Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : plan tangent et différentielle (MTH1101, Polytechnique)

Cette fiche de révision porte sur la section 4.2 « Approximations linéaires et différentielle » de Stewart, *Calcul à plusieurs variables* : le plan tangent à une surface $z=f(x,y)$ , l'approximation linéaire, la différentiabilité et la différentielle totale, telles que MTH1101 les enseigne avant la dérivation en chaîne et le gradient, au programme du contrôle périodique 2 et de l'examen final. Elle ne refait pas le cours : elle dit ce qui coûte des points et quel geste l'évite.

Un seul réflexe la traverse : avant d'écrire un plan tangent ou une différentielle, se demander si $f$ est différentiable, et avant d'annoncer une erreur, se demander si deux contributions ont pu se compenser sur le papier alors qu'elles s'ajoutent dans la réalité. Aux contrôles comme à l'examen, pas de calculatrice, et le seul document permis est votre aide-mémoire d'une feuille recto verso : le bloc « À savoir par cœur » est fait pour y être recopié.

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Le fil du chapitre

Le plan tangent n'est pas un calcul de deux dérivées partielles, c'est une PROMESSE : $\Delta z\approx dz$ , avec un écart négligeable devant le déplacement. Elle n'est tenue que si $f$ est différentiable, ce que l'existence de $f_x$ et $f_y$ ne garantit pas, et une erreur maximale additionne toujours les valeurs absolues.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Les dérivées partielles Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (3 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Plan tangent à une surface
Approximation linéaire
Linéarisation
Différentiabilité
Différentielle totale
Accroissement réel et différentielle
Propagation des incertitudes
Erreur maximale
Erreur relative
Dérivées partielles continues

L'essentiel

Trois objets à ne pas confondre

• Le PLAN TANGENT au-dessus de $(a,b)$ : $z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$ . Son membre de droite est l'approximation linéaire $L(x,y)$ , et $L(a,b)=f(a,b)$ toujours.
• L'ACCROISSEMENT RÉEL $\Delta z=f(a+dx,b+dy)-f(a,b)$ suit la surface ; la DIFFÉRENTIELLE $dz=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$ suit le plan tangent. Ils ne sont égaux que si $f$ est linéaire.
• $f$ est DIFFÉRENTIABLE en $(a,b)$ si $\Delta z=dz+\varepsilon_1dx+\varepsilon_2dy$ avec $\varepsilon_1,\varepsilon_2\to 0$ : l'écart est négligeable devant le déplacement. Alors $f$ est continue en $(a,b)$ et le plan tangent existe.
• Condition suffisante : $f_x$ et $f_y$ existent près de $(a,b)$ et sont CONTINUES en $(a,b)$ . L'existence seule de $f_x(a,b)$ et $f_y(a,b)$ ne garantit rien, pas même la continuité.

Dans le plan

y=1

, pour

f(x,y)=x^{2}+y^{2}

: depuis

A(1\,;2)

avec

dx=1

, la tangente monte de

dz=2

, la surface de

\Delta z=3

. L'écart, ici

dx^{2}=1

, est d'ordre deux.

Sur une copie, la différentiabilité se justifie en une phrase avant le plan tangent : « $f_x$ et $f_y$ sont continues au voisinage de $(a,b)$ , donc $f$ y est différentiable. »

Propager une erreur de mesure

• On ne connaît que des bornes $|dx|\le\delta_x$ et $|dy|\le\delta_y$ , jamais leur signe. L'erreur maximale est $|dz|\le|f_x|\,\delta_x+|f_y|\,\delta_y$ .
• Erreur relative : $\dfrac{|dz|}{|z|}$ , souvent en pourcentage. Pour un produit de puissances $z=Cx^{p}y^{q}$ , prendre le logarithme : $\left|\dfrac{dz}{z}\right|\le|p|\dfrac{\delta_x}{|x|}+|q|\dfrac{\delta_y}{|y|}$ .
• Une incertitude donnée en pourcentage est une erreur RELATIVE : $1\ \%$ sur $r=5$ cm veut dire $\delta_r=0{,}05$ cm.

Les règles de calcul en tableau

Chaque ligne se lit de gauche à droite : les hypothèses, puis le résultat. Une case rouge n'est pas une réponse, c'est le constat que la forme ne décide rien et l'ordre de transformer l'écriture. Chaque cas est suivi d'un exemple chiffré.

