Calcul I MTH1101 • Polytechnique Montréal

Fiche de révision : la dérivation en chaîne (MTH1101, Polytechnique)

Cette fiche de révision porte sur la règle de dérivation en chaîne pour les fonctions de plusieurs variables, telle que le cours MTH1101 (Calcul I) de Polytechnique la place entre la différentielle et le gradient : section 4.3 de Stewart, *Calcul à plusieurs variables*. Elle ne refait pas le cours, elle dit ce qui coûte des points au contrôle périodique 2 et à l'examen final, sans calculatrice, et quel geste l'évite. Le seul document permis est votre aide-mémoire d'une feuille recto verso : les formules du bloc « À savoir par cœur » sont celles qui méritent d'y figurer.

Un seul réflexe la traverse : dessiner l'arbre de dépendance AVANT d'écrire une dérivée. Il dit combien de termes la formule compte, quelles dérivées sont partielles ou ordinaires, et où chacune doit être évaluée.

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Le fil du chapitre

Compter les chemins de l'arbre : la dérivée de la variable finale par rapport à une variable de départ est la SOMME, sur tous les chemins qui les relient, des produits des dérivées lues le long du chemin. Chaque dérivée partielle de $f$ reste une fonction des variables intermédiaires : elle s'évalue au point IMAGE et se dérive encore par la chaîne.

Ce chapitre fait partie de Calcul I MTH1101, Polytechnique Montréal : exercices corrigés et fiches, chapitre par chapitre

Pour s'entraîner Les exercices corrigés de ce chapitre, 10 exercices

Avant ce chapitre

Cette fiche suppose ces notions acquises. Si une méthode ci-dessous reste opaque, c'est presque toujours l'une d'elles qui manque, pas la fiche.

Plan tangent et différentielle Exercices

Remonter plus loin : la chaîne complète (4 chapitres) ↓

Le chemin de remédiation, du plus ancien au plus proche. Un élève qui reprend ce chapitre de zéro le reprend dans cet ordre.

Notions couvertes

Règle de dérivation en chaîne
Arbre de dépendance
Variable intermédiaire
Dérivation implicite
Théorème des fonctions implicites
Coordonnées polaires
Dérivées partielles secondes
Théorème de Clairaut
Taux liés à plusieurs variables
Différentielle totale

L'essentiel

Un terme par chemin de l'arbre

• On dessine la variable finale en haut, les variables intermédiaires au milieu, les variables de départ en bas, et l'on relie chaque variable à celles dont elle dépend.
• Pour dériver par rapport à une variable de départ, on suit TOUS les chemins qui y mènent ; chaque chemin donne le produit des dérivées lues sur ses arêtes, et l'on additionne.
• Une arête part d'une fonction de plusieurs variables : dérivée PARTIELLE. Une variable qui ne dépend que d'une seule autre : dérivée ORDINAIRE, $\frac{dx}{dt}$ .
• CAS 1 : $\frac{dz}{dt}=f_x\,x'(t)+f_y\,y'(t)$ . CAS 2 : $\frac{\partial z}{\partial s}=f_x\frac{\partial x}{\partial s}+f_y\frac{\partial y}{\partial s}$ . Hypothèse : $f$ différentiable.

Ici

z=f(x,y)

avec

x=x(s,t)

y=y(t)

: un seul chemin mène à

s

, donc

\frac{\partial z}{\partial s}

a un terme ; deux mènent à

t

, donc

\frac{\partial z}{\partial t}

en a deux.

Le correcteur lit l'arbre : dessiné, il justifie le nombre de termes et rapporte souvent le point de méthode même quand un calcul dérape.

Deux points dans la même formule, et l'implicite

• Les dérivées de $f$ ( $f_x$ , $f_y$ ) s'évaluent au point IMAGE $(x,y)$ ; celles de la substitution ( $\frac{\partial x}{\partial s}$ ...) au point de départ $(s,t)$ . On calcule et on écrit le point image d'abord.
• IMPLICITE : si $F(x,y)=0$ et $F_y\neq 0$ , alors $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$ ; si $F(x,y,z)=0$ et $F_z\neq 0$ , alors $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$ et $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$ . Le moins vient de $F_x+F_y\,y'=0$ .
• DÉRIVÉE SECONDE : $f_x$ a le même arbre que $f$ , donc $\frac{\partial}{\partial s}(f_x)=f_{xx}\frac{\partial x}{\partial s}+f_{xy}\frac{\partial y}{\partial s}$ ; Clairaut ( $f$ de classe $C^{2}$ ) permet d'écrire $f_{yx}=f_{xy}$ .
• POLAIRES : $f_r=\cos\theta\,f_x+\sin\theta\,f_y$ , $f_\theta=-r\sin\theta\,f_x+r\cos\theta\,f_y$ , et $f_r^{2}+\frac{1}{r^{2}}f_\theta^{2}=f_x^{2}+f_y^{2}$ .

