Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : fonctions de plusieurs variables et courbes de niveau (MTH1101, Polytechnique)

Q: Quelle est la différence entre une trace et une courbe de niveau ?

Une trace est la coupe du graphe par un plan vertical, x constant ou y constant : c'est une courbe de l'espace, dessinée avec z en ordonnée. Une courbe de niveau est la coupe par un plan horizontal z égale k, ramenée au sol : elle vit dans le plan des x et des y, et c'est elle qu'on assemble en carte de contour.

Q: Comment savoir si une fonction croît vite sur une carte de contour ?

On vérifie d'abord que les niveaux tracés sont régulièrement espacés, puis on regarde l'écart entre deux courbes voisines. Des courbes rapprochées signalent une variation rapide, des courbes écartées une variation lente. La valeur de la fonction, elle, se lit sur les étiquettes, jamais sur l'écart.

Q: Pourquoi deux courbes de niveau ne peuvent-elles pas se couper ?

Parce qu'un point du domaine n'a qu'une seule image. S'il appartenait aux niveaux un et deux, la fonction y vaudrait à la fois un et deux. Quand des courbes semblent se croiser, le point de rencontre est hors du domaine, comme l'origine pour y divisé par x.

Q: Comment reconnaître une fonction linéaire de deux variables dans un tableau de valeurs ?

Les différences entre deux colonnes voisines doivent être les mêmes sur toutes les lignes, et les différences entre deux lignes voisines les mêmes sur toutes les colonnes. Une seule ligne régulière ne suffit pas. On divise ensuite chaque différence par le pas de la variable pour obtenir les pentes m et n.

Cette fiche de révision couvre les fonctions de plusieurs variables du cours MTH1101 de Polytechnique Montréal, section 3.1 de Stewart, « Calcul à plusieurs variables » : domaine et image, graphe et traces, courbes de niveau et cartes de contour, surfaces de niveau, fonctions linéaires. Elle ne refait pas le cours, elle dit ce qui coûte des points et quel geste l'évite.

Tout le reste du cours s'appuie sur ce chapitre : une dérivée partielle se lit sur une carte, le gradient est perpendiculaire aux courbes de niveau, un extremum se reconnaît à des courbes qui se referment. Une carte mal lue ici, c'est un chapitre sur deux mal compris ensuite.

Au contrôle périodique 2 comme à l'examen final, pas de calculatrice, et le seul document permis est votre aide-mémoire, une feuille recto verso préparée par vous : le bloc « À retenir » et les deux arbres de décision sont faits pour y entrer.

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Le fil du chapitre

Une courbe de niveau vit dans le PLAN des $(x,y)$ , pas sur la surface : c'est la trace au sol de la coupe horizontale $z=k$ . À niveaux régulièrement espacés, c'est l'ÉCART entre deux courbes voisines qui dit si la fonction varie vite ou lentement, jamais la forme d'une courbe ni la valeur du niveau.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

L'essentiel

Graphe, trace, courbe de niveau : trois objets, trois espaces

• Le GRAPHE de $f$ est la surface $z=f(x,y)$ de l'espace. Une TRACE est sa coupe par un plan VERTICAL $x=a$ ou $y=b$ : une courbe à une variable, comme $z=f(x,0)$ .
• La COURBE DE NIVEAU $k$ est $\{(x,y)\ :\ f(x,y)=k\}$ , dans le PLAN des $(x,y)$ : la coupe HORIZONTALE $z=k$ redescendue au sol. Elle peut être vide, réduite à un point, ou faite de plusieurs morceaux.
• Pour une fonction de $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ seul, les courbes de niveau sont des cercles centrés à l'origine et leurs rayons se lisent sur la trace $z=f(x,0)$ : on cherche où ce profil atteint chaque hauteur $k$ .
• À niveaux régulièrement espacés, des courbes SERRÉES signalent une variation rapide, des courbes ÉCARTÉES une variation lente. Taux moyen entre deux courbes voisines : différence de niveau divisée par la distance qui les sépare.
• Deux courbes de niveau DISTINCTES ne se coupent jamais : en un point du domaine, $f$ n'a qu'une valeur.

Quatre coupes

z=k

équidistantes : elles coupent

z=x^{2}

\sqrt{k}

(de plus en plus serrés) et

z=x

k

(équidistants) : ce sont les rayons des cercles de niveau du paraboloïde et du cône.

Sur une copie, nommer l'objet avant de le décrire : « la courbe de niveau $4$ , dans le plan $Oxy$ , est… » rapporte la moitié de la question à elle seule.