L'erreur maximale selon la forme de z

Les erreurs de mesure ont un signe inconnu : le pire cas les fait toujours pousser dans le même sens. Pour une somme ou une différence, on additionne les erreurs ABSOLUES ; pour un produit ou un quotient, les erreurs RELATIVES. La case rouge est une règle inventée par les copies.

Forme de $z$	On additionne	Erreur maximale
$x+y$	erreurs absolues	$\delta_x+\delta_y$
Exemple : $x=12\pm 0{,}1$ , $y=7\pm 0{,}2$ : $z=19\pm 0{,}3$
$x-y$	erreurs absolues	$\delta_x-\delta_y$ règle inexistante
Exemple : $x=10{,}0\pm 0{,}2$ , $y=9{,}6\pm 0{,}2$ : $z=0{,}4\pm 0{,}4$ , et non $\pm 0$ . Ce qu'il faut faire : Additionner : $\delta_x+\delta_y$ . Une différence de deux mesures voisines a une erreur relative énorme.
$xy$ ou $\frac{x}{y}$	erreurs relatives	$\frac{\delta_x}{\|x\|}+\frac{\delta_y}{\|y\|}$
Exemple : $2\ \%$ sur $x$ et $3\ \%$ sur $y$ : $5\ \%$ sur $xy$ comme sur $\frac{x}{y}$
$x^{p}y^{q}$	relatives, fois l'exposant	$\|p\|\frac{\delta_x}{\|x\|}+\|q\|\frac{\delta_y}{\|y\|}$
Exemple : $x^{3}\sqrt{y}$ avec $1\ \%$ et $2\ \%$ : $3\times 1\ \%+\frac{1}{2}\times 2\ \%=4\ \%$

Hors de ces formes, on revient à $|f_x|\,\delta_x+|f_y|\,\delta_y$ , qui contient toutes les lignes du tableau.

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier les décalages dans le plan tangent

toute la question, le plan ne touche pas la surface

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x,y)=xy^{2}$ en $(1,2)$ : $f_x=4$ , $f_y=4$ , donc le plan tangent est $z=4x+4y$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $z=f(1,2)+4(x-1)+4(y-2)=4+4x-4+4y-8$ , soit $z=4x+4y-8$ . Contrôle : en $(1,2)$ , $4+8-8=4=f(1,2)$ . »

Pourquoi : Le plan $z=4x+4y$ a la bonne inclinaison mais passe à la hauteur $12$ au-dessus de $(1,2)$ , au lieu de $4$ : il est parallèle au plan tangent. Le contrôle $L(a,b)=f(a,b)$ prend cinq secondes.

2. Remplacer une variable avant de dériver par rapport à elle

la moitié du plan tangent, et tout ce qui suit

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour $f(x,y)=xy^{2}$ en $(1,2)$ : $f(x,2)=4x$ , donc $f_y(1,2)=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f_y=2xy$ , puis $f_y(1,2)=4$ . On remplace APRÈS avoir dérivé, ou l'on fixe seulement l'AUTRE variable : $f(1,y)=y^{2}$ , de dérivée $4$ en $y=2$ . »

Pourquoi : Pour $f_y$ , c'est $x$ qu'on fige, jamais $y$ : figer $y=2$ fait disparaître la variable par rapport à laquelle on dérive. Figer la bonne variable est permis et souvent plus rapide.

3. Affirmer un plan tangent parce que les dérivées partielles existent

toute la question, souvent 3 à 4 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}$ , $f(0,0)=0$ : $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ , donc le plan tangent à l'origine est $z=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ , mais $f(t,t^{2})=\frac{1}{2}$ pour $t\neq 0$ : $f$ n'est pas continue en $(0,0)$ , donc pas différentiable, et il n'y a pas de plan tangent. »

Les courbes de niveau de

\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}

sont des paraboles

y=kx^{2}

, de valeur

\frac{k}{1+k^{2}}

. Toutes passent par l'origine avec des valeurs différentes :

f

y est discontinue, les axes valent

0

Pourquoi : Les dérivées partielles ne regardent que les deux axes, où cette fonction est nulle. Sur la parabole $y=x^{2}$ , elle vaut $\frac{1}{2}$ jusqu'à l'origine : aucun plan ne peut la suivre.

