Limite et continuité à plusieurs variables : exercices corrigés de MTH1101 (Polytechnique)

a) La fonction est un quotient de deux polynômes, donc elle est continue en tout point où $x+y\neq 0$. Au point $(1,2)$, le dénominateur vaut $3\neq 0$ : la fonction est continue en ce point, et la limite est la valeur, $\dfrac{1\cdot 2+3\cdot 1\cdot 2-4}{1+2}=\dfrac{2+6-4}{3}=\dfrac{4}{3}$. Remplacer n'est pas un réflexe, c'est la conséquence d'un théorème : la phrase qui rapporte le point est « le dénominateur ne s'annule pas en $(1,2)$, donc la fonction rationnelle y est continue ». Sans elle, la même substitution appliquée en un point où le dénominateur s'annule mène droit à l'erreur des questions suivantes. Contrôle : en $(1{,}001\,;2{,}001)$, la fonction vaut environ $1{,}337$, tout près de $\frac{4}{3}\approx 1{,}333$.

b) Le remplacement donne $\frac{3-3}{0}$, une forme $\frac{0}{0}$ qui ne décide de rien. La fonction est définie sur $D=\{(x,y)\,:\,x\neq 1\}$, le plan privé de TOUTE la droite verticale $x=1$, et le point $(1,3)$ est sur cette droite : la fonction n'y a pas de valeur, mais elle peut y avoir une limite, car des points de $D$ s'en approchent par la gauche et par la droite. On factorise : $x^{2}y-y=y\left(x^{2}-1\right)=y(x-1)(x+1)$, donc pour tout $(x,y)\in D$, $\dfrac{x^{2}y-y}{x-1}=y(x+1)$. Le polynôme $y(x+1)$ est continu sur $\mathbb{R}^{2}$, d'où la limite $3\times 2=6$. Le piège est dans la justification : la simplification par $x-1$ n'est permise que sur $D$, et c'est suffisant, parce qu'une limite ne regarde JAMAIS le point lui-même, seulement les points du domaine qui s'en approchent. Les deux fonctions ne sont pas égales (l'une est définie sur la droite $x=1$, l'autre non), mais elles coïncident partout où la limite regarde.

c) En $(0,3)$, on obtient encore $\frac{0}{0}$. Le domaine est $x\neq 0$ : tout l'axe des ordonnées est exclu. Près de $(0,3)$, $y$ est proche de $3$, donc non nul, et pour $x\neq 0$ le produit $xy$ est non nul. On peut donc écrire $\dfrac{\sin(xy)}{x}=y\cdot\dfrac{\sin(xy)}{xy}$. Posons $u=xy$ : quand $(x,y)\to(0,3)$, $u\to 0$ par continuité du produit, en restant non nul, et la limite à UNE variable $\dfrac{\sin u}{u}\to 1$ se transporte par composition. Le facteur $y$ tend vers $3$, d'où la limite $3\times 1=3$. L'erreur classique répond $1$ : on a reconnu $\frac{\sin u}{u}$ mais oublié qu'il faut diviser par $xy$ et non par $x$, et le facteur $y$ qui compense ne disparaît pas. On ne « simplifie » jamais un sinus : on fait apparaître la forme de référence, puis on compte ce qu'il reste.

d) Encore $\frac{0}{0}$. Le domaine demande $x\ge 0$, $y\ge 0$ et $\sqrt{x}\neq\sqrt{y}$, c'est-à-dire $x\neq y$ : toute la demi-droite $y=x$ est exclue, et le point $(4,4)$ est dessus. Pour $x,y\ge 0$, $x-y=\left(\sqrt{x}\right)^{2}-\left(\sqrt{y}\right)^{2}=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)$, donc sur le domaine la fonction vaut $\sqrt{x}+\sqrt{y}$, continue comme somme de composées de fonctions continues. La limite est $\sqrt{4}+\sqrt{4}=4$. C'est le geste du conjugué de la limite à une variable, mais lu avec deux racines. Retenez la situation, qui reviendra : une fonction peut ne pas être définie sur une droite ENTIÈRE et avoir pourtant une limite en chacun de ses points.

a) La droite $y=x$ porte l'étiquette $1$. Par le calcul, pour $t\neq 0$, $f(t,t)=\dfrac{2t^{2}}{t^{2}+t^{2}}=1$. Sur toute cette droite privée de l'origine, $f$ est CONSTANTE : le long de ce chemin, la limite en l'origine vaut $1$, puisque la fonction ne bouge même pas. Une carte de contour se lit comme une carte topographique : sur une courbe de niveau, l'altitude ne change pas.

