Les nombres complexes : exercices corrigés de MTH1101 (Polytechnique)

a) On développe comme un produit de binômes, en remplaçant $i^{2}$ par $-1$ : $zw=(7+i)(1-2i)=7-14i+i-2i^{2}=7+2-13i=9-13i$. Le terme $-2i^{2}$ vaut $+2$ : c'est lui que l'on perd quand on écrit $7-13i$, et l'erreur se propage à toute la suite. Puis $\overline{z}\,\overline{w}=(7-i)(1+2i)=7+14i-i-2i^{2}=9+13i$, qui est exactement $\overline{zw}$. Ce n'est pas une coïncidence : le conjugué d'un produit est le produit des conjugués, parce que conjuguer revient à remplacer $i$ par $-i$, et que $-i$ vérifie la même relation $(-i)^{2}=-1$. Géométriquement, conjuguer est la symétrie par rapport à l'axe réel, qui change le signe de tous les arguments ; on verra à l'exercice 2 qu'un produit additionne les arguments, donc la symétrie respecte le produit.

b) Diviser par $w$, c'est rendre le dénominateur réel. On multiplie le numérateur ET le dénominateur par $\overline{w}=1+2i$, ce qui ne change pas la fraction : $\dfrac{7+i}{1-2i}=\dfrac{(7+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}$. Au dénominateur, $w\overline{w}=1^{2}+2^{2}=5$, un réel positif, c'est tout l'intérêt du geste. Au numérateur, $(7+i)(1+2i)=7+14i+i+2i^{2}=5+15i$. Donc $\dfrac{z}{w}=\dfrac{5+15i}{5}=1+3i$. Vérification par la multiplication inverse, qui coûte dix secondes : $(1+3i)(1-2i)=1-2i+3i-6i^{2}=7+i$. Les deux erreurs de copie sont de ne multiplier que le numérateur, ce qui change la valeur de la fraction, et de « diviser terme à terme », $\frac{7}{1}+\frac{i}{-2i}$, ce qui n'a aucun sens pour une somme au dénominateur.

c) $|z|=\sqrt{7^{2}+1^{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $|w|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$, et $\left|\dfrac{z}{w}\right|=|1+3i|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$. Or $\dfrac{|z|}{|w|}=\dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\sqrt{2}=\sqrt{10}$ : l'égalité est vérifiée. Elle est générale, et c'est la moitié du fil de ce chapitre : dans un produit ou un quotient, les MODULES se multiplient ou se divisent. On peut s'en servir comme contrôle immédiat de b) : un quotient dont le module au carré ne vaut pas $\frac{50}{5}=10$ est faux. Attention, la règle ne vaut pas pour une somme : $|z+w|=|8-i|=\sqrt{65}$, alors que $|z|+|w|=5\sqrt{2}+\sqrt{5}$ est strictement plus grand ; seule l'inégalité triangulaire $|z+w|\le|z|+|w|$ subsiste.

d) $\operatorname{Re}(zw)=9$, alors que $\operatorname{Re}z\times\operatorname{Re}w=7\times 1=7$ : l'affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit. La formule juste se lit dans le développement : avec $z=a+bi$ et $w=c+di$, $zw=ac+adi+bci+bdi^{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i$, donc $\operatorname{Re}(zw)=ac-bd=\operatorname{Re}z\operatorname{Re}w-\operatorname{Im}z\operatorname{Im}w$. Ici $7\times 1-1\times(-2)=9$, ce qui confirme a). Les deux parties imaginaires, en se multipliant, fabriquent un terme RÉEL à cause de $i^{2}=-1$ : c'est exactement ce qui sépare le produit des complexes du produit composante par composante de deux vecteurs du plan.

a) $|a|=\sqrt{27+9}=6$. Le calcul $\arctan\frac{3}{-3\sqrt{3}}=\arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}$ donne un angle du quatrième quadrant, alors que la figure place $A$ dans le DEUXIÈME : partie réelle négative, partie imaginaire positive. La fonction $\arctan$ ne rend que des angles de $\left]-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}\right[$, c'est-à-dire des points à partie réelle positive ; pour un point de gauche, il faut ajouter $\pi$ : $\theta=-\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{5\pi}{6}$. Contrôle par le cosinus et le sinus : $\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-3\sqrt{3}}{6}$ et $\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$. Donc $a=6e^{i5\pi/6}$. Pour $b$ : $|b|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$, et $\arctan\frac{-3}{-3}=\arctan 1=\frac{\pi}{4}$ désigne le premier quadrant, alors que $B$ est dans le TROISIÈME. On retranche $\pi$ pour rester dans $]-\pi\,;\pi]$ : $\theta=\frac{\pi}{4}-\pi=-\frac{3\pi}{4}$, et $b=3\sqrt{2}\,e^{-i3\pi/4}$. Le quotient $\frac{y}{x}$ a perdu les deux signes : $\frac{-3}{-3}=\frac{3}{3}$, et c'est la figure, ou le signe de $x$ et de $y$, qui les rend.