4. Prendre dz pour l'accroissement exact

1 point, et une valeur fausse annoncée comme exacte

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ , de $(1,1)$ à $(2,1)$ : $dz=2\times 1=2$ , donc $f(2,1)=2+2=4$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $dz=2$ estime $\Delta z$ ; ici $\Delta z=f(2,1)-f(1,1)=5-2=3$ . L'écart $dx^{2}=1$ n'est négligeable que pour un PETIT déplacement. »

Pourquoi : La différentielle suit le plan tangent, la fonction suit la surface : la figure de l'essentiel montre les deux montées. On écrit $\approx$ devant toute valeur tirée de $L$ ou de $dz$ .

5. Laisser deux erreurs de mesure se compenser

toute la question de propagation

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z=x-y$ avec $x=10{,}0\pm 0{,}2$ et $y=9{,}6\pm 0{,}2$ : $dz=0{,}2-0{,}2=0$ , le résultat $0{,}4$ est exact. »

Ce qu'il faut écrire

« Les signes sont inconnus : $|dz|\le|dx|+|dy|=0{,}4$ . Donc $z=0{,}4\pm 0{,}4$ , soit $100\ \%$ d'erreur relative. »

Le carré contient tous les couples

(x,y)

compatibles avec les mesures. Les droites

x-y=c

, annotées par

c

, le traversent de

z=0

, au coin

(9{,}8\,;9{,}8)

, à

z=0{,}8

, au coin

(10{,}2\,;9{,}4)

Pourquoi : Rien n'interdit $x$ surestimé et $y$ sous-estimé. Les valeurs absolues décrivent ce pire cas ; sans elles, on annonce une précision que la mesure n'a pas.

6. Soustraire les erreurs relatives d'un quotient

1 à 2 points

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $\rho=\frac{m}{V}$ avec $1\ \%$ sur $m$ et $1\ \%$ sur $V$ : $\frac{d\rho}{\rho}=1\ \%-1\ \%=0$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $\ln\rho=\ln m-\ln V$ , donc $\left|\frac{d\rho}{\rho}\right|\le\frac{|dm|}{m}+\frac{|dV|}{V}=2\ \%$ . »

Pourquoi : Le signe moins de $\ln m-\ln V$ disparaît dans le pire cas, exactement comme pour $x-y$ . Les erreurs ne se compensent que si l'on SAIT qu'elles ont le même signe.

7. Injecter un pourcentage comme une erreur absolue

toute la question, avec un résultat cent fois trop grand

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $V=\pi r^{2}h$ avec $r=5$ cm à $1\ \%$ près : je prends $dr=1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $1\ \%$ de $5$ cm, c'est $dr=0{,}05$ cm ; ou, plus vite, $\frac{dV}{V}\le 2\times 1\ \%+\frac{|dh|}{h}$ . »

Pourquoi : Un pourcentage est une erreur RELATIVE, sans unité : il se convertit avant d'entrer dans $|f_r|\,|dr|$ , ou s'utilise tel quel dans la forme logarithmique.

8. Choisir un point d'appui où rien n'est exact

1 point, ou une estimation qui n'en est pas une

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Pour estimer $\sqrt{4{,}02}\times 3{,}97^{2}$ , je prends $(4{,}02\,;4)$ , le point le plus proche. »

Ce qu'il faut écrire

« Je prends $(4,4)$ , où $f(x,y)=\sqrt{x}\,y^{2}$ , $f_x$ et $f_y$ se calculent de tête : $f=32$ , $f_x=4$ , $f_y=16$ , donc $L=32+0{,}08-0{,}48=31{,}6$ . »

Pourquoi : Au point $(4{,}02\,;4)$ , il faudrait déjà connaître $\sqrt{4{,}02}$ : l'approximation n'aurait rien simplifié. Le point d'appui rend $f$ et ses deux dérivées EXACTES.

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon le verbe de l'énoncé

Lisez ce que l'énoncé demande, pas le chapitre dont il parle.

