Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : les nombres complexes (MTH1101, Polytechnique)

Cette fiche de révision porte sur les nombres complexes tels que MTH1101, Calcul I à Polytechnique Montréal, les enseigne d'après la section 2.5 de Stewart, Calcul à plusieurs variables : forme algébrique et polaire, formule d'Euler obtenue par la série de Maclaurin, De Moivre, racines $n$ -ièmes, racines conjuguées et lieux géométriques. Elle ne refait pas le cours, elle dit ce qui coûte des points et quel geste l'évite.

Un seul réflexe la traverse : avant tout produit, toute puissance ou toute racine, passer en forme polaire avec le BON quadrant, puis additionner les arguments et ramener le résultat dans $]-\pi\,;\pi]$ . Le chapitre ouvre le contrôle périodique 2 et revient à l'examen final, sans calculatrice ; seul document permis, votre aide-mémoire d'une feuille recto verso. Ce qui suit est fait pour le remplir.

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Le fil du chapitre

$e^{i\theta}$ n'est pas une notation : c'est la série de Maclaurin de l'exponentielle prise en $i\theta$ , et c'est elle qui fait de la multiplication une rotation. Multiplier deux complexes MULTIPLIE les modules et ADDITIONNE les arguments, à $2\pi$ près : presque toutes les pertes de points viennent d'un argument lu sans le quadrant ou d'un « à $2\pi$ près » oublié.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les séries de Taylor et de Maclaurin Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Forme algébrique d'un nombre complexe
Conjugué et module
Forme polaire
Argument principal
Formule d'Euler
Exponentielle complexe
Formule de De Moivre
Racines n-ièmes d'un nombre complexe
Racines conjuguées d'un polynôme réel
Linéarisation trigonométrique
Lieux géométriques du plan complexe
Impédance complexe

L'essentiel

Euler : multiplier, c'est tourner

• $e^{z}=\sum_{n\ge 0}\frac{z^{n}}{n!}$ pour tout complexe $z$ (rayon de convergence infini). En $z=i\theta$ , les rangs pairs donnent $\cos\theta$ , les impairs $i\sin\theta$ : $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ .
• Forme polaire : $z=re^{i\theta}$ avec $r=|z|$ , $\cos\theta=\frac{x}{r}$ , $\sin\theta=\frac{y}{r}$ ; l'argument principal est pris dans $]-\pi\,;\pi]$ .
• $r_{1}e^{i\theta_{1}}\times r_{2}e^{i\theta_{2}}=r_{1}r_{2}\,e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}$ : modules multipliés, arguments additionnés. De Moivre : $\left(re^{i\theta}\right)^{n}=r^{n}e^{in\theta}$ .
• $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ , $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ , et $|e^{x+iy}|=e^{x}$ : la partie imaginaire ne fait que tourner.

z_{1}=\sqrt{3}+i

z_{2}=1+i\sqrt{3}

font des angles

\frac{\pi}{6}

\frac{\pi}{3}

; leur produit fait l'angle

\frac{\pi}{2}

et a pour module

2\times 2=4

: c'est

4i

À l'examen, « démontrer la formule d'Euler » demande la série, le cycle $i^{4}=1$ ET la convergence absolue qui autorise le regroupement.

Racines et polynômes : compter les solutions

• $z^{n}=\rho e^{i\alpha}$ ( $\rho>0$ ) a exactement $n$ solutions $\rho^{1/n}e^{i(\alpha+2k\pi)/n}$ , $k=0,\ldots,n-1$ : un polygone régulier centré en $0$ , de somme nulle pour $n\ge 2$ .
• Un polynôme de degré $n$ a $n$ racines complexes comptées avec multiplicité. S'il est à coefficients RÉELS, les racines non réelles vont par paires conjuguées.
• $|z-a|$ est la distance de $z$ au point $a$ : $|z-a|=r$ est un cercle, $|z-a|=|z-b|$ une médiatrice.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

Ce qui passe des réels aux complexes, et ce qui ne passe pas

Les règles vraies viennent toutes de $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ . Les cases rouges sont des réflexes de $\mathbb{R}$ transportés dans $\mathbb{C}$ : elles ne sont pas des réponses, elles sont l'ordre de revenir à la forme polaire.