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs ci-dessous sont celles que je corrige le plus souvent en séance. Chacune coûte des points sur une copie, même quand le raisonnement est juste.

1. Oublier un chemin de l'arbre

toute la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z=xy^{3}$ , $x=2t$ , $y=t+1$ : $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}=y^{3}\times 2=16$ en $t=1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Deux chemins : $\frac{dz}{dt}=y^{3}\times 2+3xy^{2}\times 1=16+24=40$ en $t=1$ , où $(x,y)=(2,2)$ . »

Pourquoi : Traiter $y$ comme une constante alors qu'il dépend de $t$ supprime un terme entier. Contrôle : $z=2t(t+1)^{3}$ a pour dérivée $2(t+1)^{3}+6t(t+1)^{2}$ , qui vaut $40$ en $1$ .

2. Lire f_x au point de départ au lieu du point image

2 points, et toute la suite

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $z=xy-y^{2}$ , $x=s+t$ , $y=s-t$ , en $(s,t)=(2,1)$ : $f_x(2,1)=1$ et $f_y(2,1)=0$ , donc $\frac{\partial z}{\partial s}=1$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Point image : $(x,y)=(3,1)$ . $f_x=y=1$ , $f_y=x-2y=1$ , donc $\frac{\partial z}{\partial s}=f_x+f_y=2$ . »

Pourquoi : $f_x$ est une fonction de $x$ et $y$ : on la lit là où se trouve le point $(x,y)$ quand $(s,t)=(2,1)$ . Les lettres $s,t$ et $x,y$ ne désignent pas les mêmes coordonnées.

3. Oublier le signe moins de la dérivation implicite

1 point, et la tangente fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x^{2}y+y^{2}=6$ en $(1\,;2)$ : $\frac{dy}{dx}=\frac{F_x}{F_y}=\frac{4}{5}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $F_x=2xy=4$ , $F_y=x^{2}+2y=5\neq 0$ , donc $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{4}{5}$ . »

Pourquoi : Le moins vient de $F_x+F_y\,y'=0$ : on fait passer $F_x$ de l'autre côté. Écrire cette ligne, plutôt que la formule de mémoire, protège du signe.

4. Appliquer la formule implicite là où F_y s'annule

1 point de rigueur

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x=y^{2}$ : $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}$ , donc la courbe a une pente en tout point. »

Ce qu'il faut écrire

« Avec $F=y^{2}-x$ , $F_y=2y$ s'annule en $O$ : la formule ne s'applique pas, la tangente y est verticale et $y$ n'est pas une fonction de $x$ près de $O$ . »

(1\,;1)

F_y=2\neq 0

et la pente vaut

\frac{1}{2}

; en

O

F_y=0

: tangente verticale, et deux valeurs de

y

pour chaque

x>0

Pourquoi : La condition $F_y\neq 0$ est celle du théorème des fonctions implicites. Ailleurs la formule marche : en $(1\,;1)$ , la pente vaut $\frac{1}{2}$ .

5. Dériver f_x comme une constante

la moitié de la question

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $x=2s$ , $y=s^{2}$ , $z_s=2f_x+2s\,f_y$ , donc $z_{ss}=2f_y$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $z_{ss}=2\left(2f_{xx}+2s\,f_{xy}\right)+2f_y+2s\left(2f_{yx}+2s\,f_{yy}\right)=4f_{xx}+8s\,f_{xy}+4s^{2}f_{yy}+2f_y$ . »

Pourquoi : Avec $f=xy$ en $s=1$ : la bonne formule donne $8+4=12$ , la fausse $4$ . Contrôle : $z=2s^{3}$ , $z_{ss}=12s=12$ . $f_x$ et $f_y$ dépendent encore de $s$ par $x$ et $y$ .

6. Oublier le facteur un sur r carré en polaires

toute la démonstration

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $f_r^{2}+f_\theta^{2}=f_x^{2}+f_y^{2}$ . »

Ce qu'il faut écrire

« $f_r^{2}+\frac{1}{r^{2}}f_\theta^{2}=f_x^{2}+f_y^{2}$ . »

Pourquoi : Avec $f=x$ en $r=3$ , $\theta=\frac{\pi}{2}$ : $f_r=0$ , $f_\theta=-3$ , et $f_r^{2}+f_\theta^{2}=9$ alors que $f_x^{2}+f_y^{2}=1$ . $f_\theta$ est un taux par radian ; un arc $d\theta$ mesure $r\,d\theta$ .

