Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : les dérivées partielles (MTH1101, Polytechnique)

Cette fiche de révision porte sur les dérivées partielles, section 4.1 de Stewart, « Calcul à plusieurs variables », telles que MTH1101 les enseigne : calcul, définition par la limite, pente d'une trace et taux avec unités, lecture sur une table et sur une carte de contour, dérivées d'ordre supérieur, théorème de Clairaut et équations aux dérivées partielles. Elle ne refait pas le cours, elle dit ce qui coûte des points et quel geste l'évite. C'est la matière du contrôle périodique 2, qui se passe sans calculatrice ; le seul document permis est votre aide-mémoire d'une feuille recto verso, et le bloc « À savoir par cœur » en donne la matière première.

Un seul réflexe la traverse : avant d'écrire quoi que ce soit, nommez la variable qui bouge et celles qui sont gelées. Avec $y$ gelé, $f(x,y)$ n'est plus qu'une fonction de $x$ , et tout ce que vous savez des dérivées à une variable s'applique tel quel.

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Le fil du chapitre

Une dérivée partielle est une dérivée à UNE variable : on GÈLE toutes les autres, ce qui revient à regarder une trace de la surface. Presque toutes les erreurs du chapitre sont une variable gelée qu'on dérive quand même, ou une variable libre qu'on fige trop tôt.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Limite et continuité à plusieurs variables Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (2 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Dérivée partielle
Trace d'une surface
Définition par la limite
Taux de variation partiel
Estimation sur une table
Lecture d'une carte de contour
Dérivées partielles d'ordre supérieur
Théorème de Clairaut
Équation aux dérivées partielles
Fonction de trois variables

L'essentiel

Geler une variable, regarder une trace

• $f_x(a,b)$ est la dérivée en $x=a$ de la fonction d'UNE variable $x\mapsto f(x,b)$ : on gèle $y=b$ . De même $f_y(a,b)$ est la dérivée en $y=b$ de $y\mapsto f(a,y)$ .
• Géométriquement, $x\mapsto f(x,b)$ est la TRACE de la surface $z=f(x,y)$ dans le plan $y=b$ , et $f_x(a,b)$ est la pente de sa tangente en $x=a$ .
• Comme taux, $f_x$ a pour unité celle de $f$ divisée par celle de $x$ : des kPa par litre, des mètres par heure. Une dérivée sans unité est une réponse incomplète.
• Définition : $f_x(a,b)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$ . Une seule coordonnée bouge ; c'est elle qu'on utilise là où les règles ne s'appliquent pas.

La surface

z=6-x^{2}-\frac{y^{2}}{2}

coupée par le plan

y=1

puis par le plan

x=1

: deux traces par le même point, deux tangentes en pointillé,

f_x(1,1)=-2

f_y(1,1)=-1

Sur une copie, écrire « $y$ étant fixé, » avant de dériver par rapport à $x$ ne coûte rien et montre au correcteur que vous savez ce que vous faites.

Ordre deux, Clairaut et EDP

• Notation de Stewart : $f_{xy}=(f_x)_y=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\,\partial x}$ ; on dérive dans l'ordre des indices, de gauche à droite.
• Théorème de Clairaut : si $f_{xy}$ et $f_{yx}$ sont continues sur un disque centré en $(a,b)$ , alors $f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)$ . C'est une implication, avec une hypothèse à citer.
• Chaleur $u_t=\alpha u_{xx}$ , ondes $u_{tt}=c^{2}u_{xx}$ , Laplace $u_{xx}+u_{yy}=0$ : une solution vérifie l'égalité en TOUT point du domaine, pas en un seul.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Dériver un terme qui ne contient pas la variable

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x,y)=x^{3}+4y^{2}$ , donc $f_x=3x^{2}+8y$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $y$ étant fixé, $4y^{2}$ est une constante : $f_x=3x^{2}$ , et $f_x(1,2)=3$ . »

Pourquoi : Dans une dérivée partielle, une seule lettre bouge. Le terme $8y$ appartient à $f_y$ , pas à $f_x$ : en $(1,2)$ , la copie trouve $19$ au lieu de $3$ .

2. Remplacer avant de dériver

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $f(x,y)=x^{2}y^{3}$ , $f(2,1)=4$ , donc $f_y(2,1)=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f_y=3x^{2}y^{2}$ , donc $f_y(2,1)=12$ . On peut aussi geler d'abord $x=2$ : $f(2,y)=4y^{3}$ , de dérivée $12y^{2}$ , qui vaut $12$ en $y=1$ . »

Pourquoi : On peut remplacer la variable GELÉE avant de dériver, jamais celle par rapport à laquelle on dérive : un nombre a toujours une dérivée nulle.