Écriture	Vrai pour	Devient
$\|zw\|$	tous $z$ , $w$	$\|z\|\,\|w\|$
Exemple : $(1+2i)(2-i)=4+3i$ , de module $5=\sqrt{5}\times\sqrt{5}$
$e^{z+w}$	tous $z$ , $w$	$e^{z}e^{w}$
Exemple : $e^{i\pi/4}e^{i\pi/4}=e^{i\pi/2}=i$ , et $\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{2i}{2}=i$
$\arg(zw)$	à $2\pi$ près	$\arg z+\arg w$ à 2π près
Exemple : $\arg(-1)+\arg(-1)=2\pi$ , alors que $(-1)(-1)=1$ a pour argument principal $0$ . Même forme, autre résultat : $\arg(i)+\arg(i)=\pi$ est déjà principal : $i\times i=-1$ . Ce qu'il faut faire : Additionner, puis retrancher ou ajouter $2\pi$ pour revenir dans $]-\pi\,;\pi]$ .
$\|z+w\|$	aucune	n'est pas $\|z\|+\|w\|$ règle inexistante
Exemple : $\|2+2i\|=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ contre $\|2\|+\|2i\|=4$ . Ce qu'il faut faire : Calculer la somme en algébrique, PUIS son module ; seule $\|z+w\|\le\|z\|+\|w\|$ est vraie.
$z^{3}=w^{3}$	aucune	n'entraîne pas $z=w$ règle inexistante
Exemple : $(-1)^{3}=-1=\left(e^{i\pi/3}\right)^{3}$ , alors que $-1\neq e^{i\pi/3}$ . Ce qu'il faut faire : $z\in\left\{w,\ we^{i2\pi/3},\ we^{i4\pi/3}\right\}$ : trois solutions.

Le module se comporte bien avec le produit, l'argument aussi mais à $2\pi$ près ; rien ne se comporte bien avec la somme.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Prendre l'arc tangente sans regarder le quadrant

toute la question, et toutes les puissances ou racines qui suivent

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z=-5+5i$ : $\theta=\arctan\frac{5}{-5}=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\cos\theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0$ et $\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$ : deuxième quadrant, $\theta=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}$ , et $z=5\sqrt{2}\,e^{i3\pi/4}$ . »

L'arc tangente de

\frac{5}{-5}

pointe vers le point opposé,

5-5i

(cercle vide) : même quotient

\frac{y}{x}

, quadrant contraire.

Pourquoi : $\arctan$ ne rend que des angles de $\left]-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right[$ , donc des points à partie réelle positive. Pour $x<0$ , il désigne le point diamétralement opposé.

2. Garder une somme d'arguments hors de l'intervalle principal

0,5 point, et la forme algébrique fausse si on la lit sur le mauvais angle

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\arg\left((-1+i)(-1+i\sqrt{3})\right)=\frac{3\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}=\frac{17\pi}{12}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\frac{17\pi}{12}$ n'est pas dans $]-\pi\,;\pi]$ : l'argument principal est $\frac{17\pi}{12}-2\pi=-\frac{7\pi}{12}$ . »

Pourquoi : L'addition des arguments n'est vraie qu'à $2\pi$ près. Le produit vaut $(1-\sqrt{3})-(1+\sqrt{3})i$ : parties réelle et imaginaire négatives, troisième quadrant, ce que dit $-\frac{7\pi}{12}$ .

