Fonctions de plusieurs variables et courbes de niveau : exercices corrigés de MTH1101 (Polytechnique)

a) La racine carrée exige $9-x^{2}-y^{2}\ge 0$, soit $x^{2}+y^{2}\le 9$ : c'est le disque de centre $O$ et de rayon $3$, et l'inégalité est LARGE, donc le cercle frontière fait partie du domaine (en un point du cercle, $f$ vaut $\sqrt{0}=0$, qui existe). Sur un dessin, on trace le cercle en trait plein. Pour l'image, posons $r^{2}=x^{2}+y^{2}$, qui parcourt $[0\,;9]$ sur le domaine : $f=\sqrt{9-r^{2}}$ vaut $3$ au centre, $0$ sur le cercle, et prend toutes les valeurs intermédiaires quand on marche du centre vers le bord. L'image est $[0\,;3]$. Le graphe est la demi-sphère supérieure $z=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}$, et l'image se lit comme l'ensemble des hauteurs de cette surface.

b) Le logarithme exige un argument STRICTEMENT positif : $y-x^{2}>0$, soit $y>x^{2}$. Le domaine est la région située au-dessus de la parabole $y=x^{2}$, parabole EXCLUE, à tracer en pointillé. Le point $(1\,;1)$ est sur la parabole, $y-x^{2}=0$ : il n'est pas dans le domaine, et c'est le piège de la frontière, qui se décide par la nature de l'inégalité et non par le dessin. Le point $(-1\,;2)$ donne $2-1=1>0$ : il en fait partie, et $g(-1\,;2)=\ln 1=0$. Pour l'image, sur l'axe $x=0$ on a $g(0,y)=\ln y$, qui prend déjà toutes les valeurs réelles quand $y$ parcourt $]0\,;+\infty[$ : l'image est $\mathbb{R}$ tout entier.

c) Deux conditions, qui s'ajoutent : $x+y\ge 0$ pour la racine (inégalité large, la droite $x+y=0$ est incluse) et $x\ne 2$ pour le dénominateur. Le domaine est le demi-plan situé au-dessus de la droite $y=-x$, privé de la portion de droite $x=2$ qui le traverse (figure du corrigé : bord oblique en trait plein, droite $x=2$ en pointillé, et le point $(2\,;-2)$, à la fois sur le bord et sur la droite interdite, est exclu). $(2\,;0)$ : $x=2$, exclu. $(-1\,;1)$ : $x+y=0$ est permis et $x-2=-3\ne 0$, donc il est dans le domaine, avec $h(-1\,;1)=0$. $(3\,;-4)$ : $x+y=-1<0$, exclu. Enfin $h(7\,;2)=\frac{\sqrt{9}}{5}=\frac{3}{5}$. L'erreur classique est d'oublier l'une des deux conditions : chaque morceau de la formule impose la sienne, et le domaine est leur intersection.

d) Avec $u=x^{2}+y^{2}\ge 0$, $k=\frac{u}{1+u}=1-\frac{1}{1+u}$. En $u=0$, $k=0$ ; quand $u$ augmente, $\frac{1}{1+u}$ diminue, donc $k$ augmente et prend toutes les valeurs de $[0\,;1[$. Mais $\frac{1}{1+u}$ est toujours strictement positif, donc $k<1$ partout : la valeur $1$ est approchée loin de l'origine ($k=\frac{99}{100}$ sur le cercle $u=99$) et JAMAIS atteinte. L'image est $[0\,;1[$, crochet ouvert en $1$. Le domaine, lui, est $\mathbb{R}^{2}$ entier, puisque $1+x^{2}+y^{2}\ge 1$ ne s'annule jamais.

a) $x^{2}+4y^{2}=k$. Si $k<0$, aucun point : une somme de carrés n'est jamais négative, la courbe de niveau est VIDE, et ce n'est pas une erreur de calcul, c'est une information (le graphe ne descend pas sous le plan $z=0$). Si $k=0$, il faut $x=0$ et $y=0$ : le niveau se réduit à l'origine, un seul point, qui est le point le plus bas du graphe. Si $k>0$, $\frac{x^{2}}{k}+\frac{y^{2}}{k/4}=1$ est une ellipse de demi-axes $\sqrt{k}$ sur l'axe des $x$ et $\frac{\sqrt{k}}{2}$ sur l'axe des $y$. Pour $k=16$ : demi-axes $4$ et $2$. Vérification : $(4\,;0)$ et $(0\,;2)$ donnent bien $16$. L'ellipse est deux fois plus courte en $y$ : la fonction grimpe deux fois plus vite dans cette direction, ce que l'écart entre les courbes montrera sur une carte.