Si « équation du plan tangent » → justifier la différentiabilité, puis $z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

Exemple : $xy^{2}$ en $(1,2)$ : $z=4x+4y-8$
Si « estimer », « approcher », valeur décimale sans calculatrice → choisir le point d'appui exact le plus proche, puis $L(x,y)$

Exemple : $\sqrt{4{,}02}\times 3{,}97^{2}\approx 31{,}6$ , en appui sur $(4,4)$
Si « erreur maximale », « à … près » → $|f_x|\,\delta_x+|f_y|\,\delta_y$ , chaque terme en valeur absolue

Exemple : $x-y$ avec $\pm 0{,}2$ et $\pm 0{,}2$ : $\pm 0{,}4$
Si « erreur relative », « en pourcentage », $z$ produit de puissances → prendre $\ln z$ puis la différentielle, exposants en valeur absolue

Exemple : $x^{3}\sqrt{y}$ avec $1\ \%$ et $2\ \%$ : $4\ \%$
Si « à quelle précision faut-il mesurer » → problème inverse : poser l'erreur maximale $\le$ la cible et isoler l'incertitude cherchée

Exemple : $x^{3}\sqrt{y}$ à $4\ \%$ près avec $2\ \%$ sur $y$ : $\delta_x\le 1\ \%$ de $x$

Si la question porte sur un point où $f$ est définie par morceaux, aucune branche ne s'applique avant l'arbre suivant : la différentiabilité n'y est plus acquise.

Différentiable ou non en (a,b)

Regardez comment f est écrite au voisinage du point.

Si $f$ est une formule de fonctions usuelles, définie autour de $(a,b)$ → $f_x$ et $f_y$ sont continues près de $(a,b)$ : différentiable

Exemple : $\sqrt{x}\,y^{2}$ en $(4,4)$
Si f définie par morceaux, point de raccord → calculer $f_x(a,b)$ et $f_y(a,b)$ par la DÉFINITION, puis étudier la continuité de $f$

Exemple : $\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}$ : $f_x(0,0)=\lim\frac{0}{h}=0$
Si $f$ discontinue en $(a,b)$ (deux chemins, deux limites) → pas différentiable : différentiable entraîne continue

Exemple : $f(t,t^{2})=\frac{1}{2}$ contre $f(t,0)=0$
Si f continue, dérivées partielles connues, mais pas continues → tester la définition : $\frac{f-L}{\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}\to 0$ ? Un chemin où le quotient ne tend pas vers 0 tranche

Exemple : $\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}$ : le quotient vaut $\frac{\sqrt[3]{2}-2}{\sqrt{2}}$ sur la diagonale

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Écrire le plan tangent, différentiabilité comprise

Quand l'utiliser : L'énoncé demande l'équation du plan tangent, ou une approximation linéaire.

1 Calculer $f_x$ et $f_y$ en général, et dire qu'elles sont continues au voisinage de $(a,b)$ , en nommant la raison (polynôme, quotient de dénominateur non nul, racine d'une quantité positive).
2 Conclure : « $f$ est différentiable en $(a,b)$ ».
3 Évaluer $f(a,b)$ , $f_x(a,b)$ et $f_y(a,b)$ seulement maintenant.
4 Écrire $z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$ avec les décalages, puis développer si l'énoncé le demande.
5 Contrôler que le plan donne $f(a,b)$ au-dessus de $(a,b)$ .

Phrase de conclusion

« Les dérivées partielles $f_x$ et $f_y$ sont continues au voisinage de $(a,b)$ , donc $f$ est différentiable en $(a,b)$ , et le plan tangent a pour équation $z=\ldots$ »

Le piège : La première étape : sans elle, le plan tangent est affirmé, pas justifié, et la copie perd le point de rigueur.

Barème : Différentiabilité 1 point, dérivées 1 point, équation 1 point, en général sur 3.

Propager une incertitude de mesure

Quand l'utiliser : L'énoncé donne des mesures « à … près » et demande l'erreur sur une grandeur calculée.

1 Nommer la fonction $z=f(x,y)$ , les valeurs mesurées et les incertitudes $\delta_x$ , $\delta_y$ , converties si elles sont en pourcentage.
2 Écrire $dz=f_x\,dx+f_y\,dy$ et évaluer les dérivées au point mesuré.
3 Passer au pire cas : $|dz|\le|f_x|\,\delta_x+|f_y|\,\delta_y$ , en disant que le signe des erreurs est inconnu.
4 Donner l'erreur relative $\frac{|dz|}{|z|}$ si elle est demandée, et vérifier par la forme logarithmique quand $z$ est un produit de puissances.
5 Conclure sur ce que la mesure permet d'affirmer, par exemple si un seuil est franchi ou non.

Phrase de conclusion

« Le signe des erreurs étant inconnu, l'erreur maximale est $|dz|\le|f_x|\,\delta_x+|f_y|\,\delta_y=\ldots$ , soit une erreur relative d'environ … »

Le piège : La troisième étape : garder les signes de dx et dy, c'est laisser deux erreurs se compenser sur le papier.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Le plan passe par le point

Remplacer $(x,y)$ par $(a,b)$ dans l'équation trouvée : on doit lire $f(a,b)$ .