3. Prendre une exponentielle pour une puissance

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x,y)=y^{x}$ , donc $f_x=x\,y^{x-1}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $y$ étant fixé, $y^{x}=\mathrm{e}^{x\ln y}$ est une exponentielle : $f_x=y^{x}\ln y$ ; c'est $f_y$ qui vaut $x\,y^{x-1}$ . En $(2,3)$ : $f_x=9\ln 3$ , $f_y=6$ . »

Pourquoi : La même écriture change de nature selon la lettre gelée : variable en base, règle des puissances ; variable en exposant, exponentielle. On le décide AVANT de dériver.

4. Oublier la règle du produit quand la variable apparaît deux fois

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}\mathrm{e}^{xy}\right)=2x\,\mathrm{e}^{xy}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $x$ est dans les deux facteurs : $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}\mathrm{e}^{xy}\right)=2x\,\mathrm{e}^{xy}+x^{2}y\,\mathrm{e}^{xy}$ , soit $3\mathrm{e}$ en $(1,1)$ . »

Pourquoi : En $(1,1)$ , la copie donne $2\mathrm{e}$ au lieu de $3\mathrm{e}$ . Pour $\frac{\partial}{\partial y}$ , au contraire, $x^{2}$ est une constante multiplicative et la règle du produit est inutile.

5. Conclure qu'une dérivée n'existe pas parce que la formule donne zéro sur zéro

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x,y)=\sqrt[3]{xy^{2}}$ : $f_x=\frac{y^{2}}{3\left(xy^{2}\right)^{2/3}}$ donne $\frac{0}{0}$ à l'origine, donc $f_x(0,0)$ n'existe pas. »

Ce qu'il faut écrire

« La formule ne s'applique pas à l'origine ; par la définition, $f(h,0)=0$ pour tout $h$ , donc $\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0$ et $f_x(0,0)=0$ . »

Pourquoi : Une formule de dérivée n'est valable que là où les règles qui l'ont produite s'appliquent. À l'origine, c'est la trace $f(x,0)$ qui décide, ici la constante $0$ .

6. Lire « f_x nul en un point » comme « f constante »

1 point de justification

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f_x(a,b)=0$ , donc $f$ ne dépend pas de $x$ sur la droite $y=b$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f_x(a,b)=0$ : la trace $z=f(x,b)$ a une tangente horizontale EN $x=a$ . Elle peut monter des deux côtés. »

La trace

z=1+(x-1)^{2}

a une tangente horizontale en

x=a=1

, donc

f_x(a,b)=0

, et pourtant elle n'est constante sur aucun intervalle.

Pourquoi : Une dérivée en un point est une information locale. Seul $f_x=0$ en TOUT point de la droite rend $f$ constante sur elle.

7. Lire le signe sur le resserrement des courbes de niveau

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Les courbes de niveau sont très serrées autour de $P$ , donc $f_x(P)$ est grand et positif. »

Ce qu'il faut écrire

« Je me déplace horizontalement depuis $P$ : je reste entre les mêmes niveaux, donc $f_x(P)=0$ ; verticalement, les niveaux montent de $1$ tous les $0{,}5$ , donc $f_y(P)\approx 2$ . »

Niveaux horizontaux de

f=2y+1

: la flèche horizontale longe les courbes,

f_x(P)=0

; la flèche verticale les traverse,

f_y(P)=2

Pourquoi : Le resserrement donne la vitesse dans la direction où l'on TRAVERSE les courbes ; $f_x$ ne regarde que la direction horizontale, et le signe vient du sens de croissance des niveaux.

8. Diviser par le mauvais pas sur une table irrégulière

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(20,b)=14$ , $f(30,b)=17$ , $f(50,b)=21$ : à droite $\frac{21-17}{10}=0{,}4$ , à gauche $0{,}3$ , donc $f_x(30,b)\approx 0{,}35$ . »

Ce qu'il faut écrire

« À droite, le pas est $20$ : $\frac{21-17}{20}=0{,}2$ ; à gauche $\frac{17-14}{10}=0{,}3$ ; donc $f_x(30,b)\approx 0{,}25$ . »

Pourquoi : Une table change souvent de pas en cours de ligne. On lit l'en-tête AVANT de diviser, et l'on n'oublie pas l'unité du quotient.

