limite existe ET égale $f(a,b)$ .
• Prolonger par continuité : poser $f(a,b)$ égal à la limite finie, seule valeur possible.

Questions fréquentes

Comment montrer qu'une limite à deux variables n'existe pas ?

On choisit deux chemins qui mènent au point, par exemple l'axe des x et la droite y = x, ou une parabole, et on calcule la limite de la fonction le long de chacun. Si les deux limites sont différentes, la limite n'existe pas. Il faut nommer les deux chemins, vérifier qu'ils restent dans le domaine, et écrire la phrase de conclusion.

Si la limite vaut 0 le long de toutes les droites, la limite existe-t-elle ?

Non, pas forcément. Les droites ne sont qu'une famille de chemins. La fonction x fois y au carré sur x au carré plus y puissance 4 tend vers 0 sur toute droite passant par l'origine, mais vaut un demi sur la parabole x égale y au carré. Seule une majoration valable pour tous les points proches prouve qu'une limite existe.

Comment utiliser les coordonnées polaires pour une limite en (0,0) ?

On remplace x par r cos thêta et y par r sin thêta, puis on majore la distance à la limite candidate par une quantité qui ne dépend que de r et tend vers 0. Si la majoration contient encore l'angle, par exemple un sinus au dénominateur, elle ne prouve rien : il faut vérifier que le facteur d'angle reste borné pour tous les angles.

Quelle est la différence entre limite et continuité à plusieurs variables ?

La limite décrit ce que fait la fonction près du point, sans jamais regarder le point lui-même. La continuité demande en plus que la fonction soit définie au point et que sa valeur soit égale à la limite. Une fonction peut avoir une limite et ne pas être continue, si sa valeur au point est différente.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Limite et continuité à plusieurs variables

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-limite-continuite. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Les limites à plusieurs variables bloquent en MTH1101 ?

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L'essentiel

Une limite ne regarde pas un chemin, elle les regarde tous

Les outils de majoration, avec r la distance à l'origine

Continuité : trois théorèmes et une définition

Les pièges qui coûtent des points

1. Conclure parce que toutes les droites donnent la même valeur

2. Une borne polaire qui dépend encore de l'angle

3. Prendre une borne constante pour un encadrement

4. Prendre une forme zéro sur zéro pour une absence de limite

5. Prendre la continuité par rapport à chaque variable pour la continuité

6. Oublier l'hypothèse du théorème de composition

7. Calculer la limite et oublier de la comparer à la valeur

8. Appeler la règle de L'Hospital sur deux variables

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de la fonction

Quel geste selon le verbe de l'énoncé

La rédaction attendue

Prouver qu'une limite n'existe pas

Prouver qu'une limite existe par encadrement

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Continuité de x2sin⁡yx2+y2\frac{x^{2}\sin y}{x^{2}+y^{2}}x2+y2x2siny​ prolongée par 000

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment montrer qu'une limite à deux variables n'existe pas ?

Si la limite vaut 0 le long de toutes les droites, la limite existe-t-elle ?

Comment utiliser les coordonnées polaires pour une limite en (0,0) ?

Quelle est la différence entre limite et continuité à plusieurs variables ?

Exercices corrigés : Limite et continuité à plusieurs variables

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