b) Pour $x\neq 0$, $f(x,mx)=\dfrac{2mx^{2}}{x^{2}+m^{2}x^{2}}=\dfrac{2m}{1+m^{2}}$, la simplification par $x^{2}$ étant permise puisque $x\neq 0$. Le résultat ne dépend pas de $x$ : chaque droite issue de l'origine est une courbe de niveau, ce que la carte montrait. Avec $m=-1$ : $\dfrac{-2}{2}=-1$ ; avec $m=2$ : $\dfrac{4}{5}$. L'axe des $x$ correspond à $m=0$ et donne $0$ ; l'axe des $y$, qui n'est pas de la forme $y=mx$, se traite à part : $f(0,y)=0$. La restriction de $f$ à une droite est constante, donc la limite le long de cette droite est cette constante.

c) Non. Par définition, $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=L$ signifie que $f(x,y)$ est aussi proche de $L$ qu'on veut pour TOUS les points assez proches de l'origine, quel que soit le chemin par lequel on arrive. Or le long de l'axe des $x$, $f(x,0)=0\to 0$, et le long de $y=x$, $f(t,t)=1\to 1$. Si la limite existait et valait $L$, chaque chemin donnerait $L$, d'où $0=L=1$, ce qui est absurde. La rédaction attendue tient en trois lignes : nommer les deux chemins, calculer les deux limites, conclure par « deux chemins donnent deux limites différentes, donc la limite n'existe pas ». Sur la carte, la preuve se voit d'un seul coup d'œil : TOUTES les courbes de niveau se rejoignent en l'origine, donc dans un disque aussi petit qu'on veut autour d'elle, $f$ prend toutes les valeurs de $-1$ à $1$. Une fonction dont des courbes de niveau de valeurs différentes convergent vers un point n'a pas de limite en ce point.

d) $\dfrac{2m}{1+m^{2}}=\dfrac{3}{5}$ équivaut à $10m=3+3m^{2}$, soit $3m^{2}-10m+3=0$, de discriminant $100-36=64$ : $m=\dfrac{10\pm 8}{6}$, donc $m=3$ ou $m=\dfrac{1}{3}$. Les deux droites sont symétriques par rapport à $y=x$, ce qui était prévisible : échanger $x$ et $y$ ne change pas $f$. Pour la borne, $(x-y)^{2}\ge 0$ donne $x^{2}+y^{2}\ge 2xy$, donc $f(x,y)\le 1$, avec égalité si et seulement si $x=y$ ; de même $(x+y)^{2}\ge 0$ donne $f\ge -1$. L'image de $f$ est donc $[-1\,;1]$, et chacune de ces valeurs est prise sur une droite qui touche l'origine. Retenez l'inégalité $2|xy|\le x^{2}+y^{2}$ : elle servira à PROUVER des limites dans les exercices suivants.

a) Pour $x\neq 0$, $f(x,0)=0$, et pour $y\neq 0$, $f(0,y)=0$ : le long des deux axes, la limite est $0$. Pour $m\neq 0$ et $x\neq 0$, $f(x,mx)=\dfrac{mx^{3}}{x^{4}+m^{2}x^{2}}=\dfrac{mx}{x^{2}+m^{2}}$ après division par $x^{2}$. Quand $x\to 0$, le numérateur tend vers $0$ et le dénominateur vers $m^{2}\neq 0$ : la limite est $0$. TOUTES les droites passant par l'origine donnent donc $0$, les deux axes compris. La tentation est de conclure que la limite vaut $0$, et c'est exactement le piège du chapitre : les droites ne forment qu'une famille de chemins parmi une infinité, et leur accord ne prouve rien.

b) $f(t,t)=\dfrac{t^{3}}{t^{4}+t^{2}}=\dfrac{t}{t^{2}+1}$ : cette fonction est impaire, négative pour $t<0$, et tend vers $0$ quand $t\to 0$. C'est la courbe $A$. Puis $f(t,t^{2})=\dfrac{t^{4}}{t^{4}+t^{4}}=\dfrac{1}{2}$ pour tout $t\neq 0$ : une constante, la droite horizontale à la hauteur $\frac{1}{2}$, c'est la courbe $B$. Le chemin 2 correspond donc à $B$. La figure dit tout : sur la parabole, $f$ ne s'approche pas de $0$, elle reste à $\frac{1}{2}$ jusqu'au bord de l'origine.