$z=4x+4y$ donne $12$ en $(1,2)$ , alors que $f(1,2)=4$ : les décalages ont été oubliés.
L'estimation reste près de f(a,b)

L'écart $L-f(a,b)$ vaut $f_x\,dx+f_y\,dy$ : il est petit si les déplacements le sont.

Une estimation de $\sqrt{4{,}02}\times 3{,}97^{2}$ à $35$ alors que $f(4,4)=32$ trahit un signe de $dy$ oublié.
Une erreur maximale est une somme de termes positifs

Chaque contribution est une valeur absolue : aucun terme ne peut en annuler un autre.

Une erreur maximale nulle ou négative, comme $0{,}2-0{,}2=0$ , est toujours fausse.
L'ordre de grandeur par les exposants

Pour $Cx^{p}y^{q}$ , l'erreur relative est environ $|p|$ fois celle de $x$ plus $|q|$ fois celle de $y$ .

$\pi r^{2}h$ avec $1\ \%$ sur $r$ et $1\ \%$ sur $h$ : environ $3\ \%$ . Un calcul qui donne $0{,}3\ \%$ a perdu un facteur.

L'exercice type décortiqué

Estimer $2{,}01^{2}\times\sqrt{8{,}97}$ sans calculatrice

Estimer $2{,}01^{2}\times\sqrt{8{,}97}$ à l'aide d'une approximation linéaire bien choisie, en justifiant qu'elle est légitime.

Étape 1

On pose $f(x,y)=x^{2}\sqrt{y}$ et l'on s'appuie sur $(2,9)$ : $f(2,9)=4\times 3=12$ .

Pourquoi

Le point d'appui le plus proche où tout se calcule de tête : 2 est entier, 9 est un carré parfait.

Étape 2

$f_x=2x\sqrt{y}$ et $f_y=\dfrac{x^{2}}{2\sqrt{y}}$ sont continues pour $y>0$ , donc $f$ est différentiable en $(2,9)$ .

Pourquoi

C'est le point de rigueur : sans différentiabilité, L n'approche rien.

Étape 3

$f_x(2,9)=2\times 2\times 3=12$ et $f_y(2,9)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ .

Pourquoi

On évalue après avoir dérivé, jamais avant.

Étape 4

$dx=0{,}01$ et $dy=8{,}97-9=-0{,}03$ .

Pourquoi

Le signe de dy est négatif : c'est la faute la plus fréquente sur ce type d'estimation.

Étape 5

$L(2{,}01\,;8{,}97)=12+12(0{,}01)+\dfrac{2}{3}(-0{,}03)=12+0{,}12-0{,}02=12{,}10$ .

Pourquoi

On assemble la formule avec ses décalages, déjà calculés.

Étape 6

Contrôle : l'écart à $f(2,9)$ est $0{,}10$ , petit comme les déplacements ; la valeur exacte vaut $12{,}1000\ldots$

Pourquoi

L'erreur, inférieure à $10^{-4}$ , est d'ordre deux : la promesse de la différentiabilité est tenue.

Conclusion rédigée

« $f$ étant différentiable en $(2,9)$ , $2{,}01^{2}\times\sqrt{8{,}97}\approx L(2{,}01\,;8{,}97)=12{,}10$ . »

L'erreur classique sur cet exercice : Prendre $dy=+0{,}03$ , ce qui donne $12{,}14$ , ou s'appuyer sur $(2{,}01\,;9)$ , où $2{,}01^{2}$ reste à calculer.

À savoir par cœur

• Plan tangent : $z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$ , et $L(a,b)=f(a,b)$ .
• $f_x$ et $f_y$ CONTINUES près de $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ différentiable $\Rightarrow$ $f$ continue et plan tangent.
• $f_x(a,b)$ et $f_y(a,b)$ qui EXISTENT n'impliquent ni la différentiabilité ni la continuité.
• $dz=f_x\,dx+f_y\,dy$ suit le plan, $\Delta z$ suit la surface ; l'écart est négligeable devant $\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}$ .
• Erreur maximale : $|f_x|\,\delta_x+|f_y|\,\delta_y$ , TOUJOURS en valeurs absolues.
• Produit de puissances $Cx^{p}y^{q}$ : erreurs relatives multipliées par $|p|$ et $|q|$ , puis ADDITIONNÉES.