b) $xy=0$ quand $x=0$ OU $y=0$ : la courbe de niveau $0$ est la réunion des DEUX axes, pas une hyperbole. C'est le piège du cas $k=0$, qui change de nature. Pour $k=-2$ : $y=-\frac{2}{x}$, hyperbole dont les points ont $x$ et $y$ de signes contraires, donc située dans les 2e et 4e quadrants. Par exemple $(1\,;-2)$ et $(-2\,;1)$. Pour $k>0$, l'hyperbole occupe les 1er et 3e quadrants : le signe du niveau décide du quadrant.

c) $q(3\,;-6)=\frac{-6}{3}=-2$. La courbe de niveau $-2$ est $\frac{y}{x}=-2$, soit $y=-2x$ AVEC $x\ne 0$ : c'est la droite $y=-2x$ privée de l'origine, car $q(0\,;0)$ n'existe pas. Plus généralement, le niveau $k$ est la droite $y=kx$ privée de l'origine. L'axe des $y$, d'équation $x=0$, est entièrement hors du domaine : il n'appartient à AUCUNE courbe de niveau. On ne peut pas lui attribuer le « niveau infini », car l'infini n'est pas une valeur de $q$.

d) Non, jamais. Si un point $(x_{0},y_{0})$ du domaine était sur les courbes de niveau $k_{1}$ et $k_{2}$, on aurait $k_{1}=f(x_{0},y_{0})=k_{2}$ : une fonction ne prend qu'une valeur en un point. Pour $q$, les droites $y=kx$ semblent toutes se couper à l'origine, mais l'origine n'est pas dans le domaine : chaque courbe de niveau est une droite PRIVÉE de ce point, et deux d'entre elles n'ont aucun point commun. Ce qui se passe près de l'origine, où $q$ prend toutes les valeurs à la fois, est l'objet du chapitre suivant sur les limites. Retenez la règle de lecture : sur une carte de contour honnête, deux courbes de niveau ne se croisent jamais.

a) La carte II est la seule faite de droites parallèles équidistantes : c'est la fonction linéaire $x+2y$, dont les courbes de niveau $x+2y=k$ sont des droites de pente $-\frac{1}{2}$. Les trois autres fonctions ne dépendent que de $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, donc leurs courbes de niveau sont toutes des cercles centrés à l'origine : la FORME ne départage rien, seul l'ÉCART le fait. Pour $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r$, le niveau $k$ est le cercle de rayon $k$ : des niveaux équidistants donnent des cercles équidistants, c'est la carte IV (un cône). Pour $x^{2}+y^{2}=r^{2}$, le rayon est $\sqrt{k}$, qui grandit de moins en moins : les cercles se RESSERRENT vers l'extérieur, carte I (un paraboloïde). Pour $\sqrt[4]{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r}$, le rayon est $k^{2}$ : les cercles S'ÉCARTENT vers l'extérieur, carte III.

b) Rayons $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $2$. Écart entre les niveaux $1$ et $2$ : $\sqrt{2}-1\approx 0{,}414$ ; entre $3$ et $4$ : $2-\sqrt{3}\approx 0{,}268$. Sur chaque trajet radial, la fonction gagne une unité, donc le taux moyen vaut $\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1\approx 2{,}41$ puis $\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\approx 3{,}73$ (en multipliant par la quantité conjuguée). Le même gain sur une distance plus courte : la fonction croît plus vite loin de l'origine. C'est le fil de la série : à niveaux régulièrement espacés, des courbes serrées signalent une variation rapide. On a mesuré une pente sans aucune dérivée, comme un taux de variation moyen à une variable.

c) Pour le cône, les cercles de niveaux $1$ et $2$ ont pour rayons $1$ et $2$ : taux moyen $\frac{1}{1}=1$, et le même entre deux niveaux quelconques. La trace du cône dans le plan $y=0$ est $z=|x|$, deux demi-droites de pente $1$ : la surface monte à pente constante, avec une pointe à l'origine. Pour la racine quatrième, les rayons sont $1^{2}=1$ et $2^{2}=4$ : taux moyen $\frac{1}{3}\approx 0{,}33$. La trace $z=\sqrt{|x|}$ monte de plus en plus lentement, ce que disaient les cercles qui s'écartent. Trois surfaces de révolution, trois profils, $x^{2}$, $|x|$ et $\sqrt{|x|}$, et la carte les distingue sans qu'on dessine une seule surface.