3. Ne donner qu'une racine n-ième

les trois quarts de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z^{4}=-16=16e^{i\pi}$ , donc $z=2e^{i\pi/4}=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $z=2e^{i(\pi+2k\pi)/4}$ , avec $k=0$ , $1$ , $2$ ou $3$ : $\sqrt{2}(1+i)$ , $\sqrt{2}(-1+i)$ , $\sqrt{2}(-1-i)$ , $\sqrt{2}(1-i)$ . »

Pourquoi : L'argument de $-16$ n'est connu qu'à $2\pi$ près ; divisé par $4$ , l'écart $2\pi$ devient $\frac{\pi}{2}$ , qui sépare deux racines distinctes. Une équation de degré $4$ en a quatre.

4. Diviser en ne multipliant que le numérateur

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\dfrac{3-i}{1+i}=(3-i)(1-i)=2-4i$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\dfrac{3-i}{1+i}=\dfrac{(3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{2-4i}{2}=1-2i$ . »

Pourquoi : Multiplier par $\frac{1-i}{1-i}$ , c'est multiplier par $1$ ; multiplier par $1-i$ seul change le nombre. Contrôle par les modules : $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}=|1-2i|$ , alors que $|2-4i|=2\sqrt{5}$ .

5. Oublier le 2i de la formule du sinus

toute la linéarisation, souvent 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ , et $(2i)^{2}=-4$ , $(2i)^{3}=-8i$ dans une linéarisation. »

Pourquoi : La différence $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$ est imaginaire pure : divisée par $2$ seulement, elle donne $i\sin\theta$ . En $\theta=\frac{\pi}{2}$ , la formule fausse rend $i$ au lieu de $1$ .

6. Lire le centre d'un cercle avec le mauvais signe

1 point, et la figure entière

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $|z+2-3i|=4$ est le cercle de centre $2-3i$ et de rayon $4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $|z+2-3i|=|z-(-2+3i)|$ : cercle de centre $-2+3i$ , de rayon $4$ . »

Pourquoi : $|z-a|$ est la distance à $a$ : il faut d'abord écrire la condition sous la forme $|z-a|$ . Contrôle : le point $2+3i$ , à distance $4$ de $-2+3i$ , doit vérifier l'équation, et $|2+3i+2-3i|=4$ .

7. Croire l'exponentielle complexe injective

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $e^{z}=1=e^{0}$ , donc $z=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $e^{z}=1$ si et seulement si $z=2k\pi i$ , $k\in\mathbb{Z}$ : une infinité de solutions. »

Pourquoi : $e^{x+iy}=1$ impose $e^{x}=1$ , donc $x=0$ , puis $\cos y=1$ et $\sin y=0$ , donc $y=2k\pi$ . L'exponentielle complexe est périodique de période $2\pi i$ : c'est le « à $2\pi$ près » des arguments.

8. Traiter la formule d'Euler comme une définition

toute la question de démonstration, souvent 3 à 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ par définition, il n'y a rien à démontrer. »

Ce qu'il faut écrire

« En posant $x=i\theta$ dans $e^{x}=\sum\frac{x^{n}}{n!}$ , qui converge absolument, on sépare les rangs pairs et impairs grâce à $i^{2}=-1$ et l'on reconnaît les séries de $\cos\theta$ et de $\sin\theta$ . »

Pourquoi : Dans MTH1101, la formule est un THÉORÈME tiré des séries de Maclaurin : c'est la raison d'être du chapitre dans le cours, et la question la plus probable à son sujet.

Quelle méthode choisir

Quelle forme selon l'opération demandée

Regardez l'opération, pas le nombre.

Si une somme ou une différence → forme algébrique, partie par partie

Exemple : $(2-i)+(1+4i)=3+3i$
Si un quotient de deux formes algébriques → multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur

Exemple : $\frac{5}{2+i}=\frac{5(2-i)}{5}=2-i$
Si une puissance → forme polaire puis De Moivre, l'argument ramené dans $]-\pi\,;\pi]$

Exemple : $(1-i)^{6}=\left(\sqrt{2}\right)^{6}e^{-6i\pi/4}=8e^{i\pi/2}=8i$
Si une équation $z^{n}=a$ → forme polaire de $a$ , puis les $n$ arguments $\frac{\alpha+2k\pi}{n}$

Exemple : $z^{2}=i$ donne $e^{i\pi/4}$ et $e^{i5\pi/4}=-e^{i\pi/4}$
Si une puissance de $\cos$ ou de $\sin$ → remplacer par les formules d'Euler, développer, regrouper les exponentielles opposées

Exemple : $\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$ , qui vaut $\frac{1}{2}$ en $\frac{\pi}{4}$

Si l'énoncé mélange somme et produit, faire chaque étape dans sa forme et convertir entre les deux ; ne jamais élever une forme algébrique à une grande puissance par le binôme.