7. Prendre une dérivée nulle pour un point critique

1 point, et la conclusion fausse

Ce qu'il ne faut pas écrire

« Le long de $y=1$ , $z=x^{2}+y^{2}$ a $\frac{dz}{dt}=0$ en $(0,1)$ , donc $(0,1)$ est un point critique de $f$ . »

Ce qu'il faut écrire

« Avec $x=t$ , $y=1$ : $\frac{dz}{dt}=f_x\,x'+f_y\,y'=(0)(1)+(2)(0)=0$ , mais $f_y(0,1)=2\neq 0$ : la trajectoire est tangente à la courbe de niveau $f=1$ . Le seul point critique est $O$ . »

La droite

y=1

touche le cercle

f=1

(0,1)

: la lecture de

f

y est stationnaire, mais

f_y(0,1)=2

n'est pas nul.

Pourquoi : Une somme $f_x\,x'+f_y\,y'$ nulle ne dit pas que $f_x$ et $f_y$ le sont : ici $f_x=0$ et c'est $y'=0$ qui annule l'autre terme. Le long d'une trajectoire, $z$ est stationnaire là où elle touche une courbe de niveau.

8. Écrire une dérivée partielle ambiguë

1 point

Ce qu'il ne faut pas écrire

« $w=xy+z$ avec $z=x^{2}$ : $\frac{\partial w}{\partial x}=y$ . »

Ce qu'il faut écrire

« En tenant seulement $y$ fixé : $\frac{\partial w}{\partial x}=f_x+f_z\frac{\partial z}{\partial x}=y+2x$ , soit $4$ en $(1,2)$ . »

Pourquoi : $\frac{\partial w}{\partial x}$ peut vouloir dire $f_x$ (avec $z$ fixé) ou la dérivée de $w(x,y)$ ; dans le second sens, $x$ est atteint par deux chemins. Dites quelles variables sont tenues fixes.

Quelle méthode choisir

Quelle formule selon la forme de l'énoncé

Regardez de quoi dépend chaque variable, et ce que l'on vous demande de dériver.

Si $z=f(x,y)$ avec $x$ et $y$ fonctions d'une seule variable $t$ → dérivée ORDINAIRE, deux termes : $\frac{dz}{dt}=f_x\,x'+f_y\,y'$

Exemple : $z=x^{2}+y^{2}$ , $x=t$ , $y=2t$ : $\frac{dz}{dt}=2t+8t=10t$ , soit $10$ en $t=1$
Si $x$ et $y$ fonctions de deux variables $s$ et $t$ → dérivées partielles, un terme par chemin vers la feuille visée

Exemple : $z=xy$ , $x=s+t$ , $y=st$ : $z_s=y+x\,t=st+(s+t)t$ , soit $8$ en $(1,2)$
Si une équation $F(x,y)=0$ , sans $y$ explicite → $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$ , après avoir vérifié $F_y\neq 0$

Exemple : $xy^{2}=4$ en $(1\,;2)$ : $-\frac{y^{2}}{2xy}=-\frac{4}{4}=-1$
Si une surface $F(x,y,z)=0$ → $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$ et $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$ , avec $F_z\neq 0$

Exemple : $x+y^{2}+z^{3}=3$ au point $(1\,;1\,;1)$ : $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{1}{3}$
Si une dérivée SECONDE après substitution → règle du produit sur chaque terme, puis la chaîne complète sur $f_x$ et $f_y$

Exemple : $x=s+t$ , $y=s-t$ : $z_{st}=f_{xx}-f_{yy}$ (Clairaut annule $f_{xy}$ )
Si un énoncé en coordonnées polaires → arbre $f\to(x,y)\to(r,\theta)$ , avec $x_\theta=-r\sin\theta$ et $y_\theta=r\cos\theta$

Exemple : $f=xy$ en $r=2$ , $\theta=\frac{\pi}{4}$ : $f_\theta=r^{2}\cos 2\theta=0$

Si la fonction est entièrement explicite, la substitution directe est permise et sert de contrôle ; mais un énoncé qui ne donne que des valeurs de $f_x$ , $f_y$ en un point (une table) n'en laisse pas le choix.

La rédaction attendue

Le correcteur coche des étapes. Les voici dans l'ordre, avec la phrase de conclusion qu'il attend mot pour mot.

Calculer une dérivée par la règle de chaîne en un point

Quand l'utiliser : L'énoncé donne f par une formule ou une table, et une substitution x(s,t), y(s,t).