Domaine, et fonctions linéaires

• Chaque morceau de la formule impose sa condition, et le domaine est leur INTERSECTION : $\sqrt{u}$ exige $u\ge 0$ , $\ln u$ exige $u>0$ , $\frac{1}{u}$ exige $u\ne 0$ .
• Inégalité LARGE : frontière incluse, trait plein. Inégalité STRICTE ou $\ne$ : frontière exclue, pointillé. Un point de la frontière se teste dans la formule, pas sur le dessin.
• Une fonction LINÉAIRE $f(x,y)=c+mx+ny$ a pour graphe un plan et pour courbes de niveau des droites parallèles, UNE par niveau, équidistantes pour des niveaux équidistants. Sur une table : les MÊMES différences sur toutes les lignes et toutes les colonnes.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Garder une frontière que la formule exclut

1 point sur 3, et le dessin faux

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x,y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\ln y$ : domaine, le demi-disque $x^{2}+y^{2}\le 4$ , $y\ge 0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}+y^{2}\le 4$ (arc inclus, inégalité large) ET $y>0$ (diamètre exclu, car $\ln 0$ n'existe pas) : demi-disque supérieur ouvert sur le diamètre. »

L'arc vient de la racine, inégalité large : trait plein. Le diamètre vient du logarithme, inégalité stricte : pointillé, et les deux coins sont des points vides.

Pourquoi : Chaque morceau de la frontière a son statut, dicté par SA condition. Les deux coins $(\pm 2\,;0)$ sont sur l'arc, mais aussi sur la droite $y=0$ : ils sont exclus.

2. Prendre le niveau k pour le rayon

toute la question, et la carte entière fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« La courbe de niveau $9$ de $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ est le cercle de rayon $9$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x^{2}+y^{2}=9$ est le cercle de rayon $\sqrt{9}=3$ . Le niveau $k$ est le cercle de rayon $\sqrt{k}$ . »

Pourquoi : Une carte tracée avec des rayons $1, 2, 3, 4$ pour les niveaux $1, 2, 3, 4$ est celle du cône $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , une autre surface. Contrôle : le point $(3\,;0)$ donne $9$ .

3. Oublier le niveau vide ou réduit à un point

1 point par cas manquant

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les courbes de niveau de $f(x,y)=2x^{2}+y^{2}$ sont des ellipses. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour $k>0$ , des ellipses ; pour $k=0$ , l'origine seule ; pour $k<0$ , aucune courbe : $f$ ne prend pas de valeur négative. »

Pourquoi : La discussion selon $k$ EST la réponse : le niveau vide dit que le graphe ne descend pas sous $z=0$ , le point dit où il touche ce plan.

4. Oublier que le niveau 0 peut changer de nature

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les courbes de niveau de $f(x,y)=x^{2}-4y^{2}$ sont toutes des hyperboles. »

Ce qu'il faut écrire

« Pour $k\ne 0$ , des hyperboles, dont les sommets passent de l'axe des $x$ ( $k>0$ ) à l'axe des $y$ ( $k<0$ ) ; pour $k=0$ , les deux droites $x=\pm 2y$ . »

Pourquoi : $x^{2}-4y^{2}=0$ se factorise en $(x-2y)(x+2y)=0$ : un produit nul, deux droites. Le signe de $k$ fait tourner l'hyperbole d'un quart de tour.

5. Lire une grande valeur là où les courbes sont serrées

toute la question de lecture

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur cette carte, les courbes sont très rapprochées au bord : c'est là que la fonction est la plus grande. »

Ce qu'il faut écrire

« Des courbes rapprochées signalent une variation RAPIDE ; la valeur se lit sur l'étiquette des courbes, pas sur leur écart. »

Pourquoi : Pour $f=25-x^{2}-y^{2}$ , les niveaux $24, 21, 16, 9$ sont les cercles de rayons $1, 2, 3, 4$ : les courbes de niveaux équidistants se serrent au bord, là où $f$ est PETITE. Sur une carte topographique, c'est une falaise, pas un sommet.

6. Prendre une variable absente pour une variable nulle

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Dans l'espace, la surface de niveau $x^{2}+y^{2}=4$ de $G(x,y,z)=x^{2}+y^{2}$ est le cercle de rayon $2$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $z$ n'apparaît pas, donc il est LIBRE : à chaque hauteur, le cercle de rayon $2$ ; la surface est le cylindre d'axe $Oz$ et de rayon $2$ . »

Pourquoi : Dans l'espace, une équation décrit une surface ; une courbe en demande deux, ici $x^{2}+y^{2}=4$ ET $z=0$ .