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de la donnée

Regardez sous quelle forme la fonction vous est donnée, et en quel point.

Si une formule, en un point où les règles s'appliquent → geler les autres variables et dériver avec les règles à une variable

Exemple : $f=x^{2}y^{3}$ : $f_y=3x^{2}y^{2}$ , $f_y(2,1)=12$
Si une formule qui donne $\frac{0}{0}$ , ou une fonction définie par morceaux, au point demandé → revenir à la définition : quotient en ne déplaçant qu'une coordonnée

Exemple : $\sqrt[3]{xy^{2}}$ : $f(h,0)=0$ , donc $f_x(0,0)=0$
Si une table de valeurs → moyenne du taux à droite et du taux à gauche, chacun divisé par SON pas

Exemple : pas $10$ puis $20$ : $\frac{0{,}3+0{,}2}{2}=0{,}25$
Si une carte de contour → se déplacer dans la direction de la variable : le sens des niveaux donne le signe, leur écart la grandeur

Exemple : $1$ unité de $f$ tous les $0{,}5$ verticalement : $f_y\approx 2$
Si une dérivée croisée dont un terme ne contient qu'une variable → citer Clairaut, puis dériver d'abord par rapport à l'AUTRE variable pour faire disparaître ce terme

Exemple : $x^{2}y+\mathrm{e}^{\sin y}$ : $(f_x)_y=2x$ , qui vaut $2$ en $x=1$

Si la fonction est donnée par un graphe en trois dimensions, on se ramène à une trace : on coupe par le plan de la variable gelée et on lit une pente.

Quelle règle, une fois la variable gelée

Avec les autres lettres figées, demandez-vous quelle fonction d'une variable vous avez sous les yeux.

Si la variable en base, l'exposant constant → règle des puissances

Exemple : $\frac{\partial}{\partial y}\,y^{x}=x\,y^{x-1}$ , soit $6$ en $(2,3)$
Si la variable en exposant, la base constante et positive → exponentielle : on multiplie par le logarithme de la base

Exemple : $\frac{\partial}{\partial x}\,y^{x}=y^{x}\ln y$ , soit $9\ln 3$ en $(2,3)$
Si la variable dans deux facteurs → règle du produit

Exemple : $\frac{\partial}{\partial x}\,x^{2}\mathrm{e}^{xy}=(2x+x^{2}y)\,\mathrm{e}^{xy}$
Si la variable dans une borne d'intégrale → théorème fondamental, avec un signe moins pour la borne inférieure

Exemple : $\frac{\partial}{\partial x}\int_{x}^{y}\cos(t^{2})\,dt=-\cos\left(x^{2}\right)$ , soit $-1$ en $x=0$

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une dérivée partielle par la définition

Quand l'utiliser : La formule de la dérivée n'a pas de sens au point demandé, ou la fonction est définie par morceaux.

1 Dire pourquoi les règles ne s'appliquent pas : « la formule obtenue hors de l'origine n'est pas définie en $(0,0)$ ».
2 Écrire le quotient en ne déplaçant que la coordonnée concernée : $\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$ .
3 Calculer $f(a+h,b)$ avec la bonne branche de la définition, celle des points différents de $(a,b)$ .
4 Simplifier pour $h\neq 0$ , puis passer à la limite ; si les limites à gauche et à droite diffèrent, conclure que la dérivée n'existe pas.

Phrase de conclusion

« Par définition, $f_x(0,0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{…}{h}=…$ . »

Le piège : Prendre la limite de la formule de f_x au lieu du quotient de la définition : les deux ne coïncident pas forcément.

Barème : Quotient correctement posé 1 point, calcul de f(h, 0) 1 point, limite et conclusion 1 point.

Vérifier qu'une fonction est solution d'une EDP

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « montrer que u vérifie l'équation » ou « pour quelle valeur de la constante ».

1 Calculer chaque dérivée demandée en nommant la variable gelée, chaîne à une variable comprise.
2 Substituer dans les DEUX membres de l'équation.
3 Montrer l'égalité pour tous les points du domaine ; pour une constante inconnue, identifier les coefficients.
4 Conclure par une phrase qui nomme l'équation et le domaine.

Phrase de conclusion

« Pour tout $(x,y)$ du domaine, $u_{xx}+u_{yy}=…=0$ : $u$ est solution de l'équation de Laplace. »

Le piège : Vérifier l'égalité en un seul point : cela ne prouve rien pour une équation qui doit tenir partout.