d) $f(x+1,y)-f(x,y)=1$ et $f(x,y+1)-f(x,y)=2$, en tout point. Sur la carte II, il faut avancer de $2$ unités vers la droite pour passer du niveau $0$ au niveau $2$, mais d'une seule unité vers le haut : les droites sont plus rapprochées dans la direction verticale, comptées le long de cette direction. Pour une fonction linéaire, ces taux sont les mêmes partout : le graphe est un plan, et c'est pourquoi l'écart entre les droites de niveau ne varie pas d'un bout à l'autre de la carte.

a) Dans le plan $x=0$, on remplace $x$ par $0$ : $z=y^{2}$, parabole tournée vers le HAUT. Dans le plan $y=0$ : $z=-x^{2}$, parabole tournée vers le BAS. La surface monte quand on s'écarte de l'origine le long de l'axe des $y$ et descend le long de l'axe des $x$ : c'est la forme d'une selle de cheval, que Stewart appelle paraboloïde hyperbolique. Une trace se dessine dans SON plan de coupe, avec la variable restante en abscisse et $z$ en ordonnée.

b) Dans le plan $x=2$ : $z=y^{2}-4$, la même parabole que dans le plan $x=0$, descendue de $4$ ; son minimum est $-4$, atteint en $y=0$. Dans le plan $y=3$ : $z=9-x^{2}$, la parabole du plan $y=0$ remontée de $9$ ; son maximum est $9$, en $x=0$. Toutes les traces $x=a$ sont donc des copies translatées les unes des autres, et de même pour les traces $y=b$ : la surface est engendrée par une parabole qui glisse le long d'une autre parabole tournée dans l'autre sens.

c) Niveau $4$ : $y^{2}-x^{2}=4$, hyperbole dont les sommets sont $(0\,;2)$ et $(0\,;-2)$, sur l'axe des $y$ à distance $2$ de l'origine (on fait $x=0$ : $y^{2}=4$). Niveau $-4$ : $x^{2}-y^{2}=4$, l'hyperbole tournée d'un quart de tour, sommets $(\pm 2\,;0)$ sur l'axe des $x$. Le piège est de croire que changer le signe du niveau ne change que la taille : ici il change l'ORIENTATION des branches. Niveau $0$ : $y^{2}=x^{2}$, soit $y=x$ ou $y=-x$, deux droites qui se croisent à l'origine. Ce croisement n'est pas une exception à la règle de l'exercice 2 : les deux droites sont la MÊME courbe de niveau, la courbe de niveau $0$. Figure du corrigé : les niveaux positifs remplissent les secteurs du haut et du bas, les niveaux négatifs ceux de gauche et de droite, et les diagonales en pointillé forment le niveau $0$.

d) Ni l'un ni l'autre. Sur la trace $x=0$, $z=y^{2}\ge 0$ : l'origine est le point le plus BAS de cette parabole. Sur la trace $y=0$, $z=-x^{2}\le 0$ : l'origine est le point le plus HAUT de celle-là. Aussi près de l'origine qu'on veut, il y a donc des points de $S$ plus hauts (comme $(0\,;0{,}1\,;0{,}01)$) et des points plus bas (comme $(0{,}1\,;0\,;-0{,}01)$). C'est ce qu'on appellera un point de selle au chapitre des extrema ; ici, deux traces suffisent à le voir, et la carte de contour le montre aussi : autour de l'origine, des niveaux positifs et négatifs alternent.

a) Le long de chaque ligne, $f$ gagne $3$ quand $x$ augmente de $1$ : $12, 15, 18, 21$, puis $8, 11, 14, 17$, puis $4, 7, 10, 13$. Le long de chaque colonne, $f$ perd $4$ quand $y$ augmente de $2$. Les deux différences sont les MÊMES dans tout le tableau, ce qui caractérise une fonction linéaire. Donc $m=3$ (par unité de $x$) et $n=\frac{-4}{2}=-2$ par unité de $y$ : le piège est de répondre $n=-4$ en oubliant que les lignes sont espacées de $2$. Enfin $c=f(0,0)=12$. Contrôle sur une case éloignée : $f(3,4)=12+9-8=13$, comme dans le tableau.