7. Conclure à la linéarité sur une seule ligne de la table

1 point, et la formule fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Sur la ligne $y=1$ , $f$ augmente de $2$ à chaque pas en $x$ : $f$ est linéaire. »

Ce qu'il faut écrire

« Il faut la MÊME différence sur toutes les lignes, et la même sur toutes les colonnes. Pour $f=xy+x$ , elle vaut $2$ sur la ligne $y=1$ mais $4$ sur la ligne $y=3$ : $f$ n'est pas linéaire. »

Pourquoi : Chaque trace d'une fonction peut être une droite sans que le graphe soit un plan : c'est le cas de $xy$ , dont les traces sont des droites de pentes différentes.

8. Faire se croiser deux courbes de niveau

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les courbes de niveau de $f(x,y)=\frac{y}{x^{2}}$ sont les paraboles $y=kx^{2}$ , qui se coupent toutes à l'origine. »

Ce qu'il faut écrire

« Le niveau $k$ est la parabole $y=kx^{2}$ PRIVÉE de l'origine, qui n'est pas dans le domaine : deux courbes de niveau distinctes n'ont aucun point commun. »

Pourquoi : Si un point était sur les niveaux $k_{1}$ et $k_{2}$ , on aurait $k_{1}=f=k_{2}$ . Un croisement apparent signale toujours un point hors du domaine.

Quelle méthode choisir

Quelle carte de contour pour quelle formule

Regardez de quoi la formule dépend, puis l'écart entre les courbes.

Si $f=c+mx+ny$ → droites parallèles équidistantes, une par niveau

Exemple : $3x-y=k$ : droites de pente $3$ , toutes parallèles
Si $f$ ne dépend que de $x^{2}+y^{2}$ → cercles concentriques ; l'écart se lit sur la trace $z=f(x,0)$

Exemple : $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ : rayons $k$ , écarts constants (cône)
Si $f$ ne dépend que de $ax^{2}+by^{2}$ , $a,b>0$ → ellipses concentriques, plus courtes dans la direction du plus grand coefficient

Exemple : $x^{2}+9y^{2}=9$ : demi-axes $3$ et $1$
Si différence de carrés, $ax^{2}-by^{2}$ → hyperboles qui tournent avec le signe de $k$ , deux droites au niveau $0$

Exemple : $x^{2}-y^{2}=0$ : les droites $y=\pm x$
Si $f$ ne dépend que de $ax+by$ sans être linéaire → droites parallèles, mais inégalement espacées ou doublées

Exemple : $(x+y)^{2}=4$ : $x+y=2$ et $x+y=-2$

Si la formule n'entre dans aucune branche, on calcule trois niveaux et on place leurs points : on ne devine jamais une carte.

Quelle surface de niveau selon la forme de l'équation

Comptez les variables présentes et les signes devant les carrés.

Les trois surfaces

x^{2}+y^{2}-z^{2}=k

coupées par le plan

y=0

: branches gauche et droite pour une nappe, deux droites pour le cône, branches haut et bas pour deux nappes.

Si trois carrés, tous du signe du second membre → sphère ou ellipsoïde

Exemple : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ : sphère de rayon $4$
Si une variable absente → cylindre parallèle à l'axe de cette variable

Exemple : $y^{2}+z^{2}=1$ : cylindre d'axe $Ox$
Si une variable au premier degré, deux au carré → paraboloïde, ouvert du côté de la variable seule

Exemple : $z=x^{2}+y^{2}-2$ : sommet $(0\,;0\,;-2)$
Si deux carrés positifs, un négatif, second membre $0$ → cône

Exemple : $x^{2}+y^{2}=z^{2}$
Si deux carrés positifs, un négatif, second membre non nul → hyperboloïde : une nappe si le second membre est positif, deux sinon

Exemple : $x^{2}+y^{2}-z^{2}=-4$ : deux nappes, $|z|\ge 2$

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Déterminer et dessiner un domaine

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « déterminez et représentez le domaine ».

1 Lister chaque condition, morceau par morceau : racine, logarithme, dénominateur.
2 Résoudre chaque condition et nommer la région : disque, demi-plan, extérieur d'une parabole.
3 Prendre l'intersection, et décider du statut de CHAQUE morceau de frontière par la nature de son inégalité.
4 Dessiner : région hachurée, traits pleins pour les frontières incluses, pointillés et points vides pour les exclues.

Phrase de conclusion

« Le domaine est $D=\{(x,y)\ :\ \ldots\}$ , la région … ; la frontière … est incluse car l'inégalité est large, la frontière … est exclue car … . »

Le piège : La troisième étape : un coin commun à deux frontières prend le statut le plus restrictif.