b) $c=-4$ est sur le demi-axe réel négatif : $|c|=4$ et $\theta=\pi$, donc $c=4e^{i\pi}$. Ici $\arctan\frac{0}{-4}=0$ donnerait le demi-axe POSITIF, l'erreur la plus grossière et la plus fréquente. Pour $d$ : $|d|=\sqrt{4+12}=4$, $\cos\theta=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ et $\sin\theta=\frac{-2\sqrt{3}}{4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ : quatrième quadrant, $\theta=-\frac{\pi}{3}$, et cette fois $\arctan(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$ donne directement la bonne réponse, parce que $x>0$. La méthode sûre est toujours la même : le module d'abord, puis le cosinus ET le sinus, dont les deux signes désignent un seul quadrant.

c) En forme polaire, multiplier c'est multiplier les modules et ADDITIONNER les arguments : $ad=6\times 4\,e^{i\left(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)}=24e^{i\pi/2}=24i$. Vérification algébrique : $(-3\sqrt{3}+3i)(2-2\sqrt{3}\,i)=-6\sqrt{3}+18i+6i-6\sqrt{3}\,i^{2}=24i$, les deux termes réels s'annulent. Pour le quotient, on divise les modules et on SOUSTRAIT les arguments : $\frac{a}{d}=\frac{6}{4}e^{i\left(\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{3}{2}e^{i7\pi/6}$. L'angle $\frac{7\pi}{6}$ n'est pas dans $]-\pi\,;\pi]$ : on retranche un tour, $\frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6}$. C'est le « à $2\pi$ près » du fil : la somme de deux arguments principaux n'est pas toujours un argument principal. Sous forme algébrique, $\frac{a}{d}=\frac{3}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=-\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}i$, un point du troisième quadrant, ce qu'annonçait l'argument $-\frac{5\pi}{6}$.

d) Par la règle des arguments répétée quatre fois (formule de De Moivre) : $b^{4}=\left(3\sqrt{2}\right)^{4}e^{-i3\pi}=324e^{-3i\pi}$, et $-3\pi$ vaut $\pi$ à $2\pi$ près, donc $b^{4}=324e^{i\pi}=-324$. Contrôle : $b^{2}=(-3-3i)^{2}=9+18i+9i^{2}=18i$, puis $(18i)^{2}=324i^{2}=-324$. Enfin $-324=81\times(-4)=81c$ : $B^{4}$ est sur la même demi-droite que $C$, ce que dit aussi l'argument, $4\times\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=-3\pi\equiv\pi$. Développer $(-3-3i)^{4}$ par le binôme aurait demandé cinq termes et autant d'occasions de se tromper de signe : la forme polaire est faite pour les puissances, la forme algébrique pour les sommes.

a) $i^{2}=-1$ par définition, $i^{3}=i^{2}\,i=-i$, $i^{4}=(i^{2})^{2}=1$. Comme $i^{4}=1$, les puissances de $i$ se répètent avec une période $4$ : $i^{4k}=1$, $i^{4k+1}=i$, $i^{4k+2}=-1$, $i^{4k+3}=-i$. Par exemple $i^{7}=i^{4}\,i^{3}=-i$. C'est ce cycle de quatre valeurs qui va trier les termes de la série en deux familles : les puissances paires de $i$ sont réelles ($\pm 1$), les impaires sont imaginaires pures ($\pm i$).