1 Dessiner l'arbre de dépendance et compter les chemins vers la variable visée.
2 Écrire la formule littérale, un terme par chemin, en distinguant dérivées partielles et ordinaires.
3 Calculer et écrire le point image $(x,y)$ correspondant au point $(s,t)$ donné.
4 Évaluer les dérivées de $f$ au point image, celles de la substitution au point de départ.
5 Substituer, conclure avec l'unité, et contrôler le signe ou la valeur par un autre moyen.

Phrase de conclusion

« D'après la règle de dérivation en chaîne, $f$ étant différentiable, $\frac{\partial z}{\partial s}=f_x\frac{\partial x}{\partial s}+f_y\frac{\partial y}{\partial s}$ ; au point image $(x,y)=(\ldots)$ , on obtient $\frac{\partial z}{\partial s}=\ldots$ »

Le piège : La troisième étape : sans point image écrit, la moitié des copies lit f_x au point (s,t).

Barème : Arbre et formule 2 points, point image 1 point, calcul 1 point, conclusion 1 point, en général.

Établir la dérivée d'une fonction implicite

Quand l'utiliser : L'énoncé dit « montrer que dy/dx = ... » ou demande une pente sur une courbe F(x,y) = 0.

1 Poser $y=g(x)$ et écrire $F(x,g(x))=0$ pour tout $x$ voisin.
2 Dériver par la chaîne : deux chemins, $F_x\cdot 1+F_y\,g'(x)=0$ .
3 Vérifier $F_y\neq 0$ au point étudié, puis isoler $g'(x)=-\frac{F_x}{F_y}$ .
4 Substituer le point, et contrôler le signe de la pente sur la figure si elle est donnée.

Phrase de conclusion

« Comme $F_y(a,b)\neq 0$ , $y$ est une fonction dérivable de $x$ près de $(a,b)$ et $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(a,b)}{F_y(a,b)}=\ldots$ »

Le piège : Oublier de vérifier $F_y\neq 0$ : là où elle s'annule, la tangente peut être verticale.

Vérifier avant de rendre

Cinq minutes de vérification récupèrent plus de points qu'un exercice de plus commencé à la hâte.

Compter les feuilles

Chaque feuille de l'arbre portant la variable visée doit avoir produit exactement un terme.

Trois feuilles $t$ et deux termes dans $\frac{\partial w}{\partial t}$ : un chemin a été oublié, la réponse est fausse avant même le calcul.
Substituer quand c'est possible

Si f et la substitution sont explicites, exprimer z directement et dériver : la valeur doit coïncider.

$z=xy^{3}$ , $x=2t$ , $y=t+1$ : $z=2t(t+1)^{3}$ redonne $40$ en $t=1$ ; un $16$ trahit le chemin oublié.
Le signe sur la figure

Une pente implicite ou une variation le long d'une trajectoire se compare au dessin.

Une pente $+\frac{4}{5}$ là où la courbe descend dénonce le signe moins oublié de $-\frac{F_x}{F_y}$ .
Les unités du produit

Chaque terme est un produit de dérivées dont les unités se simplifient jusqu'à l'unité demandée.

(cm $^{3}$ par cm) fois (cm par s) donne des cm $^{3}$ /s ; un terme en cm $^{2}$ signale une dérivée manquante.

L'exercice type décortiqué

Un cylindre dont le rayon et la hauteur varient

Le rayon $r$ d'un cylindre augmente de $0{,}1$ cm/s pendant que sa hauteur $h$ diminue de $0{,}2$ cm/s. À l'instant où $r=4$ cm et $h=10$ cm, calculer $\frac{dV}{dt}$ , puis le taux relatif $\frac{1}{V}\frac{dV}{dt}$ .

Étape 1

Variables : $V=\pi r^{2}h$ , avec $r=r(t)$ et $h=h(t)$ ; données $r'=0{,}1$ et $h'=-0{,}2$ (une baisse s'écrit NÉGATIVE).

Pourquoi

Nommer et signer les taux avant tout calcul : une baisse écrite positive inverse un terme entier.

Étape 2

Arbre : $V\to r\to t$ et $V\to h\to t$ , deux chemins, donc $\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial r}r'+\frac{\partial V}{\partial h}h'=2\pi rh\,r'+\pi r^{2}h'$ .

Pourquoi

L'arbre justifie les deux termes ; c'est le point de méthode du barème.

Étape 3

$\frac{dV}{dt}=2\pi\times 40\times 0{,}1+\pi\times 16\times(-0{,}2)=8\pi-3{,}2\pi=4{,}8\pi$ cm $^{3}$ /s.