c) Pour $x\neq 0$, $f(x,kx^{2})=\dfrac{kx^{4}}{x^{4}+k^{2}x^{4}}=\dfrac{k}{1+k^{2}}$, constante : chaque parabole $y=kx^{2}$ est une courbe de niveau. Avec $k=-2$ : $-\dfrac{2}{5}$. Deux chemins, la droite $y=x$ qui donne $0$ et la parabole $y=x^{2}$ qui donne $\frac{1}{2}$, mènent à deux limites différentes : la limite en $(0,0)$ n'existe pas. Pourquoi les droites ratent-elles ces valeurs ? Le long d'une droite, $y$ est de l'ordre de $x$, donc $y^{2}$ écrase $x^{4}$ au dénominateur et la fraction s'effondre. L'équilibre se produit quand $x^{4}$ et $y^{2}$ sont du MÊME ordre, c'est-à-dire quand $y$ est de l'ordre de $x^{2}$ : d'où les paraboles. C'est la recette générale pour choisir un chemin : égaler les ordres des termes du dénominateur, ici $x^{4}\sim y^{2}$, ce qui donne une courbe $y=kx^{m}$.

d) $\left(x^{2}-|y|\right)^{2}\ge 0$ donne $x^{4}+y^{2}\ge 2x^{2}|y|$, donc $|f(x,y)|=\dfrac{x^{2}|y|}{x^{4}+y^{2}}\le\dfrac{1}{2}$, avec égalité sur les paraboles $y=\pm x^{2}$. Mais une borne CONSTANTE dit seulement que $f$ est bornée. Pour prouver qu'une limite $L$ existe, il faut une majoration $|f(x,y)-L|\le g(x,y)$ avec $g(x,y)\to 0$ ; ici la borne $\frac{1}{2}$ ne tend vers rien, et la fonction n'a d'ailleurs pas de limite. Être borné et avoir une limite sont deux choses différentes : la fonction de cet exercice oscille entre $-\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ dans tout disque centré en l'origine.

a) Pour $(x,y)\neq(0,0)$, $x^{2}\le x^{2}+y^{2}$, donc $0\le\dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1$. Alors $\left|\dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,|y|\le|y|$. Quand $(x,y)\to(0,0)$, $|y|\to 0$, et l'encadrement $-|y|\le f(x,y)\le|y|$ donne la limite $0$. La borne $|y|$ ne dépend que du POINT, pas d'un chemin : elle vaut en même temps pour tous les points d'un disque autour de l'origine. C'est toute la différence avec l'exercice précédent, où la borne était une constante, $\frac{1}{2}$. Les chemins ne servent ici qu'à contrôler : le long de $y=x$, $f=\frac{x}{2}$, et le long de $y=x^{2}$, $f=\frac{x^{4}}{x^{2}+x^{4}}$, tendent bien vers $0$. Ils confirment, ils ne prouvent pas.

b) $2\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2x^{4}+4x^{2}y^{2}+2y^{4}$, donc la différence avec $2x^{4}+y^{4}$ vaut $4x^{2}y^{2}+y^{4}\ge 0$. Il vient $0\le\dfrac{2x^{4}+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\le\dfrac{2\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}{x^{2}+y^{2}}=2\left(x^{2}+y^{2}\right)$, et $2\left(x^{2}+y^{2}\right)\to 0$ : la limite est $0$. Le décompte des degrés, $4$ en haut contre $2$ en bas, laissait deviner ce résultat, mais un décompte de degrés n'est pas une preuve : il se trompe dès que le dénominateur s'annule ailleurs qu'en l'origine, comme dans l'affirmation a) de l'exercice 8. Seule la majoration écrite rapporte les points.

c) Première façon : $|x|\le r$ donne $\dfrac{|xy|}{r}=\dfrac{|x|}{r}\,|y|\le|y|\to 0$. Seconde façon : en polaires, $\dfrac{xy}{r}=\dfrac{r^{2}\cos\theta\sin\theta}{r}=r\cos\theta\sin\theta=\dfrac{r}{2}\sin 2\theta$, et $|\sin 2\theta|\le 1$ pour TOUT $\theta$, donc $\left|\dfrac{xy}{r}\right|\le\dfrac{r}{2}\to 0$. La limite vaut $0$, et la plus petite constante est $C=\frac{1}{2}$, atteinte pour $\theta=\frac{\pi}{4}$, c'est-à-dire sur la droite $y=x$. Le point essentiel de la méthode polaire : la majoration finale ne contient plus $\theta$. Si elle en dépendait encore, il faudrait vérifier qu'elle reste bornée pour tous les angles, et l'exercice 7 montre ce qui arrive quand on oublie.