Quel lieu selon l'écriture

Réécrivez d'abord chaque module sous la forme |z − a|.

Distance fixée à UN point (

-2

) : un cercle. Distances égales à DEUX points (

-2

2i

) : leur médiatrice, la droite

y=-x

Si $|z-a|=r$ → cercle de centre $a$ , de rayon $r$

Exemple : $|z+2|=1{,}5$ : centre $-2$ , rayon $1{,}5$
Si $|z-a|\le r$ → disque fermé, bord compris

Exemple : $|z-i|\le 1$ contient $0$ , car $|0-i|=1$
Si $|z-a|=|z-b|$ → médiatrice du segment $[a\,;b]$

Exemple : $|z+2|=|z-2i|$ donne $y=-x$
Si $|z-a|<|z-b|$ → demi-plan du côté de $a$ , bordé par la médiatrice

Exemple : $|z|<|z-4|$ équivaut à $\operatorname{Re}z<2$

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Démontrer la formule d'Euler par les séries

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « démontrer que e^(iθ) = cos θ + i sin θ » ou « à l'aide des séries de Maclaurin ».

1 Écrire la série $e^{x}=\sum\frac{x^{n}}{n!}$ et rappeler qu'elle converge absolument pour tout complexe, par le critère de d'Alembert ( $\frac{|z|}{n+1}\to 0$ ).
2 Remplacer $x$ par $i\theta$ : terme général $i^{n}\frac{\theta^{n}}{n!}$ .
3 Utiliser $i^{2k}=(-1)^{k}$ et $i^{2k+1}=(-1)^{k}i$ pour séparer rangs pairs et impairs, « ce que permet la convergence absolue ».
4 Reconnaître les séries de Maclaurin de $\cos\theta$ et de $\sin\theta$ .

Phrase de conclusion

« La série étant absolument convergente, on peut regrouper ses termes : $e^{i\theta}=\sum_{k\ge 0}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k\ge 0}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}=\cos\theta+i\sin\theta$ . »

Le piège : La justification du regroupement : sans convergence absolue, réordonner une série peut changer sa somme.

Barème : Série et substitution 1 point, séparation pair et impair 1 point, convergence absolue 1 point, conclusion 1 point.

Résoudre une équation z puissance n égale a

Quand l'utiliser : L'énoncé demande « toutes les solutions dans $\mathbb{C}$ » de $z^{n}=a$ .

1 Écrire $a=\rho e^{i\alpha}$ , l'argument choisi par le signe du cosinus ET du sinus.
2 Poser $z=re^{i\theta}$ et identifier : $r^{n}=\rho$ et $n\theta=\alpha+2k\pi$ .
3 En déduire $r=\rho^{1/n}$ (réel positif) et $\theta=\frac{\alpha+2k\pi}{n}$ pour $k=0,\ldots,n-1$ .
4 Donner les $n$ solutions, puis contrôler : une solution élevée à la puissance $n$ , et la somme nulle.

Phrase de conclusion

« Deux complexes non nuls sont égaux si et seulement si leurs modules sont égaux et leurs arguments égaux à $2\pi$ près ; d'où $r=\rho^{1/n}$ et $\theta=\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}$ , $k\in\{0,\ldots,n-1\}$ . »

Le piège : Le « $+2k\pi$ » écrit AVANT de diviser par $n$ : c'est lui qui fabrique les $n$ solutions.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le module d'abord

Avant de garder un produit, un quotient ou une racine, comparer son module à celui qu'annonce la règle.