Invoquer le théorème de Clairaut

Quand l'utiliser : On échange l'ordre de dérivation, ou l'on veut montrer qu'aucune fonction n'a les dérivées partielles données.

1 Justifier la continuité des dérivées croisées : « $f$ est formée de polynômes et d'exponentielles, ses dérivées secondes sont continues sur $\mathbb{R}^{2}$ ».
2 Citer le théorème et conclure $f_{xy}=f_{yx}$ .
3 Pour une non-existence : calculer $(f_x)_y$ et $(f_y)_x$ à partir des données et constater qu'elles diffèrent.

Phrase de conclusion

« Les dérivées croisées sont continues sur un disque centré en $(a,b)$ , donc, par le théorème de Clairaut, $f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)$ . »

Le piège : Écrire « par Clairaut » sans l'hypothèse de continuité : le point de justification est perdu.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le contrôle des dérivées croisées

Sur une fonction usuelle, calculer $f_{xy}$ ET $f_{yx}$ : Clairaut garantit l'égalité, donc un écart dénonce une erreur de calcul.

Pour $x^{2}y^{3}$ , $(f_x)_y=6xy^{2}$ et $(f_y)_x=6xy^{2}$ ; trouver $6x^{2}y$ d'un côté signale une dérivée fausse.
Le signe lu sur la trace

Fixer la variable gelée, faire varier l'autre de peu dans la tête, et regarder si $f$ monte ou descend.

Pour $\frac{x-y}{x+y}$ près de $(1,1)$ , augmenter $y$ fait baisser la fraction : une $f_y$ positive est fausse.
L'unité du résultat

Une dérivée partielle est un taux : unité de $f$ divisée par l'unité de la variable.

$\frac{\partial h}{\partial t}$ en mètres signale un taux pris pour une valeur ; la bonne unité est le mètre par heure.
Le cas particulier qui annule un terme

Remplacer la variable gelée par une valeur simple et dériver la fonction d'une variable obtenue.

Pour $f_x$ de $x^{2}\mathrm{e}^{xy}$ en $(1,0)$ , $f(x,0)=x^{2}$ donne $2$ , ce que doit redonner la formule générale.

L'exercice type décortiqué

Vérifier que $u=\mathrm{e}^{3x}\cos 3y$ est harmonique

Montrer que $u(x,y)=\mathrm{e}^{3x}\cos 3y$ vérifie l'équation de Laplace $u_{xx}+u_{yy}=0$ sur $\mathbb{R}^{2}$ , puis calculer $u_{xy}\left(0,\frac{\pi}{6}\right)$ en contrôlant par l'autre ordre.

Étape 1

$y$ étant fixé : $u_x=3\mathrm{e}^{3x}\cos 3y$ , puis $u_{xx}=9\mathrm{e}^{3x}\cos 3y$ .

Pourquoi

$\cos 3y$ est une constante multiplicative ; la chaîne à une variable sort le facteur $3$ de $\mathrm{e}^{3x}$ , deux fois.

Étape 2

$x$ étant fixé : $u_y=-3\mathrm{e}^{3x}\sin 3y$ , puis $u_{yy}=-9\mathrm{e}^{3x}\cos 3y$ .

Pourquoi

Cette fois c'est $\mathrm{e}^{3x}$ qui est constant. Le signe moins vient de la dérivée de $\cos$ ; l'oublier donne $18\mathrm{e}^{3x}\cos 3y$ au lieu de $0$ .

Étape 3

$u_{xx}+u_{yy}=9\mathrm{e}^{3x}\cos 3y-9\mathrm{e}^{3x}\cos 3y=0$ pour tout $(x,y)$ .

Pourquoi

L'égalité est une identité, vraie en tout point : c'est ce qui fait de $u$ une solution, et c'est la phrase qui rapporte le point.

Étape 4

$u_{xy}=(u_x)_y=-9\mathrm{e}^{3x}\sin 3y$ et $u_{yx}=(u_y)_x=-9\mathrm{e}^{3x}\sin 3y$ .

Pourquoi

Les deux ordres coïncident, comme Clairaut l'annonce pour une fonction dont les dérivées secondes sont continues : le calcul est contrôlé.

Étape 5

$u_{xy}\left(0,\frac{\pi}{6}\right)=-9\,\mathrm{e}^{0}\sin\frac{\pi}{2}=-9$ .

Pourquoi

On substitue APRÈS avoir dérivé, et l'on garde la valeur exacte.

Étape 6

Contrôle en $(0,0)$ : $u_{xx}=9$ et $u_{yy}=-9$ , de somme nulle.