Barème : Conditions 1 point, région 1 point, frontières et dessin 1 point.

Décrire les courbes de niveau d'une fonction

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « décrivez les courbes de niveau » ou « tracez une carte de contour ».

1 Écrire $f(x,y)=k$ et isoler une forme reconnaissable.
2 Discuter selon $k$ : valeurs sans courbe, valeur réduite à un point ou dégénérée, cas général.
3 Nommer la courbe avec ses paramètres en fonction de $k$ : centre, rayon, demi-axes, pente.
4 Tracer au moins trois niveaux régulièrement espacés, étiquetés, et commenter l'écart.

Phrase de conclusion

« Pour $k<\ldots$ , la courbe de niveau est vide ; pour $k=\ldots$ , elle se réduit à … ; pour $k>\ldots$ , c'est … de paramètres … . »

Le piège : La deuxième étape : sans discussion selon k, la réponse est incomplète même si le cas général est juste.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Un point de la courbe trouvée

Choisir un point simple de la courbe annoncée, souvent sur un axe, et calculer $f$ : on doit retrouver $k$ .

Niveau $9$ de $x^{2}+y^{2}$ annoncé « rayon $9$ » : $f(9,0)=81\ne 9$ , la réponse est fausse.
Un point de la frontière

Tester dans la formule un point de chaque morceau de frontière : la formule existe-t-elle ?

Pour $\ln y$ , le point $(1\,;0)$ donne $\ln 0$ : la droite $y=0$ est exclue, quel que soit le reste.
Le compte des variables

Dans le plan, une équation donne une courbe ; dans l'espace, une surface.

$x^{2}+y^{2}=4$ annoncé « cercle » dans une question sur $F(x,y,z)$ : il manque $z$ , c'est un cylindre.
L'écart contre la trace

Comparer les écarts de la carte à l'allure de la trace $z=f(x,0)$ : serrés si elle se redresse, écartés si elle s'aplatit.

Une carte de $x^{2}+y^{2}$ aux cercles équidistants contredit la parabole $z=x^{2}$ , qui se redresse.

L'exercice type décortiqué

Étudier $h(x,y)=\sqrt{16-x^{2}-4y^{2}}$

Déterminez le domaine et l'image de $h(x,y)=\sqrt{16-x^{2}-4y^{2}}$ . Décrivez ses courbes de niveau, tracez les niveaux $0$ , $1$ , $2$ et $3$ et commentez leurs écarts le long de l'axe des $x$ . Sur quelle courbe de niveau est le point $(2\,;1)$ ?

Étape 1

Domaine : $16-x^{2}-4y^{2}\ge 0$ , soit $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}\le 1$ : l'intérieur de l'ellipse de demi-axes $4$ et $2$ , frontière incluse.

Pourquoi

Une seule condition, une inégalité large : la frontière est incluse, et on le dit.

Étape 2

Image : $16-x^{2}-4y^{2}$ parcourt $[0\,;16]$ , donc $h$ parcourt $[0\,;4]$ , avec $4$ au centre et $0$ sur le bord.

Pourquoi

L'image se lit sur la quantité sous la racine, du centre au bord ; elle borne les niveaux possibles.

Étape 3

$h=k$ avec $k\ge 0$ équivaut à $x^{2}+4y^{2}=16-k^{2}$ . Pour $0\le k<4$ : ellipse de demi-axes $\sqrt{16-k^{2}}$ et $\frac{\sqrt{16-k^{2}}}{2}$ ; pour $k=4$ : l'origine ; pour $k>4$ ou $k<0$ : vide.

Pourquoi

Élever au carré n'est permis que parce que k est positif : un niveau négatif d'une racine est vide, et la discussion le dit.

Étape 4

Le long de l'axe des $x$ : niveaux $0, 1, 2, 3$ en $x=4$ , $\sqrt{15}\approx 3{,}87$ , $\sqrt{12}\approx 3{,}46$ , $\sqrt{7}\approx 2{,}65$ . Écarts : $0{,}13$ , $0{,}41$ , $0{,}82$ .

Pourquoi

Les écarts grandissent vers le centre : la surface est raide au bord et plate au sommet. C'est la lecture que les chapitres suivants exigent.

Étape 5

$h(2,1)=\sqrt{16-4-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ : le point est sur la courbe de niveau $2\sqrt{2}$ , entre les niveaux tracés $2$ et $3$ .

Pourquoi

Un point se situe par le calcul, la carte ne donne qu'un encadrement.