b) Avec $x=i\theta$, le terme général devient $\frac{(i\theta)^{n}}{n!}=i^{n}\frac{\theta^{n}}{n!}$. Pour $n=2k$ pair, $i^{2k}=(i^{2})^{k}=(-1)^{k}$ ; pour $n=2k+1$ impair, $i^{2k+1}=(-1)^{k}i$. Donc $e^{i\theta}=\sum_{k\ge 0}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k\ge 0}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}$, et l'on reconnaît terme à terme les séries de Maclaurin du cosinus et du sinus : $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$. Le point délicat est le regroupement : réordonner les termes d'une série peut en changer la somme si elle ne converge que conditionnellement. Ici la série converge ABSOLUMENT, puisque $\sum\left|\frac{(i\theta)^{n}}{n!}\right|=\sum\frac{|\theta|^{n}}{n!}=e^{|\theta|}$ est finie ; on peut donc la scinder en deux sous-séries qui convergent chacune. La formule d'Euler n'est donc pas une convention d'écriture : c'est un théorème, conséquence des séries de Maclaurin du chapitre précédent.

c) Le terme de rang $n+1$ s'obtient à partir de celui de rang $n$ en multipliant par $\frac{i\theta}{n+1}$. Multiplier par $i$ fait tourner d'un quart de tour, multiplier par le réel positif $\frac{\theta}{n+1}$ change seulement la longueur : chaque segment est donc perpendiculaire au précédent, toujours dans le même sens de rotation. Pour $\theta=\pi$, les longueurs sont $\frac{\pi^{n}}{n!}$, et le rapport de deux longueurs successives est $\frac{\pi}{n+1}$ : il dépasse $1$ tant que $n+1<\pi$, c'est-à-dire pour $n=0,1,2$, puis devient plus petit que $1$. Les longueurs croissent donc jusqu'au rang $n=3$, $\frac{\pi^{3}}{6}\approx 5{,}2$, le segment de $S_{2}$ à $S_{3}$, puis décroissent vers $0$ de plus en plus vite à cause de la factorielle : la ligne s'éloigne d'abord, puis s'enroule. Elle converge vers $S=e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$, le point du cercle unité sur le demi-axe réel négatif, que la figure montre atteint dès $S_{9}$ à l'œil.

d) $|e^{i\theta}|^{2}=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$, donc $|e^{i\theta}|=1$ : tous les $e^{i\theta}$ sont sur le cercle unité, et $\theta$ est l'angle polaire, ce qui justifie l'écriture $re^{i\theta}$ de la forme polaire. En remplaçant $\theta$ par $-\theta$, la parité du cosinus et l'imparité du sinus donnent $e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta=\overline{e^{i\theta}}$. En additionnant, $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$, d'où $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ ; en soustrayant, $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$. Ces deux formules serviront à linéariser à l'exercice 6. Enfin $e^{i\pi}=-1$, donc $e^{i\pi}+1=0$, l'identité qui réunit $e$, $i$, $\pi$, $0$ et $1$.

a) Module : $\sqrt{64+192}=\sqrt{256}=16$. Puis $\cos\theta=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}$ et $\sin\theta=\frac{-8\sqrt{3}}{16}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ : les deux signes sont négatifs, troisième quadrant, donc $\theta=-\frac{2\pi}{3}$. Le calcul $\arctan\frac{-8\sqrt{3}}{-8}=\arctan\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$ donnerait un angle du premier quadrant, et toutes les racines seraient fausses : c'est le même piège qu'à l'exercice 2, et il coûte ici la question entière. Donc $-8-8\sqrt{3}\,i=16e^{-i2\pi/3}$.

b) $|w_{0}|=\sqrt{3+1}=2$, $\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta=-\frac{1}{2}$ : $w_{0}=2e^{-i\pi/6}$, ce que la figure confirme, $w_{0}$ étant sur le cercle de rayon $2$, un peu sous l'axe réel. Par la formule de De Moivre, conséquence directe de $e^{i\alpha}e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}$ : $w_{0}^{4}=2^{4}e^{-4i\pi/6}=16e^{-i2\pi/3}$, qui est exactement le second membre. Le module se vérifie seul : $2^{4}=16$, d'où le rayon $2$ du cercle dessiné, la racine quatrième de $16$.