Pourquoi

Un point simple confirme le signe des deux termes en dix secondes, sans rien prouver de plus.

Conclusion rédigée

« Pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$ , $u_{xx}+u_{yy}=0$ : $u$ est harmonique. De plus $u_{xy}\left(0,\frac{\pi}{6}\right)=-9$ , valeur confirmée par $u_{yx}$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Oublier le signe moins de la dérivée de $\cos$ dans $u_{yy}$ , et conclure que $u$ n'est pas solution ; ou vérifier la somme en $(0,0)$ seulement.

À savoir par cœur

• $f_x$ : $y$ gelé, on dérive en $x$ avec les règles à une variable. Un terme sans $x$ disparaît.
• $f_x(a,b)$ est la pente de la trace $z=f(x,b)$ en $x=a$ , et un taux en unité de $f$ par unité de $x$ .
• Là où les règles se taisent : $f_x(a,b)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$ .
• Table : moyenne des taux voisins, chacun divisé par SON pas. Carte : sens des niveaux pour le signe, écart pour la grandeur.
• $f_{xy}=(f_x)_y$ ; Clairaut : dérivées croisées CONTINUES autour du point, donc égales.
• EDP : une solution vérifie l'égalité en TOUT point du domaine.

Questions fréquentes

Comment calculer une dérivée partielle par rapport à x ?

On considère toutes les autres variables comme des constantes, puis on dérive par rapport à x avec les règles habituelles à une variable : produit, quotient, chaîne. Un terme qui ne contient pas x a une dérivée nulle, et un facteur qui ne contient pas x reste devant. On remplace par les valeurs du point seulement après avoir dérivé.

Que représente une dérivée partielle sur le graphe d'une fonction de deux variables ?

La dérivée partielle par rapport à x au point (a, b) est la pente de la tangente à la courbe obtenue en coupant la surface par le plan y égale b. Cette courbe s'appelle une trace. C'est aussi un taux de variation : de combien la fonction change quand x augmente d'une unité, l'autre variable restant fixe, avec l'unité de la fonction divisée par celle de x.

Quand faut-il utiliser la définition par la limite pour une dérivée partielle ?

Quand la formule obtenue par les règles n'a pas de sens au point demandé, par exemple si elle donne zéro sur zéro, ou quand la fonction est définie par morceaux avec une valeur à part en ce point. On écrit alors le quotient en ne déplaçant qu'une seule coordonnée, on le simplifie et on passe à la limite. Une formule qui donne zéro sur zéro ne prouve pas que la dérivée n'existe pas.

Le théorème de Clairaut s'applique-t-il à toutes les fonctions ?

Non. Il affirme que les deux dérivées croisées sont égales en un point à condition qu'elles soient continues sur un disque autour de ce point. C'est le cas pour les polynômes, les exponentielles, les fonctions trigonométriques et leurs combinaisons sur leur domaine. Il existe des fonctions définies par morceaux dont les deux dérivées croisées diffèrent à l'origine, précisément parce que cette continuité y manque.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Les dérivées partielles

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-derivees-partielles. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

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Fiche de révision : les dérivées partielles (MTH1101, Polytechnique)

L'essentiel

Geler une variable, regarder une trace

Ordre deux, Clairaut et EDP

Les pièges qui coûtent des points

1. Dériver un terme qui ne contient pas la variable

2. Remplacer avant de dériver

3. Prendre une exponentielle pour une puissance

4. Oublier la règle du produit quand la variable apparaît deux fois

5. Conclure qu'une dérivée n'existe pas parce que la formule donne zéro sur zéro

6. Lire « f_x nul en un point » comme « f constante »

7. Lire le signe sur le resserrement des courbes de niveau

8. Diviser par le mauvais pas sur une table irrégulière

Quelle méthode choisir

Quelle méthode selon la forme de la donnée

Quelle règle, une fois la variable gelée

La rédaction attendue

Calculer une dérivée partielle par la définition

Vérifier qu'une fonction est solution d'une EDP

Invoquer le théorème de Clairaut

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Vérifier que u=e3xcos⁡3yu=\mathrm{e}^{3x}\cos 3yu=e3xcos3y est harmonique

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Comment calculer une dérivée partielle par rapport à x ?

Que représente une dérivée partielle sur le graphe d'une fonction de deux variables ?

Quand faut-il utiliser la définition par la limite pour une dérivée partielle ?

Le théorème de Clairaut s'applique-t-il à toutes les fonctions ?

Exercices corrigés : Les dérivées partielles

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