Questions fréquentes

Que mettre sur l'aide-mémoire de MTH1101 pour le plan tangent et la différentielle ?

L'aide-mémoire permis tient sur une feuille recto verso, sans calculatrice. Pour ce chapitre, notez l'équation du plan tangent avec ses décalages x moins a et y moins b, la condition suffisante de différentiabilité (dérivées partielles continues), le fait que l'existence des dérivées partielles ne suffit pas, et la formule de l'erreur maximale en valeurs absolues, avec sa version en erreurs relatives pour un produit de puissances.

Comment trouver l'équation du plan tangent à une surface z = f(x,y) ?

On vérifie d'abord que les dérivées partielles sont continues près du point, ce qui rend f différentiable. On calcule ensuite f(a,b), f_x(a,b) et f_y(a,b), puis on écrit z égale f(a,b) plus f_x(a,b) fois x moins a, plus f_y(a,b) fois y moins b. On contrôle enfin que le plan donne bien f(a,b) au-dessus du point.

Pourquoi l'existence des dérivées partielles ne suffit-elle pas pour avoir un plan tangent ?

Parce que les deux dérivées partielles ne regardent que deux directions, celles des axes. Une fonction peut être nulle sur les deux axes, donc avoir ses deux dérivées partielles nulles, et valoir un demi sur une autre courbe qui passe par le point : elle n'est même pas continue, et aucun plan ne la suit. Il faut la différentiabilité, garantie si les dérivées partielles sont continues.

Quelle est la différence entre dz et delta z ?

Delta z est l'accroissement réel de la fonction quand on se déplace de dx et dy : il suit la surface. La différentielle dz, égale à f_x dx plus f_y dy, est l'accroissement le long du plan tangent. Pour une fonction différentiable, l'écart entre les deux est négligeable devant le déplacement, c'est pourquoi dz sert à estimer delta z quand dx et dy sont petits.

Comment calculer l'erreur maximale sur une grandeur qui dépend de deux mesures ?

On écrit la différentielle totale, puis on remplace chaque terme par sa valeur absolue : valeur absolue de f_x fois l'incertitude sur x, plus valeur absolue de f_y fois l'incertitude sur y. Les signes des erreurs étant inconnus, le pire cas les fait pousser dans le même sens. Pour un produit de puissances, on additionne les erreurs relatives multipliées par les exposants.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : Plan tangent et différentielle

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

Faire les exercices

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Les chapitres qui le réclament en amont, plus tard dans l'année ou dans les années suivantes.

La dérivation en chaîne Approximation quadratique et Taylor à deux variables

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-plan-tangent-differentielle. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

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Fiche de révision : plan tangent et différentielle (MTH1101, Polytechnique)

L'essentiel

Trois objets à ne pas confondre

Propager une erreur de mesure

Les règles de calcul en tableau

L'erreur maximale selon la forme de z

Les pièges qui coûtent des points

1. Oublier les décalages dans le plan tangent

2. Remplacer une variable avant de dériver par rapport à elle

3. Affirmer un plan tangent parce que les dérivées partielles existent

4. Prendre dz pour l'accroissement exact

5. Laisser deux erreurs de mesure se compenser

6. Soustraire les erreurs relatives d'un quotient

7. Injecter un pourcentage comme une erreur absolue

8. Choisir un point d'appui où rien n'est exact

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon le verbe de l'énoncé

Différentiable ou non en (a,b)

La rédaction attendue

Écrire le plan tangent, différentiabilité comprise

Propager une incertitude de mesure

Vérifier avant de rendre

L'exercice type décortiqué

Estimer 2,012×8,972{,}01^{2}\times\sqrt{8{,}97}2,012×8,97​ sans calculatrice

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Que mettre sur l'aide-mémoire de MTH1101 pour le plan tangent et la différentielle ?

Comment trouver l'équation du plan tangent à une surface z = f(x,y) ?

Pourquoi l'existence des dérivées partielles ne suffit-elle pas pour avoir un plan tangent ?

Quelle est la différence entre dz et delta z ?

Comment calculer l'erreur maximale sur une grandeur qui dépend de deux mesures ?

Exercices corrigés : Plan tangent et différentielle

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Estimer $2{,}01^{2}\times\sqrt{8{,}97}$ sans calculatrice