c) Si $w^{4}=-8-8\sqrt{3}\,i$, alors $(iw)^{4}=i^{4}w^{4}=w^{4}$, puisque $i^{4}=1$ : $iw$ est encore solution. Multiplier par $i=e^{i\pi/2}$ fait tourner d'un quart de tour autour de l'origine. On obtient $w_{1}=iw_{0}=i(\sqrt{3}-i)=1+\sqrt{3}\,i$, puis $w_{2}=iw_{1}=-\sqrt{3}+i$, puis $w_{3}=iw_{2}=-1-\sqrt{3}\,i$ ; un quatrième quart de tour ramène à $w_{0}$. En polaire, ce sont les $2e^{i\left(-\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}\right)}$ pour $k=0,1,2,3$, soit les arguments $-\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{6}$ et $-\frac{2\pi}{3}$. Il n'y en a pas d'autre : un polynôme de degré $4$ a au plus quatre racines dans $\mathbb{C}$. Le piège classique est de répondre seulement « $z=2e^{-i\pi/6}$ » en divisant l'argument par $4$ : on a alors oublié que l'argument du second membre n'est connu qu'à $2\pi$ près, et que $\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ sépare deux racines voisines.

d) Les quatre solutions sont sur le cercle de rayon $2$, séparées par des angles de $\frac{\pi}{2}$ : elles forment un carré inscrit dans ce cercle (voir la figure du corrigé). Le côté relie deux racines voisines, par exemple $|w_{1}-w_{0}|=|(1-\sqrt{3})+(\sqrt{3}+1)i|$, et $(1-\sqrt{3})^{2}+(1+\sqrt{3})^{2}=2\times(1+3)=8$, d'où un côté $2\sqrt{2}$, ce que donne aussi Pythagore dans le triangle rectangle isocèle de côtés $2$ et $2$. La somme est nulle : $w_{2}=-w_{0}$ et $w_{3}=-w_{1}$, les racines s'annulent deux à deux, ce que dit aussi la symétrie du carré par rapport à son centre $0$. C'est la règle générale : pour $n\ge 2$, les $n$ racines $n$-ièmes d'un complexe forment un polygone régulier centré en $0$, et leur somme est nulle.

a) On calcule par étapes, sans binôme de Newton : $(-1+3i)^{2}=1-6i+9i^{2}=-8-6i$, puis $(-1+3i)^{3}=(-8-6i)(-1+3i)=8-24i+6i-18i^{2}=26-18i$. Donc $P(-1+3i)=26-18i+6(-1+3i)-20=(26-6-20)+(-18+18)i=0$. Écrire séparément la partie réelle et la partie imaginaire de chaque terme évite la moitié des erreurs de signe : chacune des deux sommes doit s'annuler, et l'on contrôle ainsi deux équations au lieu d'une.

b) Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués, et celui d'un produit, le produit des conjugués ; donc $\overline{z^{3}}=\overline{z}^{\,3}$. Les coefficients $1$, $6$ et $-20$ étant réels, ils sont leurs propres conjugués : $\overline{P(z)}=\overline{z}^{\,3}+6\overline{z}-20=P(\overline{z})$. Si $P(z_{0})=0$, alors $P(\overline{z_{0}})=\overline{0}=0$ : $-1-3i$ est racine. La troisième racine $r$ est réelle, et le coefficient de $z^{2}$ étant nul, la somme des trois racines vaut $0$ : $(-1+3i)+(-1-3i)+r=0$, d'où $r=2$. Contrôle : $P(2)=8+12-20=0$. Le produit des deux racines conjuguées donne le trinôme réel : $(z+1-3i)(z+1+3i)=(z+1)^{2}+9=z^{2}+2z+10$, et $P(z)=(z-2)(z^{2}+2z+10)$, ce qu'on vérifie en développant : $z^{3}+2z^{2}+10z-2z^{2}-4z-20$.

c) $Q$ est à coefficients réels, donc si $1+i$ est racine, $1-i$ l'est aussi, et le trinôme $(z-1-i)(z-1+i)=(z-1)^{2}+1=z^{2}-2z+2$ divise $Q$. Le quotient est de degré $1$, unitaire : $Q(z)=(z^{2}-2z+2)(z+c)=z^{3}+(c-2)z^{2}+(2-2c)z+2c$. Le coefficient de $z^{2}$ de $Q$ est nul, donc $c=2$, et alors $a=2-4=-2$ et $b=4$. Les racines sont $1+i$, $1-i$ et $-2$. Contrôle direct : $(1+i)^{2}=2i$, $(1+i)^{3}=2i(1+i)=-2+2i$, et $Q(1+i)=-2+2i-2(1+i)+4=0$. On pouvait aussi écrire $Q(1+i)=0$ et annuler les parties réelle et imaginaire : $-2+a+b=0$ et $2+a=0$, le même résultat par un système.