$\frac{3-i}{1+i}$ doit avoir pour module $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}$ : un résultat $2-4i$ , de module $2\sqrt{5}$ , est faux.
Le quadrant par les signes

Lire les signes de la partie réelle et de la partie imaginaire, et vérifier que l'argument trouvé tombe dans le bon quadrant.

$-5+5i$ est en haut à gauche : un argument $-\frac{\pi}{4}$ , en bas à droite, se dénonce en une seconde.
La somme des racines

Les $n$ racines $n$ -ièmes d'un même nombre ont une somme nulle dès que $n\ge 2$ .

Pour $z^{3}=-8i$ : $(\sqrt{3}-i)+2i+(-\sqrt{3}-i)=0$ . Une somme non nulle signale une racine fausse.
Un angle test pour une linéarisation

Remplacer $\theta$ par $0$ et par $\frac{\pi}{2}$ dans la formule obtenue.

$\sin^{3}\frac{\pi}{2}=1$ : une formule qui donne $-1$ a perdu le signe de $(2i)^{3}=-8i$ .

L'exercice type décortiqué

Résoudre $z^{3}=-8i$ dans $\mathbb{C}$ et placer les solutions

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{3}=-8i$ . Donner les solutions sous forme polaire, puis algébrique, et décrire la figure qu'elles forment.

Le second membre est sur le demi-axe imaginaire NÉGATIF, et les solutions seront sur le cercle de rayon

\sqrt[3]{8}=2

Étape 1

$|-8i|=8$ et $-8i$ est sur le demi-axe imaginaire négatif : $-8i=8e^{-i\pi/2}$ .

Pourquoi

Un nombre sur un axe se lit sans calcul ; $\arctan\frac{-8}{0}$ n'existe même pas, ce qui montre que la formule n'est pas la méthode.

Étape 2

On pose $z=re^{i\theta}$ : $r^{3}e^{3i\theta}=8e^{-i\pi/2}$ , donc $r^{3}=8$ et $3\theta=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$ .

Pourquoi

Le $+2k\pi$ est écrit AVANT de diviser : c'est le point de la question que la moitié des copies perd.

Étape 3

$r=2$ et $\theta=-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}$ : pour $k=0$ , $1$ et $2$ , $\theta=-\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\frac{7\pi}{6}$ , ce dernier ramené à $-\frac{5\pi}{6}$ .

Pourquoi

Trois valeurs de $k$ pour le degré $3$ ; $k=3$ redonnerait $-\frac{\pi}{6}+2\pi$ , la première.

Étape 4

$2e^{-i\pi/6}=\sqrt{3}-i$ , $2e^{i\pi/2}=2i$ , $2e^{-i5\pi/6}=-\sqrt{3}-i$ .

Pourquoi

Les angles sont remarquables : le cosinus et le sinus se lisent sans calculatrice.

Étape 5

Vérification : $(2i)^{3}=8i^{3}=-8i$ , et la somme $(\sqrt{3}-i)+2i+(-\sqrt{3}-i)=0$ .

Pourquoi

Une substitution sur la racine la plus simple et la somme nulle contrôlent tout le calcul en dix secondes.

Conclusion rédigée

« Les solutions sont $\sqrt{3}-i$ , $2i$ et $-\sqrt{3}-i$ ; elles forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre $0$ et de rayon $2$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $3\theta=-\frac{\pi}{2}$ sans le $2k\pi$ , et ne trouver que $\sqrt{3}-i$ ; ou lire $-8i$ comme d'argument $\frac{\pi}{2}$ , ce qui donne les trois racines de $8i$ .