d) Posons $u=x^{2}+y^{2}$ : quand $(x,y)\to(0,0)$, $u\to 0$ en restant strictement positif. On est ramené à une limite à UNE variable. Le remplacement donne $\frac{0}{0}$ ; on multiplie par la quantité conjuguée : $\dfrac{u}{\sqrt{u+1}-1}=\dfrac{u\left(\sqrt{u+1}+1\right)}{(u+1)-1}=\sqrt{u+1}+1$, qui tend vers $2$. La limite cherchée vaut donc $2$, par composition. Ce geste, réduire à une variable, ne marche que parce que la fonction ne dépend que de $x^{2}+y^{2}$, donc que de la distance à l'origine : ses courbes de niveau sont des cercles centrés en l'origine, et tous les chemins voient la même chose.

a) $f_{1}$ est un quotient de polynômes, donc continue en tout point où son dénominateur ne s'annule pas : sur le plan privé de la droite $y=x$. Sur cette droite, $f_{1}$ n'est pas définie ; ce n'est pas « une discontinuité en un point », c'est une droite entière retirée du domaine. Pour $f_{5}$ : $\mathrm{e}^{xy}$ est la composée du polynôme $xy$ et de l'exponentielle, continues ; $\cos(x+y)$ est la composée de $x+y$ et du cosinus ; leur produit est continu ; le dénominateur $1+x^{2}+y^{2}$ vaut au moins $1$ et ne s'annule jamais. Le quotient est donc continu sur tout $\mathbb{R}^{2}$. Les trois théorèmes à citer : les sommes, produits et quotients (dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus ; la composée de fonctions continues est continue ; les fonctions de référence, polynômes, exponentielle, logarithme, racine, cosinus, sont continues sur leur domaine.

b) $\ln$ exige un argument strictement positif : $x+y-1>0$, le demi-plan situé au-dessus de la droite $x+y=1$, droite EXCLUE puisque l'inégalité est stricte. $f_{2}$ y est continue comme composée. Pour $f_{3}$, la racine exige $4-x^{2}-y^{2}\ge 0$ : le disque fermé de centre l'origine et de rayon $2$, cercle INCLUS, car $\sqrt{0}=0$ existe. $f_{3}$ est continue sur ce disque fermé, la racine étant continue sur $[0\,;+\infty[$. La règle de lecture : une inégalité stricte donne une frontière exclue, tracée en pointillé ; une inégalité large donne une frontière incluse, en trait plein. C'est donc le domaine de $f_{3}$ qui contient sa frontière.

c) La région est comprise entre la parabole $y=x^{2}$, en trait plein, et la droite $y=4$, en pointillé : c'est $\left\{(x,y)\,:\,x^{2}\le y<4\right\}$. Pour $f_{4}$, la racine demande $y-x^{2}\ge 0$, inégalité large, donc la parabole est incluse ; le logarithme demande $4-y>0$, inégalité stricte, donc la droite est exclue ; le domaine est l'intersection des deux conditions, exactement la région. Les autres ne conviennent pas : $f_{1}$ et $f_{5}$ ont un domaine non borné, $f_{2}$ un demi-plan, $f_{3}$ un disque. Détail qui se lit sur la figure : les points $(\pm 2,4)$, où la parabole rencontre la droite, sont SUR la droite exclue, donc hors du domaine ; le trait plein de la parabole s'arrête sur deux points qui ne lui appartiennent pas.

d) Les ordonnées entières possibles vérifient $0\le y<4$, soit $y\in\{0,1,2,3\}$. Pour $y=0$ : $x^{2}\le 0$, un seul point, $(0,0)$, qui est sur la parabole, donc inclus. Pour $y=1$ : $x^{2}\le 1$, $x\in\{-1,0,1\}$, trois points dont deux sur la parabole. Pour $y=2$ et $y=3$ : $x^{2}\le 2$ ou $x^{2}\le 3$, encore trois points chacun. Total : $1+3+3+3=10$. Si l'on avait inclus la droite $y=4$, on aurait compté cinq points de plus, $15$ en tout ; si l'on avait exclu la parabole, on en perdrait trois, $7$. Le décompte LIT le statut de la frontière : c'est la raison d'être de la question.

a) Le long de l'axe des $x$, avec $y=0$ et $x\neq 0$ : $f(x,0)=\dfrac{x^{2}+x^{3}}{x^{2}}=1+x\to 1$. Le long de l'axe des $y$ : $f(0,y)=\dfrac{ay^{2}}{y^{2}}=a\to a$. Si la limite existe, tous les chemins la donnent, donc $a=1$. C'est une condition NÉCESSAIRE, pas suffisante : deux chemins peuvent seulement éliminer des valeurs de $a$, jamais établir l'existence de la limite. Pour $a\neq 1$, la fonction ne se prolonge pas, quelle que soit la valeur donnée à $f(0,0)$. La question b) reste indispensable.