Pourquoi

Les valeurs de l'instant se substituent APRÈS la dérivation, jamais avant.

Étape 4

$\frac{1}{V}\frac{dV}{dt}=\frac{2r'}{r}+\frac{h'}{h}=\frac{0{,}2}{4}-\frac{0{,}2}{10}=0{,}05-0{,}02=0{,}03$ , soit $3\ \%$ par seconde.

Pourquoi

Les taux relatifs s'additionnent, pondérés par les exposants de $V=\pi r^{2}h^{1}$ : une forme qui se calcule de tête.

Étape 5

Vérification : $V=160\pi$ et $0{,}03\times 160\pi=4{,}8\pi$ .

Pourquoi

Deux chemins de calcul indépendants qui concordent : trente secondes, et la valeur est sûre.

Conclusion rédigée

« À cet instant, $\frac{dV}{dt}=4{,}8\pi\approx 15{,}1$ cm $^{3}$ /s : le volume augmente de $3\ \%$ par seconde, le gain dû au rayon l'emportant sur la perte due à la hauteur. »

L'erreur classique sur cet exercice : Écrire $h'=0{,}2$ sans signe, ce qui donne $11{,}2\pi$ , ou substituer $r=4$ avant de dériver, ce qui fait disparaître le premier terme.

À savoir par cœur

• Un terme par CHEMIN de l'arbre ; chaque terme est le produit des dérivées lues sur le chemin.
• $\frac{dz}{dt}=f_x\,x'+f_y\,y'$ ; nul quand la trajectoire est tangente à une courbe de niveau, sans que $f_x$ et $f_y$ le soient.
• Les dérivées de $f$ au point IMAGE $(x,y)$ , celles de la substitution au point de départ.
• $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$ si $F_y\neq 0$ ; $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$ si $F_z\neq 0$ .
• $f_x$ se dérive ENCORE par la chaîne : $\frac{\partial}{\partial s}(f_x)=f_{xx}x_s+f_{xy}y_s$ .
• Polaires : $f_r^{2}+\frac{1}{r^{2}}f_\theta^{2}=f_x^{2}+f_y^{2}$ .

Questions fréquentes

Comment savoir combien de termes contient une dérivée par la règle de chaîne ?

On dessine l'arbre de dépendance : la variable finale en haut, les intermédiaires au milieu, les variables de départ en bas. Il y a exactement un terme par chemin qui relie la variable finale à la variable par rapport à laquelle on dérive. Chaque terme est le produit des dérivées lues sur les arêtes du chemin, et on additionne tous les termes.

Où faut-il évaluer les dérivées partielles de f dans la règle de chaîne ?

Au point image. Si x et y dépendent de s et t, on calcule d'abord les valeurs de x et y qui correspondent au point (s, t) donné, et c'est en ce point (x, y) qu'on évalue les dérivées partielles de f. Les dérivées de x et y par rapport à s et t, elles, s'évaluent au point (s, t).

Pourquoi y a-t-il un signe moins dans la formule de dérivation implicite ?

Parce qu'en dérivant F(x, y(x)) = 0 par la règle de chaîne, on obtient F_x plus F_y fois y prime égal zéro. Pour isoler y prime, on fait passer F_x de l'autre côté, ce qui donne y prime égal moins F_x sur F_y. La formule ne vaut que si F_y est non nulle ; là où elle s'annule, la tangente peut être verticale.

Comment calculer une dérivée seconde avec la règle de chaîne à plusieurs variables ?

On dérive la dérivée première terme par terme, avec la règle du produit, en se rappelant que f_x et f_y sont encore des fonctions de x et y, donc de s et t. Chacune se dérive par la règle de chaîne complète, ce qui fait apparaître f_xx, f_xy et f_yy. Le théorème de Clairaut regroupe ensuite les dérivées croisées.

Passer à la pratique

Exercices corrigés : La dérivation en chaîne

Une méthode se prouve sur une copie, pas sur une fiche. La série du même chapitre reprend chacun de ces pièges dans un exercice, avec le corrigé rédigé étape par étape.

10 exercices corrigés
100 points
150 minutes

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Gradient et dérivée directionnelle

© Ahmed Squalli Houssaini. Fiche publiée sur www.letuteurscientifique.ca/fiches/mth1101-derivation-chaine. Libre pour l'usage personnel et en classe ; sa republication ailleurs demande une autorisation écrite (mentions légales).

Voir aussi

Toutes les fiches Tous les exercices Dérivation implicite à une variable (201-NYA)Cours préparatoires de Polytechnique Études supérieures

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