b) Non. Sur la ligne $y=0$, $g$ augmente de $1$ par unité de $x$ ; sur la ligne $y=2$, de $3$ ; sur la ligne $y=4$, de $5$. Pour une fonction linéaire $c+mx+ny$, l'augmentation par unité de $x$ est $m$, la même sur TOUTES les lignes. Ici elle dépend de $y$ : $g$ n'est pas linéaire, même si chaque ligne prise seule l'est. On peut d'ailleurs retrouver $g(x,y)=5+x+xy$, et c'est le terme $xy$ qui fait varier la pente d'une ligne à l'autre. Le graphe de $g$ n'est pas un plan : ses traces sont des droites, mais des droites de pentes différentes, comme les règles d'un éventail.

c) $12+3x-2y=18$ donne $3x-2y=6$. Sur l'axe des $x$ ($y=0$) : $x=2$ ; sur l'axe des $y$ ($x=0$) : $y=-3$. Plus généralement, la courbe de niveau $k$ est la droite $3x-2y=k-12$, de pente $\frac{3}{2}$ quel que soit $k$ : toutes les courbes de niveau sont des droites PARALLÈLES, et des niveaux régulièrement espacés donnent des droites régulièrement espacées. C'est la carte de contour d'un plan, celle de l'exercice 3, carte II.

d) $\ell(0,0)=c=1$. Le point $(2\,;0\,;7)$ donne $1+2m=7$, donc $m=3$. Le point $(0\,;4\,;-3)$ donne $1+4n=-3$, donc $n=-1$. D'où $\ell(x,y)=1+3x-y$. Choisir des points sur les axes rend chaque équation à une seule inconnue ; avec trois points quelconques, on résoudrait un système $3\times 3$, et il faudrait que les trois points ne soient pas alignés, sinon une infinité de plans conviennent. Contrôle : $\ell(2,4)=1+6-4=3$.

a) $T(0,0)=100$ °C. Au coin $(5\,;2{,}5)$ : $T=100-2\times 25-8\times 6{,}25=100-50-50=0$ °C, et les quatre coins donnent la même valeur par symétrie. Comme $x^{2}\le 25$ et $y^{2}\le 6{,}25$ sur la plaque, $2x^{2}+8y^{2}$ va de $0$ à $100$ : $T$ est maximale au centre, minimale aux coins, et elle prend toutes les valeurs intermédiaires le long d'une diagonale, où $T=100-100s^{2}$ pour $x=5s$, $y=2{,}5s$, $s\in[0\,;1]$. L'image est $[0\,;100]$. Le domaine du MODÈLE est la plaque, pas le plan entier : hors de la plaque, la formule donnerait des températures négatives qui ne correspondent à rien.

b) $100-2x^{2}-8y^{2}=68$ équivaut à $2x^{2}+8y^{2}=32$, soit $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ : une ellipse de demi-axes $4$ cm le long de l'axe des $x$ et $2$ cm le long de l'axe des $y$. Elle reste tout entière sur la plaque, dont les bords sont en $x=\pm 5$ et $y=\pm 2{,}5$ ; les isothermes plus froides, sous $50$ °C, finissent au contraire par sortir de la plaque et n'en gardent que des arcs près des coins. L'isotherme $T=110$ demanderait $2x^{2}+8y^{2}=-10$ : elle est VIDE, aucun point de la plaque n'est aussi chaud. Un niveau sans courbe est une information, pas une erreur.

c) Vers la droite, $T(x,0)=100-2x^{2}$ vaut $68$ en $x=4$ : depuis $P(2\,;0)$, il faut parcourir $2$ cm, et la température baisse de $92-68=24$ °C, soit un taux moyen de $\frac{24}{2}=12$ °C/cm. Vers le haut, $T(2,y)=92-8y^{2}=68$ donne $y^{2}=3$, $y=\sqrt{3}\approx 1{,}73$ cm : taux moyen $\frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}\approx 13{,}86$ °C/cm. La même baisse de $24$ °C sur une distance plus courte : à partir de $P$, la plaque se refroidit plus vite vers le haut. C'est le fil de la série : on le lit sur la carte sans calcul, l'isotherme $68$ étant plus proche de $P$ verticalement qu'horizontalement.

d) Le long de l'axe des $x$, l'isotherme $T$ coupe l'axe en $x=\sqrt{\frac{100-T}{2}}$ : $2$ pour $92$, $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ pour $84$, $4$ pour $68$ et $2\sqrt{5}\approx 4{,}47$ pour $60$. Écarts : $2\sqrt{2}-2\approx 0{,}83$ cm, puis $2\sqrt{5}-4\approx 0{,}47$ cm. Pour une même baisse de $8$ °C, la distance diminue : les isothermes se RESSERRENT vers le bord, la température y chute de plus en plus vite. C'est le profil $100-2x^{2}$, une parabole qui plonge de plus en plus.