Étape 6

Vérification : $(\sqrt{12}\,;0)$ donne $\sqrt{16-12}=2$ , et $(0\,;\frac{\sqrt{12}}{2})$ donne $\sqrt{16-12}=2$ : les deux sommets de l'ellipse de niveau $2$ sont justes.

Pourquoi

Deux points d'une courbe annoncée, deux calculs, trente secondes.

Conclusion rédigée

« $D$ est l'ellipse pleine $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}\le 1$ , l'image est $[0\,;4]$ ; les courbes de niveau sont des ellipses concentriques de plus en plus écartées vers le centre, réduites à l'origine au niveau $4$ . Le graphe est une demi-ellipsoïde. »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $x^{2}+4y^{2}=16-k$ au lieu de $16-k^{2}$ , en oubliant d'élever $k$ au carré : on obtient des ellipses aux mauvais demi-axes et des écarts presque constants.

À savoir par cœur

• Courbe de niveau $k$ : $f(x,y)=k$ , dans le PLAN ; surface de niveau : $F(x,y,z)=k$ , dans l'espace.
• Domaine : intersection des conditions ; inégalité large, frontière incluse ; stricte, exclue.
• Niveau $k$ de $x^{2}+y^{2}$ : cercle de rayon $\sqrt{k}$ ; de $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ : rayon $k$ .
• À niveaux équidistants : courbes SERRÉES, variation rapide ; ÉCARTÉES, variation lente.
• Deux courbes de niveau distinctes ne se coupent JAMAIS.
• Linéaire : $c+mx+ny$ , plan, droites parallèles équidistantes, mêmes différences partout dans la table.
• Variable absente d'une équation dans l'espace : elle est LIBRE, la surface est un cylindre.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une trace et une courbe de niveau ?

Une trace est la coupe du graphe par un plan vertical, x constant ou y constant : c'est une courbe de l'espace, dessinée avec z en ordonnée. Une courbe de niveau est la coupe par un plan horizontal z égale k, ramenée au sol : elle vit dans le plan des x et des y, et c'est elle qu'on assemble en carte de contour.

Comment savoir si une fonction croît vite sur une carte de contour ?

On vérifie d'abord que les niveaux tracés sont régulièrement espacés, puis on regarde l'écart entre deux courbes voisines. Des courbes rapprochées signalent une variation rapide, des courbes écartées une variation lente. La valeur de la fonction, elle, se lit sur les étiquettes, jamais sur l'écart.

Pourquoi deux courbes de niveau ne peuvent-elles pas se couper ?

Parce qu'un point du domaine n'a qu'une seule image. S'il appartenait aux niveaux un et deux, la fonction y vaudrait à la fois un et deux. Quand des courbes semblent se croiser, le point de rencontre est hors du domaine, comme l'origine pour y divisé par x.

Comment reconnaître une fonction linéaire de deux variables dans un tableau de valeurs ?

Les différences entre deux colonnes voisines doivent être les mêmes sur toutes les lignes, et les différences entre deux lignes voisines les mêmes sur toutes les colonnes. Une seule ligne régulière ne suffit pas. On divise ensuite chaque différence par le pas de la variable pour obtenir les pentes m et n.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Fonctions de plusieurs variables et courbes de niveau

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
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Limite et continuité à plusieurs variables

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-fonctions-plusieurs-variables. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : fonctions de plusieurs variables et courbes de niveau (MTH1101, Polytechnique)

L'essentiel

Graphe, trace, courbe de niveau : trois objets, trois espaces

Domaine, et fonctions linéaires

Les pièges qui coûtent des points

1. Garder une frontière que la formule exclut

2. Prendre le niveau k pour le rayon

3. Oublier le niveau vide ou réduit à un point

4. Oublier que le niveau 0 peut changer de nature

5. Lire une grande valeur là où les courbes sont serrées

6. Prendre une variable absente pour une variable nulle

7. Conclure à la linéarité sur une seule ligne de la table

8. Faire se croiser deux courbes de niveau

Quelle méthode choisir

Quelle carte de contour pour quelle formule

Quelle surface de niveau selon la forme de l'équation

La rédaction attendue

Déterminer et dessiner un domaine

Décrire les courbes de niveau d'une fonction

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Étudier h(x,y)=16−x2−4y2h(x,y)=\sqrt{16-x^{2}-4y^{2}}h(x,y)=16−x2−4y2​

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une trace et une courbe de niveau ?

Comment savoir si une fonction croît vite sur une carte de contour ?

Pourquoi deux courbes de niveau ne peuvent-elles pas se couper ?

Comment reconnaître une fonction linéaire de deux variables dans un tableau de valeurs ?

Exercices corrigés : Fonctions de plusieurs variables et courbes de niveau

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