À savoir par cœur

• $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ , OBTENUE en posant $x=i\theta$ dans la série de $e^{x}$ ; $e^{i\pi}=-1$ .
• Argument : par le cosinus ET le sinus ; $\arctan\frac{y}{x}$ ne vaut que si $x>0$ .
• Produit : modules MULTIPLIÉS, arguments ADDITIONNÉS, à $2\pi$ près ; quotient : divisés et soustraits.
• $z^{n}=a$ a EXACTEMENT $n$ solutions, en polygone régulier centré en $0$ , de somme nulle.
• Polynôme à coefficients RÉELS : $z_{0}$ racine entraîne $\overline{z_{0}}$ racine.
• $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ , $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ , $|e^{x+iy}|=e^{x}$ .
• $|z-a|=r$ : cercle de centre $a$ ; $|z-a|=|z-b|$ : médiatrice.

Questions fréquentes

Comment démontrer la formule d'Euler avec les séries de Maclaurin ?

On part de la série de l'exponentielle, somme des x puissance n sur factorielle n, qui converge absolument pour tout nombre complexe. On remplace x par i thêta. Comme i au carré vaut moins un, les termes de rang pair sont réels et redonnent la série du cosinus, les termes de rang impair sont imaginaires et redonnent i fois la série du sinus. La convergence absolue permet ce regroupement.

Comment trouver l'argument d'un nombre complexe sans se tromper de quadrant ?

Calculez d'abord le module r, puis le cosinus, partie réelle sur r, et le sinus, partie imaginaire sur r. Leurs deux signes désignent un seul quadrant, et l'angle remarquable s'y lit. L'arc tangente de y sur x ne suffit pas : il ne donne que des angles entre moins pi sur deux et pi sur deux, donc il se trompe pour tout point à partie réelle négative.

Combien de solutions a l'équation z puissance n égale a dans les complexes ?

Exactement n, dès que a n'est pas nul. Elles ont toutes le même module, la racine n-ième du module de a, et leurs arguments sont espacés de deux pi sur n. Dans le plan, elles forment un polygone régulier à n sommets centré à l'origine, et leur somme est nulle. Ne donner qu'une seule solution coûte la plus grande partie de la question.

Pourquoi les nombres complexes sont-ils au programme de Calcul I à Polytechnique ?

Parce que la formule d'Euler sort directement des séries de Maclaurin vues juste avant dans le cours, et qu'elle sert ensuite partout en génie : linéariser une puissance de cosinus, dériver e puissance x fois cosinus x en une ligne, calculer l'impédance d'un circuit en courant alternatif. Le chapitre ouvre le contrôle périodique 2 et revient à l'examen final.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les nombres complexes

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-nombres-complexes. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

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Fiche de révision : les nombres complexes (MTH1101, Polytechnique)

L'essentiel

Euler : multiplier, c'est tourner

Racines et polynômes : compter les solutions

Les règles de calcul en tableau

Ce qui passe des réels aux complexes, et ce qui ne passe pas

Les pièges qui coûtent des points

1. Prendre l'arc tangente sans regarder le quadrant

2. Garder une somme d'arguments hors de l'intervalle principal

3. Ne donner qu'une racine n-ième

4. Diviser en ne multipliant que le numérateur

5. Oublier le 2i de la formule du sinus

6. Lire le centre d'un cercle avec le mauvais signe

7. Croire l'exponentielle complexe injective

8. Traiter la formule d'Euler comme une définition

Quelle méthode choisir

Quelle forme selon l'opération demandée

Quel lieu selon l'écriture

La rédaction attendue

Démontrer la formule d'Euler par les séries

Résoudre une équation z puissance n égale a

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Résoudre z3=−8iz^{3}=-8iz3=−8i dans C\mathbb{C}C et placer les solutions

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment démontrer la formule d'Euler avec les séries de Maclaurin ?

Comment trouver l'argument d'un nombre complexe sans se tromper de quadrant ?

Combien de solutions a l'équation z puissance n égale a dans les complexes ?

Pourquoi les nombres complexes sont-ils au programme de Calcul I à Polytechnique ?

Exercices corrigés : Les nombres complexes

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Résoudre $z^{3}=-8i$ dans $\mathbb{C}$ et placer les solutions